粗糙路径、签名和流上函数的建模

ψ → ψ（S）（甘布鲁尼和瓦伦蒂尼的多项式恒等式）跨越一个代数，并随着ψ和d的变化而分别签名。推论12.3。签名的度量定律完全由ψ决定→ E（ψ（S））证明。在grouplike元素上引入波兰拓扑。这些结果可以在[7]中找到，本文还为预期签名提供了一个充分的条件，以确定签名的基本测度定律。13.瞬间是复杂的，根据瞬间来确定签名的问题目前似乎相当困难。例13.1。注意，如果X是N（0，1），那么尽管Xis不是由它的力矩决定的，如果Y=X，那么（X，Y）是。信息暗示的时刻Y- 十、= 0.我们重复前面的问题。预期签名决定了停止布朗运动的签名定律吗。这个问题似乎抓住了挑战。引理13.2（[7]）。如果Zne-kSnk的收敛半径是有限的，则预期签名决定了该定律。引理13.3（[18]）。如果X是有界域上具有L′evy面积的布朗运动Ohm  RdthenPznE kSnk在曲率半径上至少有一个严格的正下界。对作者来说，前两个结果之间在理解上的差距是一个引人入胜且令人惊讶的差距，应该予以弥合！14.回归到特征集学习如何回归或从示例中学习函数是许多不同环境中的基本问题。在本文剩下的内容中，我们将概述最近的工作，这些工作解释了签名如何与这个问题非常自然地结合，以及为什么这种结合使它在粗糙路径理论中也有价值。18 Terry LyonsWe应该强调，我们在这里给出的讨论和示例是在一个非常基本的拟合曲线水平上进行的。我们不试图做统计，也不试图对不确定性进行建模和推断。

相反，我们正试图解决从数据中提取关系的最基本问题，即使一个人拥有完美的知识，这些数据也会存在。我们将证明，这种方法易于实施，在降低维度和进行有效回归方面有效。我们希望Baysian统计是一个附加层，添加到数据中可以合理建模的不确定性存在的过程中。从已知（点、值）对集合中学习函数的许多成功尝试的核心思想都围绕着识别基本函数或在每个点容易评估的特征，然后尝试将观察到的函数表示为这些基本函数的线性组合。例如，可以在泛型集合{xi处计算光滑函数ρ∈ [0,1]}点产生对{（yi=ρ（xi），xi）}现在被认为是特征函数{φn:x→ xn，n=0。N}。对于每一个xi，这些都很容易计算。我们试着表示ρ\'NXn=0λnφ，我们看到，如果我们能做到这一点（也就是说ρ很好地近似于非多项式），那么λnare由线性方程yj=NXn=0λnφn（xj）给出。一般来说，人们应该预期，甚至是期望，这些方程会显著退化。学习的目的大概是能够使用函数pnn=0λnφ来预测x的新值和未知值的ρ，并至少能够复制y的观测值。有强大的数值技术来识别这些方程的稳健解。大多数基于最小二乘和奇异值分解，以及Lconstraints和Lasso。然而，这种方法从根本上取决于这样一种假设，即φnspan是有趣的函数类。它适用于单项式，因为它们跨越一个代数，所以每个Cn（K）函数都可以在Cn（K）中用多元实多项式逼近。

它依赖于平滑度的先验知识或套索式技术来解决过度匹配问题。我希望读者现在能看到坐标迭代积分的重要性。如果我们对路径或流的影响函数（如受控微分方程）感兴趣，那么我们从粗糙路径的一般理论中知道，这些函数确实通过坐标迭代积分的线性组合在局部得到了很好的近似。坐标迭代积分是一种自然特征集，用于捕捉预测路径对受控系统影响的数据方面。shu-file乘积确保坐标迭代整数的线性组合是一个代数，确保它们跨越足够丰富的函数类，从签名中学习。我们可以使用非线性插值的经典技术和这些新的特征函数来学习和建模系统的行为。机器学习的视角在很多方面解释了整个路径理论。如果我想对路径段的效果进行建模，我可以通过在本地研究路径的一些设置特征来做好这项工作。在较小的尺度上，由于路径相互作用的泛函变得更平滑，因此近似值得到了改善。如果近似误差与体积相比很小，并且在不同的市场上是一致的，那么了解这些特征，并且只有这些特征，在所有的尺度上，才能充分描述路径或功能，从而允许病理功能对Lipchitz功能进行限制和整合。15.流的明显特征集作为坐标迭代积分的特征集，能够通过系数为f导数的线性组合（具有均匀误差-即使在有限维中）近似求解受控微分方程[3]。

换句话说，任何有限长度的流都可以通过其对数签名（见[15]）重新参数化，Poincare Birkhoff-Witt定理证明坐标迭代积分是在该空间上参数化多项式的一种方法。这些多项式很好地逼近了路径上许多重要的非线性函数。。。我们有一个定义良好的方法，将非参数流上的光滑函数线性化为签名的线性泛函。正如我们将在剩下的章节中解释的那样，即使它来自于一个群在其包络代数中的局部嵌入，以及用群上的实数多项式和解析函数识别对偶，它也具有实际应用的潜力。16.机器学习，业余爱好者的第一次尝试应用程序通常没有简单的函数，但需要几种并行的方法来实现显著的效果。到目前为止，使用签名的最佳结果涉及汉字识别[24]，本·格雷厄姆（Ben Graham）将一组松散基于签名的特征和最先进的深度学习技术结合起来，赢得了中国科学院组织的全球竞赛。我们将采用不同的视角，简单地解释一种基于签名的非常透明和天真的方法，它可以通过真实数据实现。该作品出现在[12]中。该项目和数据依赖于与论文中承认的商业合作伙伴的合作，并且是从论文中借来的。16.1. 根据标准化数据对时间段进行分类。我们考虑了一个简单的分类学习问题。我们考虑了一组30分钟间隔的标准化一分钟金融市场数据，即我们称之为桶的20 Terry Lyons。这些桶是根据交易记录的时间来区分的。

水桶分为两组——一组是学习组，另一组是测试组。挑战很简单：通过查看标准化数据（如果确实可以的话——标准化是为了消除明显的错误），学会区分一天中的时间。这是一个简单的分类问题，可以被视为学习只有两个值的函数（时间序列）→ 时隙TF（时间序列）=1时隙=10.30-11.00f（时间序列）=0时隙=14.00-14.30。我们的方法已经详细说明了。使用标准化金融市场数据γ的低阶坐标作为特征φi（γ），使用学习集上的最小平方近似重现ff（γ）≈Xiλiφi（γ），然后在回测集上进行测试。总结方法：1。我们使用标准化的期货数据来去除成交量和波动性信息。2.我们使用基于线性回归的成对分离，为学习对找到最佳的线性函数，将0分配给一个案例，将1分配给另一个案例。（还有其他一些众所周知的方法可能更好。）（a） 我们使用基于约束优化的LASSOtype（最小绝对收缩和选择算子）的稳健和自动重复采样方法，将线性函数收缩到只涉及几个特征项的表达式。3.我们使用简单的统计指标来表示学习函数在学习数据和回溯测试数据上提供的区分。测试包括：（a）得分值分布的Kolmogorov-Smirnov距离（b）受试者操作特征（ROC）曲线，ROC曲线下面积（c）正确分类率。我们确实考虑了整个半小时的时间间隔。其他时间间隔不容易相互区分，但使用此处绘制的方法可以很容易地从这两个时间间隔中区分出来。

这里的差异很可能是由于公开叫价市场的开盘和收盘相关的市场特征造成的。从签名学习210.5 0.0 0.5 1.0 1.50.01.52.02.53.010:30-11:0014:00-14:300.5 0.0 0 0.5 1.0 1.50.00.51.01.52.02.53.010:30-11:0014:00-14:30（a）学习集：累积值的估计密度，K-S距离：0.8，正确分类：90%0.50.0.0.5 1.0 1.50.00.51.01.52.02.53.010:30-11:0014:00-14:300.5 0.0 0 0.5 1.0 1.50.00.51.01.52.02.53.010:30-11:0014:00-14:30（b）样本外：回归值的估计密度，K-S距离：0.84，正确分类：89%0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0假阳性率0。00.20.40.60.81.0样本（c）ROC曲线的真阳性率学习放样。ROC下的面积——学习集：0.976，样本外：0.986图2。美国东部时间14:00-14:30对东部时间10:30-11:00特里·里昂。00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06(1,5,1,5)0.000.010.020.030.040.050.060.070.08(1,5,5,5)10:30-11:0014:00-14:300.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06(1,5,1,5)0510152025(6,2,5,5)10:30-11:0014:00-14:300.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08(1,5,5,5)0510152025(6,2,5,5)10:30-11:0014:00-14:300.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06(1,5,1,5)0.0200.0250.0300.0350.0400.0450.0500.0550.060(5,1,5,1)10:30-11:0014:00-14:30图3。可视化：通过套索收缩选择的具有重要意义的四阶特征系数的二维投影。所选的功能允许清晰直观地分离时间段。17.路径定律的线性回归在上一节中，我们将使用符号的线性化性质作为学习函数的实用工具。在最后一节中，我们希望继续停留在数据和应用的世界中，但要做一个更具理论性的评论。经典非线性回归通常用统计元素表示。

线性回归的一个常见公式是，由yi=f（xi）+εi建模的随机数据对的平稳序列，其中εiis随机，且条件平均值为零。目标是确定具有可测量置信度的线性函数f。在许多情况下，人们有一个随机但平稳的流对序列（γ，τ），并且希望大致了解以γ为条件的τ定律。假设我们用签名和期望签名（或更好的：特征函数）来重新描述这个问题，期望签名等是法律的特征。问题17.1。给定一个随机但平稳的流对序列（γ，τ），从签名23中学习，找到函数Φ：S（γ）→ E（S（τ）|S（γ））。然后把Yi=S（τi）和Xi=S（γi）放在一起，我们看到Yi=Φ（Xi）+εi，εiis是随机的，平均值为零。如果测度是合理的局部光滑的，那么我们可以用多项式很好地逼近Φ；利用张量代数的线性化性质，得到签名的线性函数φ。换言之，理解路径生态的条件法则（至少在局部）显然是一个困难的问题。线性回归的问题yi=Φ（Xi）+εiwhch是有限维的，但它有明确的低维近似[16]。参考文献[1]Horatio Boedihardjo，郝妮和钱忠民，简单曲线签名的唯一性，ArXiv预印本ArXiv:1304.0755（2013），1-21。[2] Nicolas Bourbaki，李群和李代数。第1-3章，《数学要素》（柏林），斯普林格·维拉格，柏林，1989年，法文译本，1975年版重印。MR 979493（89k:17001）[3]Youness Boutaib、Lajos Gergely Gyurk\'o、Terry Lyons和Danyu Yang，《粗糙微分方程的无量纲欧拉估计》，arXiv:1307.4708将出现在Rev。鲁梅因数学。果酱。

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