均值方差最小投资风险的自平均性

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英文标题：
《Self-Averaging Property of Minimal Investment Risk of Mean-Variance
  Model》
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作者：
Takashi Shinzato
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In portfolio optimization problems, the minimum expected investment risk is not always smaller than the expected minimal investment risk. That is, using a well-known approach from operations research, it is possible to derive a strategy that minimizes the expected investment risk, but this strategy does not always result in the best rate of return on assets. Prior to making investment decisions, it is important to an investor to know the potential minimal investment risk (or the expected minimal investment risk) and to determine the strategy that will maximize the return on assets. We use the self-averaging property to analyze the potential minimal investment risk and the concentrated investment level for the strategy that gives the best rate of return. We compare the results from our method with the results obtained by the operations research approach and with those obtained by a numerical simulation using the optimal portfolio. The results of our method and the numerical simulation are in agreement, but they differ from that of the operations research approach.
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中文摘要：
在投资组合优化问题中，最小期望投资风险并不总是小于最小期望投资风险。也就是说，使用运筹学中众所周知的方法，可以得出一种将预期投资风险降至最低的策略，但这种策略并不总是产生最佳的资产回报率。在做出投资决策之前，投资者必须了解潜在的最小投资风险（或预期的最小投资风险），并确定将资产回报最大化的策略。我们使用自平均特性来分析潜在的最小投资风险和提供最佳回报率的策略的集中投资水平。我们将我们的方法所得结果与运筹学方法所得结果以及使用最优投资组合进行数值模拟所得结果进行了比较。我们的方法和数值模拟的结果是一致的，但它们不同于运筹学方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Self-Averaging_Property_of_Minimal_Investment_Risk_of_Mean-Variance_Model.pdf (307.46 KB)

2022-5-6 03:46:33 上传

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关键词：投资风险 均值方差 小投资 Optimization Quantitative

秋田县大学系统科学与技术研究生院管理科学与工程系，shinzato@akita-浦。在投资组合优化问题中，最小预期投资风险并不总是小于最小预期投资风险。也就是说，使用运筹学中广为人知的方法，可以得出一种将预期投资风险降至最低的策略，但这种策略并不总是产生最佳的资产回报率。在做出投资决策之前，投资者必须了解潜在的最小投资风险（或预期的最小投资风险），并确定将资产回报率最大化的策略。我们使用自平均特性来分析潜在的最小投资风险和提供最佳回报率的策略的共同投资水平。我们将我们的方法所得结果与运筹学方法所得结果以及使用最优por tfolio进行数值模拟所得结果进行了比较。我们的方法和数值模拟的结果是一致的，但它们与运筹学的方法不同。关键词：均值-变量模型，自平均特性，复制分析，概率不等式，最大化期望效用1。简介投资是最常见的经济活动之一，它被定义为一种预期未来收益将超过成本的活动[5,8,11]。投资中涉及的不确定性不能预先打印提交给《欧洲运筹学杂志》（European Journal of Operational Research，2018年8月24日），一般来说，风险越大，预期的回报就越大。

本文考虑投资组合优化问题，它是投资风险管理的数学公式。港口组合优化问题基于风险分散管理框架，该框架由Markowitz于1952年提出；这是数学金融领域一些最重要、最活跃的研究课题，已经提出了10个不同的模型[7,8,11,15]。例如，马科维茨建议阿鲁尔投资几种证券，以实现多样化。例如，该规则规定，当预期收益和投资资产不变时，最佳策略将收益（投资风险）的方差最小化。Markowitz还分析得出了将投资风险降至最低的投资策略15。K onno和Yamazaki提出了平均绝对偏差模型，其风险函数不是由收益率的变化来定义的，而是作为每个时期绝对误差的总和；还表明，均值-方差模型和均值-绝对偏差模型的最优解是一致的[7]。Rockafellar和Uryasev提出了一个预期缺口模型20，该模型基于一个衡量不低于所选置信水平的风险的指数；该模型考虑了总收益随机波动的下行风险[15]。近几十年来，投资组合优化问题的研究采用了在25运筹学以外的跨学科领域发展起来的分析方法[4,14,16,22]。Ciliberti和M’ezard使用自旋玻璃理论中发展的复制a分析方法来分析平均绝对偏差模型和预期短期下降模型的风险函数的典型行为[4]。

Pafka和Kondor比较了由30个交易市场获得的回报率确定的方差-冠状病毒nc e矩阵的特征值分布与假设独立回报率获得的极限分布；他们还定量分析了在数学统计中发展起来的随机矩阵理论与量子混沌之间的相关性[14]。Shinzato和Yasuda使用了一种被开发为解码算法的信念传播方法来创建一种算法，该算法可以得出最优解，计算复杂度与投资资产数量的平方成正比[16]。Wakai、Shinzato和Shimazakia分析了使用最小投资风险时的典型行为，以及Mar kowitz的均值-变量模型的集中投资水平，在该模型中，随机矩阵集合的收益率独立于正态分布、均匀分布和指数分布，且分布相同[22]。尽管研究使用了随机矩阵理论和统计机械信息学的方法来分析港口优化问题的潜在风险[12]，这是在没有数学证明的情况下完成的，即45投资风险的自平均特性和集中投资水平可用于有效评估最佳解决方案（将进一步讨论自平均值，但其值较低）[17]。然而，这些指标是否为自平均值并不明显。此外，如果它们是自平均的，那么可以用这种方法分析一个投资系统的潜在r，但确定是否是这样很重要，因为结果并不总是与运筹学得出的结果一致。

因此，有必要系统地考虑这些问题。因此，在本文中，我们提供了自平均性的数学证明，并讨论了在投资组合优化问题的操作研究方法中广泛使用的分析方法的有效性。为此，我们使用概率框架重新构造了投资组合优化问题m。为了优化随机现象，我们还考虑了两种场景，这两种场景之前都没有讨论过。我们引入自平均的概念，然后用它来分析投资系统的潜在风险，并确定最佳投资策略。通过与标准运筹学方法和数值模拟的结果进行比较，我们验证了我们提出的方法，最后，我们总结了使用运筹学方法解决这种数学结构问题的问题。65.本文的组织结构如下。在下一节中，我们对投资组合优化问题进行数学模拟，并讨论一个优化随机现象的简单博弈；这就提出了我们将用来分析投资系统潜在风险的观点。第3节介绍了我们将使用的概念，如统计力学和概率不等式的概念，并总结了自平均特性，这是最优投资策略的一个重要特征。在第4节中，我们展示了我们的结果，并将其与上面讨论的其他方法进行了比较。在最后一节中，我们总结并讨论了未来的工作领域。2.随机现象的模型设置和优化752。1.

Markowitz的均值-方差投资组合选择在本小节中，我们介绍了均值-方差模型，它是投资组合优化问题最常用的模型之一。我们开始建立一个稳定的投资市场，有N个投资渠道，其中wk表示资产k（=1，···，N）的投资组合（或投资比率），80x′ku表示场景u（=1，··，p）中资产k的回报率。但是，为了简单起见，我们不包括卖空，也就是说，-∞ < wk<∞, 我们假设每个集合的收益率概率分布是已知的。在Markowitz的均值-方差模型中，在给定的p情景下，投资风险被定义为sc enarioPNk=1x′kuwk的总回报85与其预期Pnk=1E[x′ku]wk之间差异的平方和；通过最小化风险来确定投资策略会产生对冲。也就是说，一个资产为N的投资组合的投资风险w=（w，··，wN）T∈ RNis definedash（w | X）=2NpXu=1NXk=1x′kuwk-NXk=1E[x′ku]周=pXu=1√NNXk=1xkuwk！，（1） 其中T表示矩阵或向量的转置，E[f（x）]表示f（x）的期望值。由于我们假设每项资产收益率的概率分布已知，因此我们将收益率表示为xku=x′ku- E[x′ku]和返回率矩阵为x=nxku√不∈ MN×p.此外，请注意，尽管我们引入了系数nin等式。

（1） 为了简化下面的讨论，因为Cpnk=1xkuwk是N个随机变量xkuwk（wk可以解释为一个随机变量的系数xku）的总和，即使我们不假设资产的回报率是独立的，如果w是固定的，回报率之间的相关性很小，回报率的第三个和更高的时刻是有限的，然后，我们预计随着投资渠道数量的增加，vu=√根据中心极限定理，NPNk=1xkuwkasymp-100总体上接近多维高斯分布。在均值-方差模型中，在没有约束条件（如预算）的情况下，通过最小化风险函数H（w | X）和w=·wN=0，可以得到一个明显的最优投资组合。因为这相当于不投资，所以不存在投资风险；然而，在本文中，我们使用了预算约束Tnxk=1wk=N。（2）此外，尽管在实际的资产管理中，除了预算约束之外，还需要施加预期的回报约束，为简单起见，我们将只考虑预算约束。因此，投资组合优化问题被表述为确定使H（w | X）最小的投资组合w，即等式（1）中的风险函数，并带有等式（2）的约束。在p>N的情况下，可以解析地确定最优解：w=NJ-1eeTJ-1e，（3）其中单位向量e=（1,1，··，1）T∈ RNand J-1是方差协方差矩阵J={Jij}=XXT的倒数∈ MN×N，其中矩阵j的元素i，j为115jij=NpXu=1xiuxju。（4） 如果p≤ N，因为矩阵J不是正则矩阵，所以这个投资组合优化问题的最优解不能唯一确定。使用等式中H（w | X）的定义。

（1） ，对于每种情况，我们可以估计总收入sPNk=1x′kuwk与其预期PNK=1E[x′kuwk]wk之间差异的平方和；这可以解释为投资组合w的投资潜力，集中投资水平QWI定义如下[4,16,22]：qw=NNXk=1wk。（5） 投资策略w=（1，1，·，1）T∈ RN，我们得到qw=1；例如，对于集中投资策略，只在集合1中投资，w=（N，0，·，0）T∈ RN，因此得到qw=N；如果一个投资者平均投资1250万个NP可能的网点，qw=N/m。因此我们有qw- 1=NNXk=1wk-NNXk=1wk=NNXk=1wk-NNXk′=1wk′！，（6） 当投资组合w接近均分时，QWD变为1，当它接近集中投资策略时，QWD变为1。我们注意到，尽管Pnk=1wk=1在运筹学中被广泛用作预算约束，但在本文中我们不使用。由于运筹学中广泛使用的带预算约束的投资组合优化问题的最优解是w=（w，w，·，wN）T∈ 式（2）中定义的最佳解为wN=（wN，wN，·，wN）T∈ RN，证明了wi/wj=wNi/wNjis的关系，即在每种方法的最优投资组合中，投资比率是一致的。此外，当使用公式（2）的预算约束时，集中投资水平qwc可以被解释为多元化的一个指标。在这一小节中，我们从不同的角度来考虑这个优化问题。我们分析了均值-方差模型的最小投资风险ε和140集中投资水平qwo的行为，并讨论了在运筹学方法中尚未解决的随机现象的优化问题。让我们考虑一下著名的石头剪刀游戏的以下变体。

规则1：两名受试者，爱丽丝和鲍勃，玩石头剪刀300次。规则2：爱丽丝可以自由选择展示石头、剪子或剪子。另一方面，鲍勃的选择是通过掷一个公平的骰子来随机分配的：当骰子显示1或2时用石头，3或4时用纸，5或6时用剪刀。此外，爱丽丝知道鲍勃的选择是由骰子随机独立决定的。规则3：胜利者加一分，失败者减一分，如果他们平局，分数没有变化。我们现在要考虑的是，爱丽丝是否会赢得总冠军。（a） 两名受试者同时伸出手来表示摇滚乐、纸牌或歌曲。首先，我们考虑普通情况。由于爱丽丝不知道鲍勃的学校，她认为每种可能性都有同等的可能性。因此，如果Alice155也根据掷骰子进行选择，则所需的预期总分将为0。类似地，如果爱丽丝只选择摇滚乐，预期分数将为0。我们将使用以下符号：rA（resp.rB）是爱丽丝（resp.Bob）选择石头的概率，pA（resp.pB）是爱丽丝（resp.Bob）选择纸的概率，sA（resp.sB）是爱丽丝（resp.Bob）选择剪刀的概率；请注意，对于每个玩家，所获得的总SCORE的期望值为0。也就是说，如果Alicedoes事先不知道Bob的选择，他们两人都不会赢（因为有足够多的试验），而且他们的预期是平局的。然而，如果Bob选择的概率不相等（例如，（rB，pB，sB）=（2/3，1/6，1/6）），那么Alice sho可以选择（rA，pA，sA）=（0，1，0）。在这种情况下，Alice的预期总165Acquired分数为150。

一般来说，即使Alice事先不知道Bob的选择，但如果她知道Bob选择的可能性，她也可以通过这样一种方式进行选择，以最大化她的预期分数。（b） 爱丽丝事先知道鲍勃的选择。现在我们来考虑一下，在了解Bob将展示什么之后，Lice做出了选择。她的目标是最大化她对总分的期望。加上训练，她的期望总成绩将大于0；如果没有限制，它将是300。（c） 石头、布和剪刀的选择次数受到限制。我们现在考虑这样一种情况：爱丽丝的选择是重新组合的；例如，它们必须选择相同次数175（即100次）。在这个约束条件下，对于案例（a）（Alice事先不知道Bob的选择）来说，acquire d的预期总分是0，但是对于案例（b）（Alice事先知道Bob的选择），它是500/3。也就是说，如果她有先验知识，她可以采取保护措施。（d） 五套300色离子。最后，我们考虑两个受试者180玩五套300 ga mes的情况。如果Alice事先不知道Bob的选择，则此处预期的acquire d总分再次为0。如果她有事先的知识，并且没有限制，她的预期分数是1500分。如果存在这样的限制，Alice每次都必须做出相同的选择，那么她对案例（a）的预期分数为0（Alice事先不知道Bob的选择），但对案例185（b）的预期分数为5000/9（Alice事先知道Bob的选择）。