更准确、更精确地估计运营风险资本，

操作风险损失事件数据为“i.i.d”的假设被广泛认为是不切实际的，并且在形式上和统计上比作为经验现实的反映更加方便（见Opdyke和Cavallo，2012a，2012b）。本文稍后将对违反这一假设的后果进行分析。文献中的实证结果（见Opdyke和Cavallo，2012a和2012b，Opdyke，2013年，Joris，2013年，Ergashev等人，2014年）以及AMAG（“AMA集团”）最近的立场文件证实了这一点，受AM a要求约束的主要金融机构的专业协会（见RMA，201 3，其中引用了nee d中的“用LDA方法重新调整或减轻资本估算中产生的系统性过度陈述（偏差）的技术”）。当前手稿草稿，2013年10月J.D.OPDYKEPage第5页，共635页，是否被视为“可信”？或者甚至在资本估算结果的过度可变性面前“可验证”？如果不仔细检查框架在受控条件下（即在明确规定和广泛的lossdata模拟下）生成的资本化估值的分布，人们怎么能评估i）、ii）和/或iii）是否正确？不幸的是，很少有操作风险研究通过对整个资本估计分布的系统检查来解决这三个问题，而不是简单地将几位资本家估计数作为主要关注七位资本家的分析的事后考虑（少数例外包括Rozenfeld，2011，Opdyke and Cavallo，2012a和2012b，Opdyke，2013，Joris，2013，and Zhou，2013）。然而，令人乐观的原因在于，如果不是这三个问题对资本估算的大部分有害影响的话，似乎只有一个分析来源能够解释这一点。

众所周知，詹森的不平等性——这是一个经过时间检验的分析结果，首次在1906年得到证实（见詹森，1906年）——似乎是导致i）的唯一原因，也是导致ii）和（在较小程度上）iii）的主要因素。然而，这一点在运营风险量化和资本估算文献中从未被提及（唯一已知的例外情况见Opdyke和Cavallo，2012a，b，Opdyke，2013和Joris，2013）。如果研究严重性参数估计的努力也针对资本估计，特别是定义、对抗和减轻詹森不平等性造成的偏见、不精确性和非稳健性效应，那么这一领域的所有人——从业者、学者、受监管（甚至非受监管）的金融机构，而监管者——很快就会在使现有LDA框架在实践中更加有用和有价值的道路上走得更远。自巴塞尔协议II发布全面的运营风险资本估算指南以来已经过去了十年，这三个问题仍然有助于推动行业有效利用LDA框架，提供合理准确、合理准确和合理稳健的资本估算。因此，我们早就应该重新关注我们的分析视角，特别是资本分配和这三个挑战，以取得一些真正的进步。当然，詹森的不平等性长期以来一直是其他金融领域应用研究的主题（见Fisher et al.，2009），应用计量经济学（见Duan，19 8 3），甚至市场风险VaR中的偏差（例如，见Liu和Luger，2006）。

但是，针对其对估值的重大影响提出的解决方案尚未扩展到ope理性风险资本，该理论几乎完全忽略了它（除了Opdyke和Cavallo，2012a和2012b，Opdyke，2013和Joris，2013）。尽管RMA（2013）没有将Jense n的不平等性确定为来源，但它确实确定了“在LDA方法学的资本估值背景下产生的资本系统性夸大（偏差）”，e rgashev等人（2014）目前的外部实证结果与其影响以及本文所示的实证结果完全一致。在这里，“可用”和“有价值”是基于对框架生成的资本估算的准确性、精确性和稳健性的评估。本文后面的一个现实例子表明了这一点：当真实资本为3.91亿美元，但1000LDA资本估算（基于1000个i.i.d.模拟样本）平均为6.4亿美元，标准偏差超过8.34亿美元时，由于如此大的上升幅度和严重的不精确性，计算工作产生了时间，毫无疑问，对于那些需要根据结果做出商业决策的人来说，毫无用处或价值。这是在最理想的i.i.d.数据假设下进行的，而这些假设在实际操作中很少实现。见BCBS（2004年）。当前手稿草稿，2013年10月，J.D.OPDYKEPage 6/634，旨在为这些问题提供可测量、可实施和有效的解决方案。

对于单个金融机构（尤其是规模较大的金融机构）以及整个行业来说，让这些资本数字“正确”（根据这三个标准）的直接财务和风险缓解风险的风险非常高，因此，作为实证研究人员，我们的最佳努力应该需要至少这种重新聚焦，如果不是彻底解决问题的话。为此，本文有两个主要目标：首先，确定并明确证明Jensen的质量是对基于LDA的运营风险资本估算产生重大不利影响的最相似来源，定义这些影响的具体条件，并说明将信息焦点转移到资本估算的分布上的理由，而不是仅仅关注严重参数估计的分布。毕竟，资本估计，而不是参数估计，才是最终的结局。第二，开发并提出一种资本估值器——减少偏差资本估值器（RCE）——解决上述三个主要问题——资本准确性、资本精度，和资本稳健性——与基于最大似然估计（MLE）的最广泛使用的LDA实施方案（以及广泛的类似估计方案）相比，这三个标准都明显改善了资本估计。

RCE的开发和设计要求包括：o其使用和假设不得与LDA框架的具体支持相冲突，而且它必须完全符合关于该框架负责任和审慎实施的监管意图（我在下文中提出，RCE在应用LD A的背景下比大多数（如果不是所有其他已知的实施方案的话）更符合监管意图）它必须在有时非常不同的严重分布中使用相同的通用方法，包括那些被截断以说明数据收集阈值的分布无论严重性分布的平均值是无限的，还是接近无限的，它都必须“起作用”其应用范围必须包括大多数（如果不是全部的话）常用的严重性（和频率）分布估计值无论采用何种方法来近似总损失分布的VaR，它都必须“起作用”。这并不是说，建议改变框架边界或参数的研究本身就没有什么价值，而是说，这是为了最大限度地扩大拟议解决方案（RCE）的应用范围而做出的一种有意识的选择。RCE的设计应完全符合LDA框架的具体要求，以及监管指导和期望，以便机构严格遵守框架所有asp e c T的政策决定不会妨碍RCE的使用。事实上，如果没有LDA的所有其他实施，RCE与监管指导和预期相比，无疑更符合大多数，因为它的资本估计没有系统性地向上倾斜：平均而言，它们是LDA框架下的资本预期值，或Vercyclose（换句话说，它们以真实资本为中心）。

因此，基于RCE的资本估算可以说最符合LDA框架负责任实施的监管意图，如下所述。重要的是，尽管LDA已成为AMA机构（包括最近退出平行运行的机构）中的事实选择，但监管指南和e没有避免对任何一个AMA框架（包括LDA）进行预测。当前手稿草稿，2013年10月J.D.OPDYKEPage 7/63o必须使用任何广泛可用的统计软件包轻松理解和实施它必须只能使用功能相当强大的台式机或笔记本电脑来实现它必须在评估操作风险资本估算框架有效性的三个关键标准（资本准确性、资本精确度和资本稳健性）上，对最广泛使用的LDA实施进行明确的改进。本文的其余部分组织如下。首先，我定义并讨论了Jensen不等式及其在LDA下对操作风险资本估计的明显影响，证明了这些影响是重要的条件，并定义了与这些结果相关的极广范围（s ev eri ty paramete r）估计量。下一步，我将开发并展示减少偏差资本估值器（RCE），讨论其实现的细节，并展示一些新的分析推导，以帮助实现这一点（以及LDA gen时代的实现）。第三，我进行了广泛的模拟研究，将RCE与最广泛使用的LDA实现作为基准（即。

使用最大似然估计（MLE）。这项研究涵盖了许多非常不同的严重性分布，在计量单位层面上，监管资本（RCap）和经济资本（ECap）的值（从3800万美元到106亿美元以上）既有固定的，也有非截断的，差异很大，范围广泛的严重性参数值，涵盖有限和无限严重性平均值的情况（表明RCE即使在后一种情况下也“有效”）。该研究还包括i）一个新的解析推导，用于截断下非常常用的严重分布的平均值；ii）基于等密度的快速、高效、稳定采样（扰动）方法；iii）在可能包括确定平均值的条件下，用于估算资本的改进单损失近似值；（iv）费希尔信息的一种新的解析逼近——一种常用的截断下的严重分布（从而避免了计算代价高昂的数值积分）。我详细讨论了RCE如何与LDA框架完全一致，以及其负责任（即无偏见或接近）实施的监管意图和预期。最后，我以asumm ar y和对未来研究领域的讨论作为结束。关键的方法学背景在讨论詹森不等式之前，我转向一个最近的结果，为前者在操作风险资本估计中的相关性提供一些解释基础。如上所述，根据LDA，总损失分布被定义为频率和严重性分布的卷积，信息严重性分布估计，AMAG（20 13）在其2012年的公共关系调查范围内表示，“到目前为止，最大似然误差占主导地位。”对于框架的其他组件（例如。

跨计量单位的相关性建模）。值得注意的是，基于最大似然估计的资本分布与这种情况下的大多数其他（严重性）估计器没有显著差异，因此RCE有时比最大似然估计带来的巨大好处也适用于大多数其他LDA实现。当前手稿草稿，2013年10月J.D.OPDYKEPage第8页，共63页几乎所有情况下都不存在封闭形式的解决方案来估计这种复合分布的VaR。B"ocker and klppelberg（2005）和B"ocker and Sprittulla（2006）是第一个在（1）中提供该VaR的分析近似值的人，Degen（2010）对此进行了改进，并将其应用扩展到（2a，B，c）中的无穷远条件。（）1111CFααλλ--≈ - +-（1） 如果1，ξ<111CFαλλ--≈- +（2.a）如果1，ξ=111111 fcf c Fαξαλλλ---- ≈- + -  （2.b）如果1 2，ξ<<（）11111 1111cCFξαλλξ---- ≈ - -- - · - （2.c）（2ξ）≥是如此极端以至于与此无关）其中，（）2111代表1<和2 12cξΓ-= - <∞Γ-1表示1cξ==，（）（）01xFx fsu= -∫;= “资本”；“置信水平”（例如，RCap为0.999）；Cα==（）1是严重程度的分位数函数；是（通常为泊松）频率参数；=严重程度平均值；Fλu-= 尾部指数；ξ（）是伽马函数。Γ我现在关注Degen（2.a）的观点，即第一项，即严重程度分位数，比第二项（即“平均修正”）大得多，有时甚至大几个数量级，因此，资本本质上是严重性分布的一个非常大的分位数（这与文献中广泛引用的发现一致，即严重性，而不是频率，才是真正驱动资本的因素（见Opdyke和Cavallo，2012a和2012b））。

但至少同样重要的是，必须估计的严重性分布的分位数远大于对应于99.9%分位数的分位数——它实际上对应于[1-（1-α）/λ]=0.99997=99.997%分位数（假设λ=30），这几乎要大两个数量级（假设λ=30且信用评级良好，相应的百分位预测值分别为99.97%和99.999%）。所以不仅仅是一个严重程度分布的分位数，这个分位数也是非常大的。因此，问题的本质归结为估计严重性分布的一个非常大的分位数。这一事实，再加上操作风险资本估算中使用（和允许）的唯一严重性areSahay等人（2007年）在几年前给出了类似的结果。然而，如上所述，本文从不忽略频率参数的估计和模拟。这里提出这一点的目的是启发性的，因为它涉及到在这种情况下对詹森不等式的解释。目前的手稿草稿，2013年10月，J.D.OPDYKEPage第9页，共639页，中等至重尾，这是Jensen的不平等显然会对资本估算产生如此不利和重大影响的原因，如下所述。Jensen不等式Jensen不等式定义于1906年，Johan Jensen证明了均值的（严格）凸变换小于（严格）凸变换后的均值（对于严格凹变换则相反）。当应用于随机变量β时，这在下面的图1中显示为E[g（^β）]>g（E[^β]），其大小如图1所示：具有严格凸函数的Jensen不等式图（右偏重尾cdf）Jens-en不等式=J.I。

=E[g（^β）]–g（E[^β]）。对图1的一种直观解释是，严格凸函数g（）将随机变量β的值在其中位数以上“延伸”得比在其下方“延伸”得多，从而使^V=g（^β）的分布正偏，并将其平均值增加到其应有的水平以上。图1显示了给定累积概率p的VaR。当p增加到某个较大水平（例如p>0.999）以上时，正如本文后面讨论的，在这种情况下，VaR的凸性也是如此。严重程度cdfgβ=（）Eβ^β^pdfβ（）（）pdf gβLOWCIHIGHCI（）LOWg CI（）HIGHg CI（）（）gEβ（）（）EgβJ.I.（来自肯尼迪，1992年，第37页）当前手稿，2013年10月J.D.第10页，共63页，g（）是一个线性函数。换句话说，^Valso应该像^β一样对称，平均值等于它的中值，但因为g（）是凸的，它的上尾巴被“拉伸”，使得它的平均值大于它的中值。操作风险资本估计中的Jens-en不等式Jensen不等式与操作风险资本估计的相关性似乎是一个共同的事实，即操作风险资本估计中使用（和允许）的严重程度是中到重尾的，并且被估计的真实分位数非常大：在这些条件下，VaR似乎始终是严重性分布参数的凸函数，如g（），这里是向量β（我们可以将β视为一个单一参数，而不丧失普遍性，因为Jensen不等式的多变量情况已经建立（见Schaefer，1976）。因此，资本估算值^V=g（^β）将向上偏移。换言之，它的期望值E[g（^β）]将大于它的真实值g（E[^β]）。换言之，如果我们产生了1000个i.i.d。