具有融资成本的合同估值和套期保值，以及

因此，价格S（x，A，C）=S（A，C）独立于套期保值者的初始捐赠x。这个证明类似于命题5.3的证明，因此我们省略了细节。让我们只观察到BSDE（5.44）解的唯一性来自于具有Lipschitz c连续系数的BSDE的一般理论（参见，例如[19]）。根据（5.39）式，方程式（5.41）也可以表示为以下形式：Dvt（~n）=rctVt（）dt+dXi=1ξitSitσitdfWit+（rt- rct（连续油管+垂直油管）- xBt）dt+dAt。（5.45）这就产生了以下表示（注意，我们可以在这里写V（φ）=V（ξx））St（A，C）=-BcteEt（BcT）-1X+ZTt（Bcu）-1（ru）- rcu）（Cu+Vu（ξx）- xBu）du. （5.46）此外，在完全抵押合同的情况下，我们假设δt=δt=0，因此等式Ct=-bVt（ξx）=xBt- Vt（ξx）满足所有t∈ [0，T]。因此（5.45）减少了todVt（魟）=rctVt（魟）dt+dXi=1ξitSitσitdfWit+data，这反过来又产生了以下完全共同合同的除息价格的明确表示，即∈ [0，T），St（A，C）=-BcteEt（BcT）-1X. （5.47）请注意，等式（5.47）给出的价格不仅取决于初始捐赠x，而且作为从未定权益空间到实数的映射，它也是线性的。595.5预期现金流方法我们通过对担保下替代定价方法的数学基础进行简要分析，得出本文的结论，该方法由Pallavicini等人[37]在最近的工作中提出。我们建议将他们的方法称为预期现金流量法，因为它主要取决于合同贴现现金流量的预计价值的计算。

这应该与本文倡导的更合理的基于套期保值的方法形成对比，在本文中，套利价格是根据复制（或超边缘）策略的初始财富来定义的，而鞅测度（如果需要）的概念仅在后期作为计算工具出现。当然，本文介绍的方法也从仔细描述和分析与合同相关的现金流开始，但在下一步中，将应用系统的交易策略方法。我们没有详细分析[37]中讨论的连续现金流量转换，但weinstead重点分析了[37]中实施的基础参数，即在“鞅测度”下，将“价格”定义为贴现现金流量的预期价值的可能性，即使“贴现因子”不是交易资产。让我们首先总结一下[37]中提出的方法的主要步骤。作者首先引入无风险短期利率作为“工具变量”，而不假设该利率对应于任何交易资产。接下来，他们正式假设存在一个“鞅测度”，与使用实际现金账户对所有交易风险资产的价格进行贴现有关。更重要的是，他们还利用这个鞅测度（见[37]中的公式（1）），通过“贴现现金流与成本”的条件检验，得出了任何竞争性合同的价格。当然，如果有人试图将其直接应用于给定合同的合同现金流，那么这种估值方法显然会令人震惊。为了考虑实际融资成本、保证金账户、期末支付等，显然需要对现金流进行几次非琐碎的调整。。

例如，为了处理融资成本，作者建议使用[37]中的公式（17）作为一种合理的估值工具。我们认为[37]第1-26页中的所有公式都应被视为（等效）定义，描述合同的实际现金流或转化现金流，而不是从稳健的基本面得出的严格定价结果。基于这个原因，我们将从[37]中得到最有趣的结果，即定理4。3.它表明，通过改变概率测度，人们实际上可以避免使用有效的无风险利率，这正好说明了“工具变量”一词对该利率的贡献。让我们澄清一下，我们并不质疑[37]中定理4.3的陈述的有效性。然而，正如我们将在下面讨论的那样，[37]中提出的方法在一定程度上是艺术性的，因为它在很大程度上依赖于对合同现金流量的适当调整做出正确的猜测。更重要的是，可以避免[37]中使用的相当繁琐的论点，因为在一个有资金成本的正确指定的市场模型中，直接关注套期保值论点，而不是预先假定某种形式的“风险中性定价公式”的有效性。为了澄清支持Pallavicini等人[37]提出的方法的论点，我们在这里考虑一个市场模型，其中包含无股息支付的风险资产S，S，SDA和现金账户B，使dBt=rtBtdt。虽然上述分析也涵盖了股息、保证金计算和结算支付，但为了说明基于现金流的方法的基本原理，有必要只考虑融资成本问题。假设5.1我们假设模型是无套利的，因此鞅表示过程=B-1是存在的。设V（ψ）为自筹资金交易组合的财富ψ=（ξ，ψ）。

下面的引理是众所周知的，因此省略了它的证明。引理5。3贴现财富过程v（ν）：=B-1V（а）满足deVt（а）=Pdi=1ξitdesign，因此它是aeP局部鞅（或在适当的整合假设下的aeP鞅）。现在让我们定义一个有限变化的任意过程，比如Bγ，使得dBγt=γtBγtdt，60 t.R.Bielecki和M.RutkowskiBγ>0。必须强调的是，不能假设过程Bγ代表交易资产的价格，或者确实与手头的市场模型有关。尽管如此，在以下正式条件下工作仍然是有意义的。假设5.2存在一个概率测度Pγ，使得过程S:=（Bγ）-1S是aPγ-局部鞅。备注5.8在一个典型的市场模型（比如Black and Scholes模型）中，由于Girsanov定理，这一假设将得到满足。然而，这并不意味着流程Bγ相对于我们的市场模型有任何明确的财务解释。当提到[37]中的结果时，我们有时会遵循他们的惯例，将γ称为一个有效的无风险利率，尽管这个术语实际上是一个特殊的术语，它对下面给出的结果的有效性没有任何影响（更糟糕的是，当无风险利率已经是市场模型中的工具之一时，它可能会产生误导）。我们现在定义了一个辅助过程Vγ（ν），它可以正式与任何自我融资交易策略相关联。显然，没有理由期望过程Vγt（~n）总体上代表了自我融资战略的财富。定义5。7.让~n成为一个具有财富流程V（~n）的自我融资交易组合。然后，过程Vγ（~n）由以下等式Vγt（~n）定义：=Vt（~n）+BγtZt（γu- ru）ψuBu（Bγu）-1du（5.48）或相当于Vγt（φ）：=Vt（φ）+BγtZt（γu- ru）（Bγu）-1.Vu（~n）-dXi=1ξiuSiu杜。

（5.49）除非γ与无风险利率r一致，因此Vγ（а）=V（а），否则对差异Vγ（а）没有财务解释- 可以提供V（~n）。然而，如果将合同的现金流适当地（但特别是从财务角度）转化为过程Bγ不符合我们经济中设定的交易价格的因素（见等式（5.52）和（5.53）），则可以使用鞅测度Pγ来计算价格，这是通过复制的方式确定的。作为实现我们目标的第一步，我们通过设置Vγ=Vγ/Bγ来定义Bγ相对过程Vγ（ν）。以下命题表明，对于任何自我融资的交易策略，流程Vγ（φ）在概率测度Pγ下享有马丁格尔属性。这是一个纯粹的数学结果，因此，声称概率测度Pγ可以解释为“风险中性概率”是不合理的（当然，除非γ=r）。引理5。4.让φ成为一种自我融资的交易策略，并让过程Vγ（φ）由（5.48）给出。那么过程Vγ（φ）是一个Pγ-局部鞅。证据为了简洁起见，我们从符号V（~n）和Vγ（~n）中去掉了。结果表明，d’Vγt=Pdi=1ξitd’Sitor，e等价于dVγt- γtVγtdt=dXi=1ξitdSit- γtSitdt. （5.50）通过将It^o公式应用于（5.48），我们得到dvγt=dVt+（γt- rt）ψtBtdt+Vγt- VtBγtdBγt=dVt+（γt- （右）及物动词-dXi=1ξitSitdt+γt（Vγt- v）dt。利用融资成本和抵押物进行估值和套期保值61因此，我们利用的自融资财产获得了dVγt- γtVγtdt=dVt- rtVtdt-dXi=1（γt- rt）ξitSitdt=dVt- rtdXi=1ξitSit+ψtBtdt-dXi=1（γt- rt）ξitSitdt=dVt- rtψtBtdt-dXi=1γtξitSitdt=dXi=1ξitdSit+ψtdBt- rtψtBtdt-dXi=1γtξitSitdt=dXi=1ξitdSit- γtSitdt这是需要展示的。当然，如果等式γ=r成立，那么引理5.4将减少到引理5.3。

引理5.4眼角可以被视为引理5.3对一般情况的延伸，当“虚拟贴现因子”不一定对应于交易资产时。在最后一步中，我们将演示理论4。3英寸[37]。然而，请注意，[37]中假设了公式（5.52）的对应物，而它是从基本原理推导出来的。假设5.3假设一份合同在时间T有一个单一的现金流X，并且存在一个可复制的X的自我融资投资组合。在适当的可积性假设下，贴现财富过程ev（φ）是aeP鞅，过程Vγ（φ）是Pγ鞅。因此，可以使用EP下的风险中性估值公式的标准版本，特别是πt（X）=-b深（XB）-1T | Ft）（5.51），其中减号是由于我们关于X的财务解释的约定。现在让我们采用任何过程Bγ，以便很好地定义概率度量Pγ。从提案5.4中，我们推断出以下公式，表明Pγ也可以在适当的现金流转换后用作“价格测量”。请注意，（5.52）（或（5.53））中出现的附加积分项没有财务解释，因为γ在这里是一个与任何财务量无关的任意过程。推论5。2如果假设5.1-5.3得到满足，则价格πt（X）=Vt（~n）也由以下表达式πt（X）=-BγtEPγX（BγT）-1+ZTt（ru）- γu）ψuBu（Bγu）-1du英尺. （5.52）自≤ t<t，ψtBt=Vt（ψ）-dXi=1ξitSit=πt（X）-dXi=1ξitSit，等式（5.52）也可以重写为πt（X）=-BγtEPγX（BγT）-1+ZTt（ru）- γu）（Bγu）-1.πu（X）-dXi=1ξiuSiu杜英尺. （5.53）62 T.R.Bielecki和M.RutkowskiProof。从定义5.1的意义上看，（5.52）中的右侧与V（）重合，其中策略复制X。

在Pγ下，Vγ（φ）的鞅性质意味着，对于所有t∈ [0，T]，\'VγT（φ）=EPγVγT-（|）英尺. （5.54）在（5.48）的观点和-(φ) = -十、 相等（5.54）意味着vt（~n）（Bγt）-1+Zt（γu）- ru）ψuBu（Bγu）-1du=EPγ- X（BγT）-1+ZT（γu）- ru）ψuBu（Bγu）-1du英尺.这立即产生了断言的公式。正如前面提到的，在[37]中，公式（5.5.3）的一个版本被假定为资助成本下的一个合理评估配方（见[37]第4.5.1节中的第一个公式）。我们认为，在[37]中提出的支持其方法的论点，虽然可能会产生正确的估值结果，但过于刻意，可能需要一些工作（或至少是繁琐的计算），从而对现金流进行适当的调整。从一个没有引入“工具变量”（例如，非交易无风险短期利率）的市场模型开始，并且所有建模过程都有明确的财务解释，这是非常自然的。综上所述，公式（5.51）比公式（5.53）更容易建立和实现，因此即使为了数值计算的目的，使用后一种表示法也没有实际优势。致谢。Tomasz R.B ielecki的研究得到了NSF g 1211256的支持。Marek Rutkowski的研究得到了澳大利亚研究委员会发现项目资助计划（DP12010089 5）的支持。作者对Da mianoBrigo、St’ephane Cr’epey、Ivan Guo、Nie Tianyang和Desmond Ng的宝贵讨论表示感谢。参考文献[1]伯格曼，Y.Z.：不同利率下的期权定价。金融研究回顾8（1995），475-500。[2] 男：两条曲线，一个价格。《风险》，2010年8月，第74-80页。[3] Bielecki，T.R.，Cr\'ep ey，S.，Jeanblanc，M.和Zargari，B.：马尔可夫copula模型中CDS交易方风险敞口的估值和对冲。

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