具有消费约束的最优消费投资模型

推论4.4如果k>κ>0和l > 0，则问题（6）的最优消费投资策略由（ct，πt）给出=κXt，σ（1）- p） Xt, t>0，（13），最佳值为v（x）=pκp-1xp。（14） 如果κ6 0和l > 0，则问题（6）不具备充分条件，即其最佳值为完整性。证据容许控制集和最优值都在增加l 因此，情况l = +∞ 给出了一个上限（8），V（x）6v∞（x） =pκp-1xp。很容易验证上界pκp-1通过采取消费投资策略（13）实现增长。如果κ降到0，那么最佳值V（x）=pκp-1xp将进入实体。由于问题（6）的最优值在β中递减，我们得出结论V（x）=+∞ 如果κ6和l > 0根据定理4.3和Coro-llar y 4.4，我们只需要研究场景κ>k>0，l > 0，除非另有规定，否则此后假定为0。备注1我们将不研究κ>k=0和l > 0，因为它可以通过如下类似的参数轻松处理。我们将在本文末尾再次说明这个问题。5值函数：一阶导数的连续性定理5.1问题（6）的值函数V（·）在C[0+∞) ∩ C（0+∞) ifr 6K；在C[0]中+∞) ∩ C（（0+∞)\\{xe}）如果r>k，其中xe:=lR- k、 （15）是异常点的唯一可能性，在这种情况下，Vx（xe-) 6（kxe+l)P-1和v（xe）=βp（kxe+l)p、 证据。证明了tV（·）∈ C[0+∞) 在提案4.1中。注V（·）是递增的和凹的，因此我们可以定义左右导数为vx（x±）：=limε→0+V（x±ε）- V（x）±ε>0，对于所有x>0。此外，Vx（·±）和0 6 Vx（x+）6 Vx（x）都是递减函数-) <+∞ 对于所有x>0。现在我们证明V（·）在（0+∞)\\{xe}。

根据Darboux的理论，证明V（·）在（0+∞) \\ {xe}，它与Vx（x）等价-) = Vx（x+）表示所有正x 6=xe。根据谬论，假设Vx（x+）<Vx（x-) 对于某些x>0的情况。设ξ为满足Vx（x+）<ξ<Vx（x）的任意数-). 定义φ（x）=V（x）+ξ（x- 十）- N（x）- x） ，其中N是任意大的正数。然后通过V（·），V（x）6v（x）+Vx（x）的凹度-)（十）- x） =φ（x）+（Vx（x-) - ξ） （十）- x） +N（x）- x） <φ（x），如果0<x- x<N（Vx（x-) - ξ);andV（x）6v（x）+Vx（x+）（x- x） =φ（x）+（Vx（x+）- ξ） （十）- x） +N（x）- x） <φ（x），如果0<x- x<N（ξ）- Vx（x+）。因此，V（x）=φ（x）和V（x）<φ（x）在x的邻域中。根据定理4.2，V（·）是HJB（10）的粘性解，注意φ（·）∈ C（0+∞), so0>βφ（x）- supπσπφxx（x）+πμφx（x）- sup06c6kx+l（U（c）- cφx（x））- rxφx（x）=βV（x）-uξ4σN- sup06c6kx+l（U（c）- cξ）- rxξ=βV（x）-uξ4σN- g（ξ），其中g（ξ）：=sup06c6kx+l（U（c）- cξ）+rxξ，0<ξ<+∞.让N→ +∞, 对于所有ξ，我们得到g（ξ）>βV（x），（16）∈ （Vx（x+），Vx（x-)).另一方面，因为V（·）是凹的，所以它在任何地方都是二阶可微的，因此，存在一个序列{xn:n>1}到x，因此V（·）在每个xn处都是一阶和二阶可微的。根据定理4.2，0=βV（xn）- supπσπVxx（xn）+πuVx（xn）- sup06c6kxn+l（U（c）- cVx（xn））- rxnVx（xn）6βV（xn）- sup06c6kxn+l（U（c）- cVx（xn））- rxnVx（xn）=βV（xn）- g（Vx（xn））+r（x- xn）Vx（xn）。Sog（Vx（xn））6βV（xn）+r（x- xn）Vx（xn）。注意g（·）在（0）上是凸的+∞), 所以它在（0+∞). Henceg（Vx（x-)) = 画→+∞g（Vx（xn））6limn→+∞（βV（xn）+r（x）- xn）Vx（xn））=βV（x）。（17） 同样，我们有g（Vx（x+））6βV（x）。（18） 注意到g（·）在（0）上是凸的+∞) 和（16），max{g（Vx（x-)), g（Vx（x+）}>g（ξ）>βV（x），Vx（x+）<ξ<Vx（x-).

（19） 通过（17）、（18）和（19），我们得出结论：对于所有ξ，g（ξ）=βV（x）∈ [Vx（x+），Vx（x-)].注g（ξ）=sup06c6kx+l（U（c）- cξ）+rxξ=（U（kx+l) - （kx+l - rx）ξ，如果ξ6（kx+l)P-1.P- 1.ξpp-1+rxξ，如果ξ>（kx+l)P-因此，g（·）是[Vx（x+），Vx（x）上的常数-)] 当且仅当kx+l - rx=0和Vx（x-) 6（kx+l)P-1.它只能发生在场景r>k，x=xe和Vx（xe）中-) 6（kxe+l)P-在这种情况下，βV（xe）=g（ξ）=p（kxe+l)p、 证据是完整的。虽然当r>k时，V（·）在xe可能不可区分，但我们仍然可以定义Vx（xe-).从现在开始，我们表示Vx（xe）：=Vx（xe-) 除非另有规定。6价值函数：属性比例6.1问题（6）的价值函数V（·）满足以下属性：（a）。V（x）/xp减小，hencexVx（x）6pv（x），x>0；（b） 。我们有kpp（κ（1）- p）+kp）xp6v（x）6pκp-1xp，x>0；（c） 。V（·）在（0）上是严格凹的+∞) Vx（·）在（0+∞);（d） 。我们有kκ（1）- p） +kpκp-1xp-16 Vx（x）6κp-1xp-1，x>0。证据我们首先考虑场景X6=xe。（a） 。让V（x，l ) 用约束（5）表示值函数V（x）。考虑到CRRA型效用函数（7）、动力学（1）和约束（5），一个标准参数可以表明V（·，·）是p阶的齐次函数，即V（λx，λ）l) = λpV（x，l), λ > 0.λ=x-1，V（1，x）-1.l) = 十、-pV（x，l),性质（a）从mv（1，x）开始-1.l) 在x.（b）中减少。上界由（9）给出。场景给出的下限l = 0是（12）。（c） 。注：Vx（·）随着V（·）的凹度而减小。假设它不是严格递减的。那么Vx（x）=A，x∈ （x，x）对于某些常数A>0和（x，x） (0, +∞).它遵循Vxx（x）=0，x∈ （x，x）。如果A=0，因为V（·）是凹的，并且是递增的，那么Vx（x）=0，x∈ （十）+∞ ) 这与专业（b）相矛盾。假设a>0。

应用HJB方程（10），βV（x）- supπσπVxx（x）+πuVx（x）- sup06c6kx+l（U（c）- cVx（x））- rxVx（x）=0，x<x<x，我们得到βV（x）=supπ（πuA）+sup06c6kx+l（U（c）- cA）+rxA=+∞, x<x<x，这与属性（b）相矛盾。（d） 。上界由（a）和（b）的性质得出。注V（·）为凹面，并应用属性（b），Vx（x）>V（x+y）- V（x）y>ykpp（κ（1- p） +kp）（x+y）p-pκp-1xp, x>0，y>0。设y=k-上述不等式中的kkx，Vx（x）>k（κ）- k） xkpp（κ（1- p）+kp）κkpxp-pκp-1xp=k（κ）- k） xκκ(1 - p） +kp- 1.pκp-1xp=kκ- Kκp- kpκ（1）- p） +kppκp-1xp-1=kκ（1- p） +kpκp-1xp-1，x>0。从而证明了（d）的性质。对于场景x=xe，所有属性都可以用极限参数来证明。证明已经完成。定义无约束交易区域U和约束交易区域C如下：U:={x>0:Vx（x）p-1<kx+l},C:={x>0:Vx（x）p-1> kx+l}.本文的主要结果之一是提供了这两个区域的详细描述。从定理（4.2）可知，βV（x）+u2σVx（x）Vxx（x）- rxVx（x）+1.-PVx（x）pp-1=0，x∈ U（20） βV（x）+u2σVx（x）Vxx（x）+（kx+l - rx）Vx（x）-p（kx+l)p=0，x∈ C.（21）定义η：=kκ（1）- p） +kpP-1κ > κ.提案6.2我们有lκ - k+∞ C、 （22）及0,lη - K U.（23）证据。根据命题6.1中的性质（d），我们得到了vx（x）6κp-1xp-1，x>0，因此Vx（x）p-1> κx>kx+l, 如果x∈lκ - k+∞,因此（22）如下。类似地，我们有vx（x）>kκ（1）- p） +kpκp-1xp-1=（ηx）p-1，x>0，因此Vx（x）p-16ηx<kx+l, 如果x∈0,lη - K,因此（23）如下。推论6.3如果κ>r>k，那么xe∈ C.如果r>η，则xe∈ 美国证据。如果κ>r>k，那么=lR- k>lκ - k、 类似地，nottingη>κ>k，如果r>η，则r>k，和xe=lR- k<lη - k、 根据上述结果提出索赔。

现在我们准备好提供区域U和C的详细描述。定理6.4如果κ>k+r，则存在常数Tx*∈lη - Klκ - K（24）使得u=（0，x）*), （25）andC=[x*, +∞ ). （26）证据。为了证明这一说法，我们首先推导出了无约束区域U的解的公式，但问题不允许（0+∞).设Z（·）：（c，c）7→ U由vx（Z（c））=cp确定-1，c<c<c.（27）通过推论6.3，xe/∈ U、 所以Vx（·）在U上是连续的，并且严格地减少。因此Z（·）被很好地定义，并且严格地增加。因此vxx（Z（c））Z′（c）=（p- 1） cp-2，c<c<c.（28）应用（27）和（28），等式（20）变成βV（Z（c））- θcpZ′（c）- rcp-1Z（c）+p- 1pcp=0，c<c<c.与c有关的差异，βVx（Z（c））Z′（c）- θ（cpZ′（c）+pcp-1Z′（c））- r（cp）-1Z′（c）+（p- 1） cp-2Z（c））+（p- 1） cp-1= 0.再次应用（27）并消除cp-2，βcz′（c）- θ（cZ′（c）+pcz′（c））- r（cz′（c）+（p- 1） Z（c））+（p- 1） c=0。现在我们得到了Z（·）的一个普通微分方程：Lz=0，c<c<c，（29），其中Lz=-θcZ′（c）+（β）- θp- r） cz′（c）+r（1）- p） Z（c）- (1 - p） 现在我们准备证明（25）。根据荒诞的说法，假设除了原始间隔（0，x*), 无约束区域U包含（22）的另一个有界区间。也就是说，存在X和X*< x<x<+∞, （x，x） U、 Vx（x）p-1=kx+l, Vx（x）p-1=kx+l,其中，最后两个身份来自Vx（·）和Coro lla r y 6.3的连续性。Letc=Z-1（x）a和c=Z-1（x）。然后回忆（27），Z（c）=x=Vx（x）p-1.- lk=Vx（Z（c））p-1.- lk=c- lk> 0，（30）Z（c）=x=Vx（x）p-1.- lk=Vx（Z（c））p-1.- lk=c- lk> 0。（31）Thusc>c>l, 7.如果我们现在→C-lkis是ODE（29）在边界条件（30）和（31）下的上解。事实上，C7→C-lK满足边界条件（30）和（31），因此我们只需要确定C-lK> 0

注C- lK= (β - θp- r） ck+r（1）- p） c- lK- (1 - p） c=β - θp- r+r（1）- p） 一,- P- K(1 - p） ck- r（1）- p）lk=κ(1 - p） 一,- P- K(1 - p） ck- r（1）- p）lk=（κ）- k） （1）- p） ck- r（1）- p）lk> （κ- k） （1）- p）lK- r（1）- p）lk> 0，其中我们在上一个不等式中使用了假设κ>k+r。因此我们证明了-l带边界条件（30）和（31）的ODE（29）的kis asup解。因此，Z（c）6c- lk、 c6c6c，因此，Vx（Z（c））p-1=c>KZ（c）+l 这与Z（c）相矛盾∈ U、 因此我们证明了（25）。根据U和C的定义，（26）紧随其后。权利要求（24）遵循（22）和（23）。7值函数：二阶导数的连续性和最优策略定理7.1假设k>k+r，如果k>r，那么Vxx（·）∈ C（0+∞). 如果k<r，那么vxx（·）∈ C(0, +∞)\\{xe}, 其中（15）中定义了e ExceptionPoint的唯一可能性。我们证明上述结果的主要思想是考虑值函数V（·）的对偶函数。进行双重转换V（y）：=maxx>0（V（x）- xy），y>0。（32）那么v（·）是（0+∞). 由于Vx（·）是严格递减的，我们用命题6.1中的性质（d）表示Vx（x）=y byI（y）=x（33）的反函数，I（·）是递减的，映射（0+∞) 自言自语。从（32），v（y）=[v（x）- xVx（x）]x=I（y）=V（I（y））- 易（y）。（34）关于toy的差异，vy（y）=Vx（I（y））I′（y）- 易′（y）- I（y）=-I（y）、（35）vy（y）=-I′（y）=-Vxx（I（y）），（36）将（35）插入（34），V（I（y））=V（y）- 伊夫（y）。进行变换（33），应用（34）、（35）、（36）和Vx（x）=y，HJB方程（10）变成β（v（y）- yvy（y））-u2σyvy（y）+yd（y）+ryvy（y）-pdp（y）=0，y>0，（37），其中（y）：=minnyp-1.l - 方程（37）是拟线性常微分方程，在y=0时退化。

它跟在t hatv（y）后面∈ C（0+∞) ∩ C∞((0, +∞)\\{y*}),y在哪里*= Vx（x*) a和x*定义见定理6.4。定理7.1将遵循以下两个命题。命题7.2假设κ>k+r.设x*定义见定理6.4。如果k>r，那么vxx（·）∈ C[x*+ ∞). 如果k<r，那么Vxx（·）∈ C[x]*+ ∞)\\{xe}, 其中（15）中定义了例外点的唯一可能性。证据通过（36），证明Vxx（·）∈ C[x]*+ ∞)\\{xe}等于证明vy（y）>0∈ （0，y）*]\\{ye}，其中ye=Vx（xe-).假设存在一个0<y<y的点*使得vy（y）=0，这是vy（·）的最小值乘以v（·）的凸性。因此vy yy（y）=0。关于y的差异（37）产生β(-yvy（y））-u2σ（2yvy（y）+yvy-yy（y））+l - kvy（y）- kyvy（y）+r（vy（y）+yvy（y））+k(l - kvy（y））p-1vy（y）=0，0<y<y*. （38）应用vy（y）=0和vy yy（y）=0，我们得到（k）- r） vy（y）=l 这相当于（r-k） x=l 其中x=I（y）。因此，x=Xe是异常点的唯一可能性，只有在场景r>k时才会发生。它仍然显示vy（y*) > 0.如果vy（y*) = 0是vy（·）的最小值。因此vy yy（y*-) 6 0 . 到（38）时，它的值为（k- r） vy（y）*) > l 如果k>r，这是不可能的，因为v（·）正在减少。如果r>k，那么（r- k） x*> l, 十、*> 这也是不可能的，因为∈ C由推论6.3得出。命题7.3假设κ>k+r，设x*定义如定理6.4所示。然后Vxx（·）∈C（0，x）*].证据证明了vy（y）*) > 在命题7.2的证明中为0。假设存在一个点y>y*vy（y）=0，这是vy（·）的最小值乘以v（·）的凸度。因此vy yy（y）=0。关于y的差异（37）产生β(-yvy（y））-u2σ（2yvy（y）+yvy-yy（y））+r（vy（y）+yvy（y））+yp-1=0，y>y*.应用vy（y）=0和vy yy（y）=0，我们得到rvy（y）=-yp-这相当于vx（x）p-1=rx，其中x=I（y）。

然而，根据命题（6.1）中的性质（d），我们有Vx（x）p-1> κx>rx。证据是完整的。在证明值函数的一阶导数的全局连续性之前，我们回顾了凸分析的一个结果。引理7.4设h（·）是（0+∞). 定义其凸对偶bh（y）：=maxx>0（h（x）- xy），y>0。设y=inf{y>0:bh（y）<+∞}. 那么以下两种说法是等价的：1。bh（·）在（y）上是严格凸的+∞ ).2.h（·）在（0+∞ ) .证据。\'1 ==> 假设在0时，某个h′不是荒谬的- h（x）6y（x）- x） ,， x>0，为所有y∈ [hx（x+），hx（x-)]. 然后是（x）- yx 6小时（x）- yx， x>0，且hencebh（y）=h（x）-yx，y∈ [hx（x+），hx（x-)]. 这与BH（·）严格意义上的凸相矛盾。因此，h（·）是可区分的。因为hx（·）在增加，根据Darboux的理论，hx（·）也是连续的2 ==> 1′：因为h（·）在（0）上是连续可微的+∞),bh（h′（x））=h（x）- h′（x）x，x>0。对于任何b>a>y，我们需要显示2bh（（a+b）/2）<bh（a）+bh（b）。设0<x<x如b=h′（x）>h′（x）=a。设y满足h′（y）=（h′（x）+h′（x））=（a+b），则x<y<x。表示bh（h′（y）<bh（h′（x））+bh（h′（x）），即2h（y）是有效的- 2h′（y）y<h（x）- h′（x）x+h（x）- h′（x）x.（39）因为h（·）是凹的，所以h（y）- h（x）6（y）- x） h′（x），h（y）- h（x）6（y）- x） h′（x）。如果两者都是恒等式，那么h（·）在[x，x]上是线性的，h′（x）=h′（x），这是一个矛盾。So2h（y）- h（x）- h（x）<y（h′（x）+h′（x））- h′（x）x- h′（x）x=2h′（y）y- h′（x）x- h′（x）x，相当于期望的不等式（39）。推论7.5假设k>k+r，问题（6）的值函数V（·）在C[0]中+∞)∩C（0+∞).证据证明了当y6=Vx（xe）时vy（y）>0-) 在提案7.2和7的证明中。3.这意味着v（·）是（0）上的严格凸函数+∞).

因此，V（·）在（0+∞) 引理7.4。为了给出问题（6）的一个显式最优消费投资策略，我们推导了无约束区域U中Z（·）的公式，尽管我们无法在（0）上得到封闭形式的解+∞), 但这是我们的目标。命题7.6假设κ>k+r，将Z（·）定义为（27）和x*定义为m 6.4，然后z（c）=κc-κ（（k）- κ） x*+ l)ckx*+ lλ、 k6×0*+ l. （40）证据。让c*= Z-1（x）*). 因为Vx（·）在C（0）中+∞) 和（27），c*= Vx（Z（c）*))P-1=Vx（x*)P-1=kx*+ l. （41）相应齐次方程的通解为Bcλ+Bcλ，其中BandB是常数，λ>λ是函数f（λ）=θλ（λ）的两个根- 1） +（r）- β+pθ）λ+r（p- 1).注f（1）=-β+p（θ+r）<0和f(+∞) = +∞. 结果是λ>1和λ<0。注：非齐次方程（29）的一个特殊解是κc。因此，方程（29）的一般解由z（c）=κc给出- Bcλ-Bcλ，0<c6*.因为Z（0+）=0，λ<0，我们得出结论，B=0，henceZ（c）=κc- Bcλ，0<c6*.由Z（c）*) = 十、*和（41），我们得到B=κ（（k- κ） x*+ l)（kx）*+ l)-λ和z（c）=κc-κ（（k）- κ） x*+ l)ckx*+ lλ、 0<c 6 c*= kx*+ l.证据是完整的。本文的主要结果如下。定理7.7假设k>k+r，设x*定义见定理6.4。最优消费投资策略（c）*(·), π*问题（6）的（·））由财富的封闭反馈形式给出：*t、 π*t） =（c）*（Xt），π*（Xt）），t>0，其中c*（x） =（Z）-1（x），0<x<x*;kx+l, x>x*,π*（x） =σ（1）- p） x，x>0，和Z-1（·）是（40）中定义的Z（·）的反函数。证据显然C*（x） =（Vx（x）p-1,0<x<x*;kx+l, x>x*.我们只需要展示Vx（x）p-1=Z-1（x），从（27）开始。8结论性意见如R emark 1中所述，方案κ>k=0和l > 0可以由我们的参数处理。

事实上，在这种情况下，随着Vx（·）的减少，U和C显然都是间隔。此外，ODE（37）可以在这两个区域分别求解。因此，我们不仅有一个反馈形式的明确的最优消费投资策略，而且还有一个最优值的明确表达式。我们把细节留给感兴趣的读者。正如你所看到的，在κ<k+r的情况下，问题仍然存在。我们将继续研究这一情况，并希望在不久的将来填补缺口，尽管这种情况在实际金融实践中不太可能发生。参考文献[1]Akian，M.，Menaldi，J.L.和A.Sulem（1996）：关于具有交易成本的投资消费模型，暹罗控制与优化杂志，Vo。34，第329-364页[2]Bardhan，I.（1994）：约束条件下的消费和投资，经济动力学和控制杂志，第18卷，第90页9-929[3]Chen，X.S.和F.H.Yi（2012）：有限区间内最优停止的奇异随机控制问题，暹罗控制与优化杂志，Vo。50，第2151-2172页[4]Crandall，M.G.和P.L.Lions（1983）：Hamilton-Jacobie方程的粘度解，Trans。AMS，第277卷，第1-42页[5]Cvitani'c，J.和I.Karatzas（1992）：约束组合优化中的凸对偶，应用概率年鉴，第2卷，第767-81页[6]Cvitani'c，J.和I.Karatzas（1993）：约束组合对冲未定权益，应用概率年鉴，第3卷，第652-681页[7]戴，M。，徐志强（2011）：有限期限股票贷款的最优赎回策略，数学金融，第21卷，第775-793页[8]戴，M.，徐志强，和周X.Y.（2010）：具有比例交易成本的连续时间平均方差投资组合选择，暹罗金融数学杂志，第1卷，第96-125页[9]戴，M.，和F.H。