粗糙路径、签名和流上函数的建模

重新参数化γ，使其在长度为|γ|的间隔J上定义，并以单位速度运行。现在有了n！通过坐标和thuskSnJk的不同排列，可以获得Acu内的不相交单形：=Z·祖≤...≤联合国∈Jndγu . . .  dγun=Z·祖≤...≤联合国∈Jn˙γu . . .  ˙γundu。邓=Z·祖≤...≤联合国∈Jnk˙γu . . .  ˙γunk du。邓=Z·祖≤...≤联合国∈Jndu。dun=|γJ | nn！。第二个估计很清楚。高中时学习的正态分布的泊松近似确保了右边的估计值以λ的形式变得非常精确→ ∞ 只要N≥ kAk |γJ |+λpkAk |γJ |。备注5.2。级数n的一致收敛性-1Xn=0AnZ·ZJ-≤U≤...≤联合国≤J+dγu . . .  dγu和输入（A，γ，y）中序列项的明显连续性保证了响应y在（A，γ，y）中是联合连续的（连续函数的一致极限是连续的），其中γ被赋予1-变异拓扑（或任何粗糙路径度量）。情况已经是这样了→Z··ZJ-≤U≤U≤J+dγu dγu在一致度量中具有闭图性质。6.对数签名很容易看出，路径段的签名实际上在张量代数的一个非常特殊的弯曲子空间中取其值。事实上，陈指出，themap S是连接到代数中的路径段的同态，反转路径段会产生逆张量。因此，我们可以看到，映射的范围在乘法下是闭合的，并且有倒数，所以它在张量序列中是向上的（在类群元素中）。把这个特征映射的范围看作张量级数中的一个曲线空间是很有帮助的。因此，这里有很多有价值的结构。

一个重要的映射是对数；它在群中是一对一的，并根据自由李级数的元素提供了群的参数化。定义6.1。如果γt∈ E是一个路径段，S是它的签名，然后S=1+S+S+。i、 是的∈ Eilog（1+x）=x- x/2+。原木=S+S+。-S+S+。/2 + . . .系列日志=S+S+。-S+S+。/2+. . . 它被定义为γ的对数特征。因为张量级数T（（E））：=L的空间∞E这是一个单位联想代数, + 它也是一个李代数，与[a，B]：=a B- B A.定义6.2。有几个与T（（E））有关的规范李代数；我们用符号L（E）表示由E（李多项式的空间）生成的代数，L（n）（E）表示它到T（n）（E）=T（（E））/L的投影∞n+1Em（n阶自由幂零群的李代数）和L（（E））L（n）（E）（李级数）的射影极限。因为我们是在特征零下工作，我们可以取指数，这会恢复签名，所以不会丢失任何信息。Chen[6]的一个关键观察结果是，如果γ是一个路径段，那么对数S（γ）∈ L（（E））。通过投影πn:T（（E））从路径[23,8]到L（n）（E）的映射→ T（n）（E）在上。直到等价在一个广义的路径重参数化概念下，称为类等值，从E中有限长的路径γ到它们的签名S（γ）的映射∈ T（（E））或log签名log S∈ L（（E））是内射的[15]。等价树学习是有限变异路径上的等价关系，每个类都有一个唯一的最短元素，这些树化简路径形成一个群。

然而，L（（E））中对数签名映射的范围，尽管在整数乘法下表现良好，但在整数除法下不闭合[21]，因此树约化路径组的李代数定义良好，但不是线性空间；它是一个更微妙的物体。隐含在受控微分方程DYT=f（yt）dγt的定义中，y=a是映射f。该对象采用元素e∈ E和元素y∈ F生成F中的第二个向量，表示如果γ沿e方向发生微小变化，系统状态将发生微小变化。作者很清楚，将F视为从空间e到F上向量场的线性映射。通过这种方式，我们可以看到，f沿γ的最简单形式的积分是李代数中的一条路径，而在求解微分方程时，我们将该路径发展为群。现在，至少在形式上，向量场是一个李代数（对于F的微分形式），根据光滑性假设，我们可以使用李括号来获得新的向量场。因为L（（E））是E上的自由李代数（第二章[2]），E的任何线性映射f到李代数g都会产生唯一的李映射扩展f*从L（（E））到g的Liemap。由于抽象的理论，该映射可以很容易地实现，并且定义良好→ f（e）向量- ee→ f（e）f（e）- f（e）f（e）a向量场f:L（n）（e）→ 向量场。虽然在实践中，人们并没有把地图带到完全投射的极限。7.ODE方法——L（（E））中对数特征的截断与向量场之间的联系，是建模和理解受控微分方程的实用方法。

它远远超出了理论范畴，为将控制γ中的信息转化为响应信息提供了一些最有效、最稳定的数值方法（和控制机制）。如果dyt=f（yt）dγt，和yJ-= a那么我们如何使用γ的（对数）特征的前几个项来提供yJ+的良好近似值呢？我们可以使用Picard迭代法，或者更好地使用基于泰勒级数的欧拉方法。exp z的Picard迭代已经说明了一个问题。如果z=100，则Picardinteration产生一个幂级数作为近似值，但如果x=-100.然而，稳定性有一个更微妙的问题，几乎所有基于泰勒级数的方法都具有稳定性，它们很容易产生不可行的近似值。在受控情况下，由于系统的时变性，这些情况会加剧。向量场的解很容易是哈密顿量等。常微分方程方法使用签名的前几个项来构造一个时不变常微分方程（向量场），如果一个人在单位时间内求解它，它就提供了所需解的近似值。它将数字推回最先进的ODE解算器。如果ODEsolver是精确且稳定的，那么y的近似值也将是精确的。可以使用辛解算器等。在粗糙路径层面，通过将路径γ替换为新的粗糙路径γ（幂零群GN中的测地线），并在签名中使用相同的前几项，可以获得近似值；这保证了近似值的可行性。如今，粗糙路径理论可以用来估计解与近似值之间的差异，即γ与^γ之间的距离，即使在有限维中也是如此。[5] [3]备注7.1。一个实用的数值格式可以建立如下。1.

用对数S的前几项描述短间隔J上的γγ[J]-,J+]表示为固定霍尔基项的线性组合：log SJ=l+l+。∈ L（（E））L（n）=πn（logsj）=L+…+自然对数∈ L（n）（E）L=Xiλieil=Xi<jλij[ei，ej]。并使用该信息生成路径相关向量场V=~fl（n）.2.使用适当的ODE解算器求解ODE˙xt=V（xt），其中x=yJ-. xJ+给出了yJ+的稳定高阶近似。重复足够小的时间步，使高阶近似有效。4.该方法是高阶、稳定的，对应于在连续的较小尺度上用逐点测地路径替换γ。8.进入粗糙路径由于这是一项调查，我们在正式引入粗糙路径之前，故意让它们进入文本。粗糙路径理论回答了以下问题。假设γ是一条平滑的路径，但仍在正常尺度上，是一条高度粗糙且振荡的路径。假设我们有一个光滑系统f。给出一个关于路径γ的简单度量和一个连续性估计，确保如果两条路径在该度量中接近，那么它们的响应也在数量上接近。通过f的平滑度，估计值的学习应该只依赖于f。有这样一种理论[20]，以及一系列使函数γ→ 统一的，连续的。在这些度量下，光滑路径γ的完成就是我们所说的路径。该理论扩展到了有限维模型，并且在不依赖于维的情况下，估计是一致的。关于不同类型受众的大致路线，有很多信息来源，我们不重复这些材料。我们已经提到，如果签名中的第一项在固定时间间隔内一致，则两条平滑路径在固定时间间隔内对平滑f有可量化的密切响应。

我们可以将其构建成一个度量：dp（γ| J，γ| J）=supJ-≤U≤...≤联合国≤J+Ximaxm≤bpcSMγ|[ui，ui+1]- SM^γ|[ui，ui+1]p/mand如果系统为Lip（p+ε），响应将与控制一致。在DPP-变量路径下，分段光滑路径的完成。它们没有平滑性，但它们有一个“自上而下”的描述，可以被视为生活在E上的bpc阶幂零群中。在路径上区分Kolmogorov和粗糙路径视图是值得的。在前者中，我们考虑固定时间ti，开集Oi，并考虑所有i，xti的概率∈ 氧指数。换言之，重点是在给定时间路径的位置。这种封闭式的描述永远不会捕捉到崎岖的道路；参数化是不相关的，但小时间间隔内的增量[ui，ui+1]至关重要。更准确地说，一种方法是通过检查路径段对简单非线性系统（提升到幂零群）的影响来描述路径。要预测路径对一般系统的影响，我们只需要以分析充分的方式了解这些信息。整个粗糙路径理论是非常重要的，我们不能在这里充分考察它。范围很广，并且与任何情况有关，其中一个人有一个非交换算子族，并且想要对明显发散的乘积进行分析，例如，将得到的路径理解为复傅里叶变换的部分积分是有趣的，因为非线性Fourier变换是由该路径驱动的微分方程。在这个方向上已经取得了一些成果[22]，而对空间环境的概括却很难在本次大会的其他地方得到讨论。现在许多书都是关于这个主题的。Friz的新课堂讲稿将很快与最新发展一起出现。

因此，在本文剩下的内容中，我们将集中讨论一个主题，即路径的签名和路径的预期签名，以部分解释泰勒定理如何真正扩展到各种有限维群，以及我们如何从这个角度获得实际的牵引力。我们将不提及的一个关键点是，两次使用泰勒定理是有效的！这实际上是整个“崎岖之路”故事所依赖的一个关键点，并验证了它的使用。人们需要阅读校样来充分理解这一点，除了这句话，在这里完全压制它。14特里·莱昂斯9。坐标迭代积分在这篇短文中，我们必须有一个重点，因此我们无法探索充分描述粗糙路径或直接讨论空间概括所需的分析和代数，尽管它们有很大的影响[14][13]。尽管如此，我们所说的很多内容可以被认为是这项工作的有用基础。我们将重点关注签名作为理解路径的工具，以及作为帮助机器学习的新工具。这句重要的话对分析师来说可能有点吓人，但对其他人来说是标准的。群（like）对象的包络代数的对偶具有自然的阿贝尔积结构，并在群上线性化多项式函数。这一事实允许我们在线性空间上使用线性技术来逼近群上的能量光滑（和非线性）函数。这里的组是路径的“组”。单项式是Rn上的特殊函数，多项式是这些单项式的线性组合。因为单项式跨越代数，所以多项式能够逼近紧集上的任何连续函数。协调积分是张量代数上的线性泛函，同时也是路径空间上的单项式或特征。定义9.1。设e=e . . .

EN∈ （E）*)N T（E）*), φe（γ）：=he，S（γ），我们称φe（γ）为坐标迭代积分。备注9.2。注意S（γ）∈ T（（E））=L∞Enandφe（γ）=he，S（γ）i=Z··Zu≤...≤联合国∈他，我。嗯，我要证明这个名字的正确性。φeis是路径签名上的实值函数。引理9.3。T（e）上的松露产品q*) 使T（E）*) 这是一个交换代数，对应于坐标积分φe（γ）φf（γ）=φeqf（γ）的逐点积。最后一个恒等式可以追溯到Ree，它很重要，因为它说，如果我们考虑T（（e））上的两个线性函数，并将它们相乘，那么它们的乘积——它是二次的，实际上与类群元素上的线性泛函一致。shu-file产品确定了完成这项工作的线性函数。引理9.4。坐标迭代积分作为路径的特征，跨越一个分离签名并包含常数的代数。这个引理对于理解路径空间上的光滑函数和单项式对于理解Rn上的光滑函数一样重要。如果E是有限维的（尽管空间的维数呈指数增长），则每一个度只有无数个[20]。稍后我们将看到，从签名15中学习这一性质对于机器学习和非线性回归应用非常重要，但首先我们想解释一下，同样的评论如何让我们理解路径上的度量，并阐述傅里叶和拉普拉斯变换的概念。10.预期签名对预期签名的研究是由福塞特在他的论文[9]中发起的。HeprovedPosition 10.1。设u是路径γ上的紧支撑概率测度，其签名在紧集K中。则^S=Eu（S（γ））唯一确定S（γ）定律。证据

考虑Eu（φE（γ））。Eu（φE（γ））=Eu（he，S（γ）i）=he，Eu（S（γ））i=De，^因为E与shu-frege乘积形成一个代数和K的分离点，Stone Weierstrass定理意味着它们在C（K）中形成一个稠密子空间，并确定了γ的签名定律。考虑到这个引理，问一下OneOne如何计算Eu（S）就很有趣了。此外，Eu（S）类似于拉普拉斯变换，由于随机变量的尾部行为，它将不存在。有没有一个特征函数？在非紧的情况下，我们能否确定预期签名决定法律效力的一般情况。所有这些都是有趣而重要的问题。部分答案和强有力的应用正在出现。其中一个最早的理论是，我们可以通过在T（n）（e）上具有相同预期特征的多条路径上的度量，有效地近似于复杂度量，如维纳度量[19,17]。计算预期特征对本科生来说，计算拉普拉斯变换和傅里叶变换通常是一个具有挑战性的问题。在这种情况下，假设X是一个有界域上带有L’evyarea的布朗运动Ohm  Rd，在第一个出口停车。以下结果说明了如何将预期签名构造为DES[18]中的递归关系。LetF（z）：=EzsX |[0，TOhm]F∈ s研发部F=（F，F，…）则F满足，并由PDE有限差分算子确定fn+2=-dXi=1ei 工程安装 fn- 2dXi=1eizifn+1f≡ 1，f≡ 0和fj|Ohm≡ 0，j>0将该结果与来自PDE theoryallow的Sobolev和正则性估计相结合，以提取有关基本度量的许多重要信息，尽管在这种情况下，预期的特征是否决定度量仍然是未知数。

即使对于min（Tτ，T）上的布朗运动，这个问题也很困难，尽管（未发表）这个问题似乎可以解决。关于预期签名的其他有趣问题可以在[1]中找到。签名的特征函数通过查阅与路径发展为有限维酉群对应的线性微分方程，可以从预期签名中构建特征函数。这些符号的线性图像总是有界的，因此期望总是有意义的。以SU（d）为例 M（d）将su（d）作为无迹厄米矩阵的空间，并考虑ψ：E→ su（d）dψt=ψ（ψt）dγt。坐标迭代积分的基本特征包括它们是张量代数上的线性函数，它们是分隔签名的实值函数，它们跨越一个代数。粗糙路径理论的核心是，通过线性控制方程对路径的任何表示也可以被视为线性函数，乘积也可以被表示为和。如果可以证明与有限维幺正群相关的产品可以表示为有限维幺正表示的有限线性组合之和，并在类群元素中添加适当的拓扑，则可以重复上述想法，但现在期望总是存在，并获得特征函数的模拟。从定理12.1中学习。ψ是张量代数上的一个线性泛函，仅限于符号Sγ|[0，t]由收敛级数给出。它是有界的，因此它作为γ随机变化的期望总是有意义的。函数ψ→ EψJ+（S）是一个扩展的特征函数。提议12.2。