模型不确定性下的最优停车：随机停车时间

因此，总的来说，由于（6.1），停止问题（6.4）的最优值至少与原始停止问题（2.1）的最优值一样大。考虑新停止问题（6.4）的一个原因是，它在相当一般的条件下有一个解。提议6.1。让（Yt）t∈[0，T]是准左连续的，定义为平均τn→ YτP-a、 s.无论何时（τn）n∈对于某些τ，T中满足τn%τ的Nis序列∈ T如果FTis可数生成，则存在随机停止时间τr*∈ tr这样的infx∈REhΦ*（x+Yrτr）*) - xi=supτr∈Trinfx∈RE[Φ*（x+Yrτr）- x] 。该命题将在第7.1节中得到证明。此外，以下关于停止问题（6.4）的重要极小极大结果成立。提议6.2。如果（3.1）已满，如果支持∈[0，T]Yt∈ HΦ*, thensupτr∈Trinfx∈RE[Φ*（x+Yrτr）- x] =infx∈Rsupτr∈TrE[Φ*（x+Yrτr）- x] 。此外，如果（Yt）t∈[0，T]是准左连续的，如果FTis可数生成，则存在τr*∈ Trand x*∈ R就是这样*（十）*+ Yrτr）- 十、*] ≤ E[Φ*（十）*+ Yrτr*) - 十、*] ≤ E[Φ*（x+Yrτr）*) - x] 为了x∈ R和τ∈ Tr.命题6.2的证明可在第7.2节中找到。在下一步中，我们将提供条件，确保停止问题（2.1）和（6.4）具有相同的最佳值。提议6.3。让(Ohm, Ft，P | Ft）是无原子的，每t>0可数生成Ft。如果（3.1）已满，如果支持∈[0，T]yt属于HΦ*,thensupτr∈Trinfx∈RE[Φ*（x+Yrτr）- x] =supτ∈Tinfx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] =supτ∈TsupQ∈QΦ，0等式[Yτ]- EΦdPdQ提案6.3的证明委托给第7.3.20 D节BELOMESTNY和V.KR–ATSCHMER7。证据。我们将从一些准备工作开始，这些准备工作也将有助于以后的工作。让我们回忆一下（参见[20]），每个τr∈ Trinducesa随机核Kτr：Ohm ×B（[0，T]）→ [0，1]其中Kτr（ω，·）是τr（ω，·）在任意ω的pu下的分布∈ Ohm.

这里B（[0，T]）代表通常的Borelσ-[0，T]上的代数。该随机核具有以下性质：Kτr（·，[0，t]）为Ft- 每个t都是可测量的≥ 0，Kτr（ω，[0，t]）=sup{u∈ [0,1]|τr（ω，u）≤ t} 。相关的随机核Kτri有助于描述分布函数FYrτrof Yrτr引理7.1。对于任意τr∈ tr与相关的随机核Kτr一起，分布函数FYrτrofτr可以用以下方式表示FYrτr（x）=E[Kτr（·，{t∈ [0，T]| Yt≤ x} ）]对于x∈ R.证明。设τr∈ Tr，让我们∈ R.ThenFYrτR（x）=E[]-∞,x] （Yrτr）]=ZE[]-∞,x] （Yrτr（·，u））]du=EZ]-∞,x] （Yrτr（·，u））du保持（参见[20，定理4.5]），其中右侧的最后一个等式是由Fubini-Tonelli定理得出的。然后通过定义Kτr，我们得到每一个ω∈ OhmZ]-∞,x] （Yrτr（ω，u））du=EPUh]-∞,x] （Yrτr（ω，·）（ω））i=PUnYrτr（ω，·）（ω）≤ xo= Kτr（ω，{t∈ [0，T]| Yt（ω）≤ x} ）。这就完成了证明。根据一位裁判的建议，我们提出了命题的证据。1在6.2号提案前面。不确定性下的最优停车217.1。命题6.1的证明。让我们介绍一下过滤概率空间(Ohm, F、 （eFt）0≤T≤∞, P） 定义的byeFt=（Ft，t≤ TFT，t>t。我们将根据(Ohm, F、 （eFt）0≤T≤∞, P） 。此外，我们可以扩展过程（Yt）t∈[0，T]和（Yrt）T∈[0，T]到右连续过程（eYt）T∈[0,∞]和（爱）t∈[0，T]以下列方式T=（Yt，T≤ TYT，t>TandeYrt=（年，t≤ TYrT，t>t.回想一下，我们可能会配备所谓的Baxter-Chacon拓扑，它通常是紧凑的，甚至在我们的设置中是可度量的，因为假定FTI是可数生成的（参见。

[4]中的定理1.5及其后的讨论）。下一步，考虑映射h:eTr×R→ R、 （|τR，x）7→ 呃Φ*（x+~Yrτr）- xi根据（Yt）t的假设∈[0，T]，过程（eYt）T∈[0,∞]和（爱）t∈[0，T]是准左连续的。此外，Φ*由于引理A.1，（i）在附录A中是连续的，所以Φ*x+eYrt- 十、T∈[0，T]是一个准左连续和右连续的自适应过程。因此，根据[20，定理4.7]，映射h（·，x）是连续的w.r.t。everyx的Baxter-Chacon拓扑∈ R、 因此infx∈Rh（·，x）是上半连续的w.r.t.BaxterChacon拓扑。然后，通过Baxter-Chacon拓扑的紧性，我们可以找到一些随机停止时间τr∈例如，infx∈Rh（τr，x）=supτr∈eTrinfx∈R~h（~τR，x）。这就完成了证明，因为∧Yrτr=Yrτr∧Tand)τr∧ T属于Trforeveryτr∈eTr。7.2. 命题6.2的证明。让我们定义映射h:Tr×R→ Rbyh（τr，x）：=E[Φ*（x+Yrτr）- x] 22 D.BELOMESTNY和V.KR¨atschmersin supt∈[0，T]Ytis被认为属于HΦ*, 映射supτr∈Trh（τr，·）是有限且凸的，因此是连续的。此外，引理A.1（参见附录A）limx→-∞supτr∈Trh（τr，x）≥ 利克斯→-∞(Φ*（十）- x） =∞ = 利克斯→∞(Φ*（十）- 十）≤ 利克斯→∞supτr∈Trh（τr，x）。因此infx∈Rsupτr∈Trh（τr，x）=infx∈[-ε、 ε]supτr∈对于某些ε>0。Thussupτr∈Trh（τr，·）在x处达到最小值*由于supτr的连续性∈Trh（τr，·）。此外，如果（Yt）t∈[0，T]是准左连续的，如果FTis可数生成，则infx∈Rh（τr）*, x） =supτr∈Trinfx∈对于某些τr，Rh（τr，x）*∈ 根据6.1号提案。还有待证明supτr∈Trinfx∈Rh（τr，x）=infx∈Rsupτr∈Trh（τr，x）。按照与（6.3）的推导相同的推理路线，我们可以用以下方式重写h。（7.1）h（τr，x）=Z∞Φ*（x+z）[1- FYrτr（z）]dz+Φ*（十）- x、 其中FYrτ表示Yrτr的分布函数，Φ*表示凸函数Φ的右导数*.

显然，我们有（7.2）h（τr，·）是凸的，因此对于每个τr是连续的∈ Tr.Setβ：=infx∈Rsupτr∈TrE[Φ*（x+Yrτr）- x] +1=infx∈Rsupτr∈Trh（τr，x）+1是实数，因为supτr∈Trh（τr，·）已经被证明是一个在r的某个紧区间上达到最小值的有限函数。此外，我们可以从h（τr，x）得出结论≥ Φ*（十）- x换x∈ R表示（7.3）Iβ：={x∈ R |Φ*（十）- 十、≤ β} 是紧致区间，τr的（7.4）h（τr，x）>β∈ Trand x∈ R\\Iβ。通过（7.4）我们验证了supτr∈Trinfx∈τ（Rh，τ）=∈Trinfx∈Iβh（τr，x）和infx∈Rsupτr∈Trh（τr，x）=infx∈Iβsupτr∈Trh（τr，x）。不确定条件下的最优停止23我们想将范氏极小极大定理（参见[23，定理2]或[13]）应用于h |Tr×Iβ。鉴于（7.2）和（7.3），仍需证明，对于每个τr，τr∈ Tr，以及任意λ∈]0，1[存在一些τr]∈ tr使得λh（τr，x）+（1- λ） h（τr，x）≤ 所有x的h（τr，x）∈ R.（7.5）为此，让τR，τR∈ 具有相关随机核Kτr、Kτr和λ的tr∈]0,1[.首先，K:=λKτr+（1- λ） Kτr：Ohm ×B（[0，T]）→ [0,1]定义了一个令人满意的内核（·，[0,t]）是Ft- 每个t都是可测量的∈ [0，T]，K（ω，[0，T]）=1。然后τr（ω，u）：=inf{t∈ [0，T]| K（ω，[0，T]）≥ u} 定义一些τr∈ trkτr=K。此外，我们得到FYrτr=λFYrτr+（1- λ） 根据引理7.1。鉴于（7.1），这意味着（7.5），命题6.2的证明已经完成。7.3. 命题6.3的证明。证明命题的出发点。3是将停止问题（6.4）减少为适当离散的随机停止时间。离散化随机停止时间的选择由以下引理给出。引理7.2。

对于τr∈ tr构造τr[j]（ω，u）：=min{k/2j|k∈ N、 τr（ω，u）≤ k/2j}∧ 定义一个序列（τr[j]）j∈必须满足以下属性。（i） τr[j]&τr点，尤其是它遵循limj→∞Yrτr[j]（ω，u）（ω，u）=任何ω的Yrτr（ω，u）（ω，u）∈ Ohm 而每一次∈ [0, 1].（二）林杰→∞FYrτr[j]（x）=FYτr（x）对FYτr的任何连续点x保持不变（iii）对任何x保持不变∈ R和每个j∈ N我们有fyrτr[j]（x）=EhbYxt1jKτr（·，[0，t1j]）i+∞Xk=2EhbYxtkjKτr（·，]t（k-1） j，tkj]）i，其中tkj:=（k/2j）∧T代表k∈ N、 andbYxt:=]-∞,x]oYTT∈ [0，T].24 D.贝洛梅斯特尼和V.克鲁-阿特施梅尔弗。陈述（i）和（ii）是显而易见的，所以它仍然需要说明（iii）。为此，回顾引理7.1（7.6）FYτr[j]（x）=E[Kτr[j]（·，{t∈ [0，T]| Yt≤ x} ）]对于x∈ 因为KτR[j]（ω，·）是一个概率测度，所以我们也有KτR[j]（ω，{t）∈ [0，T]| Yt（ω）≤ x} ）=Kτr[j]（ω，{t∈ [0，t1j]| Yt（ω）≤ x} )+∞Xk=2Kτr[j]（ω，{t）∈]t（k）-1） j，tkj]| Yt（ω）≤ x} ）=Kτr[j]（ω，{t∈ [0，t1j]| bYxt（ω）=1}+∞Xk=2Kτr[j]（ω，{t）∈]t（k）-1） j，tkj]|bYxt（ω）=1}（7.7）对于每个ω∈ Ohm. 然后通过定义Kτr[j]和Kτr，Kτr[j]（ω，{t∈]t（k）-1） j，tkj]|bYxt（ω）=1}）=PU（{τr[j]（ω，·）∈]t（k）-1） j，tkj]，bYxτr[j]（ω，·）（ω）=1}）=PU（{τr[j]（ω，·）=tkj，bYxtkj（ω）=1}）=bYxtkj（ω）=PU（{τr[j]（ω，·）=tkj}）=bYxtkj（ωr）PU∈]t（k）-1） j，tkj]}=bYxtkj（ω）Kτr（ω，]t（K-1） j，tkj]）（7.8）对于ω∈ Ohm 和k∈ N和k≥ 2.类似地，我们也得到了（7.9）Kτr[j]（ω，{t）∈ [0，t1j]|bYxt（ω）=1}）=bYt1j（ω）Kτr（ω，[0，t1j]）。然后，将（7.7）与（7.8）和（7.9）结合，得出（iii）项陈述。证据已经完成。我们将使用EMMA 7.2中定义的离散随机停止时间，以表明我们可以在停止问题（6.4）中限制自己的离散随机停止时间。推论7.3。

如果（3.1）已满，则对于任何τr∈ Tr，我们有（我）limj→∞E[Φ*（xj+Yrτr[j]）- xj]=E[Φ*（x+Yrτr）- x] 对于任意序列（xj）j∈正在收敛到某个x∈ R不确定条件下的最优停车25（ii）limj→∞infx∈RE[Φ*（x+Yrτr[j]）- x] =infx∈RE[Φ*（x+Yrτr）- x] 。证据让映射h:Tr×R由h（τR，x）=E[Φ]定义*（x+Yrτr）- x] 。对于每个τr∈ Tr，映射h（τr，·）是凸的，因此是连续的。回顾那次支持≥0Yt∈ HΦ*(Ohm, F、 P），引理7的直接应用。2，（i）以及支配收敛定理得出（i）部分。使用[37]中的术语（另见[39]），陈述（i）意味着序列（h（τr[j]，·））j∈Nof连续映射h（τr[j]，·）epi收敛于连续映射h（τr，·）。此外，鉴于（7.3）和（7.4），我们可以得出MJ的结论→∞infx∈Rh（τr[j]，x）=infx∈Rh（τr，x），利用[37]中的定理7.31（另见[39]中的Satz B 2.18]）。以下结果提供了证明命题6.3的剩余缺失环节。引理7.4。让（3.1）充满。此外，让τr∈ Tr，让我们来看看任何j∈ N用T[j]表示包含从T取{（k/2j）值的所有非随机停止时间的集合∧ T|k∈ N} 概率为1。如果(Ohm, Ft，P | Ft）是无原子的，每t>0可数生成一个ftf，如果∈ HΦ*对于t>0，则为infx∈RE[Φ*（x+Yrτr[j]）- x]≤ supτ∈T[j]infx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] 。（7.10）证据。设kj:=min{k∈ N | k/2j≥ T}。如果kj=1，那么引理7.4的陈述是显而易见的。所以让我们假设：≥ 2.设置tkj:=（k/2j）∧ T并让映射h:Tr×R→ R通过h（τR，x）定义：=E[Φ*（x+Yτr）-x] 。我们已经从引理7.2中知道，（7.11）FYrτr[j]（x）=EhbYxt1jKτr（·，[0，t1j]）i+kjXk=2EhbYxtkjKτr（·，]t（k-1） j，tkj]）i对任何x∈ R.HerebYxt:=]-∞,x]o YTT∈ [0，T]。NextZk:=（Kτr（·，[0，t1j]），K=1Kτr（·，]t（K-1） j，tkj]），k∈ 26 D.贝洛梅斯特尼和V。

KR–Atschmer定义了一个随机变量(Ohm, Ftkj，P | Ftkj）满足0≤ Zk≤ 1P-a、 s。。此外，我们可以观察到pkjk=1Zk=1持有P-a、 s。。因为概率空间(Ohm, 假设Ftk，P | Ftk（k=1，…，kj）是无原子且可数生成的，我们可以利用推论C.4（参见附录C）以及引理C.1（参见附录C）和命题B.1（参见附录B）来确定序列（B1n，…，Bkjn）N∈Nink=1kjFtkjsuch thatB1n，bkjn是Ohm 为了n∈ N、 安德林→∞E[Bkn·g]=E[Zk·g]代表g∈ L(Ohm, Ftkj，P | Ftkj）和k∈ {1，…，kj}。特别是我们得到了（7.11）FYrτr[j]（x）=limn→∞kjXk=1ehbyxtkjbknix∈ R.So由Fatou引理和（7.1），（7.12）h（τR[j]，x）≤ 林恩芬→∞Z∞Φ*（x+z）1.-kjXk=1EhbYztkjBknidz+Φ*（十）- x或x∈ R.这里*表示Φ的右导数*. 接下来我们可以定义一个序列（τn）n∈T[j]通过τn得出的Nof非随机停止时间：=kjXk=1tkjBkn。分布函数FYτnof Yτnsatis fiefyτn（x）=kjXk=1ehbyxtkjbknix∈ 由（7.1）（7.13）h（τn，x）=Z∞Φ*（x+z）1.-kjXk=1EhbYztkjBknidz+Φ*（十）- x或x∈ R.现在的关键点是证明（？）H:=h（τ，·）|Iβ|τ∈ T[j]是在不确定性条件下的等连续最佳停车，其中Iβ是（7.3）中定义的区间。注意h（τn，·）|IβN∈这是H中的一个序列h（τ，x）|τ∈ T[j]每x有界∈ 因此，鉴于（7.2）陈述（？）结合Arzela-Ascoli定理，我们可以找到一个子序列h（τi（n），·iβN∈恩施撒林酒店→∞好的∈Iβ| h（τI（n），x）- 对于某些连续映射g:Iβ，g（x）|=0→ R

因此，我们可以从（7.13）和（7.12）（7.14）g（x）=lim infn得出结论→∞h（τi（n），x）≥ h（τr[j]，x）表示x∈ 我知道。对于任何ε>0，我们可能会发现一些n∈ 好吧∈Iβ| h（τI（n），x）-g（x）|<ε，这意味着（7.14）和（7.4）：infx∈Rh（τi（n），x）（7.4）=infx∈Iβh（τI（n），x）（7.14）≥ infx∈Iβh（τr[j]，x）- ε≥ infx∈Rh（τr[j]，x）- 证明了ε和（7.10）。因此，仍然需要显示语句（？）。（？）的证明。首先，观察τ∈ T[j]和实数x<y，它们的内质h（τ，x）+x≤ h（τ，y）+y保持不变。因此| h（τ，x）- h（τ，y）|≤ E[Φ*（y+yτ）]- E[Φ*（x+Yτ）]+|x- y |=kjXk=1Eh{tkj}o τΦ*y+Ytkj- Φ*x+Ytkj|{z}≥0i+| x- y|≤kjXk=1EhΦ*y+Ytkj- Φ*x+Ytkji+|x- y|≤kjXk=1 | h（tkj，x）- h（tkj，y）|+（kj+1）|x- y |（7.15）通过凸性，映射h（tkj，·），k=1。。。，kj，也是局部连续的。因此，鉴于（7.15），很容易验证H在每个x上是等连续的∈ 我知道。这证明了（？）。28 D.BELOMESTNY和V.KR–ATSCHMERNow，我们已经准备好证明6.3命题。通过（6.1）我们得到了supτr∈Trinfx∈RE[Φ*（x+Yrτr）- x]≥ supτ∈Tinfx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] =supτ∈TsupQ∈QΦ，0等式[Yτ]- EΦdPdQ此外，由于推论7.3和引理7.4的（ii），我们得出结论，对于任何τr∈ Trinfx∈RE[Φ*（x+Yrτr）- x] =limj→∞infx∈RE[Φ*（x+Yrτr[j]）- x]≤ supτ∈Tinfx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] 。从而证明了命题6.3。7.4. 定理3.1的证明。首先，我们从命题6.2和6.3infx中得到∈Rsupτr∈TrE[Φ*（x+Yrτr）- x] =supτr∈Trinfx∈RE[Φ*（x+Yrτr）- x] =supτ∈Tinfx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] 。此外，infx∈Rsupτr∈TrE[Φ*（x+Yrτr）- x]≥ infx∈Rsupτ∈TE[Φ*（x+Yτ）- x]≥ supτ∈Tinfx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] 。Thussupτ∈Tinfx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] =infx∈Rsupτ∈TE[Φ*（x+Yτ）- x] 这就完成了定理3.1的证明。7.5. 命题3.5的证明。简化符号，我们假设T={0，1，…，T}，T是正整数。

通过（3.4）我们得到了supτ∈TTinfx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] =infx∈Rsupτ∈TTE[Φ*（x+Yτ）- x] 。剩下的就是证明存在一个解τ*关于最大化问题（3.5）和解决方案x*关于最小化问题（3.6）。确定这样一对（τ）*, 十、*) 将按要求提供。考虑到（7.4），我们可能会发现R的一些紧区间I，使得（7.16）supτ∈TTinfx∈RE[Φ*（x+Yτ）- x] =supτ∈TTinfx∈IE[Φ*（x+Yτ）- x] 。设C（I）表示I上连续实值映射的空间。该空间将配备上范数k·k∞, 而产品C（I）被认为具有范数k·k∞,T、 由k（f，…，fT）k定义∞,T:=PTt=1kftk∞. 解决最大化问题（3.5）的关键是证明（7.17）K:={（G1，A，…GT，An）|（A，…，AT）∈ PT}是C（I）Tw的弱紧子集。r、 t.标准k·k∞,T.这里是所有（A，…，AT）满足的集合∈ FTT∈ {1，…，T}以及P（At∩ 对于t6=s和P，As=0(∪Tt=1At=1。此外，de fi neGt，地址：I→ R、 x7→ E[在·（Φ*（x+Yt）- x） 【典型范例∈ {1，…，T}，在∈ 注意，任何映射Gt，Atis都可以扩展到R上的实值凸函数，因此也是连续的。在继续之前，我们需要一些进一步的符号，即P∞t指定所有（f，…，fT）满足fT的集合∈ L∞(Ohm, 英尺，P |英尺）和英尺≥0便士-a、 s代表t∈ {1，…，T}，和ptt=1ft=1p-a、 s。。显然，子集{（A，…，AT）|（A，…，AT）∈ PT}由P的极值点组成∞T.阿尼夫特∈ L∞(Ohm, Ft，P | Ft）可能与映射ht，Ft:I有关→ R、 x7→ E[ft·（Φ*（x+Yt）- x） [t]∈ {1，…，T}）。它可以推广到R上的实值凸函数，因此也是连续的。因此，映射∧：t=1TL∞(Ohm, 英尺，P |英尺）→ C（I）T，（f，…，fT）7→ （H1，f，…，HT，fT）定义明确，明显呈线性。

此外，它还满足以下方便的连续性。引理7.5。Lett=1Tσ（L）∞t、 Lt）是σ（L）的乘积拓扑∞t、 Lt）（t=1，…，t）ont=1TL∞(Ohm, Ft，P | Ft），其中σ（L∞t、 Lt）表示L上的弱*拓扑∞(Ohm, 英尺，P |英尺）。那么，P∞t紧凑型w.r.t.t=1Tσ（L∞t、 Lt），并且映射∧是连续的w.r.t.t=1Tσ（L∞t、 Lt）和k·k诱导的弱拓扑∞,T.特别是图像∧（P∞T） P的∞Tunder∧是弱紧的w.r.t.k·k∞,T.30 D.贝洛梅斯特尼和V.克瑞特施梅尔普罗夫。∧的连续性遵循的方式与[22]中命题3.1的证明几乎相同。此外，P∞这显然是闭合的。产品拓扑图y=1Tσ（L∞t、 Lt），甚至由于巴纳赫·阿劳格卢瑟姆（Banach Alaoglutheorem）而变得紧凑。然后通过∧的连续性，集合∧（P∞T） 是弱紧的w.r.T.k·k∞,这就完成了证明。我们需要一些进一步的准备来利用引理7.5。引理7.6。让我们，t∈ 带T的{1，…，T}≤ s、 让我们∈ 如果(Ohm, Ft，P | Ft）是无原子的，如果{E[A·Φ*（x+Ys）|英尺]|x∈ R} 是一个薄薄的L(Ohm, Ft，P | Ft），然后{E[A·（Φ*（x+Y）- x） |Ft]|x∈ R} 是L的一个子集(Ohm, 英尺，P |英尺）。证据让我们∈ FTP（A）>0。自从(Ohm, Ft，P | Ft）是无原子的，我们可能会发现不相交的B，B∈ fta包含在P（B），P（B）>0的A中。然后假设存在非零的f，f∈ L∞(Ohm, Ft，P | Ft），使得fi和E[fi·E[A·Φ）都消失在外偏置中*（x+Ys）| Ft]]=0表示x∈ 兰德一号∈ {1, 2}.此外，我们可以选择λ，λ∈ 对于至少一个i，λi6=0的R∈ {1,2}和E[（λf+λf）·A]=0。最后，λf+λf∈ L∞(Ohm, Ft，P |Ft）\\{0}，并且，设置f:=λf+λf，E[f·E[A·（Φ*（x+Y）- x） |Ft]]=Xi=1λiE[fi·E[A·Φ*（x+Y）|英尺]]- x E[（λf+λf）·A]=0表示x∈ R.这就完成了证明。下面的辅助结果提供了从（7.17）中得出集合K所需紧性的缺失环节。引理7.7。让(Ohm, Ft，P | Ft）对于t来说是无原子的∈ {1, . . .