具有融资成本的合同估值和套期保值，以及

我们假设对于某些G-适应的有界过程r（hencecondition（2.15）是微不足道的满足），dBt=rtBtdt。然后，对于任意两种自我融资策略，只要l=1，2，…，等式V（x，ν，0）=V（x，b~n，0）成立，k、 ZtdXi=1ξiu-bξiuSiuσiludWlu=0（5.23）和ztdxi=1ξiu-bξiuSiu（uiu）- ru）du=0。（5.24）条件（5.23）相当于ZTKXL=1dXi=1（ξiu）-bξiu）Siuσiludu=0。（5.25）如果模型是无套利的，则存在Rk值、G-适应过程λ，使得质量σλ=r- 他坚持住了。然后（5.24）是（5.25）的结果。如果模型是完整的且D=k，则任何未定权益的复制策略都是唯一的，因此融资成本的唯一性是显而易见的。然而，如果模型是完整的，但d>k，因此出现了冗余，那么融资成本的唯一性通常不再有效，如下例所示。让我们考虑一下d=3和k=2的情况。具体来说，我们设置，对于i=1，2，dSit=Situitdt+dWit对于某些G适应、有界过程u和u，且DST=Stutdt+dWt+dWt.我们的目标是制作一个具有零财富过程和不消失融资成本的自我融资交易策略的示例。我们首先注意到，当ut=ut+ut时，模型是完全且无套利的- RTT∈ [0，T]。在唯一鞅测度下，对于i=1，2，dSit=Sitrtdt+dfWitanddSt=Strtdt+dfWt+dfWt其中fW=（fW，fW）是一个标准的布朗运动(Ohm, G、 G，eP）。我们考虑了自融资交易策略（x，ν，0），其中投资组合ψ=（ξ，ψ）为ξt=（（St）-1，（街）-1.-（St）-1).对于所有t，Pdi=1ξitSit=1，Pdi=1ξitdSit=rtdt∈ [0，T]，因此Gt（x，~n，0）=Rtrudu。此外，deVt（x，~n，0）=dXi=1ξitdeSit=0，或者，等效地，Vt（x，~n，0）=V（~n）Bt=xBt。

特别是，对于allt，x=0然后Vt（x，~n，0）=0∈ [0，T]，因此ψT=-（英国电信）-1.所有∈ [0，T]。因此，财富V（0，~n，0）=0也允许以下分解Vt（0，~n，0）=Gt（0，~n，0）+Ft（0，~n，0），其中Gt（0，~n，0）=Rtrudu和Ft（0，~n，0）=-Rtrudu。如果我们现在对任何合同A采取任何复制策略，那么通过添加产生上述内容的策略，我们可以获得另一个复制策略，但资金成本明显不同。我们从这个例子中得出结论，我们应该关注（完全或不完全）无套利模型，其中排除了风险资产之间的冗余。带融资成本和抵押的估值和套期保值535.4差异型市场模型为了说明在前面章节中开发的g e e e ne套期保值和定价方法，我们现在将详细研究考虑抵押的各种惯例下的估值问题。皮特堡[38]之前曾研究过该模型的一个特例。我们假设过程Bj，j=0，1，d是绝对连续的，因此对于一些G适应过程rj，j=0，1，…，它们可以表示为dBjt=RJTBdt，d+1（参见示例2.1）。本节还讨论了借贷利率是绝对的，也就是说，对于一些非负G适应过程r，rl=rb=r。因此，我们可以模仿（但也可以适当扩展）第5.1节中的方法。我们假设存在d+2交易风险资产，i=1，2，d+2，其中资产d+1（分别为Sd+2）可由套期保值者（分别为交易对手）作为抵押品入账。当然，Sd+1=Sd+2的情况并不排除在外。

然而，如果r isky资产Sd+1和Sd+2是独立的，那么我们不需要对Sd+2的动态进行建模；有必要了解该资产的身份，或者更准确地说，相应的回购利率rd+2，h。相比之下，如果从交易对手的角度解决估值问题，则需要明确说明Sd+2（但不是Sd+1）的动态。除非另有明确说明，否则我们在本节假设条件（2.15）满足i=1，2，d+1.5.4.1鞅测度假设每个风险资产Si，i=1，2，d+1以随机利率κi持续支付股息，并且在现实概率PdSit=Sit下具有（除息）价格动态uitdt+σitdWit, Si>0，其中W，W，W是相关的布朗运动和波动过程sσ，σ，他站得很高，从泽罗身边蹦了出去。相应的红利过程由ait=ZtκiuSiudu给出。像往常一样，我们写的是sit=（位）-1SITADBSI，cldt=（位）-1Si，cldt。回想一下，我们将byeP表示为具有融资成本的基本模型的鞅测度（见命题3.1）。引理5。2价格过程sisaties u underepdsit=Sit（瑞特）- κit）dt+σitdfWit下面是布朗运动。等价地，过程bSi，cldsatis fies dbsi，cldt=bSi，cldtσitdfWit。（5.26）过程kit由（2.10）satis fiesdkit=dSit给出- ritSitdt+κitSitdt=SitσitdfWit（5.27），因此它是一个（局部）鞅。证据根据鞅测度的定义，贴现累积股息价格BSI，cldis是一个（局部）鞅。回想一下，进程bsi，cldis由bsi给出，cldt=bSit+Z（0，t）（Biu）-1dAiu，t∈ [0，T].54 T.R.比莱斯基和M。

Rutkowski，bSi，cldt=bSit+Ztκiu（Biu）-1Siudu=bSit+ZtκiueSiudu。SincedbSit=bSit（笑）- rit）dt+σitdWit, （5.28）我们得到了DBSI，cldt=dbSit+κitbSitdt=bSit（uit+κit）- rit）dt+σitdWit.HencebSi，cldis是EP下的一个（局部）鞅，前提是过程dFwit=dWit+（σit）-1（uit+κit）- （5.29）是EP下的布朗运动。通过将（5.28）和（5.29）结合起来，我们得到了（5.26）表达式。现在很容易遵循其他公式。5.4.2抵押合同的财富动态我们还假设，过程Bc、b、Bc、l、Bd+2和Bd+2也是绝对连续的，因此dBc、bt=rc、btBc、btdt、dBc、lt=rc、ltBc、ltdt、dBd+2、st=rd+2、stBd、dBd+2、ht=rd+2、htBd+2、htdt，对于某些过程rc、b、rc、l、rd+2、sand+2、h，假设为非负有风险的抵押品。我们首先在命题4.1的假设下考虑风险抵押品的情况。从形式上讲，再抵押和隔离的情况仅在选择rd+2或rd+2时有所不同，套期保值人对交易对手公布的抵押品金额感兴趣。在实践中，很明显，回购利率rd+2为正，而传统利率rd+2很可能为零。在再催眠的情况下，\'Fhtis由以下表达式给出（见（4.17））\'Fht=Zt路+2，胡- rc，buC+udu-Ztrd+1u- 汝C-因此，正如预期的那样，当等式rd+2，h=rc，波段rd+1=r成立时，术语“FHTVANIES”即成立，自那时起，与保证金账户相关的负现金流和正现金流相互抵消。

从方程（5.2）中，我们得到了套期保值者财富的动态：V（φ）=V（x，φ，A，C）dVt（φ）=rtVt（φ）dt+dXi=1ξitdSit- 里西特+戴特+ （Sd+1t）-1C-TdSd+1t- rd+1tSd+1tdt+dAd+1t+ d’Fht+dAt。如果抵押品C是预先确定的，则上述公式中最后三项的总和定义为一个过程“Ac，h”，它表示与抵押合同相关的所有现金流，但风险资产S，S，Sd。然后，我们可以将最后一个方程改写为以下等式：dvt（~n）=rtVt（~n）dt+dXi=1ξitSitσitdfWit+d′Ac，ht。（5.30）我们注意到，“Ac、hdepe”过程也与风险资产Sd+1的动态有关。如前所述，As set Sd+2的动态是不相关的，因此它们没有特殊性。估值和对冲与融资成本和抵押品55o现金抵押品处于隔离状态。我们现在考虑现金抵押隔离的情况，并在提案4.2的框架内进行规划。在目前的假设下，BFS的表达式减少了tobFst=Zt路+2，苏- rc，buC+udu-Ztrd+1u- 陆先生C-乌杜。公式（4.24）yieldsdVt（~n）=rtVt（~n）dt+dXi=1ξitdSit- 里西特+戴特+ dbFst+dAt，所以，如果我们用bac，s表示最后三项的s um，那么我们得到了dvt（φ）=rtVt（φ）dt+dXi=1ξitSitσitdfWit+dbAc，st（5.31），其中，过程bac，s不依赖于风险资产Sd+1的动态再抵押下的现金抵押品。回想一下，提案4.3对再抵押下的现金抵押品进行了审查。在目前的假设下，我们从m（4.31）推出bfht=ZtC+u汝- rc，bu杜-ZtC-Urd+1u- 陆先生du（5.32），因此（4.30）变为vt（φ）=rtVt（φ）dt+dXi=1ξitdSit- 里西特+戴特+ dbFht+dAt。

（5.33）如果我们用bybAc，h来表示最后一个时间的总和，那么，也使用（5.27），我们可以得到Dvt（）=rtVt（）dt+dXi=1ξitSitσitdfWit+dbAc，ht（5.34），其中，过程Bac，hd不依赖于Sd+1.5.4.3的动态定价和外生抵押品。我们的目标是在一个差异类型模型的框架内对抵押合同进行估值和对冲。我们假设流程A适用于由r isky资产、S、…、，Sd。我们首先假设抵押品过程C是预先确定的，因此它不依赖于套期保值者的交易策略。我们使用通用符号Acto表示前一小节中产生的“Ac，h，bAc，h，bAc，SIN”过程。假设所有短期利率和流程A和C都有界，因此流程ACI也有界。在fac t中，很难预测（5.35）中的条件期望值对所有t∈ [0，T]。以下结果可视为命题5.1的推论。命题5.3具有预定抵押过程C的抵押合同（A，C）可以通过可接受的交易策略复制。对于everyt，除息价格S（A，C）令人满意∈ [0，T），St（A，C）=-BteEtZ（t，t]B-1达库. （5.35）56 T.R.Bielecki和M.RutkowskiProof。我们正式将Acas视为与合同A相关的总现金流流程。因此，有必要检查提案5.1的假设是否得到满足。由于现金抵押协议下存在允许的复制策略，我们注意到流程Cand A根据风险资产产生的过滤进行了调整。

因此，布朗过滤的可预测表示性质包含Z（0，T]B-1udAcu=S+dXi=1ZTξiuSiuσiudfWiu。对于风险抵押品，交易策略由ξd+1=（Sd+1t）补充-1C-t、 所以我们现在使用下面的表示z（0，t]B-1u（d’Fht+dAu）=eS+d+1Xi=1ZTξiuSiuσiudfWiu（5.36），其中，根据假设，过程A适用于风险资产产生的过滤FSS，因此，（5.36）中的右边定义了一个有界的FST可测量随机变量。因此，满足条件（2.15）的可容许复制策略的存在如下。为了具体起见，让我们考虑一个具体的贴现合同实例，具体来说，在现金抵押品与再抵押的共同投资下，在到期日T对单个现金流X的估值。我们假设X是一个有界随机变量，相对于σ场FST是可测量的。我们很自然地会假设rd+1=r，这意味着已过账抵押品的现金来自无风险账户。我们首先得到非线性定价公式（5.37）。在另一个对称假设rc，b=rc，l=rc下，我们用满足dBct=rctBctdt的过程来表示，我们得到了直线ar定价公式（5.38）。推论5。1累积股息=p1[0，T]（T）+X1[T]（T）且预定的抵押过程C的抵押合同可通过可接受的交易策略复制。对于每一个t∈ [0，T），St（A，C）=-BteEtB-1TX+ZTB-1uC+u汝- rc，bu杜-ZTtB-1uC-Urd+1u- 陆先生杜. （5.37）特别是，如果rd+1=r和rc，b=rc，l=rc，那么ST（A，C）=-BteEtB-1TX+ZTB-1u（ru）- rcu）库杜. （5.38）证据。平等（5.37）是（5.32）和（5.35）的直接结果。

为了获得（5.38），必须观察等式rd+1=r和rc，b=rc，l=r，即bFht=ZtCu汝- rcu因此，duand（5.38）是（5.37）的直接结果。备注5.6 Piterberg[38]研究了一个具有三个现金账户的差异型市场模型，其中，利差为- rc，r- r、 钢筋混凝土- r代表两个供资率之间的基数，即供资基数。根据我们的分类和注释，他用r=r和rc，b=rc，l=rc处理再抵押下的现金抵押品。我们的公式与皮特堡[38]得出的公式一致，尽管我们对抵押品金额的假设与[38]中采用的略有不同，但具体而言，我们的抵押品过程c对应于该过程-[38]中的C。5.7注意到公式（5.38）和（5.46）的等价性表明，特定贴现因子的选择可以是相当随意的，只要适当调整估值下无担保的（累积）现金流过程。在公式（5.38）的情况下，贴现因子选择a作为代表交易资产的价格过程B，而在公式（5.46）的情况下，我们处理过程Bc，它甚至不代表当前设置中交易资产的价格过程。例如，假设d=1，股息率κ=0。那么，上述两种选择的贴现因子都不对应于通常的股票价格鞅测度，后者对应于选择的Bas贴现因子。在第5.5节中，我们将在Pallavicini等人最近提出的定价方法的背景下，对这一特殊特征进行更广泛的讨论。

[37].5.4.4定价与第4节中已经提到的套期保值担保品一样，可根据合同的市场价值来确定共同金额C，因此，至少在理论上，可根据套期保值者策略的财富过程V（ν）给出。为此，我们引入了processbV（~n）：=V（~n）- xB；有关过程sbV（~n）的解释，请参见定义5.3。然后，例如，过程C可以给出如下（见（4.10））Ct（φ）=（1+δt）bV-t（~n）- （1+δt）bV+t（~n）=δtbV-t（~n）-δtbV+t（~n）（5.39）对于一些边界、FS适应的过程δ和δ，为了简洁起见，我们设置δit=1+δit。因此，与之前一样，通用过程Ac旨在代表Ac、h、bAc、h、bAc、s中的任何一个过程，当套期保值者实施复制投资组合时，它以非线性方式依赖于套期保值者的财富。因此，现在可以将等式（5.35）中的条件表达式信息解释为具有简写符号vt（~n）=-BteEtZ（t，t]B-1udAcu（英属维尔京群岛）（5.40）使用符号Ac（bV（~n））来强调工艺Acdepend on bV（~n）。一旦保证金账户采用了特定惯例，就可以推导出更明确的BSDE形式（5.40）。让我们考虑一下insta nc e的现金抵押品再抵押的特殊情况（回想一下，这也是我们在第5.2节中的选择）。为了简化表达式，我们还假设rd+1=r和rc，b=rc，l=rc，因此过程Fct满足所有t的Fct=RtrcuCudu∈ [0，T]。然后，从等式（5.3.2）和（5.33）中可以看出，自我融资策略的财富过程是：满足度dvt（ν）=rtVt（ν）dt+dXi=1ξitSitσitdfWit+（rt- rct）（δtbV-t（~n）-¨δtbV+t（ν））dt+dAt。（5.41）在下一个定价结果中，我们再次关注担保合同（a，C），其中At=P1[0，T]（T）+X1[T]（T）。

对于任何固定的t∈ [0，T]，我们对一个Gt可测的随机变量pt求出rch，使得Vt（Vt（x）+pt，ν，a- At，C）=VT（x），对于某些可接受的交易策略。显然，对于任何固定的t∈ [0，T），我们有Au- 对于所有u，At=X1[T]（u）∈ [t，t]。值得注意的是，在命题5.4中，我们得到了一个非线性定价规则，尽管我们在假设违约率和违约率相同的情况下进行了工作。由于这一假设，价格过程S（x，A，C）实际上独立于套期保值者的初始禀赋——这一特性可以很容易地从方程（5.4.2）中推导出来。定价规则的非线性现在是由于抵押品金额C的规定（5.39），因此非线性BSDE（5.13）和（5.42）的形状不同。对于定价BSDE和双方公平价格的详细研究，当C由（5.39）给出时，感兴趣的读者可参考Nie和Rutkowski[35]。58 T.R.Bielecki和M.Rutkowski命题5.4设X为FST可测量的有界随机变量。BSDEdYxt=rYxtdt+dXi=1Zx，itSitσitdfWit+（rt- rct）δt（Yxt- xBt）--δt（Yxt- xBt）+）dt（5.42），终端条件为xBt- X有一个独特的解决方案（Yx，Zx）。对于任何固定的x和t∈[0，T]时，带有（5.39）给出的抵押品过程C的合同At=P1[0，T]（T）+X1[T]（T）可以通过允许的交易策略ξx=zx和除息价格满足度（x，A，C）=Yxt在[T，T]上复制- xBt。此外，价格St（x，A，C）允许以下表示，forevery t∈ [0，T），St（x，A，C）=-BteEtB-1TX+ZTB-1u（ru）- （区域协调单位）δu（Yxu- xBu）--δu（Yxu- xBu）+杜. （5.43）等价地，每t的价格St（x，A，C）=YT∈ [0，T），其中过程Y求解以下bsdedyt=rYtdt+dXi=1ZitSitσitdfWit+（rt- rct）δtY-T-δtY+t终端条件为YT=-十、