模型不确定性下的最优停车：随机停车时间

对于固定概率空间(Ohm, F、 P），子集M L(Ohm, F、 P）如果用于任何A，则称为瘦∈ 当P（A）>0时，存在一些非零g∈ L∞(Ohm, F、 P）在A外消失，且满足E[g·Z]=0的everyZ∈ M（参见[31]或[1]）。最著名的例子是L的有限子集(Ohm, F、 P）或L的有限维线性子空间(Ohm, F、 P）如果(Ohm, F、 P）是无原子的（参见[31]或[1]）。提案3.5。充分满足定理3.1的假设，并使T:={T，…，tr+1}具有T=0<T<····<tr+1=T*（x+Ys）|英尺]|x∈ R} 是L的一个子集(Ohm, Ft，P | Ft）fors，t∈ T和T≤ s和A∈ 然后是τ*∈ t和x*∈ RSatisfyingFX∈RE[Φ*（x+Yτ）*) - x] =supτ∈TTinfx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] =infx∈Rsupτ∈TTE[Φ*（x+Yτ）- x] =supτ∈TTE[Φ*（十）*+ Yτ）- 十、*].特别是，它持有[Φ*（十）*+ Yτ）- 十、*] ≤ E[Φ*（十）*+ Yτ*) - 十、*] ≤ E[Φ*（x+Yτ）*) - x] 对于任何x∈ R和τ∈ TT。命题3.5的证明见第7.5节。例3.6。让我们来看看地图*e:R→ R由Φ定义*e（y）：=Pnk=1αk（exp（βky）- 1） 对某些人来说，αn，β，βn>0。很明显，是吗*eis是凸的、不减损的、令人满意的→∞(Φ*e（y）- y） =∞ 以及10 D.贝洛梅斯特尼和V.克雷施默*e（0）=0。因此Φe（x）：=supy∈R（xy）-Φ*e（y））定义了一个满足（3.1）的下半连续凸函数，其芬切尔-勒让德变换与Φ一致*e、 自从Φ*eis是连续的。此外，对于任何s，t∈ Tsuch那个t≤ s、 还有∈ FT，集合{E[A·Φ*e（x+Ys）| Ft]|x∈ R} 包含在L的有限维线性子空间中(Ohm, Ft，P | Ft）按r.v.的顺序跨越。E[A·exp（βkYs）| Ft]k=0，N,其中定义β：=0。因此，{E[a·Φ*e（x+Ys）| Ft]|x∈ R} 是L的一个子集(Ohm, Ft，P | Ft）在无原子的情况下(Ohm, Ft，P | Ft）（参见[1，提案2.6]）3.3。加法对偶表示。

在本节中，我们将著名的最优停止问题的加性对偶表示（见[38]）推广到不确定性下的最优停止情况。[38]中的结果用鞅M表示，M=0满足supt∈[0，T]| Mt |∈ L.所有此类适应鞅的集合将由M.定理3.7表示。设Vt:=ess supτ∈T，τ≥tE[Zτ| Ft]是可积右连续随机过程（Zt）t的斯奈尔包络∈[0，T]适应于(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）。如果支持∈[0，T]| Zt |∈ 对于某些p>1，则nV=supτ∈TE[Zτ]=infM∈谢谢∈[0，T]（Zt）- Mt）#，其中M=M达到最大值*和M*是（Vt）t的Doob-Meyer分解的鞅部分∈[0，T]。更重要的是，它保持着ssupτ∈TE[Zτ]=supt∈[0，T]（Zt）- M*t） P- a、 s。。备注3.8。通过检查[38]中定理2.1的证明，我们可以看到这个假设是正确的∈[T，中兴通讯]∈ 对于某些p>1的情形，lp仅用于保证Snellenvelope（Vt）t的Doob-Meyer分解的存在∈[0，T]。因此，如果我们考虑集合T上某个有限T的离散时间最优停止问题，这个假设可能会放宽[0，T]包含{0，T}。在这种情况下，Doob Meyer分解总是对if（Zt）t进行性别歧视∈它是可积的，定理3.7成立，T被T替换，而[0，T]被T替换（另见[32，定理5.5]）。定理3.1允许我们将加法对偶表示推广到停止问题的情形（2.1）。我们将使用以下符号。对于不确定度为11固定Φ和x的最佳停车∈ 我们用VΦ表示，x=（VΦ，xt）t∈[0，T]斯内尔信封。r、 t.toΦ*（x+Yt）- 十、T∈[0，T]定义的viaVΦ，xt:=ess supτ∈T，τ≥tE[（Φ*（x+Yτ）- x） |英尺]。定理3.1和定理3.7的应用为我们提供了停止问题（2.1）的以下加性对偶表示。定理3.9。

在定理3.1中关于Φ和（Ft）的假设下，以及∈[0，T]|Φ*（x+Yt）|∈ 对于某些p>1和anyx∈ R、 下面的对偶表示法适用于SSUPτ∈TρΦ(-Yτ）=infx∈林菲姆∈我监督∈[0，T]Φ*（x+Yt）- 十、- Mt= infx∈重新监督∈[0，T]Φ*（x+Yt）- 十、- M*,Φ，xt= ess infx∈Rsupt∈[0，T]Φ*（x+Yt）- 十、- M*,Φ，xtP- a、 s。。给我*,Φ，x代表Snell包络VΦ，x的Doob-Meyer分解的鞅部分。在定理3.1的假设下，我们得到了∈[0，T]Yt∈ HΦ*. 此外，Φ*是凸的，不减损*（0）=0（参见附录A中的引理A.1），因此对于任何y<0 |Φ*（y） |=ZyΦ*（z） dz≤ Φ*（0）| y |≤Z | y |Φ*（z） dz=Φ*（|y |），其中Φ*表示Φ的右导数*. 利用Φ的单调性*我们再次得出结论|Φ*（x+Yt）|≤ Φ*（|x |+Yt）≤ Φ*（|x |+支持）∈[0，T]Yt）∈ L对于所有x∈ R和t∈ [0，T]。因此，在定理3.1的假设下，定理3.9到（3.3）的应用已经是可能的。平均风险值下最优停止问题的对偶表示如下。12 D.BELOMESTNY和V.KR–ATSCHMERCorollary 3.11。假设Φ和（Ft）与定理3.1相同。如果支持∈[0，T]Yt∈ 对于某些p>1，则保持p-a.s.supτ∈TAV@Rα(-Yτ）=infx∈林菲姆∈谢谢∈[0，T]α（x+Yt）+- 十、- Mt#= infx≤0E“supt∈[0，T]α（x+Yt）+- 十、- M*,α、 xt#= ess infx≤0supt∈[0，T]α（x+Yt）+- 十、- M*,α、 xtP- a、 s。。（3.7）这里是M*,α、 xdenotes Snell包络VΦα，x的Doob-Meyer分解的鞅部分。让我们考虑一个离散时间最优停止问题supτ∈TTAV@Rα(-Yτ）对于某些有限T [0，T]与{0，T}∈ T.鉴于3.10，定理3.1的假设已经足以获得对偶表示（3.7），其中T被T替换，而[0，T]被T.4替换。讨论

在[32]中，（4.1）supτ型的最优停止问题∈研究了TU（Yτ），其中≥ 函数映射空间lintox的一个线性子空间∩ L(Ohm, Ft，P | Ft）和满意度（X）≤ X的Ut（Y）≤ Y P-a、 s。。事实上，条件凸风险测度（ρt）t之间存在一对一的对应关系∈[0，T]和动态效用函数su:=（Ut）T∈[0，T]满足以下两个性质：o条件平移不变性：Ut（X+Y）=Ut（X）+Y∈ 十、∩ L(Ohm, 英尺，P |英尺）和X∈ 条件凹度：Ut（λX+（1- λ） Y）≥ λUt（X）+（1）- λ） X、Y的Ut（Y）∈ X和λ∈ 十、∩ L(Ohm, 英尺，P |英尺）和0≤ λ ≤ 1.更精确地说，任何条件平移不变和条件凹动态效用泛函（Ut）t∈[0，T]定义一个族（ρUt）T∈通过ρUt（X）=-Ut（X），反之亦然。[32]的结果基本上依赖于以下附加假设o正则性：Ut（AX）=A·Ut（X）表示A∈ Ftand X∈ X，不确定性条件下的最优停止13o递归性：美国o Ut=USS≤ t、 递归性通常也称为时间一致性。显然，动态效用函数（UΦαt）t∈[0，T]，由UφαT（X）定义：=AV@Rα(-X | Ft），满足正则性和条件平移不变性，但它不是递归的（参见[25，示例，11.13]）。更糟糕的是，根据[34]中的定理1.10，对于任何α<1，通常不存在正则的条件翻译不变量和递归动态效用函数U，使得U=UΦα。这意味着我们不能用一个正则的、有条件的平移不变的和递归的动态效用函数U将停止问题（2.3）一般化为停止问题（4.1）。

请注意，这个结论可以从[34]的定理1.10中得出，因为AV@Rα是法律不变量，即对于相同分布的X andY，AV@Rα（X）=AV@Rα（Y），并且满足AV@Rα（0）=0以及AV@Rα的性质(-εA）>0对于任何ε>0和A∈ F，P（A）>0。停车问题（2.3）也可以被视为以下停车问题的特例：supτ∈TZ∞w（P（Yτ>x））dx，（4.2），其中w:[0，1]7→ [0,1]是一个所谓的失真函数，即w是非减损函数，满足w（0）=0，w（1）=1。的确，如果是α∈]0，1[畸变函数wα由wα（u）定义：=uα∧ 1，则停止问题（2.3）和（4.2）重合。再次回顾[34]中的定理1.10，我们发现停止问题（4.2）一般不能用（4.1）形式表示，具有某种正则、条件平移不变和递归动态效用泛函。[40]最近考虑了停车问题（4.2）。然而，[40]中的分析依赖于一些额外的假设。首先，作者考虑到某些过滤概率空间的所有有限停车时间w.r.t(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）而不是限制在固定数字范围内。其次，它们为过程（Yt）t假设了一种特殊的结构≥0，也就是说，对于[0]上的绝对连续非负函数u，假设Yt=u（St），∞【对于一维几何布朗运动（St）t≥第三，作者的重点是严格增加绝对连续畸变函数，因此他们的分析不包括平均值处于风险的情况。更准确地说，在[40]中，formsupτ的最优停止问题∈T∞Dw（u（Sτ））=supτ∈T∞Z∞研究了w（P（u（Sτ）>x））dx，（4.3）14d.BELOMESTNY和V.KR–atschmery，其中∞表示所有有限停车时间的集合。

作者论证的一个关键步骤是重新表述最优停止问题（4.3）assupτ∈T∞Dw（u（Sτ））=supF∈DZ∞w（1）- F（x））u（x）dx=supF∈DZu（F）←（u） ）w（1- u） du，其中u和w的uand-ware导数，以及D分别表示所有分布函数F的集合，具有非负支撑，例如r∞(1-F（x））dx≤ [40]中方法的主要思想是，任何此类分布函数都可以被描述为某些特定停止时间τ的Sτ分布函数∈ T∞这使得这种方法的应用成为可能。因此，结果本质上与随机过程（Yt）的特殊结构有关≥0和似乎不可推广到Yt=U（Xt）形式的随机过程，其中（Xt）t≥0是一个多元马尔可夫过程。此外，目前尚不清楚[40]的分析是否可以推广到有界停止时间的情况，因为Skorokhod嵌入不能应用于一般的停止时间T集（参见例[3]）。数值例子。在本节中，我们将说明如何使用我们的结果为不确定环境中的百慕大型期权定价。具体地说，我们考虑了具有d个相同分布资产的模型，其中每个基础资产都有股息收益率δ。资产的动态由（5.1）dXitXit=（r）给出- δ） dt+σdWit，i=1，d、 其中Wit，i=1，d、 是独立的一维布朗运动，r，δ，σ是常数。随时∈ {t。

，tJ}期权持有人可以行使该期权并获得报酬-rt（最大值（Xt，…，Xdt）- K） +。如果我们不确定我们的建模假设，并且如果使用平均风险价值来衡量与此不确定性相关的风险，则期权的风险调整价格由upτ给出∈T[T，…，tJ]AV@Rα(-Yτ）=supτ∈T[T，…，tJ]supQ∈QΦα，0EQ[-Yτ]=infx≤0supτ∈T[T，…，tJ]Eα（x+Yτ）+- 十、,（5.2）不确定条件下的最优停车，其中QΦα，t考虑所有概率测度Q对F的影响，其中dqdp英尺≤ 1/α，P | Ft- a、 s。。（5.3）如果我们将注意力局限于dxit=Xit（αitdt+σitdWit），i=1，…，的广义Black-Scholes模型类，具有适应过程（αit），（σit）和独立布朗运动Wt，Wdt，然后是DQDPFt=exp-dXi=1ZtθisdWis-dXi=1Zt（θis）ds！θit=（αit）- r+δ）/σIt，条件（5.3）转化为xp-dXi=1ZtθisdWis-dXi=1Zt（θis）ds！≤ 1/α，P | Ft- a、 s。。由于推论3.3，人们可以使用基于动态编程原理的标准方法来求解（5.2），T[T，…，tJ]代表一组值为{T，…，tJ}的稳定时间。实际上，对于任何固定的x，停止问题的最佳值v=supτ∈T[T，…，tJ]Eα（x+Yτ）+- 十、例如，可以通过众所周知的回归方法（如Longstaff-Schwartz方法）进行数值近似。这样就可以得到（次优）停止规则bτx:=infn0≤ J≤ J：（x+Ytj）+/α- 十、≥bCj（Xtj，x）o，其中bc，bCJare连续值估计。然后n:=infx≤0（NNXn=1）x+Y（n）tbτ（n）x+/α - x） （5.4）是V的低偏差估计。请注意，可以使用简单的搜索算法轻松计算in（5.4）。上偏估计值可以是16 D.下偏估计值和V。

KR–ATSCHMERTable 1参数K=100、r=0.05、σ=0.2、δ=0.1的二维百慕大最大呼叫的边界（带标准偏差）AV@R在αα级，下限vlnuper-bound VuN0。33 23.64（0.026）23.92（0.108）0.50 16.06（0.019）16.12（0.045）0.67 12.05（0.014）12.09（0.034）0.75 10.71（0.013）10.75（0.030）采用著名的安达信-布罗迪双重方法构造（见[2]）。对于任何固定的x≤ 这个方法会给我们一个离散时间鞅（Mxj）j=0，。。。，反过来，它可以通过表示（3.7）：VuN:=infx来建立一个上偏差估计≤0（NXn=1“supj=0，…，Jαx+Y（n）tj+- 十、- Mx，（n）j#).（5.5）请注意，（5.5）即使我们将（5.5）中的目标函数的最大值替换为其在固定点x处的值，也仍然存在上限偏差。在表5中，我们给出了不同α值的界限Vl和VuNtogether及其标准差。至于实现细节，我们使用了12个回归基函数（见[2]）和10个训练路径来计算，密苏里州。在Andersen和Broadie的双重方法中，进行了10次内部模拟以近似Mx。在这两种情况下，我们都模拟了N=10的测试路径，以计算最终估计值。为了进行比较，让我们考虑在熵风险度量（2.4）下对上述百慕大期权进行定价的问题。由于（2.5），我们需要解决最优停止问题vγ=supτ∈T[T，…，tJ]Eexp（γYτ）.后一个问题可以通过如上所述的标准动态规划结合回归来解决。表5给出了参数γ不同值的对数（V）/γ的上下限。不幸的是，对于较大的γ值，由于（2.5）中存在指数，相应的MC估计值不稳定。

在图1中AV@R熵风险度量如图所示。可以看出，上界和下界的质量非常相似。但由于上述不稳定因素，AV@R在更高的不确定性下，应优先考虑。不确定度下的最佳停车170.4 0.5 0.6 0.712 14 16 18 20 22 24α0.00 0.01 0.02 0.03 0.048 10 12 14 16γ图1。下百慕大期权价格的上下限AV@R（左）和熵风险（右）度量。表2参数为sk=100、r=0.05、σ=0.2、δ=0.1的二维百慕大最大呼叫在参数为γ下界上限0的熵风险度量下的边界（带标准偏差）。0025 8.218979 (0.011) 8.262082 (0.029)0.005 8.399141 (0.015) 8.454748 (0.032)0.01 8.797425 (0.017) 8.888961 (0.041)0.02 9.698094 (0.020) 10.03958 (0.058)0.03 12.72327 (0.020) 12.74784 (0.072)0.04 17.47090 (0.022) 17.50481 (0.095)6. 具有随机停止时间的最优停止问题。为了证明定理3.1，我们将进行如下操作。首先，通过引理A.1（参见附录A），我们立即得到（6.1）supτ∈TsupQ∈QΦ，0等式[Yτ]- EΦdPdQ= supτ∈Tinfx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] 。如果我们能证明（6.2）supτ，定理3.1的证明就完成了∈Tinfx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] =infx∈Rsupτ∈TE[Φ*（x+Yτ）- x] 。利用Fubini定理，我们得到了任意τ∈ T和每个x∈ RE[Φ*（（x+Yτ）+）- x] =Z∞十、-Φ*（x+z）[1- FYτ（z）]dz+Φ*（x+）- x、 18 D.BELOMESTNY和V.KR–atschmer其中FYτ代表Yτ和Φ的分布函数*表示凸函数Φ的右导数*. 同样地，我们也可能发现[Φ*(-（x+Yτ）-)] = -Zx-Φ*（x+z）FYτ（z）dz。因此，财产*（x） =Φ*（x+）+Φ*(-十、-) 为了x∈ R收益率（6.3）E[Φ*（x+Yτ）- x] =Z∞Φ*（x+z）[1- FYτ（z）]dz+Φ*（十）- xforτ∈ T和x∈ R

自集合F:={FYτ|τ∈ 一般来说，Yτ的分布函数FYτ的T}不是R上分布函数集的凸子集，我们不能应用已知的minimax结果。首先确定（6.2）较大类别的随机停止时间，然后证明最佳值与最佳值supτ一致∈Tinfx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] 。让我们回顾一下随机停车时间的概念。根据定义（见E.g.[20]），随机停止时间w.r.t(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）是一个映射τr：Ohm × [0, 1] → [0, ∞] 在第二个分量中是不减量的且保持连续的，因此τr（·u）是停止时间w.r.t.（Ft）t∈[0，T]适用于任何u∈ [0, 1]. 注意，任何随机停止时间τris也都是普通停止时间w.r.t.扩大的过滤概率空间Ohm ×[0,1]，F B（[0,1]），英尺 B（[0,1]）T∈[0，T]，P 聚氨基甲酸酯. 这里是[0,1]上的均匀分布，定义为B（[0,1]），通常的Borelσ-代数[0,1]。如果τr（ω，·）对于每个ω都是常数，我们称随机停止时间τrto退化∈ Ohm. 停止时间和退化随机停止时间之间存在明显的一一对应关系。考虑随机过程（Yrt）t≥0，由YRT定义：Ohm × [0, 1] → R、 （ω，u）7→ Yt（ω）。它适用于扩大的过滤概率空间。用tr表示所有随机停止时间τr的集合≤ T、 我们将研究以下新的停止问题（6.4）∈RE[Φ*（x+Yrτr）- x] 关于τr∈ 显然，infx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] =infx∈RE[Φ*（x+Yrτr）- x] 对于每个停止时间τ有效∈ T，其中τr∈ Tris在不确定随机停止时间下相应的退化时间停止，使得τr（ω，u）=τ（ω），u∈ [0, 1].