具有消费约束的最优消费投资模型

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英文标题：
《An Optimal Consumption-Investment Model with Constraint on Consumption》
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作者：
Zuo Quan Xu and Fahuai Yi
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  A continuous-time consumption-investment model with constraint is considered for a small investor whose decisions are the consumption rate and the allocation of wealth to a risk-free and a risky asset with logarithmic Brownian motion fluctuations. The consumption rate is subject to an upper bound constraint which linearly depends on the investor\'s wealth and bankruptcy is prohibited. The investor\'s objective is to maximize total expected discounted utility of consumption over an infinite trading horizon. It is shown that the value function is (second order) smooth everywhere but a unique possibility of (known) exception point and the optimal consumption-investment strategy is provided in a closed feedback form of wealth, which in contrast to the existing work does not involve the value function. According to this model, an investor should take the same optimal investment strategy as in Merton\'s model regardless his financial situation. By contrast, the optimal consumption strategy does depend on the investor\'s financial situation: he should use a similar consumption strategy as in Merton\'s model when he is in a bad situation, and consume as much as possible when he is in a good situation.
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中文摘要：
考虑了一个具有约束的连续时间消费投资模型，其决策是消费率和财富分配给一个无风险和具有对数布朗运动波动的风险资产。消费率受上限约束，上限约束与投资者的财富成线性关系，禁止破产。投资者的目标是在无限的交易周期内最大化消费的总预期贴现效用。结果表明，价值函数处处是（二阶）光滑的，但存在（已知）例外点的唯一可能性，最优消费投资策略是以财富的封闭反馈形式提供的，这与现有的工作不涉及价值函数相比。根据这个模型，投资者应该采取与默顿模型相同的最优投资策略，无论其财务状况如何。相比之下，最优的消费策略确实取决于投资者的财务状况：当投资者处于不利状况时，他应该使用与默顿模型中类似的消费策略，当投资者处于良好状况时，他应该尽可能多地消费。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> An_Optimal_Consumption-Investment_Model_with_Constraint_on_Consumption.pdf (249.37 KB)

2022-5-6 04:25:28 上传

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关键词：投资模型 消费投资 Optimization Quantitative Fluctuations

具有消费约束的最优消费投资模型*和Fahuai Yi+2013年11月22日摘要针对小投资者，考虑了一个带约束的连续时间消费投资模型，其决策是消费率和财富分配给一个无风险和有风险的对数布朗运动方程组。消费率受制于上限约束，而上限约束主要取决于投资者的财富，禁止破产。投资者的目标是在有限的交易期限内最大化消费的总预期贴现效用。结果表明，价值函数在任何地方都是（二阶）光滑的，但存在（已知）例外点的唯一可能性，并且最优消费投资策略是在财富的封闭反馈形式中提供的，这与现有工作中不涉及价值函数相比。根据该模型，投资者应采取与默顿模型相同的最优投资策略，无论其财务状况如何。相比之下，最佳的消费策略确实取决于投资者的财务状况：当他处于不利状况时，他应该使用与默顿模型中类似的消费策略，当他处于良好状况时，他应该尽可能多地消费。关键词：最优消费投资模型、约束粘性解、自由边界问题、金融中的随机控制、约束消费1简介1952年著名文章《投资组合选择》和1959年哈里·M·马科维茨（Harry M.Markowitz，1952，1959）出版的同名书预示着现代金融的开始。为了发展portfo lio choice的一般理论，萨缪尔森（1969）和默顿*香港理工大学应用数学系，香港。

本文作者感谢香港早期职业计划（编号533112）、香港一般研究基金（编号529711）和香港理工大学的资助。电子邮件：maxu@polyu.edu.hk.+中国师范大学数学科学学院，广州，中国。该项目由中国国家自然科学基金会（编号11271143和11371155）和中国大学博士点专项研究基金（编号2014407110001和201144071 20008）资助。电子邮件：fhyi@scnu.edu.cn.（1969年，1971年）开创了动态最优消费投资问题的研究。关于最优消费投资决策的问题涉及到一个拥有一些初始财富的投资者的决策，他寻求随着时间的推移使消费的预期（贴现）效用最大化。这些决策（称为消费投资策略）反映了消费率和财富在一段时间内分配给无风险和风险资产的情况。根据默顿（1975）的观点，研究这类问题是金融理论发展的自然起点。萨缪尔森和默顿的开创性论文促使研究人员在各个方向上对这一主题贡献了大量新工作。文献广泛涵盖了受约束和市场缺陷影响的金融市场中的最优消费投资问题。例如，Sethi（1997）所著的这本书总结了Sethi及其合作者在各种约束条件下对最优消费投资问题的研究，这些约束条件包括破产禁止、自给消费要求、禁止借贷和随机系数市场。Fleming和Zariphopoulou（1991）考虑了借贷约束下的最优消费投资问题。

Cvitani和Karatzas（1992年、1993年）考虑了这样一种情况，即投资者的投资策略被限制在给定的闭凸集中取值。Zariphopoulou（1994）认为，投资于风险资产的金额不得超过财富的外生函数，且任何时候都禁止破产，这是一个约束条件下的问题。Elie和Touzi（2008）考虑了最优消费投资问题，其约束条件是财富过程永远不会低于其运行最大值的固定分数。Davis和Norman（1990年）、Zariphopoulou（1992年）、Shreve和Soner（1994年）、Akian、Menaldi和Sulem（1996年）、a and Dai和Yi（2009年）在研究最优消费投资问题时考虑了成比例的交易成本。这些最优消费投资模型关注财富过程和投资策略的约束。Bardhan（1994）考虑了消费率和财富约束下的最优消费投资问题。限制条件是，投资者必须在整个投资期间以最低（恒定）的速度消费，这就是生存消费需求，并且必须始终将其财富保持在较低的水平。然而，在金融实践中，消费率的上限约束通常存在于最低生活消费要求之外。这种情况的一个例子是，一家投资公司的现金流承诺受到监管资本约束。

在跨期经济最优消费投资理论中，现有文献中没有研究考虑消费率的上限约束。诺贝尔经济学奖获得者哈里·马科维茨（Harry Markowitz）在塞蒂（Sethi，1997）的书中写道：“引入现实的投资者约束是分析的一个不可逾越的障碍，还是一个拥有新颖方法的人的黄金机会，以及这一方向的进展是首先来自离散时间模型还是来自连续时间模型，还有待观察。”。关于考虑消费率上限约束的最优消费投资问题的研究很少，尽管已经对涉及其他约束的问题进行了广泛的研究，如无破产或借款金额限制。因此，这一研究课题尚未得到充分的探讨。这促使我们研究了消费率约束下的最优消费投资问题。本文考虑了一个消费率上有上界约束的连续时间消费投资模型，它与投资者在任何时候的财富量成线性关系。这个问题是在一个标准的BlackScholes市场中考虑的，该市场在有限的交易期限内具有无风险和风险资产。我们通常假定允许卖空，但市场上禁止破产。我们将主要使用微分方程领域中的自由边界和粘性解理论衍生出的技术来解决这个问题（参见Crandall and Lions（1983），Lions（1983），Fleming and Soner（1992），Dai，Xu and Zhou（2010），Dai and Xu（2011），Chen and Yi（2012））。众所周知，值函数是关联的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的唯一约束粘性解。

利用这一事实，我们首先证明了方程的粘性解在任何地方都是光滑的，但存在（已知）异常点的唯一可能性。然后给出了无约束和约束交易区域的详细描述。最后，我们得到了财富闭环反馈形式下的最优消费投资策略。与现有模型相比，我们的模型中明确给出的最优策略不涉及价值函数。结果表明，当投资者的财务状况不佳时，投资者应使用与无约束情况下类似的最优消费投资策略，当其财务状况良好时，投资者应以最大可能的利率进行消费。论文的结构如下。在第二节中，我们建立了一个连续时间最优消费投资模型，并对消费率进行了约束。第3节研究了一个没有约束的案例。在第4节中，介绍了与该问题相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并研究了齐次约束的情况。利用粘性解理论中的技巧，我们在第5节展示了问题的值函数的一些性质。第6节提供了无约束和约束交易区域的描述。最后，我们在第7节中导出了封闭反馈形式下的最优消费投资策略。我们在第8.2节计划公式中总结了本文。我们考虑了一个标准的布莱克-斯科尔斯金融市场，它有两种资产：债券和阿斯托克。债券价格由普通微分方程（ODE）dPt=rPtdt驱动，其中r是无风险利率。

股票价格由随机微分方程（SDE）驱动：dSt=αStdt+σStdWt，其中α是股票的平均收益率，σ是股票的波动率，W（·）是给定完全概率空间上的标准一维布朗运动(Ohm, F、 P）。我们用{Ft=σ（Ws，s6t），t>0}表示布朗运动产生的过滤。假设利率r、平均收益率α和波动率σ在r>0、σ>0和u：=α时为常数- r>0。没有交易费用或税费，市场上也允许做空。让我们考虑一下市场上的小投资者。投资者的交易不会影响这两项资产的市场价格。他的交易策略是自我融资，这意味着在整个投资期间没有现金流入或流出。那么众所周知，投资者的财富过程是由一个SDE驱动的：（dXt=（rXt+πtu）- ct）dt+πtσdWt，X=X，（1）其中X>0是投资者的初始捐赠，π是在t时投资于股票的金额，ct>0是在t时的消费率。在本文中，我们假设不允许破产，即xt>0， t>0，（2）几乎可以肯定（a.s.）。投资者的目标是选择最佳消费投资策略（c（·）、π（·）），该策略受以下特定约束条件的约束，以最大限度地提高在监测范围内消费的总预期（贴现）效用Z∞E-βtU（ct）dt, （3） 其中U:R+7→ R+是投资者的效用函数，它是严格递增的，β>0是一个常数贴现因子。

在本文中，我们只考虑风险，这相当于说U（·）是凹的。消费投资策略（c（·），π（·））需要满足以下可积约束中兴通讯-βt（πt+ct）dt< ∞ ,  T>0，（4）在这种情况下，SDE（1）允许一个唯一的解X（·）令人满意中兴通讯-βt | Xt | dt< ∞ ,  T>0。如果不存在对消费率和投资策略的其他约束，问题（3）将成为经典的默顿（1971）消费投资问题。然而，在实践中，对消费率的约束总是存在的；例如，消费率不能太低，因为投资者有基本需求，即长期身体健康所需的最小资源量；这就是所谓的持续消耗要求。另一个实际例子是，基金经理要求固定工资和一定比例的管理财富作为奖金。然而，大部分财富仍然属于所有者，因此，管理者不能从总财富中提取过多的金额。这些情景促使我们考虑消费率的上限约束。在本文中，具体地说，我们假设消费率在任何时候都是财富Xt的一个时不变线性函数的上界：0 6 ct6 kXt+l, t>0，（5）其中k和l 是非负常数，至少有一个是正的。用v（x）表示值函数：=sup（c（·），π（·））EZ∞E-βtU（ct）dt. （6） 其中，消费投资策略（c（·）、π（·））受约束（2）、（4）和（5）。与Merton（1971）的模型一样，我们关注的是常数相对风险规避（CRRA）型效用函数u（x）=xpp，x>0（7），对于某些常数0<p<1。

众所周知，对数效用函数可以被视为CRRA型效用函数a s log（x）=limp的极限情况→0xp-因此本文的结果可以推广到对数效用函数。3默顿模型：无约束的案例首先回顾默顿（1971）关于无约束场景的著名结果。定义θ：=u2σ（1- p） 大于0，且κ：=β- p（θ+r）1- p、 定理3.1如果κ>0且消费率没有约束，即k=+∞或l = + ∞, 然后通过（ct，πt）给出问题（6）的最优消费投资策略=κXt，σ（1）- p） Xt, t>0，最佳值为v∞（x） =pκp-1xp。（8） 最优值V∞（x） =pκp-在有约束的情况下，1xp将作为最优值的上限。4 Hamilton-Jacobi-Bellman方程我们采用微分方程中的粘性解方法来解决问题（6）。让我们从证明值函数的一些基本性质开始。命题4.1如果κ>0，则问题（6）的值函数V（·）满足V（x）6pκp-1xp，x>0。（9） 此外，V（·）在[0]上是连续的、递增的和凹的+∞) V（0）=0。证据容许控制集和问题（6）的最优值都在增加l 因此，最佳值的上界由塞纳里奥给出l = +∞ . 所以不等式（9）由（8）得出。如果问题（6）的初始禀赋为0，则唯一容许消费投资策略为（c（·），π（·））≡ （0，0），所以V（0）=0，因此，V（·）从（9）开始在0处连续。通过V（·）的定义，不难证明其凹性和单调性。我们把细节留给感兴趣的读者。V（·）在（0+∞) 因为它的完整性和凹陷性。

有了这个命题，利用微分方程中的粘性解理论（见Crandall and Lions（198 3）、Lions（1983）、Fleming and Soner（1992）），我们可以证明，如果κ>0，那么问题（6）的值函数V（·）是其相关HJB方程βV（x）的唯一粘性解- supπσπVxx（x）+πuVx（x）- sup06c6kx+lU（c）- cVx（x）- rxVx（x）=βV（x）+u2σVx（x）Vxx（x）+（c（x）- rx）Vx（x）-cp（x）p=0，x>0，（10）在[0]上的增凹函数类中+∞) V（0）=0，其中c（x）：=minn（Vx（x））p-1，kx+lo、 x>0。证据标准证明（参见Zariphop-oulou（1992、1994））。我们把细节留给感兴趣的读者。4.1同质约束的情况首先考虑消费率同质约束的情况。研究结果将有助于研究以下部分中的一般情况。定理4.3如果k>0，l = 然后问题（6）的最优消费投资策略由（ct，πt）给出=min{κ，k}Xt，μσ（1）- p） Xt, t>0，（11），最佳值为v（x）=min{κ，k}pp（κ（1- p）+min{κ，k}p）xp=（kpp（κ（1-p） +kp）xp，k<k；pκp-1xp，k>k。（12） 证据。假设κ>0。让V（·）定义为（12）。Thenc（x）=minn（Vx（x））p-1，kx+lo=minn（Vx（x））p-1，kxo=min（min{κ，k}pp-1(κ(1 - p） +min{κ，k}p）p-1，k）x=min{κ，k}x，其中我们使用了min{κ，k}pp这个事实-1(κ(1 - p） +min{κ，k}p）p-1> min{κ，k}pp-1（min{κ，k}（1- p） +min{κ，k}p）p-1=min{κ，k}=k，当k<κ时。很容易检查V（·）和c（·）是否满足HJB方程（10）。因为V（·）随着V（0）=0而增加和凹，根据定理（4.2），V（·）是问题（6）的值函数。通过采用消费投资策略（11），很容易验证值（12）是否达到。