随机分析过滤理论研讨会

此外，对于任何概率向量，我们有（λ*)nν→ uas n→ ∞.证据（见Ethier和Kurtz[23]）。在过滤过程中，我们应用了一系列时间不均匀的矩阵。因此，在考虑Tn的特征值和特征向量空间时，我们需要考虑一个更一般的框架。乘法遍历定理，也称为Oseledec定理，将是有用的，但在我们提出定理之前，我们需要定义以下内容，定义10.2.1。一个算子C（x，n），其中x=（x，…，xn）∈ Sn+1是一个协循环，如果oC（x）=Id×d对于所有x，oCn（x）=Cn-米（xm）厘米（x）。式中xm=（xm，…，xn）∈ 锡-m+1。让Mn=TnTn-1.2.按照惯例-1=I，我们看到mn是一个循环。现在，我们准备好了Oseledec定理：定理10.2.2。（Oseledec的乘法遍历定理）。假设mn和M都是-对于所有n，EMn+EM，都是可积的-1n<∞ 对于所有人n<∞. 那么对于每一个ν∈ Rd\\{0}我们有v=limnnlogkMnνkkνka、 性别歧视者，可以接受多达d-许多价值观。对一些人来说≤ d、 如果V>V>··>V`是许多不同的（随机）极限，那么就存在（随机）子空间Rd）Sω Sω···  S`ω {0}使得极限为Viifν/∈ Siω代表i≤ `.证据（见第181页，共[12]）。在Oseledec定理中，指数exp（V）>exp（V）>·exp（V`）是矩阵limn（M）的初始值*nMn）1/2n。当`<d时，limn（M）的非广义特征向量所跨越的空间*nMn）1/2n将是R`（Rd）。一个有用的矩阵理论是外积。外积或楔形积将两个向量映射到它们形成的平行四边形。对于两个以上的向量，外积对应的形状与平行四边形的维数相等（例如，三个向量的外积是平行六面体）。

对于任意两个向量a，b∈ 他们的外部产品是∧ b=Xi，jaibj（ei）∧ ej）其中（ei）Ire表示Rd的规范基础。exteriorproduct的一些基本属性是oei∧ ej=-ej∧ eioa∧ a=0oka∧ bk=kakkbk- 关于Oseledec定理中的Lyapunov指数，我们有Lim supnnlogkMn（a）∧ b） kka∧ bk≤ V+Va.s.10.2.2滤波器的李雅普诺夫指数继续使Mn=TnTn-1.T、 我们现在可以证明，收敛速度由Mn中的谱隙给出：定理10.2.3。假设Xnis是一个遍历马尔可夫链，则存在一个确定的γ函数，即Eγ，这样对于任何一个ν6=~ν，我们都有lim supn→∞nlog kπνn- πνnk=Eγ（ν，ν）≤ Eγ，P-a.s.尤其是Eγ=V-V<0，即基质limn（（Mn）中的光谱间隙*Mn）1/2n。证据根据三角形不等式，我们可以假设W.L.O.G.的初始分布是X的不变分布，取|ν=u。在这种情况下，矩阵tn具有遍历的平稳律。此外，E log+kTnk≤ cE-maxiγ-2.Ynh（xi）- .5h（xi）+< ∞.因此，我们可以应用Oseledec定理得出结论，存在一个随机子空间sω，如果/∈ Sωthennlog kpνnk→ V（10.5）P-a.s.在此设置中，V>V>·vd是与矩阵Mn相关的李雅普诺夫指数。众所周知（（Mn）*Mn）1/2n有一个（随机）极限a.s.，其特征值为eVi。注意（Mn）*Mn是一个非负矩阵，因此Perron Frobeniustheorem给出了与（Mn）的最高特征值相关的特征向量*MN的所有指标均为阴性和非阴性。因此，最后一个属性适用于（M）*nMn）1/2，因此为forlimn（M*nMn）1/2n。因为Sω必须与limn（M）的最高特征值相关的特征向量正交*nMn）1/2n，如果是这样，则Sω不能包含所有项都严格为正的任何概率向量。

对于ν没有所有正项的情况，请注意pν对n有正项≥ 其中k是常数，使得i，j的∧nij>0≤ 德温≥ k、 因此，（10.5）适用于任何概率度量→ [0, 1].再次使用Oseledec定理，这一次用于Rd∧ Rd值过程pun∧ pνn，存在一个（随机）严格子空间Sω 研发部∧ 这就是∧ ν /∈ Sωthennlog kpun∧ pνnk→ V+V（10.6）P-a.s.，对于Pun∧ pνn∈ Sω我们有lim supnnlog kpun∧ pνnk≤ V+V（10.7）P-a.s.然后使用不等式√d | sin（a，b）|≤ 灵魂- bk≤√d | sin（a，b）|其中sin（a，b）是向量a和b之间的夹角（见引理10.2.1），sin（a，b）=1- cos（a，b）=kakkbk- 哈，比喀喀喀∧ 我们可以得出结论，lim supnnlog kπun- πνnk=lim supnn（对数kpun∧ pνnk- 对数kpunk- 对数kpνnk）≤ V+V- 2V=V- V<0，这就完成了证明。差异- V<0是一个光谱间隙，其负性足以保证滤波器的稳定性。在他们的论文[4]中，Atar和Zeitouni继续证明当∧ij>0时，所有i，j≤ d、 然后存在一个常数c，使得eγ≤ c<0，其中c不依赖于h或γ。他们继续证明这一点≤ -2 mini6=jp∧ij∧ji。他们还证明了低噪声模型的以下界：lim supγ&0γEγ≤ -dXi=1uimini6=j（h（xi）- h（xj））（10.8）lim-infγ&0γEγ≥ -dXi=1uidXj=1（h（xi）- h（xj））。（10.9）最后，关于遍历理论，Chigansky在2006年[17]证明了马尔可夫费勒过程（Xn，πn）有一个唯一的不变测度M，因此对于任何连续g，limnnXng（Xn，πn）=XiZg（xi，u）M（xi，u）du）=XiZuig xi（xi，u）Mui（du）=limnEg（Xn，πn）（10.10）其中Mui是M.10.2.3的边际证明√d | sin（a，b）|≤ 灵魂- bk≤√d | sin（a，b）|让d Rd表示d维分布向量的集合。如果∈ D然后ai≥ 对我来说≤ d、 andPiai=1。

此外，我们可以很容易地用Jensen不等式来验证≤ 卡克≤ 其中k·k是Rd上的欧几里德范数。一个有用的不等式出现在以下引理中：引理10.2.1。对于任何a，b∈ D、 我们有（a，b）≤ 灵魂- bk≤ d sin（a，b）（10.11），其中sin（a，b）是向量a和b之间角度的正弦。对于a=b，引理是微不足道的，因此证明将集中在a 6=b的情况下。集合D可以由超平面H定义，它是a D- 1维曲面，描述在Rd的非负区域中，其与原点的距离在`-范数下精确为单位。对于任何向量x∈ Rd，其到H的距离定义为askx- 香港英法∈Dkx- ak。从詹森的不平等性，我们知道卡克≥对于所有的∈ 平等地≡德福尔一世≤ d、 所以对于x=0，我们有k0- Hk=infa∈Dkak=kak=√这里a.=d（1，1，…，1）。根据正弦定律，对于任何向量a，b∈ 当a 6=b时，向量和超平面的曲面形成一个三角形，所以我们有一个sinessin（a，b）ka定律- bk=sin（a，b）- a） kbk=sin（b，b- a） 卡克。（10.12）从（10.12）中我们很容易得到（a，b）ka- bk=sin（a，b）- a） kbk+sin（b，b- a） 卡克≤ 2d，这表明D在（a，b）≤ 灵魂- bkand证明了（10.11）中的下限。要达到上限，需要做更多的准备。对于任何一个∈ D、 设sin（a，H）表示a与H的入射角的正弦。显然，sin（a，H）=sin（π/2）=1，对于任何a6=a，a与平行于超平面的向量所能形成的最锐角是它的入射角，也就是它与向量a的角度-a、 sin（a，H）=sin（a，a）- a） 对于a6=a。考虑到入射角，我们观察到以下不等式sin（a，b）- （a）≥ 罪（a，H）≥ sin（ei，H）（10.13）适用于任何ei。

（10.13）中的第一个不等式是从关联角度得出的，如果注意到A.∈ D、 其入射角的正弦必须大于或等于ei，因为超平面的表面是弯曲的，最锐角的入射角是由延伸最远的向量形成的，恰好是任何一个接触H角的向量。如果我们将（10.12）应用于从a和任何ei形成的三角形，我们得到sin（ei，H）kak=sin（a，H）keik=1≤ d、 给我们sin（ei，H）=kak=d。将其与（10.13）一起使用，我们得到sin（a，b）- a） kbk≥ 罪（a，b）- （a）≥ sin（ei，H）=d，使用（10.12）我们得到sin（a，b）ka- bk=sin（a，b）- a） kbk≥这证明了上界。参考文献[1]Ait Sahalia，Y.（1999）利率和其他衍生品的转移密度，《金融杂志》，54（4），第1361-1395页。[2] A.Alfonsi，“关于CIR（和贝塞尔平方）过程的离散化”，2005年。[3] 《随机模拟：算法与分析》。斯普林格，2007年。[4] 《有限状态下的指数优化》，1997年1月，第55卷。[5] A.Bain，D.Crisan，“随机过滤的基本原理”，斯普林格2009年。[6] Y.Bar Shalom，X.R.LI，《估计和跟踪：原理、技术和软件》。波士顿：阿泰克大厦，1993年。[7] L.Baum，T.Petrie，G.Soules，N.Weiss，“马尔可夫链概率函数统计分析中出现的最大化技术”，《数学统计年鉴》，第41卷，第1期（1970年2月），第164-171页。[8] P.Baxendale，P.Chigansky，R.Lipster，“稳定性应用中滤波的渐近定理”，《系统与控制通讯》第55卷，2006年11月第11期，第908-917页。[9] T.比约克。连续时间套利理论。

第二版，牛津出版社，2004年。[10] B.Z.Bobrovsky，O.Zeitouni，“关于差异过程的联合非线性滤波平滑”，《系统与控制快报》第7卷，第4期，1986年7月，第317-321页[11]O.Capp\'e，e.Moulines，T.Ryd\'en，隐马尔可夫模型中的推理。斯普林格2005。[12] R.Carmona，J.Lacroix，“随机Schr¨odinger算子的谱理论”，Birkh¨auser，1990年。[13] P.Carr，R.Lee，“已实现的波动性和方差：通过互换的期权”风险，2007年5月。[14] P.卡尔，D.马丹。“走向波动性交易理论”，重印于Musiella，Jouini，Cvitanic，1998年，第417-427页，大学出版社。[15] P.Carr，L.Wu，“差异风险溢价”，2005年3月。[16] P.Carr，L.Wu，“两个指数的故事”，衍生工具杂志，2006年春季。[17] P.Chigansky，“应用于稳定性的过滤稳定性的遍历定理”，《系统与控制快报》，第55卷，第11期，2006年11月，第908-917页。[18] P.奇甘斯基，R.利普斯特。R.Van Handel，“滤波器稳定性的内在方法”，inOxford大学非线性滤波手册（D.Crisan和B.Rozovsky编辑），牛津大学出版社出版。[19] E.Derman，K.Demeter fi，M.Kamal，J.Zou，“比你想知道的更多关于波动性掉期的信息”，《衍生品杂志》6（4），1999年，第9-32页。[20] agulescu，A.和Yakovenko，V.（2002）随机波动的Heston模型中收益的概率分布，定量金融，2，第443-453页。[21]P.Dupuis，H.Kushner连续时间随机控制问题的数值方法，第2版。斯普林格2001。[22]R.J.Elliot，A.V.Swishchuk。“马尔可夫调制布朗市场中的定价期权和方差互换”，《金融学中的隐马尔可夫模型》，国际运营研究与管理科学系列，第104卷[23]Stewart N.Ethier，Thomas G。

Kurtz，《马尔可夫过程：特征和收敛》。威利，1986年。[24]J.-P.Fouque，G.Papanicolaou和R.Sircar，《具有随机波动性的金融市场中的衍生品》，剑桥大学出版社，2000年。[25]B.Fristedt，N.Jain，N.Krylov，《过滤与预测：一本入门读物》。美国数学学会，2007年。[26]J.Gathereal，《波动表面》，实践者指南。威利，2006年。[27]S.Howison，A.Rafailidis，H.Rasmussen，“关于波动性竞争的定价和对冲”，应用数学金融，第11卷，2000年12月4日第4期，第317-346页。[28]A.贾兹温斯基随机过程和滤波理论。多佛1970。[29]T.Kailath，A.H.Sayed，B.Hassibi，“线性估计”，Prentice Hall，（2000年）。[30]I.Karatzas，S.Shreve，《布朗运动与随机微积分》（数学研究生教材）第二版，1992年春。[31]H.Kunita，“马尔可夫过程非线性滤波误差的渐近行为”，多变量分析杂志，第1卷。第4号，第365-393页，1971年。[32]T.G.Kurtz，D.L.Ocone，“非线性滤波中条件分布的独特特征”，《概率年鉴》，1988年，第16卷，第1期，第80-107页。[33]H.Kushner《最佳非线性滤波器的数值逼近》，2008年，http://www.dam.brown.edu/lcds/publications/[34]Y.A.库托扬茨。遍历扩散过程的统计推断。斯普林格，伦敦，2004[35]S.Mallat，“信号处理的小波之旅”，第二版，学术出版社（1999年）。[36]B.Oxendale，《随机微分方程：应用导论》，斯普林格第6版，2007年。[37]E.Pardoux，过滤非线性方程和随机变量。圣弗勒大学，1989年。[38]E.Platen，N.Bruti Liberati，《金融学中随机微分方程的数值解》，斯普林格，2010年。[39]大卫，福赛斯。

庞斯，珍。“计算机视觉——现代方法”[40]L.R.Rabiner“关于隐马尔可夫模型和语音识别中选定应用的教程”。IEEE 77（2）会议记录（1989年2月）。页码：257-286。[41]B.Rozovsky，“关于最优非线性滤波理论中的随机微分方程的有限维系统”，《概率论及其应用》，第17卷，第1期，1972年。[42]B.Rozovsky，“Kushner和Zakai方程唯一性的简单证明”，InStochastic analysis，ed.E.Mayer-Wolf，449-458。波士顿：学术出版社，1991年。[43]B.Rozovsky，A.Petrov，“IRImage序列检测前跟踪的最佳非线性滤波。”《间谍诉讼：小目标的信号和数据处理》，第3809卷，科罗拉多州丹佛，1999年。[44]B.L.Rozovskii，A.Petrov，R.B.Blazek，“贝叶斯匹配滤波器的交互银行。”SPIE会议录：小目标的信号和数据处理，第4048卷，佛罗里达州奥兰多，2000年。[45]韦尔奇，格雷格。主教，加里。“卡尔曼滤波器简介”，北卡罗来纳大学教堂山分校计算机科学系[46]R.Whaley，“市场波动性衍生工具：早就应该使用的对冲工具”，衍生工具杂志，1993年秋季。[47]G.尹乔治，张青，连续时间马尔可夫链及其应用：奇异摄动方法。斯普林格，1998年。