均值方差最小投资风险的自平均性

在案例e（c）（Alice的选择受到限制）中，很容易发现Alice对案例（a）总得分的期望值并不比案例（b）大。总之，对于案例（c）（Alice的选择受到限制）和案例（d）（300场比赛的五盘，Alice每次都做出相同的选择），如果Alice190事先知道Bob的选择，她的分数将高于不知道的情况。也就是说，如果爱丽丝事先知道，她可以制定出更好的策略。我们想再提一点，下面将进一步讨论。案例（a）和（b）（Alice分别不知道或不知道195Bob的选择）类似于统计力学中退火和淬火无序系统的圆盘使用[9,12]。在退火无序系统中，首先使用无序无序系统中的随机X对指示剂f（w | X）进行平均，然后优化平均指示剂E[f（w | X）]以评估系统的行为。在石头剪子的例子中，指标r200f（w | X）对应于爱丽丝的总分，w对应于爱丽丝的学校（或策略），随机X对应于Bo b的选择，a和c ase（a）对应于退火无序系统。另一方面，在猝灭性疾病系统中，f（w | X）首先受到限制和随机X的优化，随机X包含在无序系统中，然后使用随机X对优化指标205进行平均，以评估该系统的行为；这与岩石剪纸的例子（b）相对应。更一般地说，当为随机现象优化指标f（w | X）时，重要的是平均和优化发生的顺序。在最大化时，需要精确估计两种指标，fa=maxwE[f（w | X）]210和fq=E[maxwf（w | X）]。

因为对于任何w，maxwf（w | X）≥ f（w | X）对任意随机X保持不变，以确定fa和fq的相对大小，一个平均两边，然后最大化右边。左侧不需要最大化，因为fq得到了一个定义值≥ 足总。当最小化时，我们得到fa=minwE[f（w | X）]和fq=E[minwf（w | X）]，并且通过与上述类似的方式，我们得到了fa≥ fq，即minwE[f（w | X）]≥ Ehminwf（w | X）i.（7）2.3。投资组合优化的运筹学方法从上述论点中，我们看到，退火无序系统的随机现象优化处理方式不同于淬火无序系统。利用这个核心概念，让我们重新考虑投资组合优化问题。在投资组合优化问题的标准操作分析方法研究中，首先将风险函数H（w | X）与资产回报率平均，然后以预算常数最小化风险函数E[H（w | X）]的预期。这里，为了简单起见，我们假设回报率是独立的，相同的分布，具有标准的225正态分布。因此，资产与资产之间的相关性预期为[Jij]=pNi=j0 i 6=j.（8）使用该函数，预期投资风险函数E[H（w | X）]，资产回报率isE[H（w | X）]=αNXk=1wk，（9）其中使用的比率α=p/N。此外，从该模型的对称性出发，利用式（2）的预算约束，式（9）的最优投资策略描述了均分投资策略。每项资产的最低预期投资风险ε或=NminwE[H（w | X）]被评估为以下值：ε或=α。（10） 集中投资水平qORwisqORw=1。

（11） 这种在运筹学中广泛使用的分析方法，并不能为实际市场中的最优投资策略提供洞察；其原因不仅在于该模型通过假设收益率是独立的、同分布的、标准正态分布来简化。由于这种分析方法相当于两个受试者和退火无序系统的岩石纸剪刀游戏中的案例（a），因此不清楚这种方法是否可以用于最小化关于真实个人收益率矩阵X的投资风险H（w | X），即w=arg minwH（w | X）。特别是，e质量参数arg minwH（w | X）=arg minwE[H（w | X）]并不总是确定的。正如我们在石头剪刀游戏中讨论的那样，如果我们用回报率平均投资风险，我们可以避免优化个人回报率的复杂性；另一方面，这种方法并没有基于个人收益率来评估最优策略。尽管在数学上无法保证最小预期投资风险的解决方案能够优化每套收益率H（w | X）的投资风险，但这种方法在运营研究中被广泛使用，可能会提供误导性的投资策略。另一方面，让我们考虑两个受试者和猝灭无序系统的岩石剪纸AMEG中的情况（b）。在一个稳定的投资市场中，即使在u=0时，人们已有关于下一时期（u=1至u=p）各资产回报率概率分布的先验信息，255由于不可能知道实际回报率，因此很难选择最佳投资策略。

然而，如果我们有关于回报率的先验信息，如石头剪纸例子中所讨论的，我们可以最小化投资风险并获得最佳投资策略。特别是ifp/N≤ 1，因为众所周知，最优解是方差协方差矩阵J最小特征值的260个特征向量的线性和，每项资产的投资风险为0，因为矩阵J的最小特征值为0，因为J是非奇异的。接下来我们考虑集中投资水平qw。设V为样本方差的方差pPPu=1xku；其评估如下：V=EppXu=1xku-ppXu=1E[xku]！=Nα。（12） 当α=p/N较小时，V较大，应积极投资于蓝筹股，其回报率的样本方差小于其他N个投资渠道的样本方差；通过这种方式，风险降低，最优投资策略渐近接近集中投资策略，即qw>> 1.当p/N>1时，使用等式（3）的最优解，可以分析评估两个指标S270。也就是说，每项资产的最小投资风险ε（X）和集中投资水平qw（X）可以写为：ε（X）=NH新泽西州-1eeTJ-1e十、=N2（eTJ）-1e），（13）qw（X）=N新泽西州-1eeTJ-1eT新泽西州-1eeTJ-1e=NeTJ-2e（eTJ）-1e），（14）其中，我们使用显式回报率矩阵X=nxku√不∈ MN×pas这是一个论点，因为这些指标取决于回报率矩阵。方差矩阵J=XXT∈ MN×NHA已经确定。在实际275项投资中，假设公平交易，由于我们事先不知道实际回报率，我们无法准确确定这两个指标。然而，我们可以评估投资系统中以前的风险，从而支持投资者的策略。为了提供有用的信息，我们需要精确地分析ε（X）和qw（X）。

出于本文所述的原因，我们假设在初始阶段，我们对收益率有预先了解；虽然这个假设是不可能的，但我们注意到，我们将在下面展示，评估投资系统的潜力时不需要这个假设。虽然为了评估投资市场的潜在风险，我们需要评估最优解或方差协方差矩阵的倒数，但很难做到这一点，因为求逆矩阵的计算复杂度与矩阵大小N（即投资网点的数量）的立方成正比。此外，我们需要为每个再投资率找到每个投资矩阵，以评估每组的最小投资风险；然而，如果最小投资风险随回报率随机变化，我们需要用收益率集X对最小投资风险进行平均。我们现在注意，我们可以使用自平均特性简化对潜在投资风险的评估。3.准备工作我们首先准备一些数学工具，以便讨论最小投资风险的自平均特性。3.1. 统计力学首先，利用统计力学中广泛使用的逆温度β（>0）的玻尔兹曼分布，在给定回报率矩阵X，P（w | X）的情况下，投资组合w的后验概率定义如下：300P（w | X）=P（w）e-βH（w | X）Z（β，X），（15），其中，如果投资组合w满足等式（2），则先验概率P（w）为1，否则为0；E-βH（w | X）是似然函数；分区函数Z（β，X）是一个标准化的d常数，定义如下：Z（β，X）=Z∞-∞dwP（西）东-βH（w | X）。

（16） 由此可知，后验概率P（w | X）满足概率测度的性质，即P（w | X）≥ 0安德烈∞-∞dwP（w | X）=1.305此外，众所周知*= arg maxwP（w | X）与通过最小化投资风险函数H（w | X）得到的投资组合是一致的，它是通过最大后验估计得到的。通过取逆温度β的极限，我们得到了limβ→∞P（w | X）=NYi=1δ（wi）- W*i） ，（17）其中w*i是资产的最佳投资比率i。因此，我们可以使用后验概率（w | X）平均投资组合w和投资风险H（w | X），并允许逆温度β变得足够大：w*= limβ→∞Z∞-∞dwP（w | X）w（18）H（w）*|十） =limβ→∞Z∞-∞dwP（w | X）H（w | X），（19），其中δ（u）是狄拉克δ函数，这适用于任何函数f（X），例如f（X）=R∞-∞dyf（y）δ（y）-x） （见附录B）。根据这种重新表述，并使用公式（15）中定义的后验概率，可以使用概率推理框架解决投资组合优化问题。3.2. 切尔诺夫不等式接下来，我们介绍一种概率不等式，切尔诺夫不等式，如下所示。对于具有已知概率测度和常数η的随机变量Y，η≤ Y满足以下不等式320，对于任何u>0为[3,6]：P r[η≤ Y]≤ E-uηE[euY]。（20） 这很容易证明；例如，考虑阶跃函数Θ（W），如果W为1≥ 否则为0和0。首先，对于u>0，我们得到Θ（W）≤ 嗯。由此，我们导出pr[η≤ Y]=E[Θ（Y）- η)] ≤ E-uηE[euY]。此外，forP r[η≥ Y]，我们得到pr[η≥ Y]≤ E-uηE[euY]对于u<0.325，从式（20）中，我们可以得出一个tig-hter上限。因为右手在eq。

（20） 对于任意的u>0，右端必然存在一个极小值，我们得到r[η≤ Y]≤ 分钟>0E-uηE[euY]= E-R（η）。（21）这里R（η）是速率函数，定义为R（η）=maxu>0uη- 日志E[euY]. （22）累积生成函数φ（u）=loge[euY]是u，330的凸函数，由凸函数的勒让德变换定义的速率函数R（η）也是凸函数。我们也知道R（η）是非负的，如果η为，R（η）=0≤ E[Y]，如果η>E[Y]，则R（η）>0。速率函数的这些性质在附录A.3.3中得到了证明。大偏差理论支持的自平均性质335当投资组合w取决于等式（15）中定义的后验概率P（w | X）时，每项资产的投资风险（w | X）小于或等于一个常数的概率满足切罗夫不等式；也就是说，P rNH（w | X）≤ ~ε= E[Θ（N)ε- H（w | X））]=R∞-∞dwP（w | X）Θ（N)ε- H（w | X））满意度340P rNH（w | X）≤ ~ε≤ EheNβε-βH（w | X）i=eN)βεZ（β+)β，X）Z（β，X）。（23）这里，β是一个正数，Z（β+β，X）由公式（16）定义（β替换为β+β）。因此，等式（23）的更紧上界的概率不等式是使用以下速率函数导出的：R+（β，＠ε，X）=max＠β>0-~β~ε -Nlog Z（β+～β，X）+Nlog Z（β，X）, （24）我们有PRNH（w | X）≤ ~ε≤ E-NR+（β，ε，X）[20]。同样地，对于H（w | X）的概率≥ ε，prNH（w | X）≥ ~ε, 因此P rNH（w | X）≥ ~ε≤345e-NR-（β，~ε，X）是用速率函数表示的-（β，ε，X）=最大β<0-~β~ε -Nlog Z（β+～β，X）+Nlog Z（β，X）. （25）为了分析式（24）和式（25）中的速率函数，还需要根据式（24）和式（25）中的定义，评估sNlog Z（β+～β，X）和NLOG Z（β，X），这取决于回报率矩阵X。

（16）分析评估这些配分函数比分析评估最优解更困难。350为了解决这一难题，我们考虑对数Z（β，X）或Helmho ltz自由能f（β，X）的累积分布，如以下等式所定义：f（β，X）=-Nβlogz（β，X）。（26）亥姆霍兹自由能f（β，X）随返回率矩阵X的概率随机变化。因此，有必要评估亥姆霍兹自由能及其速率函数的切尔诺夫不等式：P rhf（β，X）≤~fi≤ eNnβ~fE[e-Nnβf（β，X）]=eNnβ~fE[Zn（β，X）]，（27），其中n>0已经定义。以类似的方式，我们得到了p-rhf（β，X）≥~fi≤ eNnβ~fE[Zn（β，X）]，（28），其中n<0。最后，我们得到了两个概率不等式P-rhf（β，X）≤~fi≤E-NR+（β，f）和P-rhf（β，X）≥~fi≤ E-NR-（β，f），其中r+（β，f）=maxn>0-nβИf-nloge[Zn（β，X）], （29）R-（β，~f）=maxn<0-nβ~f-nloge[Zn（β，X）]. （30）在这两种情况下，都需要分析E[Zn（β，X）]。3604。复型分析和数值模拟4。1.与本小节中的Hop fi field模型相似，为了确定我们是否可以使用副本分析来评估E[Zn（β，X）]，让我们简单地考虑一下调用存储在由n个神经元构成的神经网络中的模式的问题；这个问题的数学结构365类似于投资组合优化问题[1,12]。设skk为神经元k的状态；如果神经元k被激活，则Sk=1，且Sk=- 1另一方面。此外，xku（k=1，··，N，u=1，··，p）是神经元k对p个存储模式中包含的模式u的记忆，并且以相同的概率随机分配±1。370然后，对于p模式，Hebb规则定义如下：Jij=NpXu=1xiuxju（31），其中Jijis表示神经元i和神经元j之间的相关性。

因此，众所周知，等式（32）中最小化哈密顿量H（S | X）的神经元状态S与每个存储模式一致：H（S | X）=-STJ。（32）如果神经元状态S与模式1一致，即Sk=xk1，哈密顿量375h（S | X）可以写成asH（S | X）=-2NNXk=1xk1Sk！-2NpXu=2NXk=1xkuSk！=-N、 （33）其中，模式ua和模式νin之间的重叠受fneurons N和satis fies nnxk=1xkuxkν的数量限制=1 u = ν0 u 6= ν. （34）直观地说，每个模式都与其他模式正交，因为存储的模式是独立的，并且是随机分配的。将存储在神经网络中的380个模式进行记录并计算可识别模式的数量的问题称为联想记忆问题，等式（32）中定义的模型称为跳场模型。在对跳跃场模型的分析中，可识别模式数量的上限是使用E[Zn（β，X）]来估计的，E[Zn（β，X）]评估神经网络的学习385潜能。我们也没有发现该模型与均值-方差模型之间的数学相似性，这表明我们可以采用用于Hop fi field模型的分析方法；也就是说，我们可以使用副本分析来解决投资组合优化问题，并评估投资系统的潜力。3904.2. 副本分析中获得的主要结果关于副本分析的详细计算，请参见附录B。我们将限制投资网点的数量，使α=p/N~ O（1）。福恩∈ N、 我们有Φ（N）=limN→∞Nlog E[Zn（β，X）]=Extrk，Qw，~Qw-αlog det | I+βQw |+TrQwQw-日志数据~Qw-eTk+kTQ-1周，（35）式中k=（k，··，kn）T∈ Rn，Qw={qwab}∈ Mn×n，~Qw={qwab}∈ Mn×n，395ka，qwab，a和qwa阶参数，e=（1，··，1）T∈ 我想，这是一个康斯坦特维克特∈ Mn×nis表示单位矩阵，extrf（A）表示A的极值。

由此可知，k、Qw和Qware的极值如下：k=~Qwe，（36）~Qw=β（α）- 1）我-β(α - 1） 1+nβD，（37）Qw=β（α- 1） I+α- 1D，（38），其中D=eeT∈ Mn×nis是一个方阵，其所有分量都是1.400。根据这些结果，我们不需要假设关于这个模型的序参数（ka，qwab，~qwab）的复制对称性。因此，将这些结果代入式（35），我们得到Φ（n）=-nαlogα- 1.-α - 1log（1+nβ）+n-nlogβ（α）- 1). （39）这里我们应该注意到，在附录B中，我们要求等式（35）中的复制品编号是一个自然数，也就是说，因为E[Zn（β，X）]a t复制品编号405n∈ N可以相对容易地估计，等式（39）中的副本数N也应该是一个自然数。然而，在等式（29）和Q中的优化中。（30），我们需要n∈ R充分讨论解决方案。因此，我们在这里假设等式（39）中的副本数n是一个实数，并用它来详细讨论我们的方法。在第4.4小节中，我们将比较这一结果410和结果，以证明这是适用的。这两个速率函数计算如下：R+（β，~f）=α-1.-Λ(β)2β≤~fα-1（s）- 1.- 对数s）α-1.-∧（β）2β>~f（40）R-（β，~f）=α-1（s）- 1.- 对数s）α-1.-∧（β）2β<~fα-1.-Λ(β)2β≥~f，（41）式中∧（β）=1- α对数α- 1.- 对数β（α）- 1） （42）s=~f+λ（β）2βα-1.（43）这一结果满足了附录a中所示的速率函数的性质。此外，使用吉布斯不等式- 1.- 原木≥ 0，如果α>1，在投资网点数量N变得足够大的极限下，我们得到p rhf（β，X）≤~fi=α-1.-Λ(β)2β≤~fα-1.-∧（β）2β>~f（44）P rhf（β，X）≥~fi=α-1.-∧（β）2β<~fα-1.-Λ(β)2β≥公式（44）和公式（45）中的f（45），因为f（β，X）位于常数α附近-1.-∧（β）2β，f（β，X）=α- 1.-λ（β）2β（46）是一组真实的周转率。