随机分析过滤理论研讨会

但由于波动性杠杆效应，当波动性较高且股票损失时，方差互换有可能以正现金流的形式提供缓解。在市场上报价时，波动率指数是Vtin百分比的平方根，是一个均值回复过程，在15%和50%之间漂移。VIX有一个绰号叫“投资者恐惧量表”，因为它本应如此，因为它主要由资金外期权组成，这意味着每当VIX增加时，对崩溃的恐惧就会增加。为了更准确地理解投资者的担忧，最好是消除波动性的任何实际增加，只检查市场指标预测方差的偏差。换句话说，我们希望预测物理测量的方差，然后将其与波动率指数的预测进行比较，以了解有多少apremium处于风险之中，或者有多少恐惧存在。如果我们能识别出一个HMM，其可观察成分会产生Fmt，那么市场的波动性风险价格（又称风险溢价）isRPt=Vt- ETZt+Ttf（Xs）dsFmt.备注2。Carr和Wu[16]指出，如果我们用Radon-Nykodym导数Mt定义测量的鞅变化，那么Vt=E*t[RVt，t+t]=Et[Mt+TRVt，t+t]Et[Mt+t]=Et[RVt，t+t]+covtMt+TEt[Mt+T]，RVt，T+T其中Et[·]=E[·| Fmt]和E*t[·]=E*[·| Fmt]，这导致了风险溢价的表达式，并且如果已知Mt+T，Fmt是可测量的。历史上，标准普尔500指数表现出与波动相反的运动。特别是，高波动期往往与熊市同时出现。Whaley[46]描述了可交易波动性资产（如波动率指数）如何为做市商提供了对冲他们所写期权的新方法。

例如，做空期权组合的做市商总是能够在其他类型的合同中做多，从而将投资组合的增量减少到几乎为零，这意味着该组合不会受到基础资产价值微小变化的巨大影响。引入VIX后，同一个做市商也有机会对冲其期权空头头寸的Vega。在使用波动性对冲工具之前，做市商可能会面临随着波动性增加而出现的期权价格上涨的风险。然而，VIX期货和VIX期货看涨期权等工具改变了这一切，因为如果VIX合约数量合适，期权的空头头寸可能会使其Vega几乎为零。交易员使用波动率指数期货和期权在SPXO或SPY波动不确定时进行对冲。当波动率交易者注意到波动率指数和波动率指数期货之间的价差时，他们意识到有可能出现修正。因此，如果VIX的交易价格高于VIX期货价格，那么在SPY和VIX中买入看涨期权都会赚钱，因为a）VIX下跌，而SPY上升，这将使SPY看涨期权投入资金；或者b）VIX保持上涨，而VIX期货填补了VIX看涨期权投入资金的缺口。当波动率指数明显低于波动率指数期货价格时，可以设计一种类似的策略，包括看跌期权和波动率指数。经验法则是：如果波动率指数和波动率指数期货之间的价差足够大，波动率指数的修正将在市场上产生足够大的变化，其中一个跨区间可以弥补其初始成本，并为投资者提供一些好处。

本段提到的策略中的关键词是传播，这正是我们在筛选风险溢价时所寻找的。SPX是标准普尔500指数；SPY是标准普尔500指数的追踪股票。第3章Heston模型的随机波动率滤波器在离散观测的情况下，我们推导了Heston模型的贝叶斯随机波动率滤波器。让YT表示股权的原价，并让√XT表示波动性。这些过程的动力学是，dXt=κ（`X）- Xt）dt+γ-pXtdBt（3.1）dYt=u -Xtdt+pXtρdBt+p1- ρdWt（3.2）模型参数的解释如下：\'-X=Xtκ的长期平均值=均值回归率（在Xt上）γ=波动率的波动率ρ=当ρ∈ (-1,0）u=股票的平均回报率需要对参数进行某些限制，例如伐木条件：γ≤√2κX，以确保充分定义XTI（参见[24]中的“波动时间尺度”一章）。有一些时间（tn）可以实际观察到这个过程，如果我们的模型是正确的，那么fmt=FYt=σ{Ytn:tn≤ t} .\'“正确”不仅意味着过程遵循这些参数SDE，还意味着{Wt}和{Bt}是该系统特有的特殊噪声，与市场中的其他数据不相关。3.1过滤器我们在之前的讲座中表明，当连续观察Y时，X是可测量的。这也直接证明了E[g（Xt）|FYt]→ g（Xt）作为[0，t]的分区缩小到零。引理3.1.1。对任何人来说∈ Z+设[0，t]划分为N个点，并设FNtdenote由Y在划分点的观测值生成的过滤（即FNt=σ{Ytn}Nn=0}）。如果过滤率随着N的增加而增加，那么在（3.1）和（3.2）给出的模型中，我们有[g（Xt）|FNt]→ g（Xt）a.s.as N%∞ 对于任意函数g（x）。证据设FYt=σ{Ys:s≤ t} 。

我们假设过滤率随着N的增加而增加，并且它们肯定以FYt，FNt为界 FN+1t . . . ···  FYt。因此存在F*茅草∞N=1FNt=F*t、 现在因为所有非零概率集合上的Yistocontinuous路径，F中包含的信息*这就足够测量任何y的事件{Yt=y}∈ R即使t不是任何单元的分割点。因此，F*t=FYta。s、 根据L’evy 0-1定律，我们有limne[g（Xt）|FNt]=E[g（Xt）|F*t] =E[g（Xt）|FYt]=g（Xt），这证明了引理。从引理3.1.1中，我们知道我们的后验估计在划分时是一致的。现在我们需要确定特定分区的过滤器。从这里开始，考虑时域的特定划分，我们只在数据到达时考虑过滤器。为了便于记法，我们让Xn=Xtn，Yn=YtnandFYn=FYtn。提议3.1.1。设（Yt，Xt）为（3.1）和（3.2）中Heston模型中的价格和波动过程，并假设Feller条件γ≤ 2′Xκ。然后是一个核函数，它给出了X的跃迁密度，eQ*xp（Xt）=124v+T≤ x | Xt=v）对于任何x，v∈ R+，以及Xnat观测时间tn=n的滤波分布t有密度。这个密度递归地表示为πn（x）=cnZEhL（y |（Xu）{tn-1.≤U≤伊恩-1)Xn=x，Xn-1=v，Yn-1ieQ*t（x | v）πn-1（dv）y=Yn，（3.3）对于几乎所有的x∈ R+，其中Cn是一个规范化常数，L是任何路径（xu）{tn）的可能性-1.≤U≤tn}给定观察值Yn和Yn-1，并由（y |（xu）{tn-1.≤U≤伊恩-1） =exp-（y）-伊恩-1)-uT-.5Rtntn-1徐都-ρξn（x）q（1）-ρ） Rtntn-徐都！问题（1）- ρ） Rtntn-具有ξn（x）=γ的1xUDU(xn-1.- κXT-Ztntn-1徐都！）。证据给定Feller条件，CIR过程dXt=κ（`X- Xt）dt+γ√众所周知，XTDBTis的跃迁密度可以用修改后的贝塞尔函数（见[1]）来表示，等等t（·v）是所有v的光滑密度函数≥ 0

此外，在[20]中还表明，（Yt，Xt）有一个平滑的跃迁密度函数，即Pt（y，x | s，v）=YxP（Yn）≤ y、 Xn≤ x|Yn-1=s，Xn-1=v）在x>0、y>0和t>0，且在x=0或y=0时不收集质量。因此，过滤器的密度可以用贝叶斯规则来表示：πn（x）=RPt（Yn，x | Yn）-1，v）πn-1（v）dvR[分子]dx，这里我们不需要假设πn的光滑性-1因为它通过与P的卷积而变得平滑锡的dv积分。现在，从方程（3.2）中，我们注意到：- 伊恩-1= uT-Ztntn-1Xudu+ρZTNTNT-1pXudBu+p1- ρZtntn-1pXudWu=duT-Ztntn-1Xudu+ρZTNTNT-1pXudBu+s（1- ρ） Ztntn-1徐都Z，其中“=d”表示分布相等，Z是另一个独立的标准正态随机变量。这意味着有条件的路径（Xu）tn-1.≤U≤TN和Sn-1.Yn- 伊恩-1.-uT-Rtntn-1Xudu+ρRtntn-1.√许德布问题（1）- ρ） Rtntn-1Xudu=dZ。然后注意到ξ在（许）tn处未估价-1.≤U≤tn与ξn（X）=Rtntn相同-1.√XudBu，下面是thatYn- 伊恩-1.-uT-Rtntn-1Xudu+ρξn（X）问题（1）- ρ） Rtntn-1Xudu=dZ。这显示了路径（Xu）tn的可能性-1.≤U≤TNSN-1和Sn=y实际上是函数L。最后，给定密度πn的Bayes规则，等式（3.3）中的表达式显示了使用转移密度概率表示的过滤器：Pt（y，x | Yn）-1，v）=yZyPt（z，x | Yn）-1，v）dz=yP（Yn）≤ y | Xn=x，Xn-1=v，Yn-1)Γt（x | v）=延恩≤YXn=x，Xn-1=v，Yn-1oΓt（x | v）=叶海宁≤Y（徐）{tn-1.≤U≤伊恩-1oXn=x，Xn-1=v，Yn，Yn-1iΓt（x | v）=E延恩≤Y（徐）{tn-1.≤U≤伊恩-1oXn=x，Xn-1=v，Yn，Yn-1.Γt（x | v）∝ EhL（y |（Xu）{tn-1.≤U≤伊恩-1)Xn=x，Xn-1=v，Yn-1ieQ*t（x | v）。最后，在基于时间n观测值计算可能性时，最后一行的计算值为y=Yn。这就完成了命题的证明。目前看来，过滤器相当复杂，很难实时实现。

通常情况下，人们可能会考虑一个近似SDE的离散方案：伊恩-1= (u - .5Xn-1)t+pXn-1(ρBn-1+p1- ρ工作-1) (3.4)Xn-1=κ（`X）- Xn-1)t+γpXn-1.Bn-1（3.5）在哪里伊恩-1=Yn-伊恩-1和Xn-1=Xn-Xn-1.使用（3.4）和（3.5），我们可以将近似的过滤密度输入到命题3.1.1中给出的密度：△πn（x）=cnZψn（x，v）等式*t（x | v）~πn-其中ψn（x，v）是{Xn=x，Xn的可能性-1=v}给定{Yn，Yn-1} ，ψn（x，v）=pv（1）- ρ)特克斯-(伊恩-1.- (u - .5v）T-√vρBn-1（x，v））2v（1- ρ)T具有Bn-1（x，v）=γ√五、十、- 五、- κ（`X）- 五）T.如果（3.4）和（3.5）中给出的模型简化被认为是“正确的”，则无需质疑（3.6）中给出的过滤器的有效性。但一般来说，如果知道连续时间SDE是正确的模型，则需要进行一些分析，以验证近似滤波器（如（3.6）中的滤波器）收敛为就是t&0Zg（x）~πn（dx）-Zg（x）πn（dx）→ 在强烈的意义上T→ 0

如前所述，众所周知（见Kushner[33]）近似滤波器有时是一致的，但[33]中的结果不适用于Heston模型。3.2提取物理测量下的风险溢价，我们有，EXt=EXe-κt+-X（1- E-κt）以及实现方差的预期值（RV[0，t].=TRTXsds）isERV[0，t]=\'X-\'X- EXκT1.- E-κT其中，我们（在不丧失普遍性的情况下）考虑了时间0的情况，并将后验期望表示为E*[·]=E*[·| FY]和E[·]=E[·| FY]。因此，风险溢价有以下闭合公式：E*RV[0，T]- ERV[0，T]=E*RV[0，T]-\'X+\'X- EXκT1.- E-κT.当波动率平方由带漂移项κ（`X）的AMEA回复SDE建模时，风险溢价的表达式成立- Xt），而不仅仅是赫斯顿模型。在风险中性措施下，市场在dXt中增加了一个风险溢价条款：dXt=κ（`X- Xt）dt- ∧tXtdt+γpXtdB*这里是*以及市场波动下的风险。我们把∧topen的模型留在这里，因为我们不会深入研究它的相关结构。然而，∧很可能被认为是一个均值回复过程，并且可以这样建模。根据市场的衡量标准，预计会出现以下变化*Xt=EXt-中兴通讯*[Xs∧s]e-κ（t-s） ds。从这里，我们可以看到E*RV[0，T]可以写为：*RV[0，T]=TZTE*Xtdt=TZTEXtds-TZTZtE*[Xs∧s]e-κ（t-s） dsdt=E[RV0，T]-κTZT1.- E-κ（T-（s）E*[Xs∧s]ds |{z}风险溢价(**) .在(**), 注意，如果X和∧是独立的，那么对于κ 1风险溢价简化为κTZT1.- E-κ（T-（s）E*[Xs∧s]ds~ -\'XTE*∧T.3.3过滤快速时间尺度中的平均波动率波动率建模中快速时间尺度的目的是捕捉2到3天内发生的均值回复效应。

在赫斯顿模型中，假设我们处于一个快速时间尺度，其中γ~√κ代表κ大。然后，可以证明，Xt的分布几乎在瞬间变成Γ分布，Xt=> Γ\'X，作为κ%∞对于所有的t>0。因此，对已实现方差TZTXSD进行快速平均→概率为κ%的X∞因此，作为已实现方差函数的任何合同的预期收益都是不确定的，除非“X”是随机和/或未知的。因此，以我们在上一节中所做的方式将风险溢价构建到XT的动态中，在初始时间尺度上是没有意义的。另一种想法是，将“X”作为一个由另一个马尔可夫链控制的隐藏状态过程，从而为HMM增加另一个维度。然后，我们可以将已实现的方差作为观察值，并编写一个过滤器来估计“X”状态。我们的做法如下：将“XT”设为一个带有生成元Q的马尔可夫链，我们假设它是变化的标准结构；“Xt”的变化受泊松跳跃过程控制，因此在一定时间间隔内t、 多次改变状态的概率为o(t） 。Xtare-thendXt=κ（`Xt）的新动力学- Xt）dt+γpxtdbt对于这种模型，实现的方差是快速时间尺度下的随机变量TZTXSD~TZT’XSD表示κ大。设（tn，`）n`是某个有限时间间隔的一个划分，比如10年，其中n表示第n周，`表示第`次交易。然后tn+1`- tn，`t=1周，对于任何\'tn，`+1- tn，`=从第次报价到第n周的下一笔交易的时间。我们对每个tn的Ytat进行观察，`（即Yn，`=Ytn，`是第n周的第次观察）。对于任何n和\'letYn，`=Yn，`+1-为了简单起见，让tn=tn，0。然后，我们有以下模型，用于每周观察已实现方差Zn+1=德克萨斯州`(Yn，`）=tZtn+1tn\'Xsds+n+1在哪里n+1是一个带有E的噪声过程N如果n6=n，则n=0。

很明显，Zn是可观察的，（Zn，`Xn）是一个马尔可夫过程。在此基础上，我们的目标是估计“Xt”的状态空间和转移率，然后将非线性滤波结果应用于估计方差风险溢价。假设πn（xi）=P（\'Xtn=xi | Y0:n），我们可以估计物理量对已实现方差的期望值：EtnTZtn+TTNXSD≈ EtnTZtn+Ttn\'Xsds=TZtn+TtnXixieQ*（s）-tn）－πn（xi）ds，表示κ~ γ 1.第四章Zakai方程∈ S是带生成元Q的马尔可夫过程。设Q的域用B（Q）表示，设Bb（Q）表示B（Q）中有界函数的子集。对于任何函数g（x）∈ Bb（Q）我们有以下极限：E[g（Xt+t） |Xt=x]- g（x）T→ Qg（x）ast&0，对于任何x∈ 如果Q是稠密定义的，且其预解集包含所有正实数，则Hille-Yosida定理适用，允许我们用收缩半群写出Xt的分布。在这些注释中，我们假设这样的条件成立，并且跃迁密度/质量由一个由等式表示的算子半群产生*t、 SDE理论中的一个标准非线性滤波问题假设Xt是不可观测的，并且一个过程Yt由一个SDEdYt=h（t，Xt）dt+γdWtobserved（4.1）给出，其中wt是一个独立的维纳过程，γ>0，我们假设h（t，·）对于所有t<∞.这对（Xt，Yt）是一个HMM，可以使用过滤来查找后验分布。设FYt=σ{Ys:s≤ t} 对于任何可测函数g（x），设^gt=E[g（Xt）|FYt]。^GT的后验期望最终是过滤的期望值，但获得后验分布的方法非常复杂。我们在前面的课程中使用的离散贝叶斯工具不能在这里使用，因为我们处于一个连续统一体中，不允许我们分解HMM的各个层。

相反，我们将利用SDE理论中的著名思想来获得过滤分布的差异。特别是，我们将使用Girsanov定理来获得Zakai方程。4.1贝叶斯视角下的离散动机在他们的书中，Karatzas和Shreve[30]给出了Girsanov定理如何工作的离散动机。以类似的方式，我们考虑一个离散问题，然后根据适当密度的比率构造度量的变化。然后我们展示了它是如何与连续时间对应的，并导出了Zakai方程的离散近似。为此，我们首先考虑（6.1）的离散时间模拟，Yn=Yn-1+h（总氮）-1，Xn-1)t+γWn-假设Xt的无条件分布是所有t的密度≥ 0（当Xt的分布具有质量函数时，sameidea将适用）。我们可以很容易地应用Bayes定理来获得Borel集a上的滤波分布：πn（a）=cnZψn（v）eQ*t（A | v）πn-1（dv）式中*t表示Xt跃迁密度的核，似然函数为ψn（v）=exp(-.5.伊恩-1.- h（tn-1，v）tγ√T), 具有伊恩-1=Yn- 伊恩-1，Cn是一个标准化常数。Lebesgue微分定理可用于获得后验密度，|A |πn（A）→ πn（dx）=cnZψn（v）等式*t（dx | v）πn-1（dv）当A很好地收缩到{x}时。记住这个离散模型和过滤器，让我们把注意力转移到所有观测的联合密度函数和（x，x，…，xn），dpn所取的可能路径（x，x，…，xn）P（Y，Y，…，Yn；dx，dx，…，dxn）=P（Y，Y，…，Yn | x，x，…，xn）P（dx，dx，…，dxn）=n-1Y`=0ψ`（x`）！×P（dx，dx，…，dxn）=n-1Y`=0e-.5.Y`-h（t`，x`）tγ√T!x P（dx，dx，…，dxn）=e-.5Pn-1`=0Y`-h（t`，x`）tγ√Tx P（dx，dx，…，dxn），其中P（dx，dx。