混合回火稳定分布

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英文标题：
《Mixed Tempered Stable distribution》
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作者：
Edit Rroji, Lorenzo Mercuri
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper we introduce a new parametric distribution, the Mixed Tempered Stable. It has the same structure of the Normal Variance Mean Mixtures but the normality assumption leaves place to a semi-heavy tailed distribution. We show that, by choosing appropriately the parameters of the distribution and under the concrete specification of the mixing random variable, it is possible to obtain some well-known distributions as special cases.   We employ the Mixed Tempered Stable distribution which has many attractive features for modeling univariate returns. Our results suggest that it is enough flexible to accomodate different density shapes. Furthermore, the analysis applied to statistical time series shows that our approach provides a better fit than competing distributions that are common in the practice of finance.
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中文摘要：
本文引入了一种新的参数分布，即混合回火稳定分布。它的结构与正态-方差-均值混合分布相同，但正态性假设不适用于半重尾分布。我们证明，通过选择适当的分布参数，在混合随机变量的具体规范下，可以得到一些已知的分布作为特例。我们采用了混合回火稳定分布，它有许多吸引人的特征来模拟单变量收益。我们的结果表明，它足够灵活，以适应不同的密度形状。此外，应用于统计时间序列的分析表明，我们的方法比金融实践中常见的竞争分布更适合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
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2022-5-6 06:28:26 上传

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关键词：稳定分布 distribution Econophysics Applications Quantitative

混合回火稳定分布*Lorenzo Mercuri+2018年6月7日摘要本文介绍了一种新的参数分布，即混合稳定分布。它与正态-方差-均值混合分布的结构相同，但正态性假设为半重尾分布。我们表明，通过选择适当的分布参数，并根据混合随机变量的具体规格，可以获得一些已知的分布作为特例。我们使用了混合回火稳定分布，它有许多吸引人的特性来模拟非变量回报。我们的结果表明，它足够灵活，可以适应不同的密度形状。此外，应用于统计时间序列的分析表明，我们的方法比金融实践中常见的竞争分布提供了更好的信息。关键词：回火稳定分布；混合模型；统计因素；独立成分分析；伽马密度；1简介从[23]的开创性工作开始，稳定分布在建模经济和金融时间序列方面获得了广泛的应用。然而，经验证据反对对日常数据使用正态分布，但不能适应稳定分布的重尾性。从数学角度来看，稳定分布的一个缺点是只有p阶的分数矩≤ α和α∈ （0，2）存在，因此标准中心极限定理不成立。出于这个原因，一些研究者认为，稳定分布[8]是模拟财务回报的有效替代方法。回火稳定分布可通过将α稳定的L′evy密度乘以递减回火函数来获得。

尾巴的行为由重变为半重，其特征是由一个独立的而不是功率衰减。保证了常规矩的存在性，并满足经典中心极限定理的条件。这是资产回报建模中的一个优势，因为对于月度或年度数据，正态性假设似乎是正确的[关于程式化事实的调查，请参见[7]）。在本文中，我们提出了一个新的分布：混合回火稳定（今后混合）。其想法是以正态方差-均值混合（NVMM，见[1]）的类似方式建立一个新的分布，其中正态性假设被标准化回火稳定（见[13]）取代。我们证明了新的分布可以克服NVMM的一些限制。特别是，a对称性和峰度不仅取决于混合随机变量，还取决于决定分布的其他变量。如果混合随机变量遵循伽马分布，则建议的模型可以具有*电子邮件：e。rroji@campus.unimib.it+电子邮件：lorenzo。mercuri@unimi.itVariance伽马[22,20]、温度稳定[8]和几何稳定[15]作为参数选择的特殊情况。为了了解这种分布如何与真实数据相匹配，我们考虑两个例子。首先，我们构建了一个混合创新的Garch（1,1），并将其用于单变量金融时间序列建模。在第二部分中，我们考虑了一个基金对数收益的多因素模型，该模型试图复制标准普尔500指数的表现。作为因素，我们考虑了MSCI Barra供应商开发的全球行业分类标准（GICS）指数。

我们使用[6]介绍并由[10]开发的独立成分分析来捕捉GICSdependence结构。一旦确定了独立组件（IC）的数量，我们将使用混合回火Stableto模型对每个组件进行建模。观察到的基金收益率是ICs的总和，单因子收益率密度可以是非高斯和/或半重尾。独立成分分析已经用于金融，尤其是利率期限结构模型[2]。[21]提出了一个使用ICAC成分的非高斯因子模型，假设成分遵循方差伽马分布。由于方差伽马是混合温度稳定分布的一个特例，因此我们的模型可以被视为后者的一般化。按照与[24]和[25]中相同的方法，由于各组成部分的独立假设，对于给定的同质风险度量，可以很容易地计算每个因子c的边际贡献风险。报告的概要如下。在第二节中，我们回顾了高温稳定分布的主要特征，并做了一些有用的观测。第三节介绍了混合回火稳定分布及其主要特征。第4部分说明了混合分布对财务时间序列和独立成分的拟合。第5节总结了本文。2回火稳定分布在本节中，我们回顾回火稳定分布的主要特征。如果随机变量X的L’evy测度由以下公式给出，则它遵循缓和的稳定分布：ν（dx）=C+e-λ+xx1+α+x>0+C-E-λ-|x | | x | 1+α-x<0！dx（1）与α+，α-∈ （0，2）和C+，C-, λ+, λ-∈ (0, +∞).特征函数是通过求解积分[8]：E得到的埃克斯= 经验iuγ+ZR埃克斯- 1.- iu xν（dx）= exp{iuγ+C+Γ(-α+) [(λ+- iu）α+- λα+]+C-Γ (-α-) [(λ-+ iu）α-- λα-]}（2） γ在哪里∈ R.

正如在[19]中观察到的，对于α+，α-∈ （0,1），回火稳定是通过[27]中介绍的两个独立单侧回火稳定分布的差异获得的。Corres积水过程随降雨活动而变化。研究人员对这种分布的兴趣从文献中调查了许多特定病例的事实得到证实。对于C+=C-= C和α+=α-= α、 我们得到了CGMY分布[4]。如果我们fixα+=α-λ+=λ-, 我们得到了[14]中引入的截断L′evy光，而f rα+=α-→ 0+我们得到了双侧伽马分布[16,17,18]。计算α+=α的极限-→ 0+，C+=C-λ+=λ-我们得到了方差伽马分布[参见[22,20]中的估计]。在本文中，我们考虑了与[13]中相同的限制，即：α+=α-= α和γ=u- Γ (1 - α)C+λα-1+- C-λα-1.-r.vX的分布在哪里~ CT S（α，λ+，λ-, C+，C-, u）被称为经典回火稳定。

对于该r.v E（X）=u，其特征函数为：E埃克斯= Φ（u；α，λ+，λ）-, C+，C-, u）=expiuu- iuΓ（1）- α)C+λ+α-1.- C-λ+α-1.+ C+Γ(-α)(λ+- iu）α- λα++ C-Γ (-α)(λ-+ iu）α- λα-r.v X的n阶累积量可以通过特征指数cn（X）：=in的导数来获得NunlnE埃克斯u=0（3）给定分布参数和fixing n=1，我们得到：c（X）=u（4）和n≥ 2:cn（X）=Γ（n）- α） （C+λα）-n++(-1） 北卡罗来纳州-λα-N-) （5） 使用累积量，我们得到分布的前四个矩：E（X）=c（X）=uV ar（X）=c（X）=Γ（2）- α)C+λα-n++(-1） 北卡罗来纳州-λα-N-γ=c（X）c3/2（X）=Γ（3）-α） [C+λα-3+-C-λα-3.-]c3/2（X）γ=3+c（X）c（X）=3+Γ（4）-α） [C+λα-4+-C-λα-4.-]c（X）（6）从偏斜度公式可以看出，c+λα-3+和C-λα-3.-当C+=C时，驱动不对称-偏度的符号取决于两个回火参数λ+和λ的差异-.以下结果表明回火稳定分布收敛于对称α- 分布稳定。λ+=λ的命题1-= λ、 u=0和C+=C-= C、 λ为零时，回火稳定分布收敛为对称稳定分布。对于λ+=λ-= λ、 u=0和C+=C-= C、 （2）中的特征指数成为对称回火稳定分布的特征函数：E[exp（iuX）]=exp[iuu+CΓ（1）-α) [(λ - iu）α+（λ+iu）α- 2λα]] . （7） 对于r=√u+λ和θ=arctguλ:E[exp（iuX）]=expCΓ（1）-α)rαe-iαθ+rαeiαθ- 2λα= exp[CΓ（1）- α） [2rαcos（αθ）- 2λα]]其中最后一个等式是由Euler方程Eiθ+e得出的-iθ=cos（αθ）。

λ的极限→ 0+给出了一个更紧凑的特征函数公式：limλ→0+exphCΓ（1）-α） hu+λαcos（αθ）- 2λαii=exphCΓ（1- α） h2 | u |αcosαπii（8）在fa-ct中是对称稳定分布的特征函数。备注2对于u=0和C=C+=C，r.v X的平均值和单位方差为零-=Γ(2 - α)(λα-2++ λα-2.-)（9） r.v X的分布称为标准化经典回火稳定，即X~ stdCT S（α，λ+，λ-).值得注意的是，在标准化的经典回火稳定分布中，一旦给定α、λ+和λ的值，C就完全确定-. 其特征指数定义为lstdct S（u；α，λ+，λ-) = logE[eiuX]，is:LstdCT S（u:α，λ+，λ-) =(λ+- iu）α- λα++ (λ-+ iu）α- λα-α(α - 1)(λα-2++ λα-2.-)+iu（λα）-1+- λα-1.-)(α - 1)(λα-2++ λα-2.-)（10） 对于α→ 2.我们得到了正态分布的特征指数：limα→2LstdCT S（u：α，λ+，λ-) = -uRemark 3条件（9）意味着收敛到α- 稳定是不可能的，因为特征指数会收敛到零。如果回火参数依赖于严格的正数量h，则标准化的经典回火稳定分布具有以下特性，这使得它对混合物s具有吸引力。命题4让X~ stdCT Su：α，λ+√h、 λ-√Hh∈ (0, + ∞) 然后是随机变量=√hX具有以下特征指数：ln E艾伊= h“（λ+- iu）α- λα++ (λ-+ iu）α- λα-α (α - 1)λα-2++ λα-2.-+iuλα-1+- λα-1.-λα-2++ λα-2.-#（11） 而且如果h∈ N我们有：Yd=hXj=1Xj（12），其中Xjare iid stdCT S（α，λ+，λ-)证据

计算的特征指数（10）e√胡：嗯艾伊=λ+√H-iu√Hα- hαλα++λ-√h+iu√Hα- hαλα-α (α - 1)hα-1λα-2++hα-1λα-2.-+我√胡hα-1λα-1+- hα-1λα-1.-hα-1λα-2++hα-1λα-2.-分解h:lne艾伊=“hα（λ+- iu）α- λα++ (λ-+ iu）α- λα-hα-1α (α - 1)λα-2++ λα-2.-+iuhαλα-1+- λα-1.-hα-1.λα-2++ λα-2.-#通过简单的操作，我们得到了（11）中的结果。为了证明方程（12）中的结果，我们使用了Xj的iid假设，j=1，2。。。，h在哪里∈ N.随机变量的特征e指数phj=1Xjbecomes:ln e经验hXj=1Xj= h lne[exp（X）]其中X~ stdCT S（α，λ+，λ-). 利用方程（10），我们得到了√hX，这意味着方程（12）中的关系。3混合回火稳定分布在本节中，我们利用命题4定义了一个新的分布，该分布具有一些良好的数学和统计特征。定义5我们说连续随机变量Y遵循混合稳定分布，如果：Yd=√VX（13）式中X | V~ stdts（α，λ）+√V，λ-√V）。V是定义在正轴上的L’evy分布，其力矩生成函数（mgf）始终存在。mgf的对数是：ΦV（u）=ln[E[exp（uV）]（14）我们应用迭代期望定律来计算新分布的特征函数：Eheiu√V~Xi=EnEheiu√VXVio=exp[ΦV（LstdCT）S（u；α，λ+，λ-))]（15） 如[26]和[5]所示，特征函数确定了一个时变L’evy过程中某一时刻的分布，它是完全可分的。提案6混合方案的前四个时机是：嗯√VXi=0V arh√V~Xi=E[V]γ=（2）- α)(λα-3+-λα-3.-)(λα-2++λα-2.-)E-1/2[V]γ=3 + (3 - α) (2 - α)(λα-4++λα-4.-)(λα-2++λα-2.-)E[V]E[V]在图1中，我们展示了λ+和λ的不同组合的偏斜ss的行为-固定α。

图2中的峰度也是如此。在这里插入图1。在这里插入图2。如果我们把它当作~ Γ（a，σ），在（15）中的特征指数变成：EhexpU√Vxi=exp-ln1.- σ(λ+- iu）α- (λ+)α+ (λ-+ iu）α- (λ-)αα (α - 1) ((λ+)α-2+ (λ-)α-2)- σiu（λα）-1+- λα-1.-)(α - 1)(λα-2++ λα-2.-)!#（16） 利用伽马分布的标度适当性（见[11]），r.v.Y可等效定义为：Yd=σp^v^X（17），其中~ Γ（a，1）和^X^V~ stdT Sα、 σλ+p^V，σλ-帕夫.作为特殊情况，具有伽马混合密度的混合物具有广泛应用于不同领域的一些众所周知的分布。的确，对我来说=√a通过计算即将完工的单位的极限，我们检索标准化的ic类（见图3（b））。如图3（a）所示，通过选择α=2获得对称性变化伽马分布。通过选择：λ+=λ-= λa=1σ=λα-2γαvUtα (α - 1） 因为απ（18） 计算λ的极限→ 0+我们得到了几何稳定分布。代替特征指数定义中的条件（18），我们有：Ehexpiu√Vxi=exp-自然对数1.-(λ+- iu）α- (λ+)α+ (λ-+ iu）α- (λ-)α2α (α - 1)应用极限并遵循命题1的相同论点，我们得到：Ehexpiu√Vx我→1.- |u |αcosαπα (α - 1)!-1对于任何α6=1。几何稳定分布的收敛性如图3（c）所示。在这里插入图3。将混合数据与非对称方差伽马分布进行比较，需要方程式17的更一般版本。在实践中，我们考虑一个新的随机变量χ如下：χd=u+u^V+Y（19），其中Y在等式17中定义。

通过这种方式，我们可以获得不同于zer Oan的平均值，并且由于结构相同，因此更容易与NVMM进行比较。4实证研究在本节中，我们通过考虑两个例子，实证研究了混合分布在资产收益建模中的表现。首先，我们研究了NEW模型捕捉每个资产收益时间序列中观察到的程式化事实的能力。我们使用MixedTS对Garch（1,1）进行了创新，并将其性能与Garch（1,1）进行了比较。在第二部分中，我们使用独立成分分析建立了一个多因素模型，并假设每个c组分遵循混合e dTS分布和Ga mma混合密度。数据集由Vanguard Fund Index的每日对数收益组成，该指数试图复制标准普尔500指数的表现。将10个GICS指数的每日对数收益率视为投资组合风险因素似乎很自然，因为标准普尔500指数的每个成员国都属于其中一个。da ta是从彭博数据提供商处获得的从2010年6月14日到2012年9月20日的每日日志回报。在表1中，我们报告了所考虑指标的主要统计数据。从经验性晕厥和荨麻疹来看，与正常假设的背离是明显的。在这里插入表1。在第一个例子中，对数回归ri，皮重使用经典Garch（1,1）建模，如[3]：ri，t=σi，tχi，t（20）σi，t=α+αri，t-1+βσi，t-1（21）（22）式中，χi，t遵循方程式19中定义的混合属。该模型与另一个Garch（1,1）模型进行了比较，Garch（1,1）具有相同的结构，但方差为χi，呈伽马分布。使用在Garch Matlab工具箱中实现的拟极大似然法[3]，我们得到了参数α、α、β和波动序列σt的值，t=1、2、。。。，T