具有融资成本的合同估值和套期保值，以及

我们首先在基本模型中解决这个问题，然后扩展到更先进的模型，采用各种形式的净额结算。在第3节中，我们通过对经典定义的基本扩展，引入了ar比特率自由模型的概念，并在关于交易和净额结算的可变假设下，为市场模型的无套利性提供了充分条件。令人惊讶的是，在大多数现有的关于融资成本和抵押的论文中，这一关键问题被完全忽略了。相反，作者们将重点放在了一个模糊规定的可分割测度下的“风险中性估值”上，该测度被认为是先验存在的。相比之下，我们建议通过重复使用或适用于超级套期保值的方式预先定义套期保值者的价格。此外，我们还表明，融资成本下的套利问题是非永久性的，但确实可以使用对套利机会的明智定义和鞅测度的特定形式来处理。如前所述，合同抵押已成为一种广泛的市场实践。因此，我们在第4节研究了保证金账户的各种惯例，并研究了抵押对Hedger投资组合动态的影响。在我们对保证金成本的程式化方法中，我们考虑了单独保证金账户和抵押的情况。此外，我们承认，以现金或风险资产股份的形式过账或收到的共同款项。在第5节中，我们首先讨论融资成本和担保下的公平定价，然后讨论一般的差异型模型。

我们要强调的是，套期保值的定价函数通常是非线性的，因为在研究合同集合而不是单笔交易时，套期保值策略通常是非加性的。例如，在具有部分净额结算的市场模型的情况下，定价问题可以用非线性BSDE来表示，这表明在对基础模型进行温和假设的情况下，BSDE承认一个唯一的解决方案。关于这方面的进一步结果，感兴趣的读者可以参考Nie和Rutkowski[33,34,35,36]。为了深入分析我们的框架，我们还分析了皮特堡[38]和帕拉维奇尼等人[37]提出的估值方法。我们的方法似乎将[38]中确定的定价结果作为特例涵盖在内。相比之下，我们认为[37]中提出的方法有点不透明，与我们的方法不完全一致。8 T.R.Bielecki和M.Rutkowski2融资成本下的交易Let us首先介绍了本研究中考虑的市场模型的符号。概率空间。在本文中，我们为我们的金融市场模型确定了一个明确的交易期限T。下文中介绍的所有过程均隐式假设为G适应，并定义在基本概率空间上(Ohm, G、 G，P），其中过滤G=（Gt）t∈[0，T]对所有交易者可用的信息流进行建模（特别是，假设任何半鞅都是c`adl`ag）。为了方便起见，我们假设初始σ场是微不足道的，尽管这个假设很容易放松。风险资产。我们用Sit表示第i个风险资产的除息价格（或简单地说是价格）是过程Ai表示的时间0后的累计股息流的两倍。请注意，我们并没有假设处理Si，i=1，2，d为阳性。

因此，我们所说的多头现金头寸（或空头现金头寸）是指≤ 0（分别为ξitSit≥ 0）式中，ξ是套期保值者在资产Siat时间t.融资账户中的头寸数。现金账户B=B用于未担保的现金借贷。在bor划船和贷款现金利率不同的情况下，我们使用符号Bl（分别为Bb）来表示无担保贷款（分别为借款）现金账户的建模过程。融资账户的符号Bistands，可能代表风险资产的无担保或有担保融资。类似的惯例也适用于该账户：如果借款/贷款利率生效，我们使用符号Bi、土地Bi、bto表示与该风险资产相关的借款/贷款账户。作为一般规则，我们将假定套期保值者的位置。因此，上标TSL（resp.b）是指从套期保值者的角度适用于存款（resp.Loan）的利率。请注意，融资账户有时被称为非风险资产。除非另有明确说明，否则我们假设Bl=Bb=B和Bi，l=Bi，B=Bi或a ALL i。下文将给出融资账户的更详细的数学和财务解释。在此，我们只需指出，SII旨在表示任何交易证券的价格，如股票、股票期权、利率互换、货币期权、跨币种互换、CDS、CDO等。本质上，利率ri，l（分别为ri，b）对应于借贷（分别为借贷）账户Bi，l（分别为Bi和b）代表资产Si中维持长期现金头寸（分别为短期现金头寸）的增量成本（有关本报表的更精确解释，请参见备注2.7）。因此，对“借贷”账户Bi、土地Bi、B的实际解释将取决于手头的合同和金融环境的相关特征。

具体而言，表示为ri、土地ri、B的利率可能反过来取决于各个经济体的多个收益率曲线和/或特定方的其他融资安排（例如，hedg er的内部融资成本）。假设2.1假设主要资产的价格过程始终满足：（i）除息价格Sifor i=1，2，d是半鞅，（ii）i=1，2，…，的累积红利流，Ai=0的有限变化过程，（iii）j=0、1、，d是严格的积极和持续的确认过程，Bj=1。定义2。1累计股息价格Si，CldI，cldt:=Sit+BitZ（0，t）（Biu）-1dAiu，t∈ [0，T]，（2.1），因此贴现的累计股息价格BSI，cld:=（Bi）-1Si，cldsatis fies bsi，cldt=bSit+Z（0，t）（Biu）-1dAiu，t∈ [0，T]，（2.2）其中我们表示BSI:=（Bi）-1Si。如果第i笔交易资产在时间T之前未支付任何股息，则等式Si，cldt=每T保持不变∈ [0，T]。注意，进程Si，cld（因此也是进程bsi，cld）是c`adl`ag。注释2.1注意，公式（2.1）取决于一个隐含的假设，即第i项资产的正（或负）股息投资于第i项融资账户Bi（或由第i项融资账户Bi提供资金）。由于本节中获得的衍生证券的主要估值和套期保值结果是按照原始程序Si、BIAN和Ai而不是Si、cld重新呈现的，因此选择与第i个风险类别相关的股息再投资相关的特定惯例实际上并不重要。

在方程式（2.1）中做出的选择只是出于数学上的方便。备注2.2我们采用以下符号约定：（i）对于任何随机变量χ，等式χ=χ+- χ-是χ的唯一分解，分为正负两部分，（ii）对于任何有限变量的随机过程，等式A=A+- A.-表示A的唯一分解，其中A+和A-A=A的过程在增加吗+- A.-.2.1合同和交易策略我们准备引入基于满足假设2.1的固定资产系列的交易策略。在第2.1节和第2.2节中，我们考虑了一个动态投资组合，表示为ψ=（ξ，ψ）=（ξ，…，ξd，ψ，…，ψd），它由风险证券Si，i=1，2，d、 用于无担保借贷的现金账户B和资金账户Bi，i=1，2，d、 用于第i项资产的融资（未治愈或担保）。首先，让我们正式定义我们考虑的合同类别。定义2。2.我们所说的双边财务合同，或者简单地说是合同，是指一个任意的、有限的变更过程。流程A旨在表示agiven合同从时间0到到期日T的累计现金流。按照惯例，我们设定了A0-= 0.过程A是一个模拟给定合同所有现金流的ssumed，从套期保值者的角度来看，这些现金流要么从财富中支付，要么添加到财富中（记住，另一方被称为交易对手）。请注意，流程A包括合同开始日期t=0时的初始现金流。例如，如果合同的初始价格为p，并规定套期保值者将收到现金流“a”、“a”，未来日期t，t。

，tk∈ （0，T），然后我们设置A=p，使at=p+kXl=1[tl，T]（T）Al。如果与合同相关的唯一未来现金流是时间T的最终付款，表示为X，那么该证券的过程A在=p1[0，T]（T）+X1[T]（T）处形成。例如，如果套期保值者在时间0出售风险资产Si的欧式期权，那么最终支付额等于X=-（坐下- K） +因此At=p1[0，T]（T）- （坐下- K） +[T]（T）。符号p经常用于强调所有未来现金流，如l=1，2，k由合同约定明确规定，但初始现金流量尚未正式确定和评估。合同估值尤其是指从套期保值者或交易对手的角度，寻找时间0时p的公允价值范围。尽管由于交易成本和机会的不对称性，或财富动态的非线性，双方的估值模式将是相同的，但他们通常会获得A的不同固定资产价格。通过与合同A相关的交易策略，我们指的是三元组（x，ν，A）。交易策略的财富过程V（x，~n，A）取决于套期保值者的初始捐赠x，由一个随机数x、他的套期保值投资组合~n和合同现金流A表示。注意，根据套期保值者的初始捐赠，我们指的是他在时间0收到或支付初始价格p之前的外来财富。这意味着V（x，~n，0）=x，而对于给定的合同a，套期保值者策略在0时的初始财富等于V（x，~n，a）=x+a=x+p。在定义融资交易策略之前，我们制定了关于随机过程可积性的长期假设。10 T.R.Bielecki和M.Rutkowski假设2.2我们假设ξifor i=1，2，d（分别为。

ψjj=0，1，d） 是任意可预测（r e sp.G-适应）过程，从而可以很好地定义以下过程中使用的随机积分。定义2。3对于套期保值者的初始捐赠x，我们说，与合同a相关的交易策略（x，~n，a）是自融资的，只要财富过程V（x，~n，a）满足公式vt（x，~n，a）=dXi=1ξitSit+dXj=0ψjtBjt，（2.3）对于每t∈ [0，T]，Vt（x，ν，A）=x+dXi=1Z（0，T]ξiud（Siu+Aiu）+dXj=0Ztψjudbjuu+At。（2.4）重要的是要强调，不能单独处理套期保值组合和合同现金流a，因为一般来说，财富动态是通过非线性叠加的形式获得的。当然，对于Ais来说，a和套期保值组合的跨期现金流分离的可能性，经典（即ar线）的一个众所周知（且非常方便）的特征是rbitrage定价理论，这反过来又导致了无摩擦市场模型中的价格可加性。备注2.3很明显，财富过程始终取决于初始捐赠x、投资组合a和合同现金流a，因此符号V（x，~n，a）是适当的。然而，为了简洁起见，如果不存在混淆的危险，第2节的剩余部分有时会使用简写符号V（φ，A）（甚至V（φ））。备注2.4公式（2.4）给出了以下财富分解vt（x，~n，A）=x+Gt（x，~n，A）+Ft（x，~n，A）+At（2.5），其中Gt（x，~n，A）：=dXi=1Z（0，t）ξiu（dSiu+dAiu）（2.6）代表与持有风险资产S，S，SdandFt（x，~n，A）：=dXj=0ZtψjudBju（2.7）代表投资组合的融资成本。

当交易受到更多限制时，财富过程的加性分解将不再有效。备注2.5在一些相关论文（例如，见[38]）中，过程γ由以下公式给出：∈ [0，T]，γt=x+Ft（x，~n，A）+dXi=1Z（0，t]ξiudAiu+At，被称为为为投资组合提供资金的现金流程。在这种情况下，重要的是要强调的是，等式Vt（x，~n，A）=dXi=1Z（0，t]ξiudSiu+γt成立，但一般来说，我们有Vt（x，~n，A）6=Pdi=1ξitSit it+γt。估值和对冲融资成本和抵押112.2基本模型，首先要说明融资成本创建一个初步设置，他将其称为基本模式，带有资金成本，或者简单地说是基本模式。定义2。4.有资金成本的基本模型，我们指的是借贷账户重合的市场模型，因此B=Bl=Bb，等式Bi=Bi，l=Bi，bhold=1，2，d、 而在资金账户上交易Bian和ris-ky是一种先验的不受约束的行为。对基本模型的全面分析只是朝着更现实的模型迈出的第一步，该模型具有各种交易和/或融资约束。我们将证明，通过逐步调整涉及财富过程和融资成本的计算，可以从基本模型的结果中推导出各种约束条件下的财富动态的显式公式。出于稍后将解释的原因，我们不仅对财富过程的动态感兴趣，而且对定义2.5给出的净财富的动态感兴趣。在这里，我们只需要提到，净财富的概念将是一个方便的工具，可以用来检验市场模型的无套利特性，即融资成本和抵押不足。

更具体地说，鞅测度的概念现在应该应用于贴现净财富，而不是贴现策略的贴现财富，因为后一个过程包括a的现金流，而在前一种情况下，它们在某种意义上不被a的现金流所平衡-A.定义2。5交易策略y（x，~n，A）的净财富Vnet（x，~n，A）由等式Vnet（x，~n，A）=V（x，~n，A）+V（0，e~n，-A） 式中（0，e~n，-A） 是唯一的自我融资策略，每i=1，2，…，ξit=ψit=0，d和所有t∈ [0，T]。我们有以下的mma（对于不同借贷账户的扩展，见引理3.1）。引理2。1如果B=Bl=BB，则以下等式适用于所有t∈ [0，T]，Vnett（x，~n，A）=Vt（x，~n，A）- BtZ[0，t]B-1达乌。（2.8）证据。通过在（2.3）和（2.4）中设置ξit=ψit=0，我们得到Vt（0，eа，-A） =eψtBtandVt（0，eа，-A） =ZteψudBu- 在由于V（0，eа，-A） =-A、 我们得到（2.8）。请注意，vnet（x，~n，A）=V（x，~n，A）+V（0，e~n，-A） =x+A- A=x，因此初始净财富独立于A。然而，如果财富的动态过程V（x，~n，A）和V（0，e~n，-A） 阿伦诺线性。直观地说，净财富Vnet（x，~n，A）代表套期保值者的财富，套期保值者在A中进行背对背的多头和空头头寸，使用带有初始捐赠x的动态投资组合对多头头寸进行套期保值，并使空头头寸未进行套期保值，这意味着不对风险资产进行投资以对冲空头头寸。特别是，最初的现金流-A故意取消，意味着从合同A中的交易对手处收到（或支付给）的初始价格立即传递给合同A中的交易对手-A.

因此，在计算净财富过程的背景下，A的价值对于套期保值者来说应该是无形的。这一观察结果促使我们做出以下自然假设，即净财富独立于A。假设2.3在计算净财富过程Vnet（x，~n，A）时，我们设置A=0.12 T.R.比莱基和M.鲁特科夫斯基，假设2.3生效，表示形式（2.8）为vnett（x，~n，A）=Vt（x，~n，A）- BtZ（0，t]B-1达乌。（2.9）在实践中，只有当A和A的市场价格-A时间是下午0点(-A） =-pm（A）。显然，根据A（resp。-A） ，我们在这里指的是A（分别为。-A） 在时间间隔（0，T）上，那么对时间T的净财富的财务解释可以重新表述如下：为了评估给定合同A相对于其市场模式l的潜在可行性，拥有初始收益x的套期保值者在时间0以其市场价格PM（A）签订合同A，同时以市场价格在同一合同中做空-pm（A），因此他在时间0时在合同中的两个职位的净成本为空。随后，从最初的捐赠x开始，他对多头头寸实施动态套期保值组合，同时仅使用现金账户（通常为借贷账户）对与空头头寸相关的流入和流出现金流进行再投资。在终止日T，套期保值者股份公司将某个合约中动态套期多头头寸的最终财富与同一合约中未套期空头头寸的结果合并。