布雷格曼超分位数。估算方法及应用

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英文标题：
《Bregman superquantiles. Estimation methods and applications》
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作者：
Tatiana Labopin-Richard (IMT), Fabrice Gamboa (IMT), Aur\\\'elien
  Garivier (IMT), Bertrand Iooss (GdR MASCOT-NUM)
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this work, we extend some quantities introduced in \"Optimization of conditional value-at-risk\" of R.T Rockafellar and S. Uryasev to the case where the proximity between real numbers is measured by using a Bregman divergence. This leads to the definition of the Bregman superquantile. Axioms of a coherent measure of risk discussed in \"Coherent approches to risk in optimization under uncertainty\" of R.T Rockafellar are studied in the case of Bregman superquantile. Furthermore, we deal with asymptotic properties of a Monte Carlo estimator of the Bregman superquantile.
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中文摘要：
在这项工作中，我们将R.T Rockafellar和S.Uryasev的“条件风险值优化”中引入的一些量推广到实数之间的接近度是通过使用Bregman散度来测量的情况。这就引出了布雷格曼超分位数的定义。在Bregman超分位数的情况下，研究了R.T Rockafellar的“不确定优化中风险的一致性方法”中讨论的一致性风险度量公理。此外，我们还讨论了Bregman超分位数的Monte Carlo估计的渐近性质。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
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2022-5-6 06:22:36 上传

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关键词：分位数 Optimization Applications Multivariate Quantitative

布雷格曼超分位数。估算方法和应用。拉博平-理查德、F.甘博阿、A.加里维尔和B.约斯摘要。在这项工作中，我们将一些建立在前面介绍的概率分布基础上的参数推广到实数之间的接近度是通过使用Bregman散度来测量的情况。这导致了Bregmansuperquantile的定义（我们可以将其与经济学中的几个作品联系起来，例如[18]或[9]）。在布雷格曼超分位数的情况下，研究了前面讨论的一致风险度量公理（见[31]或[3]）。此外，我们还讨论了Bregman超分位数的Monte Carlo估计的渐近性质。几个数值试验证实了理论结果，一个应用说明了布雷格曼超分位数的潜在兴趣。1.介绍1。1.目标和范围。本文的目的是定义和研究[34]或[38]中定义的超分位数的Bregman扩展的性质和估计程序（另见[29]、[32]和其中的参考文献）。在导言中，我们首先回顾了风险度量一致性的必要条件。在第2节中，我们将超分位数作为对这个问题的部分回应。我们还介绍了Bregmansuperquantile，并研究了该量的一致风险度量公理。在第三节中，我们试图估计这个Bregman超分位数，我们引入了一个插件估计器，并研究了它的收敛性和渐近正态性。第4节介绍了一些数值模拟。第5节给出了辐射暴露真实数据的应用。所有证明推迟到第6.1.2节。一致的风险度量。设X为实值随机变量，fx为其累积分布函数。

我们为您定义∈]0，1[，分位数函数f-1X（u）：=inf{x:FX（x）≥ u} 。量化与X相关的风险的通常方法是考虑给定的α数∈]0，1[接近1，其下分位数qXα：=F-1X（α）。然而，分位数不是X的次加函数，这是某些应用中的一个主要属性（例如，财务，见[3]）。此外，分位数没有给出任何关于分位数上方分布尾中发生了什么的信息（例如，当我们处理保险费时，这可能是危险的）。在[31]中，引入了一个称为超分位数的新量，它满足次可加性的性质，并提供了有关分布尾的更多信息。超分位数的定义日期为：2022年3月2日。T.LABOPIN-RICHARD、F.GAMBOA、A.GARIVIER和B.IOOSSQα：=Qα（X）=E（X | X≥ qXα=E（X | X）≥ F-1X（α））我们可以注意到，Qα始终被定义为‘R=R’的一个元素∪{+∞}. 事实上，如果期望值不确定，我们可以将其设置为+∞. 我们确实有qα=EX1X≥F-1X（α）P十、≥ F-1X（α）≥ F-1X（α）E十、≥F-1X（α）P十、≥ F-1X（α）= F-1X（α）。备注1.1。特别是当外汇F-1X（α）= α、 Bayes公式给出了usQα=EX | X≥ F-1X（α）= EX1X≥F-1X（α）1- α!.从现在开始，我们总是处理随机变量X，其分布是连续的（即FX是连续的，然后是FX）F-1X（α）= α).请注意，在其他参考文献（[34]、[33]、[32]）中，该数量也被称为条件风险值。此外，（当F为圆锥曲线时），它也是风险的失真度量，例如在[1]、[41]、[22]、[23]、[24]、[38]、[40]、[39]和[42]中进行了研究。在这些论文中，风险的失真度量是数量ρg（X）：=-ZRxdg（FX（x）），其中称为畸变函数的g是从[0,1]到[0,1]的映射。假设g是非减量的，因此g（0）=0，g（1）=1。

那么，取g（x）=αxα∧ 1.,我们得到ρg（X）=αQ1-α(-十） 。次可加性并不是衡量风险的唯一有趣属性（例如金融应用）。以下[31]我们定义：定义1.1。R是一个风险度量，是一个定义在随机变量上的数值函数。设X和Xbe为两个实值随机变量。我们说R是相异的当且仅当它满足以下五个性质：i）常数不变性：设C∈ R、 如果X=C（a.s.），则R（C）=C.ii）正均一性：λ>0，R（λX）=λR（X）。iii）次可加性：R（X+X）≤ R（X）+R（X）。iv）单调性：如果X≤ X（a.s.）然后R（X）≤ R（X）。v） 亲密度：Let（Xh）h∈Rbe是一组随机变量。如果R（Xh）≤ 0和林→0 | | Xh- X | |=0然后R（X）≤ 0.BREGMAN超分位数。估计方法和应用3超分位数是风险的一致度量（直接证明见[28]、[27]、[2]）。更一般地说，Wang和Dhaene在[39]中表明，失真风险度量是相干的，当且仅当失真函数是凹函数（在我们的例子中成立）。备注1.2。在本文中，考虑了风险一致性度量的替代公理集（例如，在[35]、[39]或[3]中，还研究了特定风险类别（共单调风险）的可加性）。在本文中，我们将只关注Rockafellar对一致性风险度量的定义（见[31]）。此外，对于一致的风险度量，也给出了理论结果。这些度量确实可以用线性泛函的上确界来表示（例如，见[26]中的Kusuoka表示，或[3]中的场景集表示）。在这里，我们对此类陈述不感兴趣。2.Bregman Superquantiles在本节中，目的是建立一个满足定义1.1中规定的一些规律性公理的一般风险度量。

这些量将通过使用实数之间的相似性度量，即布雷格曼散度（见[7]）2.1来建立。布雷格曼散度，平均值和超分位数。在本节中，我们首先重新定义概率度量u的布雷格曼平均值（见[5]），并定义我们将研究的风险度量。首先，我们回顾将用于建立布雷格曼平均值的布雷格曼分歧的定义。设γ是一个严格凸函数，R值在R上。通常我们设置γ：={x∈ R：γ（x）<+∞}.为了简单起见，我们假设domγ是一个非空开集，并且γ是domγ内部的闭算子可微函数（见[30]）。从现在起，我们总是考虑满足这个假设的函数γ。与γ相关的布雷格曼散度dγ（见[7]）是定义在domγ×domγbydγ（x，x）：=γ（x）上的函数- γ（x）- γ（x）（x）- x） ，（x，x∈ domγ）。布雷格曼散度不是距离，因为它不是对称的。然而，由于它是非负的且为零，当且仅当两个参数相等时，它量化了domγ中点的近似性。让我们回顾一下这种分歧的一些经典例子欧几里得的。γ（x）=xon R，我们显然得到，对于x，x∈ R、 dγ（x，x）=（x- x） .o几何的γ（x）=x ln（x）- R上的x+1*+我们得到，对于x，x∈ R*+,dγ（x，x）=x lnxx+x- x、 o谐波。γ（x）=-ln（x）+x- 1在R上*+我们得到，对于x，x∈ R*+,dγ（x，x）=-lnxx+xx- 1.4 T.LABOPIN-RICHARD、F.GAMBOA、A.GARIVIER和B.Ioosletu是一种概率度量，其支持度包含在domγ中，且不加权domγ的边界。

进一步假设γ相对于u是可积的。在第一个点中，我们的平均值为|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||∈domγZdγ（m，x）u（dx）。事实上，我们用Bregman散度的最小化来代替数学经典预期定义中的最小化。存在性和唯一性来自于dγ相对于其第一个参数的凸性。通过微分很容易看出b=γ-1.Zγ（x）u（dx）.因此，回到前面的三个例子，我们得到了第一个例子中的经典平均值（欧几里德情况）、第二个例子中的几何平均值（expRln（x）u（dx））和调和平均值（[Rx]）-1u（dx）]-1） ，在第三个。请注意，由于布雷格曼扩散不是对称的，我们必须注意布雷格曼的定义。实际上，我们有zdγ（x，E（x））u（dx）=minm∈domγZdγ（x，m）u（dx）。现在我们来谈谈我们新的风险衡量标准的定义。定义2.1。让α∈]0,1[，Bregman超分位数Qdγα由Qdγα定义：=γ0-1.E（γ（X）|X≥ F-1X（α））= γ0-1“Eγ（X）1X≥F-1X（α）1- α!#第二种平等是持续的。换句话说，Qdγα满足（1）以X条件下toX的分布为u≥ F-1X（α）。现在，当不存在歧义时，我们将Qdγα表示为随机变量X的Bregman超分位数，如果我们需要区分不同分布的Bregman超分位数，则将Qdγα（X）表示为。出于与之前相同的原因，Bregman超分位数始终被定义为¨R的一个元素。此外，我们已经看到Bregman超分位数相对于经典超分位数的优势。事实上，一些实随机变量是不可积的（因此超分位数也是如此）+∞), 但由于选择了一个非常规则的函数γ，布雷格曼超分位数可以是有限的。

例如，让我们从单侧柯西分布引入x，即密度函数f（x）=π（1+x）x≥因为X是不可积的，所以它的经典超分位数等于+∞. 然而，考虑到Bregman超分位数与严格凸函数Bregman超分位数相关。估算方法与应用5γ（x）=x ln（x）- x+1，我们有γ（X）1X≥F-1X（α）< +∞因为函数x7→[0]上的ln（x）1+xis可积+∞【对布雷格曼超分位数的解释：事实上，我们有（2）Qdγα（X）=γ0-1.Qα（γ（X）.实际上，表示Z=γ（X），作为γF-1X（α）= F-1Z（α），所以γ（X）|X>F-1X（α）= EZ | Z>F-1Z（α）.因此，布雷格曼超分位数可以用与尺度变化下的超分位数相同的方式来解释。换句话说：fix一个阈值α并计算相应的分位数。此外，将刻度更改为X 7→ γ（X）并计算相应的平均值。最后，应用尺度的逆变化返回到真实空间。这种自然的想法已经在经济中得到了应用。例如，Satya等人注意到经典基尼指数不满足确保可靠性模型化所必需的属性，因此在[9]广义基尼指数中引入了Satya等人，原因是相似的尺度变化允许该指数满足这些属性。在我们的例子中，这种新的风险度量的主要利益也在于规模的变化。事实上，选择慢变凸函数γ会导致更稳健的风险，从而使统计估计具有更好的统计特性（例如，我们在第3节中显示，当Xhas为帕累托分布时，经典超分位数的经验估计并不总是一致的，而Bregman超分位数总是如此）。备注2.1。Bregman超分位数与资本配置领域中的加权配置函数密切相关。

实际上，在[18]中，这个量被定义为：Aw[U，V]：=E（uw（V））w（V），其中U和V是两个实随机变量，w是从R+到R+的给定映射。选择U=X，V=γ（X）和w（V）=1V≥QVα，我们得到aw[X，γ（X）]=γQdγα（X）.2.2. 布雷格曼超分位数的相干性。下面的命题给出了布雷格曼超分位数是风险一致度量的一些条件。提议2.1。[i]任何Bregman超分位数总是满足常数不变性和单调性的性质。6 T.LABOPIN-RICHARD，F.GAMBOA，A.GARIVIER和B.IOOSSii）与函数γ相关的Bregman超分位数是齐次的，当且仅当，对于某些实数β>0和δ，γ（因为γ是凸的，如果γ的支撑严格包含在R中）+*:=]0, +∞（没有关于δ的条件，但如果没有，δ是一个偶数）。iii）如果γ是凹的和次可加的，那么次可加性和紧密性公理是两个公理。这个命题的证明，和所有其他命题一样，在第5节中有所不同。为了得出结论，在一些关于γ的正则性假设下，Bregman超分位数是风险的一致度量。让我们举一些例子。2.2.1.例子和反例是的例1:x7→ X满足了所有的假设，但我们已经知道经典的超分位数是次累加的例2:Bregman几何和调和函数满足假设i）和ii）。

此外，它们的导数分别为x7→ γ（x）=ln（x）和x7→ γ（x）=x-1X是凹的，但仅在[1]上是次加法的+∞【那么调和函数和几何函数满足iii）不是所有的随机变量对，而是仅满足（X，X）对，因此，表示Z:=X+Xwe haveminqXα（α），qXα（α），qZα（α）> 1.o例3：经济中的一个经典严格凸函数（例如[9]中扩展基尼指数的计算）是函数γ（x）=xα，当考虑支持inR+：=[0+∞[.这个凸函数满足我们命题的公理ii），因此相关的Bregman超分位数是齐次的。此外，γ（x）=αxα-1是凹的当且仅当α<2。在这种情况下，它在[0]上是次可加的+∞[asa凹函数，使得f（0）≥ 最后，当考虑非负随机变量时，与函数γ（x）=xα，1<α<2相关的Bregman超量子化是风险的相干度量反例4：在一般情况下，次加性不是真的。实际上，让γ（x）=exp（x），并假设x~ U（[0,1]）。Eγ（X）1X≥F-1X（α）=Zαexp（x）dx=e- exp（α）。然后，表示R（V）=Qdγα（V）为一个随机变量，我们得到R（X）=lnE- exp（α）1- α.此外，R（λX）=lnZαexp（λx）dx= 自然对数exp（λ）- exp（（α）λ）λ（1）- α).对于α=0.95和λ=2，我们得到了Bregman超分位数。估算方法和应用7R（2X）- 2R（X）=R（X+X）- （R（X）+R（X））=0.000107>0，次加性失效。我们还可以注意到，对于λ=4R（4X）4R（X）=1，000321，正同质性不是真的，这与命题2是一致的。1因为γ的导数不能满足假设。2.3. 对其他自然属性的评论。我们研究了布雷格曼超分位数作为风险度量。于是，人们自然会怀疑，这种新的数量是否满足了风险度量的其他经典属性。

让我们说几句话。1） 首先，我们可以研究Bregman超分位数的连续性。经典超分位数是连续的一个条件，即haveXn-→a、 sX=> Qα（Xn）→ Qα（Xn）是序列（Xn）是等积的。当序列（γ（Xn））为等积时，Bregman超分位数的连续性成立。因此，我们提出了Bregman超分位数相对于经典超分位数的另一个优点，因为通过γ的变换可以正则化序列并使其等积。事实上，让我们考虑一个样本（Xn），其中X具有截断的柯西分布。我们已经看到X是不可积的。那么序列（Xn）在陆地上是没有边界的，因此不可等积。但是，函数γ（x）=x ln（x）- x+1，随机变量γ（x）是可积的。然后，独立样本（γ（Xn））是等价可积的。2） 方程（2）中的关系允许我们从经典的超分位数推导出Bregman超分位数的一些性质。例如，Gneiting等人在[19]中表明，经典的超分位数是不可导出的（在[43]中介绍）。然后，一个简化的证明表明，Bregmansuperquantile是不可导出的。同样，Cont等人在[14]中指出，经典的超分位数并不稳健（特别是因为它不是次加的）。一个直接的结果（因为函数γ是连续的，Levy距离是与弱收敛相关的距离）是Bregman超量子化也不稳健。Bregman超分位数是另一个例子，它被称为次可加性和鲁棒性之间的矛盾。3.Bregman超分位数的估计本节的目的是从样本中估计Bregman超分位数。我们引入了一个蒙特卡罗估计，并研究了它的渐近性质。