更准确、更精确地估计运营风险资本，

因此，例如，所有其他条件相同的截断分布将比非截断分布（具有相同的参数值）表现出更多的偏差。分位数c）的选择由公式（2.a）中的α确定，对于监管资本，α设置为0.999（对于经济资本，通常α=0.9997，或接近，取决于机构的信用评级）。因此，在其他条件相同的情况下，ECap将比RCap表现出更大的资本偏差。所有这些因素及其影响方向都与Jensen不等式的影响一致，并且VaR作为严重性参数估计的凸函数（或凸主导函数），这三个因素（尤其是a）都可以用图1可视化。严重参数β的估计值在X轴上的方差越小，（^gβ）的值可以延伸到中位数以上的值越小，所有其他值都相等，因此资本估计值越小，就会出现偏差。因为我们的估计中不再有β，所以我们的估计中不再有β。对于b）和c），更重的尾部，以及这些尾部中更极端的分位数，都与更大的凸度有关，如附录A图A1所示，因此g（）将更弯曲，并将更多地“拉伸”资本估计值，增加偏差，所有其他条件都相同。根据经验，表2显示了样本量对资本偏差的影响，样本量约为150、250、500、750和1000，分别对应于10年期间的λ=15、25、50、75和100。

当这组测试中的可操作数量通常是基于经验分布函数（基于EDF）的统计数据，基于估计的累积分布函数（CDF）和EDF之间的差异时，相对于真实资本的偏差（几乎）总是更大。这里最常用的是Kolmogorov-Smirnov（KS）、Anderson-Darling（AD）和Cramér-von M is es（CvM）t EST。这些是近似的样本量，因为年度频率当然是一个随机变量（即λ是随机的）。由于泊松分布用于此目的，每年损失数的标准偏差为StdDev=λ，对于给定的年数，StdDev=#yearsλ·.当前手稿草稿，2013年10月J.D.OPDYKEPage 16，共63个样本中的风险损失事件较小。不幸的是，有数千个损失事件的计量单位并不像有几百个或更少损失事件的计量单位那样常见。因此，从实证的角度来看，我们完全处于偏差区：偏差对于计量单位水平上的许多（如果不是大多数的话）资本估计是重要的。事实上，这正是Ergashev等人（2014年）在基于移位对数正态分布与截断对数正态分布的资本比较研究中发现的。后者表现出明显的偏差，随着样本大小增加到n=1000，这种偏差消失了，这与本文中的模拟研究完全相同。然而，作者并没有像这里所做的那样，将这种经验效应归因于分析结果（即詹森不等式）。这里需要明确指出的是相反的情况，也就是说，基于LDA MLE的条件，显然是由于Jensen不等式造成的，是不重要的。

这一点在表2和下面的模拟研究中得到了经验证明，但一般指导原则包括a）样本量：低百分之一百的样本量（对于运营风险损失事件数据来说最常见）将表现出显著的偏差，所有其他因素都是相同的，而在千分之一百的样本量通常会表现出更为温和的偏差（如果有偏差的话），根据严重程度（见表2——三种严重程度对n的偏差很小）≈ 1000（λ=100），而另外两个表现出明显但有争议的最大偏差约为真实资本的20%，最后一个表现出5%-20%的偏差，具体取决于参数值）。b） 严重程度：某些严重程度比其他严重程度更重尾（例如，对数伽马比对数正态更重尾，GPD比对数伽马更重尾），根据定义，截尾严重程度是比非截尾严重程度更重尾的分布，所有其他都相等（即，具有相同的参数值）。c） 参数值：请注意，VaR有时只是分布参数中一个参数的凸函数（例如，如附录a图A1所示，对于GPD和截断的GPD分布，VaR在θ中是线性的，但在ξ中是凸的），因此资本偏差的大小显然主要取决于该参数的大小，其他所有参数都相等。这在表2中几乎所有GPD和截断GPD分布的情况下都可以看到。对于这些严重性，成对的相邻行中的资本大致相等，但对于成对的第二行，偏差更大，其中ξ总是更大。

唯一的例外是，对于截断的GPD，λ=15，因为有时较小的损失数会通过（2.a）的第一项分位数的减少而平均减少资本，而不是由于参数方差的增加而增加资本，因此净资本偏差实际上会减少，即使ξ稍大。唯一的例外是一种情况（对数正态分布，u=10，σ=2），其中较小的样本量（n≈ 150）由于p参数方差的增加，通过第一项（2.a）的百分位数的减少平均减少资本，而不是增加资本，因此净资本偏差实际上略微减少。同样，RMA（2013）也证实了这一点，其中引用了“消除或减轻LDA方法学在资本估算背景下产生的资本系统性夸大（偏差）的技术”的需要，目前的手稿草稿，2013年10月，J.D。