期权定价的最小二乘法再探讨

在本节中，我们将使用类似于[7]中介绍的符号和方法，但适用于我们限制性较小的假设。假设（Xt）Tt=0是概率空间上的离散时间d维随机过程(Ohm, F、 P），其中xB为常数。该过程旨在代表我们希望评估的美式期权的基础资产价格。设X=（X，…，XT）：Ohm -→ 对于t=1，…，设Ft=σ（X，…，Xt）=σ（X，…，Xt），T给定一个Borel函数族ft:Rd×（t+1）-→ R+，其中t=0，T、 我们定义Zt=ft（X，…，Xt）fort=0，T这个序列代表我们想要考虑的期权的适当折扣内在价格。这种功能的一般选择充分展示了美式看跌期权的潜在适用性。接下来，我们需要为与X相关的过滤选择一个可接受的投影系统。这相当于为每个t选择∈ {1，…，T}一个合适的Borel函数序列qkt:Rd×T-→ R、 k在哪里∈ N、 只依赖于第一个t列变量，并且序列{qkt（X）}k∈空间中的线性稠密和线性无关(Ohm, σ（X，…，Xt），P）。然后，我们可以选择一个递增的整数序列（km）m∈N、 例如空间Vmt=Lin{qkt（X）：k=1，…，km}和正交投影Pmt:L(Ohm, σ（X），P）-→ 我拥有所有合适的财产。符号“Lin”表示给定向量集的线性发展。如果停车时间τ[m]如前一节所述定义，则对于某些αmt∈ Rkm×1wehavePmtZτ[m]t+1= emt（X）αmt，其中由公式emt=（qt，…，qkmt）给出的映射emt:Rd×T-→ Rkm。

考虑到我们的假设，emt（X）（关于内积（Y，Y））的分量的Gram矩阵7→ E[YY]），即矩阵Amt=hEhqit（X）qjt（X）ii1≤i、 j≤公里∈ Rkm×km是可逆的，因此αmt=（Amt）-1.EZτ[m]t+1qt（X）...EZτ[m]t+1qkmt（X）.给定一个数字N，下一步需要使用蒙特卡罗模拟生成独立的轨迹X（N）=X（n），X（n）T∈ 对于过程X，对于n=1，2，N.每个计算都有固定的起点X（N）=X∈ Rd×1。定义Z（n）t:=ftX（n），X（n）tletbZt=hZ（1）t，Z（N）ti*∈ RN×1。该列向量仅由过程Z的所有模拟轨迹在时间t的值组成。定义alsoV（m，N）t=Linqkt（X（1））。。。qkt（X（N））: k=1，公里 RN×1和p（m，N）t=ProjV（m，N）t:RN×1-→ RN×1关于内积hx，yiN，其中hx，yi表示标准标量积。注意v（m，N）t=Lin矩阵的列emt（X（1））。。。emt（X（N））∈ RN×km RN×1。如果我们通过让τ[m]T=T和公式τ[m]T=t1{Zt来定义停止时间τ[m]tb≥Pmt（Zτ[m]t+1）}+τ[m]t+1{Zt<Pmt（Zτ[m]t+1）}，t=1，T- 1，那么对于一些αmt∈ Rkm×1我们有PMTZτ[m]t+1= emt（X）αmt。类似地，如果我们通过要求τn，m，NT=Tand来定义近似的停止时间τn，m，NT，将τn，m，NT=t1Z（n）t≥πnP（m，N）t（bZτN，m，Nt+1）+ τn，m，Nt+1Z（n）t<πnP（m，N）t（bZτN，m，Nt+1）,对于t=1，T- 其中πn:RN×1-→ R是在第n坐标上的投影，对于某些α（m，n）t∈ Rkm×1我们有p（m，N）tZ（1）τ1，m，Nt+1。。。Z（N）τN，m，Nt+1=emt（X（1））。。。emt（X（N））α（m，N）t.设A（m，N）t表示与矩阵列相关联的（km×km）-Gram矩阵emt（X（1））。。。emt（X（N））,（关于内部产品Hx，yiN）。

这就是给定样本的Gram矩阵估计。那么α（m，N）是方程a（m，N）tα（m，N）t=N的解emt（X（1））。。。emt（X（N））*Z（1）τ1，m，Nt+1。。。Z（N）τN，m，Nt+1.根据大数定律A（m，N）ta。s-→ 阿姆塔斯N→ ∞, 因此对于足够大的矩阵A（m，N）是可逆的（几乎可以肯定）。在这种情况下，α（m，N）t=NA（m，N）t-1.emt（X（1））。。。emt（X（N））*Z（1）τ1，m，Nt+1。。。Z（N）τN，m，Nt+1.为了方便起见，我们将写αm=αm，αmT-1.和α（m，N）=α（m，N），α（m，N）T-1.. 两个项目均为km×（T- 1） -矩阵。下一个定理是[7]中定理3.2和引理3.2的直接推广。定理3.1。使用上述符号，如N→ ∞,NNXn=1Z（n）τn，m，Nta。s-→ EhZτ[m]ti，t=1，证明：定义Bt={（am，z，x）：zt<emt（x）amt} Rkm×（T）-1） 对于t=1，T-1，式中am=（am，…，amT）-1） x，z=（x，z=）。Bctwe表示Bt的补码。我们定义了一个辅助函数Ft:Rkm×（T-1） ×RT×Rd×T-→ R、 通过递归，将FT（am，z，x）=zt和FT（am，z，x）=ztBct+FT+1（am，z，x）1Btfort=1，T- 1.很容易看出ft（am，z，x）=ztBct+T-1Xs=t+1zsBt∩...∩学士学位-1.∩Bcs+zTBt∩...∩英国电信-1对于t=1，T-1.此外，Ft（am，z，x）独立于am，金额-1，Ft（αm，Z，X）=Zτ[m]和Ft（α（m，N），Z（N），X（N））=Z（N）τN，m，Nt。对于t=2，定义另外两个辅助功能G（am，z，x）=Ft（am，z，x）emt-1（x）和ψt（am）=E[Gt（am，Z，x）]。使用这个符号，我们可以看到，对于t=1，T- 1：αmt=（金额）-1ψt+1（αm）；（1） α（m，N）t=（A（m，N）t）-1NNXn=1Gt+1（α（m，N），Z（N），X（N））。（2） 下面的估计是[7]中引理3.1的高维对应物，可以沿着与该引理相同的线推导：|Ft（a，z，x）-英尺（a，z，x）|≤TXs=t | zs |“t-1Xs=t{| zs-ems（x）~as|≤|ems（x）| k | as-问}#，（3）在哪里≤ T≤ T-1，a=（a。

在-1) ∈ Rkm×（T）-1） ，a=（~a，…，aT.）-1) ∈ Rkm×（T）-1） ，z∈ R和x∈ Rd×T.使用（1,2,3），并在技术假设P（emt（X）αmt=Zt）=0的情况下，可以很容易地修改[7]中的推理，以在我们更一般的设置中工作。一般来说，通过使用具有概率“可忽略”的函数逼近合同函数，并通过引入干扰Xt概率分布的少量随机噪声，可以满足这一附加技术要求。理论2。3和3.1根据需要提供了近似E[Zτ]的方法，因此也提供了U=max（Z，E[Zτ]）。4示例在本节中，我们展示了上述最小二乘算法的三个应用示例。第一个例子包括以欧洲美元期货为基础的美式看涨期权和看跌期权，这些期权被认为符合Brace Gatarek Musiela模型[2]。接下来，我们在标准的二元布朗动力学下，对EUROSTOXX50和DAX指数的一篮子和双重行使美式看跌期权进行定价。最后，我们展示了如何为单变量美式看跌期权定价，包括EUROSTOXX50和DA X指数，假设可以使用Heston-Nandi-GARCH（1,1）模型[12]来表示基础的动态。我们决定不包括收敛速度分析，因为它会使演示的样本更加复杂（例如，适当的方差减少技术对于任何市场实施都是至关重要的一步），而不会对本文得出的结论增加太多内容。我们参考文献[7,1]和其中的参考文献，详细分析了单变量马尔可夫情形下的收敛速度。为了透明，我们仅使用标准模型进行参数估计和蒙特卡罗模拟。

特别是，仅将标的物的价格用于校准目的，未实施蒙特卡罗方差缩减技术。然而，我们给出了每个例子（见图2、图4和图5）的模拟价格（平滑）密度函数，以便对我们实现的准确性有一些了解。应该注意的是，虽然我们的例子相当简单，但精确度似乎令人满意。这让我们对期权定价的最小二乘算法持乐观态度，即使是在基础动态复杂且理论价格未知的情况下。我们对最小二乘算法的实现是基于金钱上的实现，以加快收敛速度并减少实现高效精度所需的多项式数量。值得一提的是，在现实世界的模型中，为了提高算法的收敛速度和速度，可以使用市场上提供的其他信息（例如，基于相同基础工具的各种衍生工具的价格）以及标准蒙特卡罗算法的各种修改（对于更高级的模型，参见[1]或[10]及其参考文献）。所有计算均使用R2.15.2（64位）完成。我们特别使用了Libraries选项（用于Heston-Nandi参数校准、CRR价格和蒙特卡罗模拟）、orthopolynom（用于L-S算法中的不同基函数），timeSeries（用于市场数据处理）和Rsge（用于并行计算）。4.1欧元美元期权在本小节中，鉴于欧元美元期货的实际市场日价格，我们使用最小二乘算法对具有不同执行价格的一年欧元美元期权和看涨期权进行定价。需要注意的是，当期权价格基于一个以上的伦敦银行同业拆借利率（例如。

当期权的有效期超过3个月时）。这是因为连续时间间隔内的远期利率相互关联，在相同的即期风险中性度量下，不可能全部为对数正态。因此，标准风险中性环境下的此类工具模型基于非马尔可夫动力学。A.Brace、D.Gatarek和M.Musiela[2]提出了一个模型，通过利用无远期套利风险中性度量来克服这种不便（BGM模型）。在文献中，它也被称为伦敦银行同业拆借利率市场模型（LMM）。值得一提的是，BGM模型中描述的利率动态与Heath Jarrow Morton（H JM）模型密切相关。接下来，我们将简要介绍BGMmodel，然后介绍有关最小二乘算法设置的一些基本信息。4.1.1支架-Gatarek Musiela模型。Brace-Gatarek-Musiela模型是利率时间演化的惊人模型。我们将在这里模拟伦敦银行同业拆借利率期货的（蒙特卡洛）路径。现在，我们将概述一个适用于SOUR框架的简化模型，并对估算过程进行一些评论。设T=0，Ti=Ti-1+表示i=1,2,3,4。实际上，连续欧元期货的到期日期与90天略有不同。这可能会对结果产生潜在影响，尤其是当我们考虑短期选择时。然而，我们将使用理论值来简化。让Lbe设定一个s pot LIBOR利率，然后让Li:[0，Ti]×Ohm → R是第i个伦敦银行同业拆借利率。

假设有d个随机性来源，第i个伦敦银行同业拆借利率的动态可以用对数Li（t）表示=iXj=i（t）δjLj（t）1+δjLj（t）σj（t）-σi（t）σi（t）dt+σi（t）dWQSpot（t），其中t∈ [0，Ti]，δi=Ti+1- Ti=3/12是第i个LIBORforward利率的应计期长度，σi（t）：[0，Ti]×Ohm → RDI是第i个LIBOR远期利率的瞬时波动率，i（t）表示债券指数（对应于适当的欧洲美元期货），该指数在时间t第一次到期，最后，WQSpot（t）是LIBOR即期度量QSpot下的标准（d维）布朗运动（详见[13]）。在此，我们假设随机性的来源彼此独立，并且适当的依赖结构用σi建模。对于蒙特卡罗模拟，我们将使用上述SDE的标准欧拉分解，以及时间步长t=，即。 罗莉（t）=iXj=i（t）δjLj（t）1+δjLj（t）σj（t）-σi（t）σi（t）t+σi（t）t√t、 （4）在哪里~ N（0，I）是一个d维标准正态分布随机向量。在我们的实现中，我们将使用d=3。为了校准模型，我们需要定义函数σi（t），对于i=1,2,3,4。我们假设σi（t）（对于i=1，2，3，4）是时间齐次的，即存在一个函数λ=（λ，λ，λ）：[0，t]→ r如σi（t）=λ（Ti- t） 对于t∈ [0，Ti]和i=1,2,3,4。我们将提供i=1、2、3、4的λ（Ti）值，并假设t的λ（t）=λ（Ti）∈ [Ti-1.Ti]。我们将对欧洲美元期货数据应用主成分分析（PCA），以近似4×3矩阵∧=[λj（Ti）]的值。换句话说，我们的估算过程基于欧洲美元期货之间的相关性。校准PCA的困难在于，欧洲美元期货有固定的到期日，因此对于给定的T，我们只能每三个月监控波动率λ（T）的合同一次。

为了克服这个问题，我们将使用欧洲美元期货报价的线性插值（这实际上是一种常见的市场实践）。需要注意的是，我们需要Lprices来执行这种插值。使用欧洲美元期货价格的方法，我们获得每个交易日t的波动率为λ（Ti）（i=1,2,3,4）的合同值。我们还使用市场不运行日的远期伦敦同业拆借利率线性插值（即，我们使用相关日期前最后一个交易日和后一个交易日的已知报价来插值合同价格）。基于这一假设，为了进行PCA和估算σi（fori=1,2,3,4），我们需要（每天）最接近交割的五个欧洲美元期货的价格。现在让我们来评论PCA估计过程。我们假设λj（Ti）=Θisjαi，jqPdk=1skαi，k，对于i=1,2,3,4和j=1,2,3。这里，sj表示由PCA计算的第j个因子的方差（带s≥ s≥ s） ，αi，j当到期时间在[Ti]期间时，测量第j因子的影响-1，Ti]和Θi:=Pj=1sjαi，jis为第i个周期内的总波动率。我们还假设这些因素是不相关的，每个因素的相对影响为1（即对于j，j∈ {1,2,3}我们有piαi，jαi，j=0，如果j6=jandPiαi，jαi，j=1，如果j=j）。结合（4）和PCA中的参数，我们将能够模拟欧洲美元期货路径。4.1.2设置、数据细节和最小二乘法参数。我们希望对季度欧洲美元-美国看涨期权和看跌期权EDZ2（以Globex表示的GEZ2；这意味着基础工具是2012年12月的欧元-美元期货）定价。EDZ2的首次交易日为2010年12月13日，到期日为2012年12月17日。

我们将估算2011年12月20日至2012年1月20日期间的所有此类看跌期权和看涨期权的价值，不同的执行价格从98.00到99.75不等。虽然美式看涨期权的价值可以在不使用最小二乘法的情况下进行计算，因为它们与欧洲看涨期权一致，但无论如何，我们都会计算它们，以便更深入地了解参数是如何与市场数据相匹配的。换句话说，我们希望从经验上检查市场价格和计算价格之间的差异是否是由于模型参数不匹配造成的，或者是由于最小平方算法的准确性问题造成的。出于校准目的，我们将使用欧洲美元期货的每日收盘价和短期伦敦银行同业拆借利率。给定一个日期t，我们将使用与期权到期时间相同的时间段（即，如果期权有效期为300天，那么我们将使用时间t之前的最后300天数据来校准我们的模型）。最小二乘算法需要几个输入。作为生成“关于过去的信息”的函数，我们使用不大于3次的标准指数加权拉盖尔多项式。我们的实现基于使用（4）得到的左值的蒙特卡罗模拟。该算法还需要两种情况下的利率公式（用于贴现）。首先，将期权的价值从一个周期贴现到另一个周期（在递归逐步部分）。其次，计算期权的最终价格（即将每次模拟的最优价格贴现到时间T=0）。虽然第二个利率可能与标准的s pot LIBOR利率相关联，但第一个利率必须基于ass ets的演变（即。

对于蒙特卡罗运行中的每一条路径，必须分别估算当时的即期汇率（计算欧洲美元合同的价格）。4.1.3估算和数值结果。在本小节中，我们给出了2011年12月20日的详细估算结果。在考虑的所有剩余天数内，也进行了类似的程序。假设Gatarek Musiela动态，并考虑到2010年12月26日至2011年12月20日期间的欧洲美元期货收盘价，我们进行了PCA并获得0.024063776 0.033758193 0.040538115 0.0430335550.024267981 0.018222734 0.007111945 -0.0048463720.007801289 -0.001039692-0.006052515-0.004629562作为∧的估计。为了对具有不同执行价格且交割日期为2011年12月20日的多个看跌期权和看涨期权进行定价，我们生成了1000个大小为10000的蒙特卡罗模拟，并使用最小二乘算法获得了不同执行价格的估计期权价格。结果如表1所示。执行价为99.50的欧洲美元看跌期权和看涨期权价格的蒙特卡罗分布如图2所示。图1显示了100条蒙特卡罗路径的示例，以及该过程的实际实现。从2011年12月21日到2012年1月20日的所有日子都进行了类似的分析。在此期间，EDZ2是第四个最接近欧洲美元期货的交割点。在图3中，我们可以看到原始看跌期权和看涨期权价格的动态，样本指1000次模拟（每个模拟规模为10000次）以及执行价格为99.50的看跌期权和看涨期权的上下5%分位数。期权模拟价格的平均值和标准偏差值，以及相应的期权市场价格，见表2。