期权定价的最小二乘法再探讨

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英文标题：
《The least squares method for option pricing revisited》
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作者：
Maciej Klimek, Marcin Pitera
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  It is shown that the the popular least squares method of option pricing converges even under very general assumptions. This substantially increases the freedom of creating different implementations of the method, with varying levels of computational complexity and flexible approach to regression. It is also argued that in many practical applications even modest non-linear extensions of standard regression may produce satisfactory results. This claim is illustrated with examples.
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中文摘要：
结果表明，即使在非常一般的假设下，流行的期权定价最小二乘法也收敛。这大大增加了创建不同方法实现的自由度，具有不同的计算复杂度和灵活的回归方法。也有人认为，在许多实际应用中，即使标准回归的适度非线性扩展也可能产生令人满意的结果。举例说明了这一主张。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> The_least_squares_method_for_option_pricing_revisited.pdf (512.42 KB)

2022-5-6 04:14:16 上传

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关键词：最小二乘法 最小二乘 期权定价 Applications Quantitative

期权定价的最小二乘法*Marcin Pitera+2018年8月28日摘要研究表明，即使在非常一般的假设下，流行的期权定价最小二乘法也收敛。这大大增加了创建不同方法实现的频率，计算复杂度和灵活的回归方法各不相同。也有人认为，在许多实际应用中，即使标准回归的适度非线性扩展也可能产生令人满意的结果。这一主张以实例加以说明。关键词：最小二乘期权定价，斯奈尔包络，最优停止，条件期望近似，美式期权，基本期权，蒙特卡罗模拟，伦敦银行同业拆借利率市场模型，赫斯顿-南迪模型。2010年理学硕士：小学-91G20、91G60、93E24；二级-60G40，62J02。1简介十多年来，金融从业者广泛使用了所谓的美国期权定价最小二乘法的几种变体，同时研究人员也对其进行了研究。这种方法的起源可以在卡里雷[5]、齐齐克利斯、范·罗伊[23]（另见[22]）、朗斯塔夫、施瓦茨[17]和克莱门特、兰姆·埃尔顿、普罗特[7]的著作中找到。基本上，该方法寻求一种近似估值过程中所需的条件预期的方法，如[17]和[7]所示，或者通过[23]所示的价值函数间接进行。[7]从方法收敛的角度研究了[17]中算法的修改。

随后，关于这一主题的几篇论文发表了——我们将仅提及其中与本文相关的几篇。Glasserman和Yu[11]在2004年研究了类最小二乘法的收敛性，其中基本上，必要的条件期望通过逼近函数的线性组合来逼近。更具体地说，他们研究了当近似函数的数量和*瑞典乌普萨拉大学数学系，邮政信箱480，75106乌普萨拉；电子邮件：Maciej。Klimek@math.uu.se+ul贾吉隆大学数学研究所。Lojasiewicza 6，30-348克拉科夫w波兰；电子邮件：Marcin。Pitera@im.uj.edu.plof模拟轨迹增加。他们假设其基础是一个多维马尔科夫过程。从实用的角度来看，比较悲观的结果是，对于作为近似函数的多项式和作为底层的常规（分别为几何）布朗运动，所需路径的数量可能会在多项式的阶数（分别为阶数的平方）上呈指数增长。Glasserman和Yu指出，类似的性质也适用于更一般的近似函数（近似函数的数量取代了最大度）。也是在2004年，Stentoft[21]分析并扩展了[7]中给出的收敛结果。特别是，他考虑了根据模拟区域的数量选择最佳回归数的问题。2005年，Eglo off[9]提出了对原始Longsta off-Schwartz[17]和Tsitiklis Van Roy（[22]，[23]）算法的扩展，将多维离散时间马尔可夫过程的最优停止问题作为广义统计学习问题来处理。他的结果也改进了[7]中的结果。

Eglo off评论说，尽管最小二乘算法在一些实际计算中的性能非常好，但对这些程序中涉及的统计量的精确估计可能很困难，导致在其他情况下的性能不太令人印象深刻。Zanger[24]在2009年提出了最小二乘法的另一个扩展，将信息空间的任意子集视为近似集。他还得出了一些新的、有趣的收敛结果，特别表明有时可以避免时间步数的指数依赖性。应该提到的是，最小二乘法也可以被视为Broadie和Glass-erman提出的随机网格框架的一部分（[3]、[4]；另见[16]和[10]）。还应该注意到，上述文章似乎有两个共同特点。首先，假设底层是马尔可夫的。其次，从计算角度来看，该方法的收敛速度并不令人鼓舞。在本文中，我们将Clément、Lamberton、Protter方法[7]推广到一个相当一般的回归设置，以逼近条件期望。此外，从自然的角度来看，底层不必是马尔科夫式的，而且报酬可以是路径依赖的。虽然马尔可夫性的缺乏可以通过其他方式很容易地避免，但这总是意味着额外的计算成本。显然，通过更好地逼近条件期望，潜在的计算复杂度会显著增加。然而，放松假设的主要优点是增加了定制方法的自由度。此外，我们想说的是，最小平方方法应该被视为一个通用框架，导致各种特定的实现。

主要原因在于，在许多有趣的情况下，条件期望的信息空间，或者换句话说，它的范围是有限维的。不可避免地，在这些情况下，条件期望的任何近似值，或取决于条件期望的值函数，都必须包含显著限制性的外部假设，以使实际计算成为可能。虽然一般的收敛结果对于激发整体方法是必要的，一些计算复杂性可能会按照[19]的思路解决，但未来的发展很可能会朝着简化时间序列模型的方向发展。完全可以想象，现实主义和数值效率的另一个来源可以利用时间序列分析和框架理论的先进性（见例[14]）。这种推测的经验基础来自这样一个事实：在许多实际问题中，即使只采用f-ewnon线性回归，有时忽略马尔可夫性的缺乏，从实际角度来看，也可能得到令人满意的结果。金融业似乎有很多轶事证据支持上一个说法，在本文中，我们以三个实证例子的形式提供了进一步的佐证证据。材料组织如下。导言之后是对经典Dobrushin-Minlos定理结果的简短回顾，该定理可以导致条件期望的可行数值近似。在回顾了斯奈尔包络在美式期权定价中的应用之后，我们证明了Clément、Lamberton和Protter[7]提出的方法可以扩展到美式s型期权的情况，并采用一种非常通用的回归方法。该设置包括路径依赖型薪酬和非马尔可夫多维薪酬。

接下来是三个计算实例，说明了该方法在相当严格的假设下的可行性。首先，我们介绍了一年期欧洲美元看跌期权和看涨期权的定价，以及不同的执行价格。然后，我们使用最小二乘法对1.5个月的美式看跌期权进行定价，其支付函数取决于两个市场指数，即DAX和EUROSTOXX50。最后，我们使用Leatsquares算法对两个1.5个月的美式看跌期权进行定价，其支付函数基于一个单一市场指数，假设其基础可以用Heston-Nandi-GARCH（1,1）模型来描述[12]。同样，我们将使用EUROSTOXX50和DAX指标作为各自的基础工具。2条件期望的近似在本节中，我们将介绍一些基本的符号，并回顾Dobrushin和Minlos[8]的一个经典结果，该结果为通过所谓的可容许投影系统近似条件期望提供了动力，以及一个实用方法的选择。DodrushinMinlos定理展示了这种近似的一个具体例子，但当然存在许多具有相同性质的非多项式构造。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间。由于我们将只处理有限方差的随机变量，我们可以依靠希尔伯特空间几何来解决感兴趣的问题（见[20]）。闭子空间S L(Ohm, F、 P）如果包含常数，则称为概率，且关于取其两个元素中的最大值，即如果X，Y∈ S、 然后X∨ Y∈ S.对于任何非空集合X L(Ohm, F、 P），其晶格包络Latt（X）被定义为L的最小概率子空间(Ohm, F、 P）包含X。此外，如果X={X。

，Xn}和bn表示Rn中Borel集的σ-代数，那么就不难证明Latt（X）=L(Ohm, σ（X），P）=L(Ohm, （X，…，Xn）-1（Bn），P）。后者有时被称为X生成的信息空间，Xn。即使X仅由一个标量随机变量组成，Latt（X）通常是有限维的。由于它也是正交投影E[·| X，…，Xn]的范围，因此从数值角度来看，希望能够使用可用的最小二乘算法，通过投影到更小的有限维向量空间来近似此类投影。然而，通过对有限维子空间的投影来近似有限维范围内的正交投影，使得大多数误差估计无效，除非投影对象的性质事先已知。为了构造条件期望的有限维近似，可以使用以下定理，这是Dobrushin和Minlos[8]的结果的一个轻微的重新表述。定理2.1。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，且α>0。设pn表示n个实变量的所有多项式的空间。如果X，随机变量，比如e | Xj|∈Lα(Ohm, F、 P）F或j=1，n、 然后：（a）P（X，…，Xn）∈ Lp(Ohm, F、 P）F或任何多项式P∈ PNP和p∈ [1, ∞);（b） 向量空间{P（X，…，Xn）：P∈ Pn}在Lp中是稠密的(Ohm, σ（X，…，Xn），P）对于每个yp∈ [1, ∞).应该注意的是，如下面的例子所示，与（a）部分的相反是错误的。例2.2。设n=1，设Xbe是一个离散值随机变量，其概率质量函数p[X=m]=mln-mP∞m=1mln，m∈ N.因为任何问题≥ 1和α>0∞Xm=1mqmln m<∞ 和∞Xm=1eαmmln m=∞ ,定理2中的性质（a）。1表示满意，但e | X | 6∈ Lα(Ohm, F、 P）。

如果概率测度P有一个有界支撑，则Dobrushin-Minlos定理的假设是微不足道的。事实上，在这种特殊情况下，定理的结论直接来自Stone Weierstrass定理。也很容易看出，如果X是高斯分布，那么e | X|∈ L.然而，如果X为对数正态分布，则其力矩生成函数在区间（0，∞) 因此eα| X | 6∈ 对于所有α>0的情况，均为Lα。在具体应用中，条件e | X|∈ Lα有时可以通过改变| X |的“非常大”值的概率分布来实现。例如，这可以通过截短概率分布或直接衰减随机变量X来实现。另一种可能性是使用合适的权函数。在这种情况下，DubrushinMinlos定理可用于证明在与雅可比、加根鲍尔、勒让德、切比雪夫、拉盖尔和埃尔米特的名字有关的平方可积函数空间中构造几个经典多项式基的密度部分（见例[6]）。设V是由随机变量X生成的信息空间，Xn。假设可以提供一系列Borel函数qm:Rn-→ R、 和m∈ N、 使得集合{qm（X，…，Xn）：m∈ N} 在V中是线性稠密的（例如借助于Dobrushin-Minlos定理）。条件期望算子E[·| X，…，Xn]是线性空间上投影序列Vm={qk（X，…，Xn）：1的逐点极限≤ K≤ m} 作为m∞.这一观察结果引出了容许投影系统的一个辅助概念。给定离散时间过滤{, Ohm} = F F . . .  英尺 概率空间中的F(Ohm, F、 P），我们将一个可容许投影系统定义为一系列正交投影Pmt:L(Ohm, F、 P）-→ L(Ohm, F、 P），其中t=1，T和m∈ N、 有射程 及物动词 及物动词 . . .

，其结合在L(Ohm, Ft，P）。注意，对于任何这样的系统和任何固定的t，我们得到了投影Pmtto E[·| Ft]的逐点收敛。然而，这不是范数收敛，除非子空间的基本序列在经过无数步后变得恒定。众所周知，斯奈尔信封在离散时间模型中的美式看跌期权估值中很有用（参见[18]，第127页）。它们还提供了租赁方期权定价算法的主要理论成分，这是本文的主要主题。Nell信封的标准使用可以很容易地扩展，为更通用的美国式期权提供定价算法，即允许在到期前的任何时间执行，但支付模式多种多样的期权。对于给定的概率空间(Ohm, F、 P），设（Ft）Tt=0为过滤，其中F={, Ohm} 假设自适应随机过程（Zt）Tt=0是可积的。人们可以将（Zt）视为内在价值过程，即在时间t执行某些美式期权的（贴现）价值。将（Zt）的斯奈尔包络定义为t的适应过程Utsuchthat UT=Zt和UT=max（Zt，E[UT+1 | Ft]）∈ {0，…，T-1}. 与（Zt）给出的支付相关的期权价格相关的价值uC。实际上（Ut）可以看作是动态规划原理在最优停止问题sup{EZν：ν中的应用∈ CT}，其中CT表示所有停止时间的集合，其值在集合{0，1，…，T}中（参见[15]和其中的参考文献，了解Snell enve lopes的基本属性和pricingAmerican样式选项的应用）。动态规划原理也可以根据停止时间序列（τt）重写，通过将τt=t和τt=t1{Zt递归定义≥E[Zτt+1|Ft]}+τt+1{Zt<E[Zτt+1|Ft]}，t=1。

T- 1.特别地，我们得到Ut=E[Zτt | Ft]，因此τ是（Zt）的最佳值。Snell包络的任何数值实现中的关键元素是逼近条件期望算子的能力。除了有限的情况，我们必须在有限维空间内处理随机变量。这里似乎需要进行一些解释。给定一个容许投影系统（Pmt），对于固定的m∈ N我们通过递归定义停止时间τ[m]T，将τ[m]T=T和τ[m]T=t1{Zt≥Pmt（Zτ[m]t+1）}+τ[m]t+1{Zt<Pmt（Zτ[m]t+1）}，t=1，T- 1.然后，以下定理推广了Clément、Lamberton和Protter的一个结果（见[7]中的定理3.1]：定理2.3。如果（Pmt）是一个容许投影系统，那么limm→∞EhZτ[m]t | Fti=E[Zτt | Ft]对于t=1，证明：尽管我们在这里采用了更一般的设置，但我们可以使用Hilbert s空间中投影的标准性质，并按照[7]进行。显然，上述考虑对于向量值随机过程仍然有效。3期权定价的最小二乘法假设过滤是由离散时间多元随机过程生成的，我们将展示如何使用蒙特卡罗方法以数值方式近似给定自适应过程（Zt）的最佳停止值f，即如何近似该过程的斯奈尔包络（Ut）。要做到这一点，给定一个可容许的投影系统，我们基本上需要近似地计算m的EhZτ[m]tif∈ N、 由于理论2。以及U=max（Z，E[Zτ]）的事实。在下文中，我们将用Rm×nw表示所有实（m×n）-矩阵的集合，其约定为Rm=R1×m。