随机分析过滤理论研讨会

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英文标题：
《Stochastic Analysis Seminar on Filtering Theory》
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作者：
Andrew Papanicolaou
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  These notes were originally written for the Stochastic Analysis Seminar in the Department of Operations Research and Financial Engineering at Princeton University, in February of 2011. The seminar was attended and supported by members of the Research Training Group, with the author being partially supported by NSF grant DMS-0739195.
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中文摘要：
这些笔记最初是为2011年2月普林斯顿大学运营研究与金融工程系的随机分析研讨会撰写的。研讨会由研究培训小组成员参加并提供支持，作者部分获得了NSF拨款DMS-0739195的支持。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Stochastic_Analysis_Seminar_on_Filtering_Theory.pdf (1.02 MB)

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关键词：随机分析 研讨会 Mathematical Quantitative Applications

悉尼大学数学与统计学院过滤随机分析研讨会作者：安德鲁Papanicolaoualpapani@maths.usyd.edu.auThese笔记最初是为2011年2月普林斯顿大学运筹学和金融工程系的随机分析研讨会撰写的。研讨会由研究培训小组的成员参加并提供支持，作者部分获得了NSF grantDMS-0739195的支持。内容1隐马尔可夫模型41.1基本非线性滤波。52过滤和VIX 92.1随机波动率。92.2波动率。102.2.1波动率公式。113赫斯顿模型143.1的随机波动率过滤器。153.2提取风险溢价。183.3快速时间尺度下的平均波动率过滤。194 Zakai方程214.1贝叶斯视角下的离散动机。224.2 Zakai方程的推导。254.2.1伴随Zakai方程。274.2.2库什纳-斯特拉托诺维奇方程。284.2.3平滑。285创新方法305.1创新布朗运动。305.2非线性滤波器。325.2.1相关噪声滤波。

. . . . . . . . . . . . . 345.2.2卡尔曼-布西滤波器。356逼近非线性滤波器的数值方法376.1逼近非线性滤波器的定理。386.1.1弱收敛。386.1.2一致性定理。406.2马尔可夫链近似。426.2.1连续时间马尔可夫链滤波器的近似值。426.2.2 SDEs系统的滤波器近似值。446.2.3离散时间观测。447线性滤波467.1通用线性滤波器。467.1.1簧片/匹配滤波器。477.1.2傅里叶变换和带宽滤波器。487.1.3小波滤波器。517.2线性高斯模型。557.2.1维纳滤波器。557.2.2卡尔曼滤波器。588 Baum-Welch&Viterbi算法638.1滤波、平滑和预测方程。638.1.1过滤。648.1.2平滑。658.1.3预测。668.2学习参数的Baum-Welch算法。678.2.1参数转移概率的模型重新估计。

698.2.2有限状态马尔可夫链的模型重新估计。698.3维特比算法。709颗粒过滤器729.1颗粒过滤器。729.1.1顺序重要性抽样（SIS）。739.1.2抽样重要性重抽样（SIR）。749.2示例。769.2.1 Heston型颗粒过滤器。779.2.2 Rao Blackwellization。7810有限状态滤波器的稳定性、李雅普诺夫指数和遍历理论8110.1主要思想及其历史。8110.1.1反例。8410.2马尔可夫链模型的稳定性。8610.2.1 Perron Frobenius和Oseledec定理。8710.2.2滤波器的李雅普诺夫指数。8910.2.3证据√d | sin（a，b）|≤ 灵魂- bk≤√d | sin（a，b）|。91第1章隐马尔可夫模型我们首先介绍隐马尔可夫模型（HMM）的概念。让我们∈ [0, ∞)表示时间，考虑一个马尔可夫过程Xt，它在状态空间S中取值。假设Xt的分布函数有质量或密度，我们用pt（x）表示质量/密度，这样pt（x）=ddxP（Xt≤ x） 对于任意密度，x=x≥ 0和十、∈ S.XT的生成元是域为B（Q）的算子Q，对于任何有界函数g（x）∈ B（Q）我们有一个反向方程，E[g（Xt+t） |Xt=x]- g（x）T→ Qg（x）ast&0表示任何x∈ s

只要满足正则性条件，伴随就得到了正演方程，ddtpt（x）=Q*pt（x）。例1.0.1。如果S={x，…，xm}（有限空间）和算子Q是跳跃强度矩阵，那么Qji≥ 0表示所有i 6=j和pi6=jQji=-QJJJ适用于所有人∈ {1，…，m}。正演方程为DDTPT（xi）=mXj=1pt（xj）Qji。例1.0.2。如果S=R，Xt是一个It^o过程，比如DXT=a（Xt）dt+σdBt，那么Q=L=σx·+a（x）x是发电机。对于任何有界函数g，后向方程为thenddtEg（Xt）=ELg（Xt）=σEg（Xt）+Ea（Xt）g（Xt）∈ C（R）。假设a（x）和初始分布满足某些正则性条件，则伴随函数也给出了一个正方程tpt（x）=L*pt（x）=σxpt（x）- a（x）xpt（x）- 任意x的a（x）pt（x）∈ R.除了Xt，还有另一个过程是Xt的噪声函数。过程可以由SDEdYt=h（t，Xt）dt+γ（t，Xt）dwt给出，其中wt是一个独立的维纳过程，或者可以离散地给出，Ytk=h（tk，Xtk）+γ（Wtk）- Wtk-1） 其中（tk）kis是收集数据的一组离散时间。作为一对，（Xt，Yt）是一个马尔可夫链。这个过程是我们最感兴趣的，被称为“信号”过程，但它是不可观测的。相反，这个过程在某种程度上是可以观察到的，因此我们称之为“测量”因此，（Xt，Yt）是一个HMM，目标是计算Xt的估计值，在Yt上的观测值在后验意义上是最优的。1.1基本非线性滤波器FYtdenote由Y到时间t的观测值生成的滤波。根据均方误差（MSE）对x的最佳后验估计为bxt=E[Xt | FYt]=arg minf∈FYtE（f- Xt）。提议1.1.1。BXT是唯一的FYt可测最小均方误差。证据设f是另一个FYt可测量的Xt估计值。

然后mse（f）=E（f- Xt）=E（f-bXt+bXt- Xt）=E（f-bXt）+2E（f-bXt）（bXt）- Xt）+E（bXt- Xt）=E（f-bXt）+2Eh（f-bXt）E[（bXt）- Xt）|FYt]i+E（bXt- Xt）=E（f-bXt）+E（bXt）- Xt）≥ E（bXt）- Xt）=MSE（bXt），几乎所有地方都保持相等。过滤度量定义为πt（A）=P（Xt∈ A | FYt）对于任何Borel集A，对于任何可测函数g^gt=E[g（Xt）| FYt]。备注1。还有平滑分布和预测分布。当后验概率有密度时，我们写出πt | t（dx）=P（Xt）∈ dx | FYT）。我们说πt |是t>t时的平滑密度，如果t<t时的预测密度。平滑需要大量计算，但预测简单要求我们在初始条件为πt的区间[t，t]中求解Xt的正向方程。示例1.1.1。用离散观测值进行滤波；贝叶斯案例。设为可数状态空间，设h（x）为已知非线性函数，设γ（x）=γ>0，对于k=0，1，2，3。要有特定的时间来收集观察结果。在每个时间tk，让Yk=ytk表示直到时间tkasY0的测量历史：k={Y，Y，…，Yk}。表示Xk=Xt-k、 考虑以下离散差异：Yk+1=Yk+h（Xk+1）tk+γ工作地点tk=tk+1- 特坎德Wk=Wtk+1- Wtk。使用Bayes规则，我们发现对于任何x，过滤分布都有一个质量函数πk（x）=P（Xk=x | Y0:k）∈ 它可以递归地写成，πk+1（x）=ck+1ψk+1（x）等式*tk[πk]（x）（1.1）式中：*tk[·]是Xt正向跃迁概率的核，ψk+1（x）是给定Yk+1，ψk+1（x）=exp-h（x）tk- 2（Yk+1）- Yk）h（x）tk2γck+1=Rψk+1（x）等式*tkπk（dx）是一个归一化常数。方程（1.1）可以通过使用贝叶斯公式和HMM证明的独立性证明成立。

关于{Xk+1=x，Yk}givenYk+1的似然函数，它是（Yk+1 | Yk，Xk+1=x）∝ 经验(-Yk+1- Yk- h（x）tkγtk)= 经验-（Yk+1）- Yk）+h（x）tk- 2h（x）（Yk+1）- Yk）2γ既然我们只对这种可能性随x的变化感兴趣，我们可以去掉其中没有x的项，∝ 经验-h（x）tk- 2h（x）（Yk+1）- Yk）2γ= ψk+1（x），所以它实际上是{Xk+1=x}的似然比。现在，通过贝叶斯公式，我们得到了πk+1（x）=P（Xk+1=x；Y0:k+1）P（Y0:k+1）=P（Yk+1 | Xk+1=x；Y0:k）P（Xk+1=x；Y0:k）P（Y0:k+1）=ψk+1（x）P（Xk+1=x；Y0:k）P（Y0:k+1）=ψk+1（x）Pv∈SP（Xk+1=x，Xk=v；Y0:k）P（Y0:k+1）=ψk+1（x）Pv∈SP（Xk+1=x | Xk=v）P（Xk∈ dv；Y0:k）P（Y0:k+1）=ψk+1（x）Pv∈SP（Xk+1=x | Xk=v）P（Xk∈ dv | Y0:k）P（Yk+1 | Y0:k）=ψk+1（x）Pv∈SP（Xk+1=x | Xk=v）πk（dv）P（Yk+1 | Y0:k）=ψk+1（x）等式*tkπk（dv）P（Yk+1 | Y0:k）显然，P（Yk+1 | Y0:k）是x上最后一行分子的积分。贝叶斯滤波器是非线性滤波数值计算的重要工具。卡尔曼滤波器（见Jazwinski[28]）也是一个重要工具，但它仅适用于线性高斯模型或近似模型。计算非线性滤波器的当代方法是使用粒子滤波器（我们将在后面的部分中讨论）通过蒙特卡洛法。在连续时间内，基于微分方程离散化的近似滤波器已被证明收敛为对于某一类过滤问题，t&0，但我们必须能够近似Xt定律，h必须有界（见Kushner[33]）。总之，HMM由一对过程（Xt，Yt）组成，其中Xt是一个不可观测的信号，它是一个马尔可夫过程，而Yt是一个可观测的过程，它通过一个由已知函数和已知参数组成的系统依赖于Xt。

我们使用滤波来计算给定FYt的后验分布。第2章过滤和VIX2。1随机波动性考虑一个具有随机波动性的股票模型，dSt=uStdt+f（Xt）stdwt当sti是股票的价格时，函数f（x）是已知的，x是一个隐藏的马尔科夫过程。例如，赫斯顿模型，其中f（x）=√X和dxt=κ（m- Xt）dt+γpxtdbt，其中我们通过用ρ表示TEBTWT=ρ来模拟波动率杠杆效应∈ [-1, 0).一般来说，如果我们观察到价格的连续性，那么f（Xt）相对于{Sτ：τ产生的过滤是可测量的≤ t} 。让Yt=log St，注意dyt=u -f（Xt）dt+f（Xt）dWt。对于固定的t>0，假设（tk）kbe是[0，t]的一个划分，那么Y的二次变化是累积方差[Y]t=limkP k&0Xk(Ytk=Ztf（Xτ）dτ，其中kP k=supk（tk+1- tk）。显然，rtf（Xτ）dτ是FYt可测的，如果f（Xt）是一个连续过程，那么ddt[Y]t=f（Xt）也是FYt可测的。因此，至少（例如，对于f（Xt）是一个连续过程）挥发性在几乎所有的t中都是可观测的，如果f-1存在。尽管如此，拥有Xt的马尔可夫结构仍然是有益的，这样我们就可以对St上的衍生品进行定价。例如，在Elliot[22]的例子中，当ρ=0 isC（t，St，Xt；t，K）=E时，存在马尔可夫波动性的欧洲看涨期权的Black-Scholes价格*[CBS（t，St；t，K，Z[t，t]）| Xt，St]=E*[CBS（t，St；t，K，Z[t，t]）|FYt]其中Z[t，t]=t-tRTtf（Xs）ds和E*[·]是市场的定价标准。给定X和市场测度下X的动力学参数，我们可以显式地或通过蒙特卡罗计算看涨期权的预期回报。如果未知（即。

观察结果是离散的）那么我们可以取一个过滤期望值C（t，St；t，K）=ZC（t，St；t，K，x）πt（dx），但如果市场对波动性有任何溢价，那么这样的价格会有很大的偏差。该期权定价公式举例说明了在金融数学中解释过滤器的挑战。2.2 VIXFiltering可用于提取市场对波动性的风险溢价。让我们看看标准普尔500指数。对于任何时间t和某个时间窗口t>0，VIX指数是市场在[t，t+t]期间预测的平均方差的平方根，Vt=E*TZt+Ttf（Xs）dsFmtE在哪里*[·]是市场的定价指标，而Fmt是市场中所有信息（即FYt）产生的过滤 Fmt）。过程vt是方差Swap的“公平”价格，其波动段是已实现的方差，RV[t，t+t]=limkP k和0TXk(Ytk）=pTZt+Ttf（Xs）ds，其中（tk）是[t，t+t]的一个分区（即t=t<t<…tN=t+t，kP k=supk（tk+1- tk）随着N变大而变为零）。对于预先指定的名义金额，差额掉期的支付为名义×RV[t，t+t]- 及物动词.2.2.1波动率公式对于没有跳跃的扩散模型，Demeter Fi等人[19]表明，在期货合约中，一个无本金看涨期权和看跌期权合约以及一个空头头寸的组合复制了波动率。Carr等人【14，15】表明，具有跳跃的模型可以通过相同的设置进行近似。下面的引理导出了区分策略：引理2.2.1。T表示合同的有效期，Ft，T表示未来价格on+T时间T≥ 设r为速率，使Ft，T=SterT。如果性传播感染纯粹是一种分化过程（即。

在其差异中没有跳跃项），那么市场对未来实现方差的预期是vt=2erTTZK≤Ft，TPt（K，T）dKK+ZK≥Ft，TCt（K，T）dKK！（2.1）式中，Pt（K，T）和Ct（K，T）分别表示在时间T和到期时间T的看跌期权和看涨期权的价格。证据在市场条件下，有一个维纳过程dW*t确保股票收益率满足Ddstst=rdt+f（Xt）dW*t原木价格满足原木（St）=dYt=R-f（Xt）dt+f（Xt）dW*t、 将收益率和对数价格分别积分，然后相减，我们可以消除所有随机性，得到累积方差Zt+TtdSτSτ-Zt+TtdYτ=Zt+Ttf（Xτ）dτ，这表明实现的方差满足以下条件：RV[t，t+t]=tZt+TtdSτSτ- 日志（St+T/St）=TZt+TtdSτSτ- 对数（St+T/Ft，T）- 原木（英尺、吨/英尺）. (*)然后，通过一些简单的演算，我们看到-对数（St+T/Ft，T）=-St+T- Ft，TFt，T+ZK≤Ft，T（K- St+T）+dKK+ZK≥Ft，T（St+T- K） +dKK。将此表达式插入-将（St+T/Ft，T）记录到(*) 我们发现，已实现的差异可以写成几个合同的支付，以及在时间t:RV[t，t+t]=TZt+TtdSτsτ时的看跌期权和看涨期权的连续体-St+T- Ft，TFt，T- 对数（英尺、英尺/英尺）+ZK≤Ft，T（K- St+T）+dKK+ZK≥Ft，T（St+T- K） +dKK！。考虑到这两个因素对市场指标的预期，噪声会消失，因为log（Ft，T/St）=rT和E*T=Ft，T，我们有vt=E*[RVt，T | Fmt]=TZK≤Ft，TE*[（K）- St+T）+| Fmt]dKK+ZK≥Ft，TE*[（St+T）- K） +| Fmt]dKK如果我们将RHS除以e-我们得到了结果。风险溢价根据市场衡量标准，方差互换的预期收益为零。然而，从统计学上讲，方差互换对合同持有人表现出轻微的偏见。换句话说，接受概念×（RV[t，t+t]-Vt）在t+t时，平均回报率略为负值。