更准确、更精确地估计运营风险资本，

基于“真实”严重性参数值=β的随机损失样本，我们计算了1000个估计的^β中的每一个的资本估值V=g（^β），这1000个资本估值（^V）的平均值将大于V=g（β），即“真实”资本。以上是直截了当的，詹森不平等的偏见效应已经得到了很好的证实，而不是印度教。唯一的问题是VaR是否总是严重参数估计量的严格凸函数。在这种情况下使用的所有估计量至少是对称分布的，大多数是非正态分布的，至少是渐近分布的。因此，如果VaR是它们的凸函数，那么毫无疑问，资本将系统地向上倾斜（除了平均而言，更加倾斜，并且具有更大的均方根误差（RMSE）和标准差，如本文后面的经验性结果所示）。为了检查这种凸性，我们可以做几件事：单独检查VaR作为每个参数的函数（即重要的是，注意^Vac的中值实际上等于原始平均值的转换：g（e[^β]）=g（β）。这是因为g（）是一个单调变换（这里是一个对称的无偏变量）。这一点如下所示，并在本文后面设计基于d的缩减资本估值器时加以利用。所有M类估计都是渐近正态的，其中包括许多在这种情况下最常用的估计（例如最大似然估计（MLE）、许多广义矩量法（GMM）估计、惩罚最大似然估计（PML）、光学偏差稳健估计（OBRE）、克莱姆·冯·米塞斯（CvM）估计和PITS估计等）。更多详细信息，请参见汉佩尔等人（1986年）和胡伯与朗切蒂（2009年）。MSE是随机变量与其真实值的平方偏差的平均值。

这也等于随机变量的方差加上它的偏差平方（）（）2211^^^niiMSE V Var V bias Vn== -= +∑.  RMSE是MSE的平方根。所以资本分配的RMSEof=（）211^niiRMSE V Vn==-∑当前手稿草稿，2013年10月，J.D.OPDYKEPage 11/63（检查边缘凸度）；检查并尝试将VaR的多维面定义为严重性参数的多变量函数（即检查多维凸性（在三维空间中检查两个参数的严重性））；并在直截了当的情况下检验VaR本身的行为。i、 d.蒙特卡罗模拟，以确定其是否与Jensen不等式作为严重性参数的凸函数或至少“凸主导”函数的影响一致。对于三种广泛使用的严重性分布（其他7种——三参数Burr-Type XII、LogLogistic和所有五种分布的截断版本——可根据要求从作者处获得），附录A图A1以图形方式对边缘凸度进行了检查。所有这些都表明，对于足够极端的百分比（例如p>0.999），VaR是一个或两个严重性参数的凸函数（以及其他参数的线性函数）。这些结果总结在表1中。检查多维VaR曲面中的凸性（或凸性优势）的一种方法是检查形状算子特征值的符号和相对大小（见Jiao和Zha，2008）。事实证明，这在分析上是不平凡的，如果在截断下不难处理的话，而且考虑到必须在该设置中使用的严重程度百分位数（例如p=0.99999）的大小，甚至许多相关严重程度的数值计算也是不平凡的（因为对于这样高的百分位数，大多数梯度都非常大）。

因此，这项研究目前仍在进行中，在没有这种数学验证的情况下，显然由Jensen不等式和VaR表观凸性导致的资本膨胀的归因仅基于实证结果，保守且明确地被认为是“初步的”或“假定的”。然而，可以说，这三个“检查”中最直接相关的是资本估计本身的行为：如果它始终反映了我们在Jensen不等式下的预期，即在i.i.d.蒙特卡罗模拟下系统性地调整资本估计，那么这与一致的边缘凸性相结合，将提供相当强的，如果预先证明VaR是整个严重性参数向量的凸函数（或凸主导函数）。因此，受抽样可变性影响的严重性参数估计将产生平均夸大的资本估计，如图1所示。这里用“凸占优”来表示VaR不是每个参数的凸函数，而是严重性参数估计的整个向量的凸函数，给定其方差-协方差矩阵。例如，虽然PGD的VaR在ξ中略微凸，但在θ中略微线性（见附录A）。此外，它的多维表面的一些区域似乎表明存在sa ddlepo点，即。表面有双曲线点。但这种表面的一个方向上的凸度比另一个方向上的凹度大，这是由其主曲率的相对大小（即。

然后，在估计量的方差协方差矩阵下，抽样变量i对VaR的净影响似乎由凸性而非凹性决定。这一点在分析上很容易得到证实，因为这些发行版的反向CD-F（即变函数）的重复出现次数减少了。例如，对于对数正态分布，（）1exp；VaR pσ-= +Φ( )222 2 2 1; VaR pμσ-= =·Φ.当前手稿草稿，2013年10月，J.D.OPDYKEPage，共6312页，正是我们观察到的：如附录A所示的一致边际凸性，以及如下文所示的广泛模拟研究所示的一致且强劲的资本通胀。

但这里更广泛的问题是，是否所有与操作风险资本估计相关的严重性分布都可以这样描述。表1：相关域（p>0.999）上的边际VaR行为严重真实相关分布VaR是参数1参数2参数3参数1）对数正态（u，σ）凸性依赖2）对数逻辑（α，β）线性依赖3）对数伽马（a，b）凸性依赖4）GPD（ξ，θ）凸性依赖5）Burr（XII型）（Υ，α，β）convxconvexdependent被截断1）convxconvexdependent被截断2）linearconvexdependent被截断3）convxconvexdependent被截断4）convxconvexdependent被截断5）convxconvexdependent在回答这个问题之前，这里应该指出的是，凸性有时会取代次可加性（以及正同质性；见F"olmer and Schied，2002年，Frittelli and Gianin，2002年）作为相干风险度量公理（见Artzner等人，1999年），与次可加性相比，凸性公理的强度略低。虽然已经很好地证明，对于所有参数统计分布的所有分位数，对于与基于LDA的运营风险资本估计相关的中尾至重尾严重程度的特定组，以及这些严重程度的非常极端的百分位数（p>0.999），VaR并不是全局次加的，但似乎VaR可能总是次加的。Danielsson等人（2005年）证明，对于足够高的百分位数，具有有限平均数的规则变化的严重程度都是次可加的（例如，p>0.99；类似结果见alsoEmbrechts和Neslehova，2006年，Ibragimov，2008年，Hyung和de Vries，2007年）。同样的结果也在许多出版物中得到了实证证明（例如，见Degen等人，2007）。

虽然超加性已被证明适用于一些具有无限平均数的极重尾严重程度的家族（见Embrechts和Neslehová，2006年，Ibragimov，2008年，Hyung和de Vries，2007年），因此在使用此类模型进行运营风险资本估算时强烈警告（见Neslehová等人，2006年），但这并不涵盖所有此类严重程度。事实上，具有无穷均值（θ=40000和ξ=1.1）的广义帕累托分布（GPD）的高VaR（p>0.999）如附录B图B1所示，对于任何标准化风险度量，凸性、次可加性和正同质性三个属性中的任何两个的存在都意味着剩下第三个（见F"ollmer and Schied，2011）。当前手稿草稿，2013年10月J.D.OPDYKEPage 13/63ξ的凸函数和θ的线性函数。附录B（表B1）中相应的资本模拟表明，持续且显著的资本偏差与Jensen的不平等性一致，尽管如此（RCap和ECap的资本偏差分别超过真实资本的80%和120%）。这些易于复制的结果表明，对于具有一些无限矩的非常严重的尾部，至少对于某些参数值，超可加性不是给定的。更重要的是，这种设置中的许多从业者将严重性或严重性参数值限制为那些表示有限平均值的值，认为允许预期损失无限对于操作风险资本框架来说没有意义。这将使严重性的可能超可加性问题变得毫无意义。

另一些人则反驳说，监管要求决定了分位数的估计，而不是时刻的估计，从稳健的角度来看，资本模型对于损失分布时刻的具体特征应该保持不可知。无论人们在这场辩论中持何种立场，对于与操作风险资本估计（一个没有严格定义的群体）相关的所有严重性，VaR的次可加性或凸性的数学证明都超出了本文的范围。然而，尽管毫无疑问是有用的，但这在这里并不是绝对必要的，因为这种设置中的严重性数量是有限的，并且逐个检查任何给定金融机构使用的严重性子集非常简单，如附录A图A1所示。图形检查可以通过一个简单的模拟研究来补充，其中资本是根据所选严重性产生的i.i.d.样本估计的，比如1000次。如果这1000个资本估计值的平均值明显大于基于“真实”严重性参数的“真实”资本（原始参数估计值被视为“真实”），并且这与将VaR作为参数值的函数绘制一致，那么将这种系统性偏差归因于Jensen不等式仍然是最合理的，如果不是很可能的解释。请注意，对于给定的严重性，也很容易证明相反的情况。例如，高斯（正态）分布的VaR是分布参数u和σ的线性函数。这些边际结果表明，詹森的不平等可能永远不会影响基于这种分布的资本估计。

这在附录B图B1和附录B表B1中的资本模拟中都有图示，表B中的资本模拟没有显示正的资本偏差，即使对于LDA估计的非常大的分位数也是如此。然而，请记住，正态分布，无论是否截断，都是远远不够的。当然，假设用于估算资本的任何近似值都是正确且相当准确的，并且模拟数据是i.i.d.，以消除任何其他潜在的偏差来源。见下文对前一点的讨论。由于研究结果不变，该模拟忽略了在ze r o对正态分布进行校正的必要性。下面讨论了由于频率参数λ的最大值而产生的非常轻微的负偏差。当前手稿草稿，2013年10月，J.D.OPDYKEPage 14/63，考虑用于操作风险资本估算。这表明，两个特征——严重性的中尾到重尾性质，以及对其非常高百分位的估计（例如p>0.999）——都是同时需要的，以使假定的VaR凸性得以体现，从而使forJensen的不平等性偏向于资本估计。为了结束本节关于基于LDA的资本偏差效应的讨论，我们必须在（2a，b，c）的第一项以及随后的“修正”项中讨论λ对资本的影响。回想一下，λ是频率分布的参数，其默认值是泊松分布。对于本文研究的范围极广的严重性和频率参数值，资本实际上是λ的凹函数，但其（负）偏差对资本估计的影响非常小，如果不是极小的话。

这在附录CW表C1中总结的216项模拟研究中显示，其中λ是资本估算的唯一随机成分。仅由λ引起的偏差始终为负，但很少超过-1%，然后几乎没有。因此，就所有实际目的而言，VaR本质上是λ的线性函数，在这种情况下，对资本的任何（负）偏差效应都会被严重性参数对资本的更大（正）偏差效应所淹没，如下面的结果部分所示。不管怎样，RCE考虑了两种偏见来源的净效应，如下所述。Jens en的不合格材料的假定影响是什么时候？当VaR是严重性参数向量的凸函数时，资本估计值将始终向上偏移。但这种资本通胀何时才是实质性的呢？最直接、最合理的衡量标准是偏差的大小，无论是相对于真实资本还是绝对值。当净资本为2.5亿美元时，50万美元的偏差可以说不值得那些估算资本的人担心（尤其是如果其标准差为4亿美元，这实际上有点保守）。然而，很难说2亿美元、7500万美元甚至2500万美元的abias不值得费心从统计上加以解决，并尝试至少将其量化，如果不是消除的话。

除了有时超过真实资本100%的偏差之外，资本估计分布的偏度和分布的显著增加（如下面的模拟研究所示）本身就足以证明开发和使用统计方法来消除它的合理性，尤其是在其实现相对简单和快速的情况下。从经验上看，无论选择的频率分布如何，资本几乎没有太大差异，而且泊松分布在数学上也很方便，因此它已成为广泛使用的默认值。还要注意的是，（2.a，b，c）只需要轻微的修改，以适应其他合理的非泊松频差，例如负二项式。这些模拟涵盖了所有严重性条件和大多数样本量，本文稍后将对LDA-MLE和RCE进行测试。当前手稿草稿，2013年10月，J.D.OPDYKEPage 15/63。事实证明，有三个因素影响了资本偏差的大小（以及上述其他对资本分配的影响）：a）严重性参数估值器的方差大小；b） 给定严重度分布的尾部重量；c）被估计的分位数的大小。在方向上，估计方差越大，偏差越大；更重的尾巴与更大的偏差有关，更极端的分位数与更大的偏差有关。通常情况下，a）主要受样本量的影响，而且由于较大的样本量几乎总是与较小的估计方差相关，因此较大的样本与较小的偏差相关。严重性的选择，通常由拟合优度测试决定，以及其估计参数值的大小（b）。