求解Heston方程退化抛物偏微分方程的解析方法

这尤其意味着γ>0和（3.21）u>βγσ。因此，利用条件（3.11）和（3.20），我们推断（3.16）在ω时成立∈ （M，N），其中M=最大值κm-σu -2+ σu -√ωσ, uandN=minκm-σu -2+ σu +√ωσ, u +γσu - βκm-σ.让我们观察一下κm-σu -2+ σu >√ω当且仅当（3.22）β<uκm-σ+uσ2u - 1.HESTON MODEL 11此外，很容易看出≤ N得到κm-σu -2+ σu -√ωσ< u +γσu - βκm-σ或，等效，（3.23）κm-σu -2-σκm-σγσu - β<√ω、 我们首先要求（3.24）κm-σ≥2u2u - 1.γ -βuσσ=：f（2u）σ使（3.23）中的左侧为非负。由（3.19）和（3.21）可知，0<f（2u）。因此，从（3.18）我们得到（3.24）iff（2u）≤ δ. 从定义oft和τ<1可以看出δ>γ。再次使用τ<1，我们得到2τ- 1 < 1 <√1 + δ =δ√1+δ+√1+δ和γ-c<γ=2τt- 1<δt√1 + δ=δ1 +√1 + δ.因此√1 + δ <δγ - （c/2）- 1.这意味着t>Δδ-γ+（c/2）。这与（3.19）一起意味着f（2u）≤ δ. 因此，（3.24）成立。现在使用ω、 可以看出，prov ing（3.23）相当于show（3.25）κm-σ>2u2u(1 + 2γ) - (2 + 2γ)γ -βuσσ=f（2u）σ。Sincet<2和t<infγ∈（0，t-1)1 +1 + 2γ=4.- t、 我们可以推断，如果t<2u<1+1+2γ，f（2u）<0，因此（3.25）成立。因此，如果ω∈ （M，N），ρ>0时的满足度（3.11），以及β<Muγσ, uκm-σ+uσ2u - 1.12 A.CANALE、R.M.MININNI和A.RHANDIfrom（3.21）和（3.22），0<γ<δ。那么（3.13）可以写成Raφ，ψH（v，v）≥ ckvkVφ，ψ+αkvkφ，ψ，五、∈ C∞c(Ohm),假设2ρ2- t<<1- 和∈t2u，分钟2αα,2u1 +1 + 2γ,式中c:=min{α，α- α，a（α-α2)} > 0. 我们注意到，满足的上述第一个不平等是γ>0的结果。另一方面，假设|ρ|<q-√1+δ，存在满足上述条件的，因为-√1+δ=q2-T备注3.2。

引理2.2和命题3.1得出的结论是，形式范数d e finedbykukah:=qRaφ，ψH（u，u）+（1）- c） kukφψ等于范数k·kVφψ。因此，通过引理2.1，域为φ，ψ的倍线性形式aφ，ψh是闭合的。我们定义了与aφ，ψHbyD（a）={u相关的算子∈ Vφ，ψs.t。五、∈ Lφ，ψ(Ohm) : aφ，ψH（u，ν）=ZOhmvψφψ，φ ∈ C∞c(Ohm)}Au=v。估计值（3.1）称为Garding不等式。应用[10，第4.4节，定理4.1]我们得到了问题（1.5）唯一弱解的存在性。定理3.3。假设条件与命题3.1相同。然后，有一个唯一的弱解u∈ L（[0，T]，Vφ，ψ）∩ C（[0，T]，Lφ，ψ）(Ohm)) 抛物线问题（1.5）。应用Lumer-Phillips定理，我们得到以下生成结果。定理3.4。假设条件与命题3.1相同。然后，接线员-如上所述，生成了一个保正拟压缩解析半群onLφ，ψ(Ohm).证据引理2.1、引理2.2、命题3.1和备注3.2表明，域Vφ、ψ的形式φ、ψh是Lφ、ψ上唯一定义的、封闭的、连续的、拟增生的倍半线性形式(Ohm). 因此-A生成一个拟压缩解析半群（e）-tA）t≥0onLφ，ψ(Ohm) （参见[12，定理1.52]）。对于正性，我们首先注意到半群（e-tA）t≥0是真实的，每个人都能看到这一点∈ D（aφ，ψH）∩ Lφ，ψ(Ohm, R） ，u+∈ D（aφ，ψH）和aφ，ψH（u+，u-) = 0，自从你-= (-u） +和u+=χ{u>0}u（参见[12，提案4.4]）。因此，根据First Beurling拒绝标准-tA）t≥0是Lφ，ψ上的保正半群(Ohm) （参见[12，定理2.6]）。HESTON模型13参考文献[1]Y.Achdou，N.Tchou，具有随机波动性的Black和Scholes方程的变分分析，ESAIM：数学建模和数值分析，36（3），373–3952002。[2] Y.阿克杜，B.弗兰基，N。

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