混合回火稳定分布

我们估计残差序列χt上混合dTS参数的值，使使用经验密度和理论密度计算的均方误差最小。在混合情况下，密度使用傅里叶变换计算，而对于方差伽马，我们采用[20]中提出的近似值。作为fit的度量，我们考虑Mor-tara指数A、二次皮尔逊指数A和均方误差根X:A=nKXj=1 | nj- ^nj | A=vuutnKXj=1（nj）- ^nj）^njX=vUtnkxj=1（nj）- ^nj）当我们考虑n个观测值的K类时，nj是观测频率，而^nj是这些类的理论频率。表3列出了Vanguard Fund Index和GIC的估计参数。在这里插入表3。α小于2的值表明，经验分布不能仅考虑方差γ。通过比较表3中的拟合度量，证实了混合数据在方差gamma方面的较好拟合。在第二个示例中，我们假设Vanguard Fund回报与使用GICS指数的每日对数回归构建的十个风险因素之间存在线性关系：rp，t=Xi=1βiXi，t+t（23），其中rp，tand Xi，t分别包含Vanguard Fund和第i部门的对数回报。在β中，iwe将投资组合收益的敞口置于第i个因子，而是特质不良项。通过一个简单的普通最小二乘回归，我们得到了风险因素的敞口，其结果如表2所示。特别是，我们观察到Ris高于99%，这表明所考虑的风险因素解释了Vanguard Fund log returns中几乎所有的可变性。

此外，在表2中，我们观察到β中的估计因子位置与每个部门的市值一致。在这里插入表2。我们将[9]提出的FastICA算法应用于GIC，并找到使优化算法中存在的非高斯条件最大化的独立组件（IC）。如果我们把ICs看作矩阵S的列，那么十个扇区的时间序列可以看作是独立信号源的线性变换。在混合矩阵A中∈ Rn×nis包含关于单一原始来源在市场部门的权重的信息，即X=AS。该方法与众所周知的主成分分析密切相关（见[12]）。然而，在后一种情况下，我们假设未知因子是正态分布的，而在ICA分析中，通过最大化每个成分的非高斯性度量来识别因子。投资组合收益率分布是独立的r.v.的线性组合，这些r.v.可以有不同的分布。我们使用Jarque-Bera检验来检查非正态性，即使偏离正态性是由表4中报告的样本偏度和峰度确定的。在此插入表4。在矩阵表示法中，投资组合收益率∈ R1×t可分解为：rp=βFF+βNN+。（24）带F∈ Rl×t作为包含l行的矩阵，S矩阵包含组件，我们决定在市场上有意义，N∈ R（n）-l） ×t其余部件被视为噪声。

新的风险敞口βF∈ R1×landβN∈R1×（n）-l） 通过将初始风险敞口β乘以混合矩阵A中的相应向量获得。投资组合回报模型中的线性关系可用于计算每个所选IC（如[24]或[25]中所述）或投资组合优化问题（如[21]中所述）对回报/风险的边际贡献。我们强调的事实是，我们的主要重点不是介绍如何在财务中使用ICA的新方法，而是强调混合稳定分布的灵活性，以便能够同时捕获每个IC的不同形状。在表5中，我们报告了使用FastICA算法获得的估计混合矩阵，并观察到混合的时间序列具有不同的形状。在此插入表5。独立成分的经验密度如图4所示。在表6中，我们给出了每个组件的混合参数和一些测量值。此处插入图4。在此插入表6。Jarque Bera统计量最高的四个IC被视为因子，而其他IC则被归为噪声项^=βNN+。^和F的独立性简化了计算。我们能够计算投资组合收益的特征函数rp:E[eiurp]=E[eiu[Pli=1βFiFi+^]=lYi=1E[eiuβfififi]E[eiu^]使用因子的校准混合分布参数并假设噪声为正态，重构先锋收益密度。利用傅里叶变换可以从特征函数中恢复r.v.的密度。为了进行比较，我们绘制了符合基金回报密度的正态分布图。5插入图55结论在本文中，我们讨论了回火稳定分布的各种特征，并介绍了一种新的参数分布，称为混合回火稳定分布。

现有的正态方差均值混合模型是基于正态性假设的，我们试图推广这一概念。实际上，我们认为标准化的经典al分布是稳定的，而不是高斯分布。混合r.v定义在正轴上，但我们表明，如果是伽马分布，则方差伽马、回火稳定分布和几何稳定分布是特殊情况。尽管从理论角度来看，这种分布具有很好的特征，但它不仅允许在混合r.v上，而且允许在标准化的经典回火稳定分布上依赖标准高阶矩。作为我们研究的一部分，我们还对模型参数的偏度和峰度进行了灵敏度分析。作为第一步，在我们的实证研究中，我们使用Garch（1,1）和混合创新对单变量财务回报进行建模，并将结果与同一模型进行拟合，但与方差伽马创新进行比较。最后，我们研究了混合分布对通过在tenGICS部门应用FastICA算法获得的统计因子时间序列的拟合。为适应ICs中不对称性和尾部重量的差异，具有灵活的分布非常重要。分析中涉及的拟合指标证实了理论发现，并证明了我们模型的优越性能。参考文献[1]O.E.巴恩多夫-尼尔森、J.肯特和M.斯伦森。正态方差是指混合物和Z分布。《国际统计评论》，50:145-1591982。[2] F Bellini和E Salinelli。独立成分分析与免疫：一项探索性研究。国际理论与应用金融杂志，6（7）：721–7382003。[3] T Bollerslev。

一个关于固定价格和收益率的条件异方差时间序列模型。《经济学与统计学评论》，69（3）：542-5471987。[4] P.卡尔、H.杰曼、D.B.马丹和M.约尔。《资产收益率的精细结构：一项经验调查》，商业杂志，75（2）：305–3322002。[5] P·卡尔和L·吴。随时间变化的征税程序和期权定价。金融经济学杂志，71（1）：113-1412004。[6] P.科蒙。独立成分分析，一种新的浓度？信号处理。，36(3):287–314,1994.[7] R.Cont.资产回报的经验性质：程式化事实和统计问题。量化金融，1:223–236，2001年。[8] R.康特和P.坦科夫。带跳跃过程的金融建模，第二卷。查普曼和霍尔/CRC金融数学系列，纽约，2003年。[9] A.海瓦里宁。用于独立成分分析的快速且稳健的定点算法。IEEE神经网络学报，10（3）：626–634，1999年。[10] A.海瓦里南和E.奥贾。独立成分分析。纽约：威利，2001。[11] N.L.约翰逊、S.科茨和N.巴拉克里希南。《连续单变量分布》，第一卷，《概率与统计中的威利级数》，2002年。[12] I.T.Jolli ff e.主成分分析，第二卷，共68页。斯普林格，第二版，2002年。[13] 金永盛、拉切夫、比安奇和法博齐。具有LVY过程和时变波动性的金融市场模型。《银行与金融杂志》，32（7）：1363-13782008。[14] I.科波宁。截断l′evy曲面向高斯随机过程收敛问题的解析方法。物理复习E，52:11971199，1995。[15] T.J.Kozubowski、K.Podg\'orski和G.Samorodnitsky。几何可调随机变量l’evy测度的尾部，1997年。[16] UK¨uchler和S.Tappe。金融数学中的双边伽马分布和过程。

随机过程及其应用，118（2）：261–283，2008。[17] UK¨uchler和S.Tappe。关于双侧伽马密度的形状。《统计学与概率论者》，78（15）：2478-24842008。[18] UK¨uchler和S.Tappe。双边伽马股票模型中的期权定价。《统计与决策》，27:281–307，2009年。[19] UK¨uchler和S.Tappe。回火稳定分布和过程。随机过程及其应用，2013年。[20] A.洛雷吉安、L.默库里和E.罗吉。方差伽马模型与有限的法线混合的近似值。《统计与概率快报》，82（2）：217–224，2012年。[21]D.B.马丹。均衡资产定价：具有非高斯因子和经验效用。《定量金融》，6（6）：455–463，2006年。[22]D.B.马丹和B.塞内塔。股票市场回报的vg模型。《商业杂志》，63:511–5241990。[23]B.B.曼德布罗特。某些投机价格的变化。《商业杂志》，361963年。[24]A.梅奇。风险和资产配置。柏林，2005年春天。[25]E.罗吉。风险归因和半重尾分布。米兰诺比科卡大学博士论文，2013年。[26]K.I.佐藤。《列维过程和完全可分分布》，第二卷，共68页。剑桥高等数学研究，1998年。[27]特威迪先生。区分一些重要指数族的指数。InProc。印度统计学会金禧国际会议，第579-604页。J.戈什和J。

罗伊（编辑），1984年。-8.-6.-6.-4.-4.-2.-20022468λ+λ-α = 0.20.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.20.40.60.811.21.41.61.8-5.-4.-3.-3.-2.-2.-1.-100112345λ+λ-α = 0.80.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.20.40.60.811.21.41.61.8-3.-2.-1.-100123λ+λ-α = 1.20.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.20.40.60.811.21.41.61.8-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1-0.1000.10.20.30.40.5λ+λ-α=1.80.20.40.60.811.21.41.61.8图1：考虑V~ Γ（1，1）和fixα的一些值。我们绘制了λ+和λ的不同组合的偏度曲线-了解可能的偏斜度值。在特定情况下，当它们重合时，偏度为零。α值越高，其他参数的偏斜度水平越低，且保持不变。当α=2.19.419.434.8734.8750.3450.3465.8165.8181.2881.28λ+λ时，混合物的分布变得对称-α = 0.50.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.20.40.60.811.21.41.61.811.8811.8820.2520.2528.6328.6337373745.3745.37λ+λ-α = 0.990.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.20.40.60.811.21.41.61.89.39.315.215.221.221.227.127.127.133.1λ+λ-α = 1.20.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.20.40.60.811.21.41.61.83.043.043.083.083.123.12λ+λ-α=1.990.20.40.60.811.21.41.61.8图2：考虑V~ Γ（1，1）和fixα的一些值。我们绘制了λ+和λ的不同组合的峰度值-对可能的峰度值进行i-dea。更高α的影响是峰度水平的降低。

如果α的固定值为1.9，则峰度的曲线水平趋于接近3，并且对于α=2，峰度的极限情况等于3。-5.-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4 500.050.10.150.20.250.30.350.4 VG密度α=1.8α=1.6α=1.4（a）对称VG分布是混合物的一种特殊情况，在α=2时得到。我们确定xu=0，u=0，σ=1.2，a=1.7，λ+=1.2和λ-= 8.在图中，我们对不同的α值进行了混合。相关的分布是不对称的，但极限情况并非如此。-5.-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4 500.10.20.30.40.50.6 CTS密度1a=0.051a=0.11a=0.25（b）对称CTS分布是混合的一种特殊情况，它是在α=2时获得的。我们确定xu=0、u=0、λ+=1.2和λ-= 8和α=1.4。在图中，我们绘制了a的不同值的混合数据。-3.-2.-1 0 1 2 300.10.20.30.40.5地质稳定λ=1λ=0.5λ=0.2λ=0.1λ=0.05（c）为了显示混合分布与几何稳定分布的收敛性，我们将其绘制为给定u=0、u=0、a=1和γ=1的不同λ值。得到了σ=λα的几何稳定分布-2γαsα(α-1） cos（απ）取λ的极限→ 0.观察λ越小，尾巴越重。

因为在一个零附近的开放集合中，几何稳定分布有一个峰值+∞.例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例印度河0.00040.0142-0.4390 2.7993-0.0711 0.0495INFT 0.0007 0.0130-0.2948 2.0849-0.0596 0.0445MAT R 0.0005 0.0159-0.3575 2.5824-0.0756 0.0593TELS 0.0007 0.0097-0.2897 2.9581-0.0550 0.0426UTIL 0.0004 0.0089-0.1124 4.7863-0.0563 0.0414表1：报告的基金VFIAX统计数据以及考虑负偏态分布的GIC指数和负偏态分布比负态分布重的GIC指数正常分布所暗示的。回归系数和资本化权重与ENRS FINL HLTH INDUT MATR TELS UTILβ0.1105 0.1154 0.1238 0.1442 0.1051 0.1145 0.1818 0.0378 0.0220 0.0415 CAP权重（2010年6月14日）0.1103 0.1165 0.1206 0.1441 0.1190 0.1221 0.1800 0.0115 0.0213 0.0546 CAP权重（2012年9月20日）0.1108 0.1091 0.1127 0.1507 0.098 0.099我们进行了回归分析表1920.030.0317：我们进行了回归分析并获得投资组合VFIAX的因子敞口，其中因子是行业指数。该数据集由2010年6月14日至2012年9月21日的收盘价组成。模型Ris为99.69%，这意味着我们因素的解释力相当高。我们报告了研究期开始和结束时各因素的资本化权重。

因子风险敞口与每个部门的平均市值一致。统计ICsI II III IV VI VII VIII IX XSkewness-0.6496-0.1200-0.5531 0.2913-0.0349-0.2916 0.0876-0.1975-0.0881-0.0021峰度7.7030 7.5633 5.9752 5.9352 4.6628 4.1283 4.2410 3.7250 3.6370 3.4420JB统计546.5730 479.4040 231.3230 205.6020 63.5910 37.0450 36.0660.6540 10.044：我们报告了每个分量的峰度和偏斜度。3.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0005-0.0021-0.0083-0.0017 0.0029-0.0005 0.0002-0.00260.0005 0.0027 -0.0020-0.0036 -0.0103 -0.0016 0.0029 0.0018 0.0035 -0.0055 -0.0037 0.0031 -0.0009-0.0028 -0.0089 -0.0030 0.0027 -0.0038 0.0019 -0.0046 -0.0050 0.0015 -0.0008-0.0019 -0.0113 -0.0023 0.0005 -0.0003 0.0060 -0.0082 -0.0018 0.0013 -0.0028-0.0029 -0.0077 0.0044 0.0013 -0.0010 0.0006 -0.0012 -0.0011 0.0007 -0.0017-0.0012 -0.0080 -0.0009 -0.0008 0.0004 0.0014 0.0018 -0.0011 0.0018 -0.0011表5：将FastICA算法应用于由tenGICS指数组成的数据集获得的估计混合矩阵。在10个独立分量中，只有8个被选为因子。剩下的两个被认为是噪音。-3.-2.-1 0 1 2 3 4 5 600.050.1-6.-4.-2 0 2 4 6 800.10.2-6.-4.-2 0 2 4 600.050.1-8.-6.-4.-2 0 2 4 600.10.2-5 0 500.050.1-6.-4.-2 0 2 4 600.050.1-5 0 500.050.1-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 400.020.040.06-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4 500.050.1-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 400.020.040.06图4：根据每个IC经验密度进行混合。表6中报告了适用参数。