均值方差最小投资风险的自平均性

也就是说，在βa中，我们的自由值为。（47）此外，由于围绕定义值进行局部化，fm（β，X）=E[fm（β，X）]是一个同样令人满意的特性。r和OM变量的统计或函数围绕定义值（或其平均值）进行局部化的这一特性称为自均性。通过将式（47）代入式（26），我们得到425nlog Z（β，X）=∧（β）-β(α - 1） ，（48）和双速率函数sr+（β，ε，X）=+∞ ~ε ≤α-1（s′）- 1.- 对数s′）α-1< ~ε <α-1+2βα-1+2β≤ ε（49）R-（β，ε，X）=（s′）- 1.- 对数s′）α-1+2β< ~ε0 ~ε ≤α-1+2β，（50），其中s′=2β~ε -α-1.. 因此，对于足够大的N，因为每资产的投资风险h（w | X）也局限在α附近-1+2β，投资风险为自平均。此外，对于一个足够大的β，从式（17）中我们可以得出最小投资风险，如下所示：430ε（X）=α- 1.（51）此外，由于ε（X）也是从一个相同的方程解析得出的，ε（X）=-limβ→∞Nβlogz（β，X），我们用另一种方法解释了我们的方法（见附录B）。此外，根据投资风险的自平均特性，由于我们可以忽略投资风险ε（X）对收益率矩阵X的依赖性，我们将用ε（X）替换ε。同样，qw（X）也是自平均的，因此qw=αα- 得到1（52），其中qw（X）被qw代替。我们还注意到，由于设定的最小投资风险和集中投资水平都是自平均的（因为它们对回报率矩阵X的依赖性被忽略），我们可以估计这种投资系统的潜力。

在一个稳定的投资市场中，这意味着相对于一个投资期内平均的实际回报率的最低投资风险和由回报率定义的最低投资风险是不一致的，因为最低投资风险是自平均的。正因为如此，我们不需要假设在初始阶段，我们对收益率有先验知识，也就是说，我们只需要先验地知道以前的收益率。这是自平均特性的另一个优点。4.3. 与运筹学方法获得的结果进行比较在本小节中，我们使用运筹学的分析方法对第2.3小节中得出的两个指标进行了比较。例如，我们考虑εOR=α和qORw=1，使用第4.2节中导出的两个特征指标，并使用自平均特性，即ε=α-1如果α>1，ε=0，否则，qw=αα-1如果α>1且qw>> 1否则。因此，对于任何α，我们有455ε或≥ ε（53）qORw≤ qw。（54）首先，最小预期投资风险ε或不小于预期最小投资风险ε，即公式（53）与公式（7）中的关系一致。接下来，从集中投资水平和使用运筹学的分析程序两方面，我们发现，每项投资产出的风险都是平均值，并由收益矩阵进行抵消。从而得出最优策略为均分投资的结论。

另一方面，当使用我们提出的方法时，由于有可能找到每个投资渠道的最优解，对于变化很小的投资渠道，尤其是α很小的投资渠道，可以找到最佳回报率，这意味着最优策略是集中投资。465此外，我们还使用另一个数学论证提供了其他直观的解释。通过定义qwand，矩阵J=XXT的N个特征值∈ MN×N，λk，（k=1，··，N，λ）≤ λ≤ ··· ≤ λN），然后qw=E[λ-2] /（E[λ-1] 其中E[λ-s] =NPNk=1λ-sk；推导见附录C。另外，由于辛分布的最小特征值λmin=1+α-2.√当α→ +1，ifm特征值a被视为最小特征值，其中~ O（1），然后利用L\'H^opital规则，我们可以估计出qw的渐近形式如下：qw=limλmin→+0mNλ-2min+NPNk=m+1λ-2kmNλ-1min+NPNk=m+1λ-1k= limλmin→+02mNλ-1平方毫米mNλ-1min+NPNk=m+1λ-1k=纳米。（55）自E[λ]-2] 增加速度超过（E[λ-1] ）qwincreases。这与我们发现的qw=αα一致-1.如有必要，请继续>> 1，然后1≤ qw≤最大α和λ475→∞1 + α + 2√α1 + α - 2.√α= 1，（56）其中最大a辛本征值为λmax=1+α+2√α和λ-smax≤E[λ-s]≤ λ-斯敏。这与我们发现的qw=αα一致-1.4.4. 数值模拟虽然我们利用每项资产的投资风险ε和集中投资水平qw的自平均特性，对投资系统的潜力进行了理论讨论，但我们假设Eq.（39）中的副本数是第4.2小节中的一个真实数。在上一小节中，我们对我们的发现给出了一些数学解释。

然而，从数学上不能保证复制品编号n∈ R适用；485因此，我们需要验证我们是否可以使用这一假设，以便根据我们提出的方法使发现合法化。在本小节中，我们进行了数值模拟，然后比较了我们提出的方法的结果、数值结果和分析运算研究程序的结果。490在本次数值模拟中，投资渠道的数量为N=，情景的数量为p∈ [1200, 8000]; 场景r是α∈ [1.2, 8.0]. 此外，我们评估了J-1=（XXT）-1，由随机分配的收益率矩阵XX定义的方差-协方差矩阵的逆；资产回报率独立且相同地分布495，具有标准正态分布。然后，我们求解最优投资组合的等式（3），以估计每个ssetε（X）和集中投资水平qw（X）的最小投资风险。最后，我们对100组回报率矩阵进行平均。图1显示了每项资产的三个最小投资风险和三个集中投资水平。横轴表示塞纳里奥比率α=p/N，纵轴表示两个指标。我们提出的方法的结果用实线表示，数值结果用带误差条的标记表示，运筹学方法的结果用虚线表示。我们的方法（实线）和505个数值结果（带误差条的标记）的结果是一致的。对于这个数值模拟，我们考虑了我们对回报率有先验知识的情况。事实证明，我们提出的方法能够准确评估投资体系的潜力。

另一方面，虚线基于预期效用最大化的场景，这些结果与其他结果不一致。不幸的是，这表明基于预期效用最大化的方法无法确定最优投资策略，反而可能会提供一个误导性的投资组合，该投资组合不能保证在特定的回报率集上是最优的。5.总结和未来工作：本文分析了均值-方差模型的最优解的潜力，该模型广泛应用于组合优化问题；特别是，我们使用自平均和复制分析法分析了其潜在的投资风险和集中投资水平。我们用两个主题的石头剪刀布游戏作为优化随机现象的背景。我们注意到，最小预期投资风险（来自我们对退火无序系统的讨论）并不总是与预期最小投资风险（来自我们对淬火无序系统的讨论）一致。我们讨论了使用操作理性研究中广泛使用的分析方法得出的最优投资策略，以及基于退火排序系统的预期效用最大化，是否适用于实际资产回报率。根据eq.（7）中的关系，基于更一般的公式，我们确定通过运筹学方法获得的最小预期投资风险不小于预期最小投资风险。然而，它并不能为投资策略提供有用的信息，因为它低估了预期的最小投资风险。主要原因如下。

（1） 在投资开始时，对资产的未来回报率没有先验知识。（2） 评估最优解矩阵的逆矩阵所需的计算复杂性随着投资渠道数量的增加而增加。（3） 为了准确评估潜在的投资风险，有必要将最小的投资风险与实际回报率进行平均。为了解决这些问题，我们使用概率推理来重新构造投资组合优化问题；我们还利用切尔诺夫不平等性和复制分析来确定投资风险累积分布的更严格上限。根据复制分析得出的利率函数分析结果，我们阐明了投资风险的自平均特性。因此，我们确定，在已知回报率完整信息的情况下，最小投资风险与平均回报率矩阵情况下的最小投资风险545一致。因此，我们能够评估实际投资系统中的潜在投资风险。由此，我们解决了上述第一和第三个问题。此外，通过复制分析，我们估计了最优投资组合的两个指标：投资风险和集中投资水平；这是在没有直接解析最优投资组合的情况下完成的，这解决了第二个问题。我们发现，我们提出的方法得到的集中投资水平与最优投资策略的直观明显选择一致；我们考虑了情景比率接近1且比率非常大的情况。

我们比较了我们提出的方法的555个结果、操作研究方法得到的结果以及数值模拟得到的结果。我们的方法的结果与数值模拟的结果一致，但与运筹学方法的结果不一致。如上所述，尽管我们的发现基于均值方差模型，只有一个预算结构和一个回报率，该回报率是独立的，且以标准正态分布进行分布，但在。（7） 这意味着，最大化投资的策略不是基于最理想的投资实现。565在我们未来的工作中，虽然为了简单起见，我们在本文中只考虑了预算约束，但为了使我们的方法更现实，我们希望在其他条件下确定最优解，例如预期总收益的限制、卖空限制，以及每种资产的上限和下限。特别是，我们希望考虑这些问题是否可以通过使用统计机械信息学的其他分析方法来解决，例如信念传播法、随机矩阵积分或马尔科夫链蒙特卡罗法。对于均值-方差模型以外的情况，如均值-绝对偏差模型或预期空头575模型（对于这些模型，典型的投资风险行为由Cilibe rti和M’ezard评估），还需要确认ris k函数的自平均特性。

此外，为了阐明该优化问题的数学结构，我们假设SSETS上的收益率独立且相同地分布在标准正态分布上，然而，在实际投资市场中，收益率并不总是独立且相同地分布。因此，我们希望量化这种相关性对指标的影响。因此，尽管运营研究中使用的几种模型已被提出用于评估投资系统，但在许多情况下，只有预期效用最大化；也就是说，只分析了退火无序系统。投资组合优化问题585是一个尚未开发的领域，许多问题尚未得到考虑。作者感谢R.Wakai、Y.Shimazaki和I.Kaku的富有成果的讨论。作者还感谢Y.Takemoto、I.Arizono和T.Mizuno的宝贵评论。这篇论文是同一作者[17]的前一篇论文的改进和扩展版本，这篇论文是用日语撰写的一篇未经引用的论文。这项工作部分得到了AidforYoung Scientists（B）第24710169号拨款的支持。附录A.速率函数的性质我们介绍了速率函数R（η）的性质；这些性质支持第4节中的讨论。在本附录中，为了方便起见，我们定义了595函数φ（u）=log E[euY]。（A.1）此外，我们将只讨论pr[η≤ Y]≤ E-R（η）和R（η）=maxu>0{uη- φ（u）}，但我们注意到pr[η≥ Y]≤ E-R（η）和R（η）=maxu<0{uη- φ（u）}可以以类似的方式进行倒角。附录A.1。R（η）≥ 0600对于任何η∈ R、 R（η）≥ 0持有。同样，对于任何u>0，R（η）=maxu>0{uη- φ（u）}≥uη-φ（u）=R（η，u）在极限范围内，当u达到+0时，也就是说，我们得到limu→+0R（η，u）=0表示R（η）≥ 0 .

另外，如果R（η）<0，因为pr[η]≤ Y]≤ 1<e-R（η），R（η）≥ 0表示累积分布的直观上限。附录A.2。当E[Y]≥ η、 R（η）=0605当η小于或等于E[Y]时，Y的期望值，即E[Y]≥ η、 那么R（η）=0。因为euy是Y的凸函数，对于任何u>0，φ（u）≥log euE[Y]=uE[Y]，我们得到0≥ uE[Y]- φ（u）。如果η=E[Y]，那么我们从R（E[Y]，u）=uE[Y]得到R（E[Y]）=0- φ（u）≤ 0.此外，ifE[Y]≥ η、 然后0≥ uE[Y]-φ（u）≥ uη- φ（u）=R（η，u），我们得到R（η）=0.610，也就是说，这个性质可以直观地暗示E[Y]=sup{η| R（η）=0}。附录A.3。R（η）是一个凸函数R（η），它是由凸函数的勒让德变换导出的，是η的凸函数。因此，对于任何λ ∈ [0,1]，R（η）和R（ξ），λR（η）+（1）- λ） R（ξ）≥ λR（η，u）+（1）- λ） R（ξ，u）=u（λη+（1）- λ)ξ) - φ（u）=R（λη+（1）- λ） ξ，u），（A.2）其中u为非负。因此，λR（η）+（1- λ） R（ξ）≥ R（λη+（1）- λ） ξ）Is615是在u>0时，通过最大化等式（A.2）的两侧得到的。附录B.复型分析的计算在本附录中，我们使用复型分析对E[Zn（β，X）]进行分析评估；然而，一般来说，很难估计任何n的E[Zn（β，X）]∈ R[12]。非负随机变量620z的n阶矩E[Zn]的直接计算≥ 0，任意n∈ R、 除非随机变量服从对数分布[13,19]，否则这是不可能的。特别是，用一个X e d回报率矩阵X来评估等式（16）中以积分形式定义的分割函数Z（β，X）是不合适的。如果我们可以直接计算，我们可以轻松地求解等式（24）和等式（25），而不需要考虑亥姆霍兹自由能；然而，在这个模型中，很难用固定的返回矩阵直接计算配分函数。

我们可以用复数n解E[Zn（β，X）]∈ n因为计算任意复制数的E[Zn（β，X）]相对容易∈ N、 这可以用来估计任意复制数下的E[Zn（β，X）]∈ R.例如，直观地说，可以用有限项展开（a+b）=a+2ab+带（a+b）=a+3ab+3ab+b，尽管不可能得到（a+b）2.5的有限展开式。然而，这个表达式将是（a+b）的正方形和立方体之间的关系，也就是说，（a+b）<（a+b）2.5<（a+b）。因此，作为第一步，我们可以在回复数n处估计E[Zn（β，X）]∈ N、 然后我们用这个来估计e[Zn（β，X）]在N处∈ R.这种方法称为副本分析。我们可以在n处计算E[Zn（β，X）]∈ N、 如下所示：E[Zn（β，X）]=EZ∞-∞dwP（西）东-βH（w | X）N=Z∞-∞wap=1d瓦经验-βpXu=1nXa=1√NNXi=1xiuwia！, （B.1）式中wa=（w1a，··，wNa）T∈ RN，（a=1,2，·n）。此外，由于P（wa）是用于平均回报率矩阵X的系数，因此可以将其分离。现在我们引入狄拉克δ函数δ（x），以便使用它来平均xku。狄拉克δ函数δ（x）是最广泛使用的广义函数之一，定义为任意f（x）asf（w）=Z∞-∞dvf（v）δ（v）- w） 。（B.2）当δ（v）的参数- w） 在右边，v- w、 是0，也就是f（w）。因此，如果在等式（B.2）中使用常数函数，例如f（x）=1，则为645Z∞-∞dzδ（z）=1。（B.3）此外，狄拉克δ函数的傅里叶变换，δ（z）=2πz∞-∞如果imag inary装置i=√-1名雇员。因此，积分方程（B.1）可以写成经验公式-β√NNXi=1xiuwia！=2πZ∞-∞dvuaduuaexp-βvua+iuuavua-√NNXi=1xiuwia！！。（B.5）将其替换为等式。