期权定价的最小二乘法再探讨

我们选择了执行价99.50，因为平均交易量在考虑期内最高。有趣的是，与该执行价格相对应的估计价格始终高于市场价格（见表2），这可能是由于期权交易特别活跃（见表1，其中市场价格在大多数情况下低于估计价格）。还应注意的是，表1中的σ值在履约价格等于99.50时最高，这可能解释了该履约价格对期权的兴趣。4.2篮子和双重行使期权在本小节中，我们将使用最小二乘算法对1.5个月篮子和双重行使美利安看跌期权进行定价，其支付函数基于两个市场指数，即DAX和EUROSTOXX50。为了简洁起见，后者将用符号EUR表示。我们假设基础工具遵循标准的二元布朗动力学。不幸的是，双变量期权通常是场外交易（OTC）工具，因此很难找到此类期权的市场数据。然而，我们可以与0 20 40 60 80 10097.0 97.5 98.0 98.5 99.0 99.5 100.0日价格0 50 100 150 200 250 30097.0 97.5 98.0 98.5 99.0 99.5 100.0日价格进行部分比较。图1：Lcontact（2011年12月20日）的100条蒙特卡罗路径示例，以及前100天和300天的实现路径（红色）。0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.370 10 20 30 40 50 60 70期权价格密度市场平均价格0。03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.100 100 200 300 400期权价格平均MCMarket价格图2:2011年12月20日看跌期权（左）和看涨期权（右）模拟价格的平滑密度，执行价99.50。

分布基于1000次蒙特卡洛跑步，每次10000次。基于DAX和EUR的相关一维标准美式看跌期权。就像前面的例子一样，我们从一些背景信息开始。4.2.1 DAX和EUROSTOXX50指数。基于DAX和EUR的单变量标准美式期权在欧洲交易所交易。事实上，基础不是指数，而是交易所交易基金（ETF），它们在德国证券市场（Deutsche B"orse Group）活跃交易。DAX指数和欧元指数高度相关，主要是因为它们的篮子中包含了一些普通股。2012年10月23日至2013年1月8日期间，皮尔逊线性相关系数的估计值为0.920。这些指数之间可能会发生一些传染，但在如此短的时间内，这一点可以忽略不计。一般来说，传染问题可以通过采用具有不同动力学（例如多元GARCH变化）的模型来解决。SuchTable 1:2011年12月20日欧洲美元期权的估计价格，基于1000个模拟（每个大小为10000）。这里u表示通过MC模拟获得的1000个价格的样本平均值，而σ表示样本标准偏差。日期：12月。

20,例如；vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv0.587 0.005898.87 0.155 0.134 0.0061 0.5080.0.0 0.0 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0.0 0.0.0 0 0.0.0 0 0.0.0 0 0.0.0 0.0 0 0.0.0 0 0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.26 Jan 02 Jan 09 Jan 160.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40日期输入期权价格平均MC价格市场价格MC数量12月19日12月26日1月02日1月09日1月160.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40日期看涨期权价格平均MC价格市场价格MC数量图3：2011年12月20日至2012年1月20日期间，看跌期权（左）和看涨期权（右）价格的估计价格（置信水平为90%）和历史价格，执行价为99.50。该方法与Heston和Nandi期权定价模型[12]密切相关，这是我们将在最后一个示例中采用的方法。表2：基于1000个蒙特卡罗模拟（每个模拟10000美元），执行价为99.50的欧洲美元期权的模拟价格和历史价格。

与之前一样，u表示样本平均值，而σ表示从模拟计算的价格的样本标准偏差。日期看涨期权市场价格uσ市场价格uσ2011年12月20日0.340 0.345 0.0110 0.073 0.079 0.0011Dec。2011年12月21日0.3420.349 0.0110 0.070 0.078 0.0011秒。2011年12月22日0.358 0.366 0.0112 0.065 0.074 0.0011秒。2011年11月23日0.3700.382 0.0111 0.058 0.071 0.0011秒。2011年12月27日0.375 0.382 0.0103 0.058 0.066 0.0010。2011年12月28日0.378 0.385 0.0102 0.055 0.064 0.0010。2011年12月29日0.352 0.364 0.0104 0.055 0.068 0.0010。2011年1月30日0.318 0.327 0.0093 0.062 0.076 0.0011。2012年1月3日0.325 0.340 0.0088 0.058 0.072 0.0011。2012年1月4日0.315 0.326 0.0086 0.060 0.074 0.0011。2012年1月5日0.300 0.318 0.0084 0.055 0.076 0.0011。2012年1月6日0.258 0.279 0.0079 0.062 0.086 0.0012。2012年1月9日0.222 0.244 0.0072 0.072 0.095 0.0012。2012年1月10日0.218 0.240 0.0071 0.072 0.096 0.0012。2012年1月11日0.195 0.214 0.0069 0.085 0.105 0.0012。2012年1月12日0.175 0.190 0.0054 0.100 0.115 0.0013。2012年1月13日0.180 0.189 0.0054 0.105 0.115 0.0013。2012年1月17日0.168 0.171 0.0046 0.118 0.121 0.0012。2012年1月18日0.180 0.188 0.0053 0.105 0.113 0.0013。2012年1月19日0.175 0.184 0.0053 0.105 0.115 0.0013。2020120.1820.1910.0054 0.1020.1120.00124.2.2篮下和双击选项。如前所述，篮子期权和双重行使期权主要是场外衍生品。在这个例子中，我们将考虑一个二元美式看跌期权。二元篮子美式看跌期权（1）和双行使美式看跌期权（2）在时间t、f的支付函数由p（1）（t）=max给出K- S（t），K- S（t），0, p（2）（t）=最大值K+K-S（t）+S（t），0,其中，S（t）和S（t）分别是时间t时的第一和第二标的价格，K是执行价格。4.2.3模型设置、数据细节和实施参数。

我们将假设价格过程（S（t），S（t））由二维几何布朗运动建模，过程对数和对数的瞬时相关系数和瞬时标准差分别用ρ、σ和σ表示。我们将基于1 DAX ETF股票和2.5欧元ETF股票（在这两种情况下具有相似的执行价格）构建一个双变量篮子和双执行美国看跌期权。我们将于2013年1月8日对一篮子和双重行使看跌期权进行定价，到期日为2013年3月16日（以使其与现有的单变量期权具有可比性）。期权有效期为49个工作日。第一次和第二次罢工的价格分别为65至75和66至76。为了估算ρ、σ和σ，我们将使用ETF（DE）DAX和ETF（DE）EUROSTOXX50价格的最后50个观察值。为校准目的选择相对较短的时间间隔在实践中非常常见（例如，VIX挥发指数的估计就是这种情况）。与前一种情况一样，最小二乘算法需要两个输入：利率（用于贴现）和适当的基函数。由于期权有效期较短，我们将假设利率为常数，等于r=1.50%（2013年1月8日的欧洲央行利率）。此外，我们将使用以下两个变量的指数加权多项式来执行回归：e，e-xx，e-yy，e-（x+y）xy，e-（x+y）xy，e-（x+y）xy，e-（x+y）xy。4.2.4估算和数值结果。估计（年度化）协方差矩阵给出了ρ=0.920、σ=0.133和σ=0.119的值。利用这些数字，我们进行了100000次蒙特卡罗模拟（每一次都是49次）。接下来，我们使用最小二乘算法计算不同行使价格的篮子和双重行使美式看跌期权的价格。

我们还计算了基于1 DAX ETF股票和2.5欧元ETF股票的单变量美式看跌期权的最小二乘价格。除了市场数据外，我们还根据Cox-Ross-Rubinstein模型（CRR）给出了理论价格，因为在没有交易的情况下，Urex交易所使用该模型来报价期权价格。值得注意的是，美式看跌期权的交易量非常低，因此很不幸，市场价格仅用于比较。此外，最小二乘法价格应与RR价格进行比较，而不是与市场价格进行比较（因为它是在资产动态的兼容假设下计算的）。价格（通过单次100000蒙特卡罗运行获得）见表3。名为DAX和EUR的列表示标准的单变量看跌期权（即分别以1 DAX ETF和2.5 EUR ETF股票作为标的）。我们还进行了多次卡洛跑动（1000次），每一次都是10000码的篮筐跑动和双前锋跑动，进攻价格K=K=70。相应的蒙特卡罗密度函数如图4所示（这可以提供有关模型和/或蒙特卡罗偏差的一些信息）。4.3赫斯顿-南迪模型在最后一个示例中，我们将使用最小二乘算法对两个1.5个月期美国看跌期权定价，其支付基于单一市场指数。我们将使用前面示例中的数据，即我们将对DAX和欧元指数上的期权进行定价。我们将假设表3：根据历史股市数据、CRR模型和最小二乘算法得出的期权价格。

这里S=（68.05,69.72），r=1.50%，T=49/252，σ=0.133，σ=0.119，ρ=0.920。执行价市场价格CRR价格最小二乘价格DAX EUR DAX EUR DAX EUR DAX EUR DAX篮子双执行价65。0 66 0.58 0.34 0.45 0.25 0.44 0.24 0.31 0.4667.5 66 1.50 0.34 1.25 0.25 1.23 0.24 0.59 1.2370.0 66 3.10 0.34 2.67 0.25 2.63 0.24 1.00 2.6572.5 66 5.15 0.34 4.63 0.25 4.62 0.24 1.58 4.6275.0 66 7.53 0.34 6.95 0.25 6.95 0.24 2.33 6.9565.0 68 0.58 0.85 0.45 0.69 0.44 0.67 0.52 0.7267.5 68 1.50 0.85 1.25 0.69 1.23 0.67 0.91 1.2770.0 68 3.10 0.85 2.67 0.69 2.63 0.67 1.45 2.6572.5 68 5.15 0.85 4.63 0.69 4.62 0.67 2.17 4.6275.0 68 7.53 0.85 6.95 0.69 6.95 0.67 3.04 6.9565.0 70 0.58 1.74 0.45 1.52 0.44 1.49 0.82 1.5067.5 70 1.50 1.74 1.25 1.52 1.23 1.49 1.33 1.6470.0 70 3.10 1.74 2.67 1.52 2.63 1.49 2.01 2.6772.5 70 5.15 1.74 4.63 1.52 4.62 1.49 2.86 4.6275.0 70 7.53 1.74 6.95 1.52 6.95 1.49 3.85 6.9565.0 72 0.58 3.00 0.45 2.79 0.44 2.75 1.22 2.7667.5 72 1.50 3.00 1.25 2.79 1.23 2.75 1.86 7.7.5.5.5 5.5 5.5.5.5.5 5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.3.3.3.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7 7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7 6.28 5.41 6.3075.0 76 7.53 6.43 6.95 6.29 6.95 6.28 6.62 7.16基本工具可以用Heston Nandi GARCHmodel[12]来描述。让St表示标的资产的价格。利用Heston-Nandi-GARCH动力学，weassume随机过程的对数收益可以用公式来描述 log St=rdaily+λσt+σtt，其中σt=ω+βσt-1+α（t）-1.- γσt-1） ，在哪里 表示每日后向差异，参数Rdailydes表示每日无风险利率，（λ，ω，β，α，γ）是模型参数，是标准高斯白噪声。

此外，我们将假设模型中不存在不对称，即γ=0.1.95 2.00 2.05 2.10 2.150 5 10 15 20期权价格密度100000 MC价格2。60 2.65 2.70 2.75 2.800 5 10 15 20期权价格密度10万MC价格图4：履约价格K=K=70的篮子（左）和双履约（右）美式看跌期权的最小平方米价格的平滑密度。垂直线表示最小二乘价格的样本平均值。如果我们使用标准的Heston-Nandi动力学（带有客观概率度量），那么最小二乘算法的贴现部分将与路径相关。为了避免这种复杂的情况，我们将转向风险中性度量，并使用风险中性动态作为基础收益。风险中性过程只需将（先前估计的）参数λ和γ替换为(-分别为（γ+λ+0.5）和（γ+λ+0.5）（详见[12]）。此外，我们将使用H es-ton-Nandi模型的长期预期标准偏差进行比较（见[12]）：σHN=ω+α1- β - αγ. （5） 欧元和DAX数据将再次用作参考数据。与之前一样，期权到期日为2013年3月16日，我们将于2013年1月8日对其进行定价（因此期权有效期为49个工作日）。次数不大于3的加权拉盖尔多项式将作为回归过程的基础多项式。与之前一样，我们将假设（年化）无风险利率等于r=1.50%，putrdaily=r/252（因为每年有252个交易日）。使用2.5欧元ETF和1 DAX ETF股票的最后50个价格，我们得到了两组参数：λωαβ欧元7.280 2.738×10-55.238×10-50.086dax16.9711.954×10-55.404×10-54.758×10-28.标的资产的初始欧元价值为68.05欧元，DAX为69.72欧元。

从波动率（137.5）到波动率（149.5）分别得到。从10个模拟（每个模拟包含100000条蒙特卡罗路径）中获得的美式看跌期权的平均样本价格见表4。我们还根据Heston-Nandi模型[12]给出了理论上的欧洲看跌期权价格，以及根据Cox-Ross-Rubinstein模型（CRR）给出的美国看跌期权价格和早期行权溢价（即美国和欧洲看跌期权价格之间的差异），波动性来自（5）。这两种模型都是为了进行比较。此外，我们还进行了多次蒙特卡罗运行（1000次），每次运行规模为10000次，以计算执行价格为70（欧元和DAX）的美式期权的价格。平滑的模拟概率密度函数如图5所示。表4：根据最小二乘法（L-S）计算的欧元和DAX美式看跌期权价格，与实际市场价格、CRR模型价格和HestonNandi欧洲看跌期权价格进行比较。EA表示早期锻炼溢价。欧元-美国看跌期权履约价格市场价格CRR价格CRR EA H-N价格L-S价格65。0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.312.70 2.75 2.80 2.85 2.900 5 10 1520期权价格密度100000 MC价格1。60 1.65 1.70 1.75 1.800 5 10 15 20期权价格密度100000 MC价格图5：欧元（左）和DAX（右）美式看跌期权的最小二乘价格平滑分布。

垂直线与租赁方价格的样本平均值相对应。5结论性意见我们已经表明，在非常普遍和灵活的假设选择下，广泛使用的基于蒙特卡罗的美式期权定价最小二乘法仍然有效。特别是，通过斯奈尔包络线获得的理论价格的收敛性仍然是真实的，具有高度适应性的条件预期近似设置。当然，我们应该意识到，自由化假设的计算成本可能非常高。然而，越来越多的经验证据表明，在许多实际应用中，即使标准回归的相对有限的非线性扩展也可能产生令人满意的结果，我们的三个例子也说明了这一点。放松对该方法的假设，主要应被视为增加了对算法具体实现设置的选择自由，但仔细选择可能会保持不计算的可行性。致谢：第二作者感谢波兰科学IPP基金会项目“物理模型中的几何和拓扑”中运营的项目的支持，该项目由欧盟欧洲区域发展基金会（EU European Regional Development Fund）合作资助，运营项目为2007-2013年的创新经济。参考文献[1]C.J.贝弗里奇和M.S.乔希。实用政策迭代：使用蒙特卡罗模拟获得百慕大外来衍生物的PID和紧界限的通用方法。墨尔本大学商业与经济学院，精算研究中心，2009年。[2] A.Brace、D.Gatarek和M.Musiela。利率动态的市场模型。数学金融，7（2）：127–155，1997年。[3] 布罗迪先生和格拉斯曼先生。使用模拟为美式证券定价。《经济动态与控制杂志》，21:1323–1352，1997年。[4] 布罗迪和P。