模型不确定性下的最优停车：随机停车时间

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英文标题：
《Optimal stopping under model uncertainty: randomized stopping times
  approach》
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作者：
Denis Belomestny and Volker Kraetschmer
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this work we consider optimal stopping problems with conditional convex risk measures called optimised certainty equivalents. Without assuming any kind of time-consistency for the underlying family of risk measures, we derive a novel representation for the solution of the optimal stopping problem. In particular, we generalise the additive dual representation of Rogers (2002) to the case of optimal stopping under uncertainty. Finally, we develop several Monte Carlo algorithms and illustrate their power for optimal stopping under Average Value at Risk.
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中文摘要：
在这项工作中，我们考虑了具有条件凸风险度量的最优停止问题，称为优化确定性等价物。在不假设潜在风险度量族的任何时间一致性的情况下，我们推导出了最优停止问题的一种新表示。特别地，我们将Rogers（2002）的加法对偶表示推广到不确定性下的最优停止情况。最后，我们开发了几种蒙特卡罗算法，并说明了它们在平均风险值下的最优停止能力。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Optimal_stopping_under_model_uncertainty:_randomized_stopping_times_approach.pdf (654.03 KB)

2022-5-6 05:06:54 上传

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关键词：不确定性 确定性 不确定 Presentation Mathematical

根据应用概率年鉴arXiv:arXiv:0000.000模型不确定性下的最优停止：Denis Belomestny和Volker Kr¨atschmerDuisburg-Essen大学的随机停止时间逼近在这项工作中，我们考虑了具有ρΦt（X）=supQ形式的条件凸风险度量的最优停止问题∈Qt情商[-X |英尺]- EΦdQdP英尺,其中Φ：[0，∞[→ [0, ∞] 是一个下半连续凸映射，QT代表一组绝对连续的概率测度Q。给定的测度P和Q=P在Ft上。这里，模型的不确定性风险取决于（随机）发散ΦdQdP英尺测量我们不确定的假设概率测度和时间t的参考概率测度之间的距离。Let（Yt）t∈[0，T]是一个适应的非负右连续随机过程，它满足一些适当的可积条件，并使T成为[0，T]上的停止时间集，然后在不假设族（ρΦT）的任何时间一致性的情况下，我们导出了一个新的表示supτ∈TρΦ(-Yτ）=infx∈Rsupτ∈TEΦ*（x+Yτ）- 十、,这使得基于标准动态编程方法的应用成为可能。特别是，我们将Rogers[38]的加法表示推广到不确定性下的最优停止情况。最后，我们开发了几种蒙特卡罗算法，并说明了它们在平均风险值下的最优停止能力。1.导言。本文研究了不确定环境下的最优停车问题。基于动态规划原理的最优停止问题的经典解假设存在唯一的主观先验分布来驱动奖励过程。

然而，例如，在不完全金融市场中，我们必须处理多个等价鞅测度，不确定哪一个*这项研究部分得到了德国科学基金会（Deutsche Forschungsgeminschaft）通过SPP 1324“从复杂系统中提取量化信息的数学方法”的支持，并得到了德国联邦政府资助的MIPT预测建模数据分析结构方法实验室（Laboratory for Structural methods of Data Analysis in Predictive Modeling）的支持。11.G34。31.0073.初级60G40，60G40；次要91G80关键词和短语：优化确定性等价物、最佳停止、原始表示、加性双重表示、随机停止时间、精简设置2 D.BELOMESTNY和V.KR–atschmer是市场的基础。事实上，在存在多重可能分布的情况下，通过对某个主观先验的最大化来解决最优停止问题是不可靠的。相反，将大量可能的分布视为一种模型不确定性风险是合理的，在制定非最优停止问题时，应将其考虑在内。这里我们可以借鉴风险度量理论中的概念。作为目前0时静态风险评估的通用概念，凸风险度量是被视为金融风险的随机变量向量空间上的特定函数ρ（见[27]和[28]）。它们通常具有以下类型的鲁棒表示ρ（X）=supQ∈Q（P）情商[-X]- γ（Q）,（1.1）其中Q（P）表示给定参考概率测度P绝对连续的一组概率测度，γ是某种惩罚函数（参见[15]和[25]）。通过这种方式，模型不确定性被合并，因为没有假设特定的概率度量。

此外，增强功能可以衡量模型的合理性。从静态风险评估转向动态风险评估，凸风险度量已经扩展到了未来时间t的条件凸风险度量ρ的概念，这是具有随机结果的金融风险空间上的特定函数（见[9]、[19]和[16]）。在某些正则条件下，它们具有形式的鲁棒表示（参见[26]、[18]或[25，第11章]）ρt（X）=supQ∈Qt情商[-X |英尺]- γt（Q）,（1.2）式中，γ是（随机）惩罚函数，qt由所有Q组成∈ Q（P）与Ft上的Q=P一样。如（1.1）中所示，稳健表示（1.2）反映了模型的不确定性，但现在是在未来的时间t。近年来，带族的最优停止（ρt）t∈[0，T]的条件转换风险度量是几项研究的主题。例如，作品[36]和[32]是在时间离散的框架内解决的，其中，后一个框架提供了一些对偶表示，扩展了经典最佳停止的广为人知。[5]、[6]、[7]、[14]中考虑了连续时间内的最佳停车。所有这些贡献都限制了他们对（ρt）t家族的分析∈[0，T]满足时间一致性的性质，有时也称为递归性，定义为ρs(-ρt）=ρs，0≤ s<t≤ T.不确定条件下的最优停止3例如，上述论文的结果不能用于解决在这种非常流行的凸风险度量平均风险值下的最优停止问题。到目前为止，唯一一篇研究非时间一致的条件凸风险测度族的论文是[40]，作者考虑了所谓的扭曲平均支付函数。然而，对[40]的分析也排除了风险平均值的情况。

此外，要停止的过程类仅限于一维几何布朗运动的函数。[40]中使用的主要概率工具是Skorokhod嵌入。在本文中，我们考虑了一类相当一般的条件凸风险测度，其表示形式（1.2）为γt（Q）=EΦdQ/dP英尺对于某些下半连续凸映射Φ：[0，∞[→ [0, ∞]. [10]，[11]中首次引入了相关的风险度量等级ρ，称为分歧风险度量等级或优化确定性等价物。任何分歧风险度量的表示形式为ρ（X）=infx∈重新Φ*十、- 十、- 十、用Φ*: R→ [0, ∞], y 7→ 好的≥0（xy）- Φ（x））。（参见[10]、[11]、[17]或附录A）。在这里，我们研究的问题是最优的奖励过程ρ(-Yt），其中（Yt）t∈[0，T]是一个具有supt的自适应非负右连续随机过程∈[0，T]满足某种适当的可积条件。我们不假设ρ族的时间一致性，基本上不对（Yt）施加进一步的限制。我们的主要结果是SUPτ的代表性∈Tρ(-Yτ）=infx∈Rsupτ∈TE[Φ*（x+Yτ）- x],（1.3）这允许我们应用普通最优停止问题理论中的众所周知的方法。特别是，我们推导出了形式的所谓编辑对偶表示：infx∈林菲姆∈谢谢∈[0，T]Φ*（x+Yt）- 十、- Mt#,（1.4）其中Mis是在时间0时消失的适应鞅类。这种对偶表示法推广了著名的罗杰斯对偶表示法[38]。表示法（1.4）和（1.3）可以有效地用于蒙地卡罗的D.BELOMESTNY和V.KR–ATSCHMERconstruct最优值（1.3）的上下限。本文的组织结构如下。在第二节中，我们介绍了符号并建立了最优停止问题。

主要结果在第3节中给出，其中特别制定了确保鞍点存在的标准（1.3）。第4节讨论了主要结果及其与以前文献的关系。第5节给出了计算值函数上下界的蒙特卡罗算法，并对平均值风险下的最优停止进行了数值分析。推导表达式（1.3）的关键思想是考虑最优性停止问题最大化ρ(-Yτr）在τr上∈ Tr，其中Tr表示[0，T]上所有随机停止时间的集合。第6节将对其进行研究，特别是将证明这个最优停止问题与原始问题具有相同的最优值。最后，第7.2节收集了证据。设置。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，表示为byL：=L(Ohm, F、 P）所有单位值随机变量的类别（模P-a.s.等价）。设ψ是一个年轻函数，即一个左连续、不减损的凸函数ψ：R+→ [0, ∞] 使得0=ψ（0）=limx→0ψ（x）和limx→∞ψ（x）=∞. 与ψ相关的Orlicz空间定义为Lψ：=Lψ(Ohm, F、 P）=十、∈ L:E[ψ（c|X|）]∞ 对于某些c>0.当赋予Luxemburg范数kxkψ：=inf{λ>0:E[ψ（|X |/λ）]≤ 1} .Orlicz心脏isHψ：=Hψ(Ohm, F、 P）=十、∈ L:E[ψ（c|X|）]∞ 对于所有c>0.例如，对于某些p，如果ψ（x）=xp/p∈ [1, ∞[，那么Hψ=Lψ=Lp:=Lp(Ohm, F、 P）是通常的Lp-空间在这种情况下，kY kψ=p-1/pkY kp，其中K·kp代表Lp-标准如果ψ取这个值+∞, 然后Hψ={0}和Lψ=L∞:= L∞(Ohm, F、 P）定义为包括所有P-本质上是有界随机变量。根据Jensen不等式，我们总是有Hψ L.在有限ψ的不确定性5情况下的最佳停止中，我们看到∞是Hψ的一个线性子空间，它是densew。r、 t。

k·kψ（见[21]中的定理2.1.14]）。设0<T<∞ 让我(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）是一个过滤概率空间，其中（Ft）T∈[0，T]是一个右连续过滤，F只包含概率为0或1的集合以及F的所有空集合。此外，考虑下半连续凸映射Φ：[0，∞[→ [0, ∞] 满足Φ（x）<∞ 对于某些x>0的情况，infx≥0Φ（x）=0和limx→∞Φ（x）x=∞. ItsFenchel-Legendre变换Φ*: R→ R∪ {∞}, y 7→ 好的≥0xy- Φ（x）是一个有限的非减损凸函数，其约束Φ*[0,∞[0，∞[是一个有限的年轻函数（参见附录a中的引理a.1）。我们将使用HΦ*表示Orlicz心脏w.r.t.Φ*[0,∞[.然后我们可以定义一个条件转换风险度量（ρΦt）t∈[0，T]通过ρΦT（X）=ess supQ∈QΦ，t情商[-X |英尺]- EΦdQdP英尺为了所有的X∈ HΦ*, 式中，QΦ，t表示绝对连续的w.r.t.P的所有概率测度的集合，使得ΦdQdP是P吗-Ft上的被积函数和Q=P。注意dqdpx是P-每Q可积∈ QΦ，0和anyX∈ HΦ*因为年轻人的不平等。现在考虑一个与（Ft）相适应的右连续非负随机过程（Yt）。此外，让t包含所有有限的回采时间τ≤ T w.r.T.（英尺）。我们研究的主要对象是以下最优停车问题（2.1）supτ∈TρΦ(-Yτ）。如果我们将Φ（x）=0设为x≤ 1和Φ（x）=∞ 否则，我们将得到经典停止问题（2.2）supτ∈TE[Yτ]。众所周知，问题（2.2）的最优值可以被视为美式期权的一个风险中性价格，并带有折扣支付∈[0，T]在时间T=0时。然而，面对不完全性，似乎不适合假设风险中性度量的唯一性。相反，应该考虑到驱动贝洛梅斯特尼和V·克拉施梅尔茨的随机过程的不确定性。

考虑到问题（2.1）的最优值作为替代定价规则，通过取QΦ，t的上确界，将模型不确定性风险纳入其中，其中惩罚函数用于评估可能模型的合理性。模型越可信，惩罚函数的值就越低。示例2.1。让我们以所谓的平均风险价值度量为例来说明我们的设置。风险水平α的平均风险值∈]0,1]定义为以下函数：AV@Rα：X 7→ -αZαF←X（β）dβ，其中X∈ 土地F←xD表示F定义的分布函数FXX的左连续分位数函数←X（α）=inf{X∈ R | FX（x）≥ α} 对于α∈]0,1[注意，AV@R（X）=E[-十] 对于任何X∈ 此外，众所周知，av@Rα（X）=supQ∈QΦα，0EQ[-十] 为了X∈ 五十、 式中，Φα是由Φα（x）=0表示x定义的年轻函数≤ 1/α和Φα（x）=∞ 否则（参见[25，定理4.52]和[30]）。注意，集合QΦα，0包含F上的所有概率测度和dqdp≤ 1/αP-a、 s。。因此，最优停车问题（2.1）如下（2.3）supτ∈TAV@Rα(-Yτ）=supτ∈TαZ1-αF←Yτ（β）dβ.家庭ραtT∈与Φα相关的条件凸风险测度的[0，T]也被称为条件凸风险测度AV@R（AV@Rα（·| Ft））t∈[0，T]处于α水平（参见[25，定义11.8]）。例2.2。让我们考虑，对于任何γ>0，连续凸映射Φ[γ]：[0，∞[→ 定义为Φ[γ]（x）=（x ln（x）- 对于x>0和Φ[γ]（0）=1/γ，x+1）/γ。Φ[γ]的芬切尔-勒让德变换由Φ给出*[γ] （y）=（exp（γy）- 1） /γ代表y∈ R.根据引理A.1（参见附录A），相应的风险度量ρΦ[γ]具有（2.4）ρΦ[γ]（X）=infx的表示形式∈重新exp（γx）- γX）- 1γ- 十、=自然对数E[exp(-γX）]不确定条件下7x的γ最优停止∈ HΦ*[γ]. 这是众所周知的熵风险度量。

熵风险测度下的最优停车问题易于处理，因为它可以通过（2.5）supτ简化为标准的最优停车问题∈TρΦ[γ](-Yτ）=γ·lnsupτ∈TEhexp（γYτ）.例2.3。设置任意p的Φ[p]=xp/p∈ ]1.∞[，那么集合QΦ[p]，0包含F上的所有概率测度Q和dqdp∈ Lp和ρΦ[p]（X）=supQ∈QΦ[p]，0情商[-X]-体育课dQdPP为了X∈ Lp/（p）-1).3. 主要结果。设int（dom（Φ））表示映射Φ[0]的有效域的拓扑内部，∞[→ [0, ∞]. 我们假设Φ是满足（3.1）1的下半连续凸函数∈ int（dom（Φ）），infx≥0Φ（x）=0，和，limx→∞Φ（x）x=∞.3.1. 原始表象。下面的定理是我们的主要结果。定理3.1。让(Ohm, Ft，P | Ft）是无原子的，每t>0，就有可数生成的Ft。此外，让（3.1）充满，让我们支持∈[0，T]Yt∈ HΦ*,thensupτ∈TρΦ(-Yτ）=supτ∈Tinfx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] =infx∈Rsupτ∈TE[Φ*（x+Yτ）- x] <∞.备注3.2。函数函数*: HΦ*→ R、 x7→ infx∈RE[Φ*（x+x）- x] 被称为优化确定性等价物w.r.t.Φ*（参见[10]，[11]）。因此，关系supτ∈Tinfx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] =infx∈Rsupτ∈TE[Φ*（x+Yτ）- x] （3.2）也可被视为具有最佳确定性等价物的最佳停止的表示结果。8 D.BELOMESTNY和V.KR¨ATSCHMERLet我们用一些α来说明Φ=Φα情况下的定理3.1∈]0, 1].杨函数Φα满足定理3.1的条件当且仅当α<1。芬切尔-勒让德变换*Φ的α由Φ给出*α（x）=x+/α，它完全满足不等式Φ*α（x+y）- 十、≥ Φ*x，y的α（y）≥ 然后，作为定理3.1的直接结果，我们得到了最优停止问题（2.3）的以下主要表示。推论3.3。让(Ohm, Ft，P | Ft）是无原子的，每t>0可数生成Ft。

如果支持∈[0，T]Yt∈ 五十、 然后它适用于α∈]0,1[supτ∈TAV@Rα(-Yτ）=infx∈Rsupτ∈TEα（x+Yτ）+- 十、= infx≤0supτ∈TEα（x+Yτ）+- 十、< ∞.现在让我们考虑一些p的情况Φ=Φ[p]∈]1.∞[.该映射满足定理3.1和Φ[p]的所有要求*（x） =Φ[p/（p）-1） [（x+）。然后根据定理3.1，我们得到了相应的最优停止问题的以下原始表示。推论3.4。让(Ohm, Ft，P | Ft）是无原子的，每t>0可数生成Ft。如果支持∈[0，T]Yt∈ Lp/（p）-1） 为了一些p∈]1.∞[，然后是supτ∈TρΦ[p](-Yτ）=infx∈Rsupτ∈TE“（p- 1)（x+Yτ）+p/（p）-1） p- x#<∞.3.2. 解决方案的存在。一个自然的问题是我们能否找到一个实数x*和a（Ft）-停止时间τ*这解决了（3.2）。我们可以在离散时间问题的背景下给出一个相当一般的答案。为了更精确，让ttt用T中的值表示T的所有停止时间，其中T是包含{0，T}的[0，T]的任何有限子集。现在考虑一下停车问题（3.3）(-Yτ）在τ上∈ TT。移交给过滤（FT）t∈[0，T]由FTt定义：=F[T]和[T]：=max{s∈ T|s≤ t} ，我们看到∈[0，T]和YTt:=Y[T]描述了一些（FTt）-适应过程。因此，我们可以将定理3.1应用于getsupτ∈TTρΦ(-Yτ）=supτ∈TTinfx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] =infx∈Rsupτ∈TTE[Φ*（x+Yτ）- x] （3.4）不确定条件下的最优停止9在本节中，我们希望找到保证优化问题（3.5）最大化infx的鞍点存在的条件∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] 超过τ∈ t和（3.6）最小化supτ∈TTE[Φ*（x+Yτ）- x] 超过x∈ R.为此，我们将借用有限维向量测度的李雅普诺夫定理中的一些论点。本文中的一个核心概念是可积映射的薄子集的概念。因此，让我们先把它称为。