随机分析过滤理论研讨会

，dxn）可以使用Q的指数*.接下来，考虑▄P中的等效度量，其中Yn/γ是独立于Xn的布朗运动，Xn定律也是如此。在这种新的测量方法下，联合密度函数为pn=~P（Y，Y，…，Yn；dx，dx，…，dxn）=~P（Y，Y，…，Yn）~P（dx，dx，…，dxn）=n-1Y`=0e-.5.γ√T!x P（dx，dx，…，dxn）=e-.5Pn-1`=0γ√Tx P（dx，dx，…，dxn）。这些密度的比率如下所示：dpndpn.=锰FYn=exp（n-1X`=0h（t`，x`）γ-N-1X`=0h（t`，x`）tγ），这是离散观测模型任何路径的似然比。这也是我们在Girsanov定理中使用的指数鞅的离散模拟。此外，我们可以使用Mn来根据替代度量重写过滤期望，例如[g（Xn）| FYn]=Rg（Xn）dpnRdpn=Rg（Xn）Mnd＠pnRMnd＠pn=＠E[g（Xn）Mn | FYn]~E[Mn | FYn]，如果我们定义φn[g]＝＠E[g（Xn）Mn＠FYn，我们可以将过滤期望写为＠gn=E[g（Xn）＠g（Xn）＠FYn）FYn∈ Bb（Q）。事实证明，在P-测度下进行分析是有利的，因为当我们移动到连续观测时，动力学φn是线性的。为了获得线性的感觉，考虑下面的离散展开式t、 φn+1[g]=E[g（Xn+1）Mn+1 | FYn+1]=Eg（Xn+1）1+h（tn，Xn）γ伊恩锰FYn+1+ o(t） =~Ehg（Xn+1）MnFYn+1i+~Eg（Xn+1）h（tn，Xn）γ锰FYn+1Yn+o(t） 因为Mn+1=1+h（tn，Xn）γ伊恩Mn+o(t） 通过对其^o引理的离散解释Ynis FYn+1-可测量。

现在，因为X在P下独立于Y，在时间n+1之前的条件是非常复杂的，我们可以把它减少到时间n，=~Ehg（Xn+1）MnFYni+~Eg（Xn+1）h（tn，Xn）γ锰FYnYn+o(t） 。然后我们可以再次利用X与Y在P下的独立性，并使用X的向后算子的近似值=~E（~Ehg（Xn+1）MnFYn∨ XniFYn）+E（~Eg（Xn+1）h（tn，Xn）γ锰FYn∨ XnFYn）Yn+o(t） =E（（I+Q）t） ~Ehg（Xn）锰FYn∨ XniFYn）+E（（I+Q）t） ~Eg（Xn）h（tn，Xn）γ锰FYn∨ XnFYn）Yn+o(t） =~Eh（I+Q）t） g（Xn）MnFYni+~E（I+Q）t） g（Xn）h（tn，Xn）γ锰FYnYn+o(t） 然后利用这个事实Yn·t=o(t） ，我们有＝E[g（Xn）Mn | FYn]＋E[Qg（Xn）Mn | FYn]t+~Eg（Xn）h（tn，Xn）γMnFYnYn+o(t） =φn[g]+φ[Qg]t+φ生长激素γYn+o(t） 这预示着在离散环境下的Zakai方程，φn[g]=φ[Qg]t+φ生长激素γYn+o(t） .4.2 Zakai方程的推导在本节中，我们使用Girsanov定理作为连续时间非线性滤波方程形式推导的主要工具。为了便于记法，我们让h（t，x）=h（x），但这确实会改变结果，因为只需要重写，将时间依赖性包含在h（）中。我们首先考虑有限区间[0，T]，并定义以下指数，Mt.=exp2γZth（Xs）ds+γZth（Xs）dWs= 经验-2γZth（Xs）ds+γZth（Xs）dy尽管如此，t∈ [0，T]。由于最初假设WT是独立的，因此我们可以定义一个等效的测量值P bydP=M-1TdP。根据吉尔萨诺夫定理，我们知道。P是一个概率度量，2。Yt/γ是t的P-布朗运动∈ [0，T]，以X为条件。用矩母函数可以很容易地表示P（Xt≤ x） =P（Xt）≤ x） 。

我们可以很容易地证明mtt是一个真的P-鞅，~EMt=ZMt（ω）dP（ω）=ZMt（ω）M-1T（ω）dP（ω）=E[Mt/Mt]=E经验-2γZTth（Xs）ds-γZTth（Xs）dWs= 1.最后，一个简单引理表明，X和Y在P:lemma 4.2.1下是路径独立的。X和Y在P证明下是路径独立的。对于任意路径函数，fwe有Ef（Y/γ）=E[~E[f（Y/γ）| X]=~E[Ef（W）]=Ef（W），表明Y/γ是X上的P-布朗运动无条件。对于另一个任意路径函数，fwe有Ef（Y/γ）f（X）＝E[f（Y/γ）| X]=~E[f（Y/γ）＝E[f（X）Ef（W）=Ef（W）~Ef（W）~Ef）Ef（X）＝f（Y）和X）是独立的。从这里开始，将φt Bb（Q）定义为φt[g]=~E[g（Xt）Mt | FYt]。有了这个新的测度，我们可以表达关于Girsanov测度变化的另一个重要结果，即Kallianpur-Streibel公式：引理4.2.2。Kallianpur-Streibel公式：E[g（Xt）|FYt]=φt[g]φt[1]对于任何g（x）∈ B（Q）。证据对于任何一个∈ 哈维AE[g（Xt）|FYt]= E[1Ag（Xt）]=~E[1Ag（Xt）Mt]=~EnAE[g（Xt）Mt | FYt]o=~E（AE[g（Xt）Mt | FYt]| E[Mt | FYt]~E[Mt | FYt]）=~EAφt[g]φt[1]~E[Mt | FYt]=~E~EAφt[g]φt[1]MtFYt=~EAφt[g]φt[1]Mt= Eφt[g]由于A是一个任意集，这表明结果是wp1。现在，不管怎样∈ [0，T]，我们使用富比尼定理将微分引入到预期中，并从那里应用它的^o引理，这给了我们以下微分，dE[g（Xt）Mt | FYT]＝E[Qg（Xt）Mt | FYT]dt+-Eg（Xt）h（Xt）γMtFYT任意g（x）的动态∈ Bb（Q）。由此，我们可以构造差异的整体形式，~E[g（Xt）Mt | FYT]=~E[g（X）|FYT]+Zt | E[Qg（Xs）Ms | FYT]ds+Zt |Eg（Xs）h（Xs）γMsFYTdYsand由于X在P度量下独立于Y，我们可以将所有s的过滤从fyto减少到fysf≤ T，给我们，~E[g（Xt）Mt | FYt]=E[g（X）]+Zt ~E[Qg（Xs）Ms | FYs]ds+Zt |Eg（Xs）h（Xs）γMsFYsdYs（4.2）适用于所有t≤ T

在（4.2）中尽可能插入φs[·]，然后取关于t的微分，我们得到了Zakai方程：dφt[g]=φt[Qg]dt+φt生长激素γdYt（4.3）适用于所有t≤ TZakai方程也可用于一般无界函数G（x）∈ B（Q），但我们将自己限制在有界情况下，以确保φt[g]几乎肯定是有限的。（4.3）的解的存在是直接的，因为我们通过微分E[g（Xt）Mt | FYt]得出它。Kurtz和Ocone[32]使用过滤鞅问题，Rozovsky[42]使用φt的Radon测度表示，证明了（4.3）的测度值解的唯一性。4.2.1伴随Zakai方程根据过滤问题的性质，非正规化概率测度φt[·]可能具有密度/质量函数。例如，假设∈ R是一个满足SDEdXt=a（Xt）dt+σdBtwhere Bt的微分过程⊥ Wt。那么发生器是Q=L=σx·+a（x）x·和Zakai方程dφt[g]=φt[Lg]dt+γφt[gh]dYt=σφtxgdt+φtA.xg具有二阶导数的任意有界函数g（x）的dt+γφt[gh]dyt。依赖于a（x）、σ和初始条件，~πt可以是一个密度，使得φt[g]=Zg（x）~πt（x）dx，并且假设满足一定的正则性条件，Zakai方程的伴随给出了~πt，d ~πt（x）=L的SPDE*初始条件为π（x）=P（x）的πt（x）dt+h（x）γπt（x）dYt（4.4）∈ dx），并使用byL给出的伴随算子*=σx·-x（a（x）·）。这种密度的存在和唯一性超出了这些注释的范围。对解的规律性感兴趣的读者应该阅读Pardoux[37]的书。对于由质量函数组成的过滤分布，伴随方程类似。例如，如果∈ {x。

是一个具有生成元Q的有限状态马尔可夫链，伴随方程在没有任何正则性条件的情况下成立，d∧πt（xi）=Q*~πt（xi）dt+h（xi）γ~~πt（xi）dYt=mXj=1Qji ~~πt（xj）dt+h（xi）γ~~πt（xi）dYt。~πtin的一般存在性和唯一性这个离散情况由Rozovsky[41]证明。4.2.2 Kushner-Stratonovich方程使用（4.3）的Zakai方程，并观察到我们关于h有界的假设简化了P（φt[1]）∞) = 1为所有t∈ [0，T]，我们可以应用它的^o引理来获得d^gt=dφt[g]φt[1]=cQgtdt+cght- ^gt^htγ戴特-^htdt. （4.5）然而，应该提到的是，（4.5）最初是在使用其他方法得到Zakai方程之前几年获得的。在适当的正则条件下，Kushner-Stratonovich方程是伴随（4.5），是滤波分布的非线性方程，dπt（x）=Q*πt（x）dt+h（x）-^htγπt（x）戴特-^htdt其中πt（x）是密度函数或质量函数（取决于问题的类型）。4.2.3平滑平滑滤波器已在[10]中推导，但在正则化过程中，伴随Zakai方程成立。在本节中，我们得到了一个类似的结果，但对于Bb（S）中函数的一般情况，我们还将得到正则化情况下光滑的后向SPDE。考虑时间τ和t，使得0≤ τ ≤ t、 g（Xτ）isE[g（Xτ）|FYt]＝E[Mtg（Xτ）|FYt]〕E[Mt | FYt]＝E[Mtg（Xτ）|FYt]φt[1]的过滤期望值。对于τ固定和t增加，Zakai方程为：t>τ，~E[Mτg（Xτ）| FYt]=γ＠E[Mth（Xt）g（Xτ）| FYt]dYtfor t，~E[Mτg（Xτ）| FYτ]=φτ[g]。若要获得τ-lf分布，则可以通过求解τ-lf分布，或通过求解τ-lf分布来获得微分方程。然而，在常规情况下，有一个向后的SPDE，它将为τ的变化提供差异。

这种向后的SDE将提高编码和分析的效率。假设有充分的正则性，所以∧πt（x）=φt[δx]满足伴随Zakai方程（见方程（4.4））。给定FYt，任何时间的平滑滤波器τ∈ [0，t]isddxP（Xτ）≤ x | FYt）=E[Mtδx（xτ）|FYt]~E[Mt | FYt]=~E[Mτδx（xτ）~E[Mt/Mτ|FYt∨ FXτ]|FYt]~E[Mt | FYt]=~E[Mτδx（xτ）~E[Mt/Mτ| FYt∨ {Xτ=X}]|FYt]~E[Mt | FYt]=~E[MτδX（Xτ）|FYt]·E[Mt/Mτ| FYt]∨ {Xτ=X}]~E[Mt | FYt]=E[MτδX（Xτ）| FYτ]·E[Mt/Mτ| FYt∨ {Xτ=X}]~E[Mt | FYt]=πτ（X）ατ，t（X）φt[1]，其中ατ定义为ατ，t（X）=~EhMt/MτFYt∨ {Xτ=X}i=~E经验-2γZtτh（Xs）ds+γZtτh（Xs）dyFYt∨ {Xτ=X}.函数ατ，t（x）是平滑分量，满足以下反向ατ，t（x）=Qατ，t（x）dτ-γh（x）ατ，τ的t（x）dYτ≤ t、 αt，t≡ 1，或以积分形式ατ，t（x）=1-ZtτQαs，t（x）ds+γZtτh（x）αs，t（x）dy。第五章创新途径∈ S是带生成元Q的马尔可夫过程。设Q的域用B（Q）表示，设Bb（Q）表示B（Q）中有界函数的子集。对于任何函数g（x）∈ Bb（Q）我们有以下极限：E[g（Xt+t） |Xt=x]- g（x）T→ Qg（x）ast&0，对于任何x∈ 如果Q是稠密定义的，且其预解集包含所有正实数，则Hille-Yosida定理适用，允许我们用收缩半群写出Xt的分布。

在这些注释中，我们假设这样的条件成立，并且跃迁密度/质量由一个由等式表示的算子半群产生*t、 SDE理论中的一个标准非线性滤波问题假设Xt是不可观测的，并且一个过程YIT由SDEdYt=h（Xt）dt+γdWtobserved（5.1）给出，其中WT是一个独立的维纳过程，γ>0，我们假设h是有界的。让过滤FYt=σ{Ys:s≤ t} 对于可积函数g（x），我们有^gt.=E[g（Xt）|FYt]代表所有∈ [0，T].5.1创新布朗运动令νT忽略创新过程，其微分如下dνT=dYt-^htdt。其中^ht=E[h（Xt）|FYt]。提议5.1.1。v t/γ过程是FYtBrownian运动。证据很明显，νtis（i）FYt在[0，T]上是可测的、连续的和平方可积的。为了证明这是一个局部鞅，我们对任何一个鞅取期望值≤ t如下[νt|FYs]- νs=EYt-Zt^hτdτFYs-Y-Zs^hτdντ= Eγ（Wt- Ws）+Ztsh（Xτ）dτFYs- EZt^hτdτFYs+Zs^hτdντ=Eγ（Wt- Ws）+Ztsh（Xτ）dτFYs- EZts^hτdντFYs= γEhWt- WsFYsi+EZtsh（Xτ）dτ-Zts^hτdντFYs= 此外，νt/γ的交叉变异与Wt的交叉变异相同，因此根据布朗运动的L’evy特征（见Karatzas和Shreve[30]），νt/γ也是FYtBrownian运动。考虑到ν是FYt布朗运动，任何L-可积和FYt可测的随机变量都有一个积分表示，但FYt=σ{νs:s并不容易看出≤ t} 。下面的命题提供了一个证据来证明它确实是正确的。提议5.1.2。FYT可测的每个平方可积随机变量N都有一个形式N=EN+γZTfsdνsw的表示，其中f={fs:s≤ T}逐渐可测量，FYt适应，EhRTfsdsi<∞.证据尽管如此，t∈ [0，T]，定义Zt=扩展-γRt^hsdνs-2γRt^hsdso。

很明显，ZT是anFYt鞅，因此我们可以用以下RadonNikodym导数定义一个等价的测度P，dPdP=ZT。作为Girsanov定理的一个结果，Yt/γ是一个P-布朗运动。然后应用马丁格尔表示定理Z-1TN=~E[Z-1TN]+γZTqsdYs=~E[Z-1TN]+γZTqsdνs+γZTqs^hsdsq={qs:s≤ T}是适应的，PRtqs<∞= PRtqs<∞= 1.从这里，我们可以从Z构造一个P-鞅-1TN，~Nt=~E[Z-1TN | FYt]并将它的^o引理应用于我们已经NtZt= -γZtNt^htdνt+γZtqtdνt+γZt^htqdt-γZt^htqtdt=-γZtNt^htdνt+γZtqtdνt。从0积分到t，我们得到NtZt=EN+γZtqs-γ~Ns^hsZsdνs，因此，设置ft=qt-γ~Nt^ht中兴通讯∈ [0，T]，我们有一个唯一的FYt-adaptedrepresentation，关于ν，这个命题得到了证明。备注3。关于命题5.1.2的更一般性证明，请参见Bain and Crisan[5]第34页的命题2.31。他们给出了无界时间间隔上广义系统的证明，条件是EhRth（Xs）dsi<∞ 和PRt^hsds<∞= 1对于所有t<∞.5.2非线性滤波器在用布朗运动导出非线性滤波器时，重要的是对任何给定的g使用以下鞅∈ Bb（Q）：新台币=^gt-ZTCQGSDST适用于所有∈ [0，T]。引理5.2.1。Ntis是FYt改编的鞅。证据必须证明ENt=t∈ [0，T]，我们的操作如下：ENt=E^gt-ZtcQgsds= Egt-中兴[E[Qg（Xs）|Fs]]ds=Egt-ZtEQg（Xs）ds=E燃气轮机-ZtQg（Xs）ds= 例（X）=N.知道-RtcQgsds是FYt鞅，我们将应用命题5.1.2如下-ZtcQgsds=^g+γZtfsdνsw其中FTI是任何t的FYt可预测过程∈ [0，T]。从这里开始，非线性滤波器的主要推导点是根据更容易计算的量找到函数ftin。定理5.2.1。非线性滤波器。

对于任何函数g∈ Bb（Q），非线性滤波器由以下公式给出：- ^gt^htγdνt对于所有t∈ [0，T]。证据我们可以将命题5.1.2应用于NTA，我们得到NT=EN+γZtfsdνs=^g+γZtfsdνs，从而将时间t的条件期望定义为^gt=^g+ZtcQgsds+γZtfsdνs。从这里开始，完成证明只需要我们明确地确定。对于某些过程ψ∈ L∞[0，T]，定义ξT=iγξTψtdyt，其中ξ=1。然后，我们将其^o引理应用于以下（^gtξt）=cQgtξtdt+γftξtdνt+iγ^gtξtψtdνt+^htdt+ iξtψtftdt（5.2）dE[g（Xt）ξt]=E[Qg（Xt）ξt]dt+iγE[g（Xt）ξtψth（Xt）]dt。（5.3）如果我们将（5.2）和（5.3）中的被积函数从时间0积分到时间t，取期望值，两边乘以γ，然后从另一边减去一个，剩下的是ztiψsEhξsγfs- g（Xs）h（Xs）+^gs^hsids=0。因此，对于几乎每一个t∈ [0，T]，我们有ξTγft- g（Xt）h（Xt）+^gt^hti=0=Ehξtγft- E[g（Xt）h（Xt）|FYt]+^gt^ht因为ξt是一个完整的集合，所以必须有ft=E[g（Xt）h（Xt）|FYt]- ^gt^htγ=cght- ^gt^htγ证明了这个定理。定理5.2.1中过滤SDE解的存在是^gtis对该解的影响的结果。过滤SDE解的唯一性可以与Zakai方程的唯一性证明（见Kurtz和Ocone[32]orRozovsky[42]）结合起来，因为两个SDE的测度值解之间存在一对一的关系。5.2.1相关噪声滤波器提供WT和XT相关，以便对于任何函数g∈ 我们有γXnYtng（Xtn）p-→ hW，g（X）it=Ztρgsds，其中0=t<t<·tn=t，极限值取supn（tn+1-tn）→ 0

然后在方程（5.3）中有一个附加项，dE[g（Xt）ξt]=E[Qg（Xt）ξt]dt+iγE[g（Xt）ξtψth（Xt）]dt+iE[ξtψtρgt]dt，几乎每个t∈ [0，T]我们有ξTγft- E[g（Xt）h（Xt）|FYt]+^gt^ht- γρgti=0，因此ft=γ（cght- ^gt^ht+γ^ρgt），非线性滤波器isd^gt=cQgtdt+cght- ^gt^ht+γ^ρgtγdνt.5.2.2卡尔曼-布西滤波器创新方法的另一大优势在于线性滤波。尤其是当过滤问题由线性SDE系统组成时。在这种情况下，需要采取一些步骤来验证滤波分布是否正常，但在这样做之后，直接推导后验矩的第一和第二矩方程。考虑一个非退化线性观测模型，使得h（x）=h·x，γ>0，xB为高斯分布，状态空间生成器q=σx·+axx·对于所有函数g∈ C（R），其中σ和a是常数系数。游行队伍=bXt-ZtdQXsds=bXt- AzTbxSDS是平方可积的，并且是鞅，如果我们扩展命题5.1.2的h（x）=h·x（参见Bain and Crisan[5]第34页的第2.31点），我们就可以用创新布朗运动写出Nt，Nt=bX+γZtfsdνswhere ft∈ L[0，T]并且是FYt适应的。现在，通过简单的随机演算，我们可以验证XT是由XT=eatX+σZtea（t）给出的-s） 英国电信公司⊥ Wt（即状态空间噪声独立于观测噪声）。确定估计误差助教t、 =Xt-bXt。应用^o引理，我们得到t=atdt+σdBt-γftdνt，其解由积分因子给出，t=吃+ σZtea（t-s） 星展银行-Ztea（γ-s） fsdνs是高斯分布的，与YE[Ys]不相关t] =E[Ys（Xt）-bXt）=E[YsE[Xt-bXt | FYt]]=0适用于所有s≤ T