复杂金融动力学中的局部互动结构

为了确保不同股票的权重相等，我们引入了标准化价格回报率Ri（t）=Ri（t）- hRi（t）iσi，（4）其中h···i是时间t的平均值，σi=phRii- Hride记录了Ri的标准偏差。然后，互相关矩阵C的矩阵元素由等时间相关系数Cij定义≡ hri（t）rj（t）i.（5）根据定义n，C是一个实对称矩阵，Cii=1，Cijis值在范围内[-1, 1].已知所谓Wishart矩阵特征值的统计特性，并且Wishart矩阵是从具有有限长度的不相关时间序列推导出来的。我们用N表示股票总数，用T表示数据的总时间长度。在极限N→ ∞ 和T→ ∞ 和Q≡ 电话号码≥ 特征值λ的概率分布由[57,58]Prm（λ）=Q2πp（λranmax）给出- λ) (λ - λranmin）λ，（6）具有上界和下界λranmin（max）=1 ±1/√Q.金融市场中互相关矩阵的大特征值偏离Wishart矩阵的Prm（λ）。这表明，单个股票之间存在非随机相互作用，最大特征值代表了市场的全球价格运动。在我们的研究中，特征值的排列顺序为λα>λα+1，α=0，···，N。具有大e值的特征模式可以与商业部门相关联。考虑到本征模分量的符号，λα的扇形可分为两个子扇形，即正子扇形和负子扇形[16]。最后，基于RMT理论，互相关系数Cijc可以分解为不同的本征模，Cij=NXα=1λαCαij，Cαij=uαiuαj，（7）其中λα是Cij的α-th特征值，uαii是α-th特征向量中的第i分量。因此，Cαij代表α-th本征模中的交叉C相关。

为了揭示不同本征模中的相互作用结构，我们通过cmode定义了三模互相关矩阵，ij=modeXαCαij。（8） 对于市场模式，Cmar，ij=Cij，对应于Cij的最大特征值。对于纽约证券交易所市场的mo-de，Csec，ij=Pα=1Cαij；对于上证综指市场，Csec，ij=Pα=1Cαij。对于随机模式，对于纽约证券交易所和苏格兰和南方证券交易所市场，我们简单地采用了Cran，ij=Pα=50Cαij。复杂网络方法从原理上讲，矩阵元素包含了股票之间相互关系的全部信息，但带有很强的噪声。为了勾勒出两个物体之间相互作用的主干，边缘应该被极大地去除，并考虑到完整的图形。为此，图表应尽可能简单，但重要的相关性应保持不变。因此，MST树是最简单的连通图[59,60]，其中没有圈。此外，MST树可以给出一个直接方案中单个股票的最简单次优势组织结构。我们简要描述了MST方法如下：（1）按降序排列股票i和j之间的相关性。（2） 捕获列表中的第一个节点，并将节点i和j以及i和j之间的边添加到图中。（3）创建列表中的下一个，如果可以链接到现有节点，并且不会形成循环，则将相应的边和节点添加到图中；否则就忽略它。（4） 重复步骤（3），直到访问了所有链接。假设有N个股票，生成的MST树由N个节点和N个- 1.边，与马希米之和的次进树图。MST树是捕捉每个节点最相关关系的有效方法。然而，仅允许使用树结构是一个很强的约束。

所有这些边在与现有边形成循环时都会被拒绝，即使它们可能代表显著的相关性。为了改进该方法，提出了PMFG图[42]。该解决方案生成一个嵌入在具有特定亏格g的曲面上的图。曲面亏格是曲面上的孔数，g=0对应于原子球，g=1对应于圆环，g=2对应于双圆环，等等。PMFG算法一般与第一个算法相同，除了步骤（3）。将其替换为生成的图应可嵌入到亏格为g的曲面上的条件。PMFG算法生成的g图是s曲面的三角剖分，包含3N+6g- 6个链接，最大化Cij的总和。最简单的case是g=0的图。在某种意义上，MPFG图可以被视为MST树之后复杂性的最小扩展。在提取MST树和PMFG图之后的下一步，我们将应用inRef提出的Infomap方法。[47]调查金融网络的社区结构。该方法基于网络上的随机漫游来捕获信息流，然后从数据的规律性中提取社区结构。有关该方法的详细说明，请参考参考文献[47]。使用Infomap方法，我们可以识别MST树和P MFG图的社区结构。此外，利用手头的模式互相关矩阵CMode，我们可以为不同的模式构建MST树和PMFG图，并调查哪些模式主导了业务部门及其相互作用。这是探索金融系统互动结构的重要一步。致谢本项工作部分得到了国家自然科学基金委第11、375149和11075137号基金和浙江省自然科学基金的支持。

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缩写如下。信息。服务：信息服务，日本IT：日本IT公司，BM：基本材料，CG：消费品，m公司：机械，SHRE：上海房地产，SHL：上海本地公司，IG：工业品，ST（BM和IG）：BM和IG与ST，ST（FI和CG）：金融和CG与ST.NYSE SSEPMFG RMT PMFG RMTUtilityλ+金融λ-运输λ-它λ-油λ-什雷λ-金矿开采λ-ST（BM&IG）λ-零售商λ-,λ+ST（FI&CG）λ-信息。服务λ-IGλ+技术λ+，λ+CGITλ-λ-BMCGλ-SHLInsuranceλ-,λ+效用库λ-,λ+零售航线λ-健康护理。施工马赫。电气设备国防和航空航天器娱乐表二。PMFG图、MST树和R MT扇区（子扇区）的平均互相关Cijj。Cinijr和Cbeijr分别表示群落内部和群落之间的平均相关性。Cliijare和Cdeijare是两个有联系和无联系的不同社区之间的平均相关性。C+-ij是本征模中正子截面和负子截面之间的平均相关性[16]。CijCinijCbeijCliijCdeijC+-纽约证券交易所PMFG 0.16 0.46 0.15 0.18 0.13MST 0.16 0.49 0.16 0.19 0.12RMT 0.16 0.33 0.16 0.15SSE PMFG 0.37 0.43 0.36 0.38 0.32MST 0.37 0.48 0.36 0.39 0.31RMT 0.37 0.40 0.34 0.32美联储和系统性风险，Sci。代表2541（2012年）。[54]Nepusz，T.和Vicsek，T.，控制复杂网络中的边缘动态，Nat。菲斯。8, 568-573 (2012).[55]Vitali，S.，Glattfelder，J.和Battiston，S.，全球公司控制网络，PloS one 6，e25995（2011年）。[56]Wilcox，D.&Gebbie，T.，《新兴市场中的交叉相关性分析》，Physica A 375，584-598（2007）。[57]Dy son，F.J.，一类实对称矩阵的特征值分布，修订版。墨西哥。Fis。20, 231-237 (1971).[58]Sengupta，A.M.和Mitra，P.P.，一些随机矩阵的奇异值分布，Phys。牧师。

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