求解Heston方程退化抛物偏微分方程的解析方法

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英文标题：
《Analitic approach to solve a degenerate parabolic PDE for the Heston
  model》
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作者：
A.Canale, R.M. Mininni, A.Rhandi
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We present an analytic approach to solve a degenerate parabolic problem associated to the Heston model, which is widely used in mathematical finance to derive the price of an European option on an risky asset with stochastic volatility. We give a variational formulation, involving weighted Sobolev spaces, of the second order degenerate elliptic operator of the parabolic PDE. We use this approach to prove, under appropriate assumptions on some involved unknown parameters, the existence and uniqueness of weak solutions to the parabolic problem on unbounded subdomains of the half-plane.
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中文摘要：
我们提出了一种解析方法来解决与Heston模型相关的退化抛物线问题，该模型在数学金融中广泛用于推导随机波动风险资产上的欧式期权价格。我们给出了抛物型偏微分方程的二阶退化椭圆算子的一个包含加权Sobolev空间的变分公式。利用这种方法，在适当的假设条件下，证明了半平面无界子域上抛物问题弱解的存在唯一性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Analitic_approach_to_solve_a_degenerate_parabolic_PDE_for_the_Heston_model.pdf (179.29 KB)

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关键词：偏微分方程 微分方程 偏微分 sto Est

求解HESTON模型退化抛物面的解析方法。CANALE、R.M.MININNI和A.RHANDIAbstract。我们提出了一种解析方法来解决与Heston模型相关的退化抛物线问题，该模型广泛用于数学金融中，用于推导随机波动风险资产上的欧式期权价格。我们给出了抛物型偏微分方程的二阶退化椭圆算子的一个包含加权Sobolev空间的变异公式。我们利用这种方法，在适当的假设条件下，证明了半平面无边界子域上抛物问题弱解的存在唯一性。1.引言[7]中的赫斯顿推导了当价格过程{St，t≥ 0}基础资产满足以下随机微分方程（SDE）（1.1）dSt=ηStdt+pYtStdWt，t≥ 0，其中常数参数η∈ R表示标的资产的瞬时平均回报率，与欧洲期权的原始Black and Scholes模型[3]相反，n表示恒定波动率√这应该是随机的。方差过程y={Yt，t≥ 假设0}是一个扩散过程，其动力学由以下SDE（1.2）dYt=κ（m）描述- Yt）dt+σpYtdZt，t≥ 0，Cox等人[4]在数学金融中用于对零息债券的“短期利率”进行建模。参数κ、m和σ应为正常数。这个过程在文献中被称为CIR过程或平方根过程。特别是，mis是Ytas t的长期平均值→ ∞, κ被称为“均值回归率”，也就是说，κ决定Y向m的样本路径调整的速度，σ是方差的恒定波动率（通常称为波动率的波动率）。

扩散Y的状态空间是区间[0，∞).2000年数学学科分类。35K65，47D06，49J40，60J60。关键词和短语。欧式期权，退化抛物偏微分方程，随机波动过程，Hestonmod el，数学金融，变分公式，加权Sobolev空间，算子半群。第三作者得到了麻省理工大学研究项目Prin 2010MXMAJR的支持。2 A.CANALE、R.M.MININNI和A.Rhandi对过程{Wt，t≥ 0}和{Zt，t≥ （1.1）和（1.2）中的0}是标准的一维布朗运动。它们应该是相关的，其中ρ∈ [-1，1]表示瞬时相关系数。使用二维伊藤公式（例如，参见[13，第四章32]），具有风险标的资产、固定到期日T>0和精确定价K>0的欧式期权的价格满足以下退化抛物线问题（1.3）Ut+YUS+yσUy+ρσySUsy+κ（m）- y）Uy+r（S）Us- U） =0，in[0，T）×0，∞)U（T，S，y）=h（S）in[0，∞),以期权的最终报酬作为最终条件，即h（S）=（S）- K） +或h（S）=（K- S） +分别对应于欧洲看涨期权和看跌期权。p rice U:=U（t，S，y）取决于时间t、股票价格变量S和方差变量y。退化抛物线问题（1.3）是在对金融市场进行一些假设的情况下得出的，因为无套利条件，即考虑到Yt的立场的演变，欧式期权的定价方式是没有机会从任何方面赚钱。（1.3）中的偏微分方程在S变量中有退化系数，也可能在Y变量中有退化系数。

为了消除变量S的简并，我们定义了随机过程{Xt，t≥ 0}如下所示xt=lnStS, T≥ 0.进一步考虑以下函数eu（t，S，y）：=U（t，S，y）- E-r（T）-t） h（Ser（t）-t） ），表示超出折扣工资的部分。参数r≥ 0表示康斯坦特里斯克中性利率，正如Hilber等人在[8]中所观察到的那样，根据[7]中建议的（1.3）中PDE的边界条件，eu会在S时变为零→ 0和S→ ∞.然后，通过改变时间t→ T- t、 设置x=lns（假设S=1），并使用以下转换（1.4）u（t，x，y）：=e-ωyeu（T）- t、 S，y），ω>0，我们从（1.3）推导出函数u满足以下初始值前向抛物线问题（1.5）Ut（t，x，y）=-（LHu）（t，x，y）+F（t，y），t∈ （0，T]，（x，y）∈ Ohmu（0，x，y）=0，（x，y）∈ Ohm,海斯顿模型3在哪里Ohm = R×[0，∞). 算符LH由（LH~n）（x，y）=-Yφ十、-σyφY- ρσyφ十、Y-（ωρσy）-y+r）φ十、- [ωσy+κ（m）- y） ]φY-ωσy（ωy+1）+ωyκ（m）- y）- Rψ（1.6）和f（t，y）=Kye-rte-ωyδlnk-rt.[8]解释了考虑转换（1.4）的动机，考虑到价格U对所有y都有界（参见[7]）。据我们所知，利用变分方法证明这些定价问题解的存在性和唯一性是最近才出现的。Ach dou等人[1]-[2]使用变量分析，使用适当的加权Sobolev空间来解决与期权定价有关的抛物线问题，当方差过程Y是均值回复OrnsteinUhlenbech（O U）过程的函数时。随后，与之前的工作一样，Hilber等人[8]使用变分公式通过稀疏小波有限元方法给出数值解，当波动率由aOU过程或CIR过程建模时，用抛物线偏微分方程对问题定价。

Daskalopoulos和Feehan[5]借助加权Sobolev空间，使用变分分析证明了Heston模型障碍问题解的存在性、唯一性和全局正则性，该模型在数学金融上解决了潜在风险集上永久美式期权的定价问题。观察到，通过应用时空变换，扩散Y遵循维度α=4κmσ>0的平方贝塞尔过程的动力学（参见[9，第6.3节]）。众所周知（参见[13，第V.48章]）对于α>2，从正初始点开始的一般α维平方贝塞尔过程是严格正的，并且几乎肯定随着时间的接近趋于一致，而对于α=2，过程是严格正的，但任意接近零和零∞, 对于α>2，过程会反复达到0，但不会保持在0，即0-boun-dary强烈反射。理想情况下，人们希望方差过程是严格正的，因为否则它在保持为零时退化为确定性函数。然后，为了将这一性质转化为CIR过程Y，我们假设条件（1.7）κm>σ。模拟研究从本质上研究了改变相关性ρ（cf[6]）和波动率参数σ（cf[11]）对赫斯顿模型中隐含波动率曲线形状的影响，清楚地显示了（1.7）条件下的波动率√我们始终保持绝对积极的态度。4 A.卡纳尔、R.M.米尼尼和A。

RHANDIThus，上述论点让我们假设y∈ [a，∞) a>0，以消除变量y和take在0处的简并度Ohm = R×[a，∞)在（1.5）中。利用[8]中（1.5）抛物型偏微分方程的变分公式，本文的目的是用形式方法证明问题（1.5）弱解的存在唯一性，并研究由其生成的正解析半群的存在性-LH，具有适当的域，在加权L-空间中具有适当的权φ和ψ。这篇文章的结构如下。在第2节中，我们定义了本文中需要的希尔伯特空间和加权Sobolev空间，描述了我们对Heston算子系数的假设，并用Dirichlet边界条件证明了（1.6）中给出的算子LH定义的倍半线性的连续性估计。在第三节中，我们研究了倍线性形式的Garding不等式，并推导了问题（1.5）的唯一弱解的存在性。我们还获得了-LHin-Lwith-Dirichlet边界条件生成一个解析半群（e）-tLH）。（e）的正性-tLH）可以通过应用第一个Beurling拒绝标准来证明。2.Heston模型：变分公式在本文中，要求算子L的系数服从Offeller条件（1.7）和Ohm = R×[a，∞) 我们建议使用形式方法来求解（1.5）中的抛物线偏微分方程。

为此，我们考虑重量因子φ（x）=eν| x |，ψ（y）=euy，（x，y）∈ Ohm, ν、 u>0，并定义希尔伯特空间φ，ψ(Ohm) = {v|（x，y）7→ v（x，y）φ（x）ψ（y）∈ L(Ohm)}配备加权L-kVkφ，ψ=ZOhm|v（x，y）|φ（x）ψ（y）dx-dy.此外，我们定义了加权Sobolev空间vφ，ψ=nv五、√Y五、十、√Y五、Y∈ （Lφ，ψ）(Ohm))o、 空间Vφ，ψ配备了normkukVφ，ψ=kukφ，ψ+√YU十、φ,ψ+√YUYφ,ψ.与LHin Lφ，ψ有关的倍线性形式(Ohm) 由（2.1）aφ，ψH（u，v）=Z给出Ohm（LHu）（x，y）v（x，y）φ（x）ψ（y）dx-dy，u，v∈ C∞c(Ohm).我们首先注意到以下标准结果。引理2.1。以下断言成立：HESTON模型5（a）测试函数的空间C∞c(Ohm) 在Lφ，ψ中是稠密的(Ohm),（b） 具有范数k·kVφ，ψ的空间Vφ，ψ是Hilbert空间。证据让你∈ Lφ，ψ(Ohm). 那么uφψ∈ L(Ohm) 因此，对于任何ε>0的情况，都有φ∈ C∞c(Ohm)使kа- uφψkL=kφ-1ψ-1φ -ukφ，ψ<ε。sinceφ-1ψ-1φ ∈ 抄送(Ohm), 我们推断出(Ohm) 在Lφ，ψ中是稠密的(Ohm). 因此，断言（a）遵循标准的molli fier论证。为了证明（b），我们只需要证明Vφ，ψ具有范数k·kVφ，ψ是完备的。考虑（Vφ，ψ，k·kVφ，ψ）中的柯西序列（un）。自从≥ a、 因此，Vφ，ψ连续嵌入经典加权Sobolev空间hφ，ψ中(Ohm) :=内华达州五、五、十、五、Y∈ （Lφ，ψ）(Ohm))o、 因此，对某些美国公司来说，这是不可能的∈ Hφ，ψ(Ohm). 另一方面，由于√Y联合国桑德√Y联合国阴Lφ，ψ(Ohm) （因此a.e.通过采用子序列），它遵循∈ Vφ，ψ和关于范数k·kVφ，ψ的非归化为u。下面的引理表明，aφ，ψhc可以连续扩展到Vφ，ψ×Vφ，ψ的倍线性形式，其中Vφ，ψ表示C的闭包∞c(Ohm) 在Vφ中，ψ引理2.2。存在一个正常数M，使得| aφ，ψH（u，v）|≤ MkukVφ，ψkvkVφ，ψ，u、 五∈ Vφ，ψ。证据

通过部分积分，可以从（2.1）得出aφ，ψH（u，v）=ZOhmYU十、五、xφψ+ZOhmYU十五φ′φφψ+σZOhmYUY五、yφψ+σZOhmUyvφψ+μσZOhmYUyvφψ+2ρσZOhmYU伊夫φ′φφψ+ρσZOhmYUY五、xφψ-ZOhm（ωρσy）-y+r）Uxvφψ-ZOhm[ωσy+κ（m）- y） ]Uyvφψ-ZOhmωσy（ωy+1）+ωyκ（m）- y）- Ruvφψ对u，v保持不变∈ C∞c(Ohm). 根据霍尔德的不平等性，以及≥ 1给y∈ [a，∞), a>0，我们有ZOhmYU十、五、xφψ≤ kukVφ，ψkvkVφ，ψ，ZOhmYUY五、yφψ≤ kukVφ，ψkvkVφ，ψ，ZOhmYUY五、xφψ≤ kukVφ，ψkvkVφ，ψ，ZOhmUxvφψ≤√akukVφ，ψkvkVφ，ψ，和ZOhmUyvφψ≤√akukVφ，ψkvkVφ，ψ.6 A.卡纳尔，R.M.米尼尼和A.Rhandi由于ψ′（y）=uyψ（y），因此Ohmyuvφψ=-2uZOhmUyvφψ+ZOhmU五、yφψ,（2.2）ZOhmyuvφψ=-2uZOhmYUyvφψ+ZOhmY五、余φψ+ZOhmuvφψ,（2.3）ZOhmyuvφψ=-2uZOhmyuvφψ+ZOhmYUyvφψ+ZOhmY五、余φψ.（2.4）因此有必要估计积分OhmYUyvφψ，ZOhmYUyvφψ，ZOhmYUxvφψ，andZOhmYUxvφψ。应用（2.2）和H¨older不等式ZOhmYUyvφψ≤ kukVφ，ψk√yvkφ，ψ≤aukukVφ，ψkvkVφ，ψ，ZOhmYUxvφψ≤ kukVφ，ψk√yvkφ，ψ≤aukukVφ，ψkvkVφ，ψ。另一方面，再次应用我们得到的H–older不等式ZOhmYUyvφψ≤ kukVφ，ψkyvkφ，ψ和ZOhmYUxvφψ≤ kukVφ，ψkyvkφ，ψ。还有待于估计kyvkφ，ψ。它由（2.4）thatkyvkφ，ψ得出≤uZOhmY五、yvφψ≤kyvkφ，ψ+2uk√Y五、ykφ，ψ。因此，kyvkφ，ψ≤uk√Y五、ykφ，ψ。这就结束了引理的存在。3.变分方程解的存在性和唯一性下面的命题讨论倍半线性形式aφ，ψH的拟增生性。假设（1.7）满足。然后，在ρ、ν、u和ω的适当条件下，有常数c>0和c∈ R使（3.1）Raφ，ψH（v，v）≥ ckvkφ，ψ+ckvkφ，ψ，五、∈ Vφ，ψ。海斯顿7Proof型。

二次型aφ，ψH（v，v）的实部由下式给出：Raφ，ψH（v，v）=ZOhmY五、十、φψ+σZOhmY五、Yφψ+RZOhmY五、十五φ′φφψ+ RZOhmY- ωρσy- R五、xvφψ+RZOhmσ- κm）五、yvφψ+ κRZOhmY五、yvφψ-ωσRZOhmY五、yvφψ+ σuRZOhmY五、yvφψ+ρ σRZOhmY五、十、五、yφψ+ 2ρσRZOhmY五、伊夫φ′φφψ-ωσZOhmy | v |φψ- （ωκm+ωσ）ZOhmy | v |φψ+ωκZOhmy | v |φψ+rZOhm|v |φψ=I+I+I+I+I+I+I+I+I+I+I+I+I+I+I+I.（3.2）通过定义Lφ，ψ-范数（3.3）I+I=√Y五、十、φ,ψ+σ√Y五、Yφ,ψ.为了估计下一个积分，我们使用H¨older不等式和Young不等式，以及考虑到R五、十五=|五|十、R五、伊夫=|五|y、 φ′=（符号x）νφ和ψ′=uyψ。oI的估计：（3.4）|I |≤√Y五、十、φ、 ψ+ν2k√yvkφ，ψ，>0.oI的估计：（3.5）|I |≤νk√yvkφ，ψ+ωρσνZOhmy | v |φψ+rνkvkφ，ψI的估计值：（3.6）I=κm-σuk√yvkφ，ψI的估计值：（3.7）I+I≥ -κ+ ρσνkvkφ，ψ- （κu+2ρσνu）ZOhmy | v |φψ.8 A.卡纳尔、R.M.米尼尼和A.RHANDIoE土地I的估计值：（3.8）I+I=σ（u- ω)RZOhmY五、yvφψ.o I的估计：（3.9）|I |≤√Y五、十、φ,ψ+ρσ2√Y五、Yφ,ψ, > 0.另一方面，从（2.4）可以得出（3.10）k√yvkφ，ψ=-RZOhmY五、yvφψ- ukyvkφ，ψ。从（3.2）-（3.10）可以得出Raφ，ψH（v，v）≥ α√Y五、十、φ,ψ+ α√Y五、Yφ、 ψ+αkvkφ，ψ+αZOhmy | v |φψ+αRZOhmY五、yvφψ+ αkyvkφ，ψ，其中α=1.- - ,α=σ1.-ρ=:στ,α= (-rν-κ- ρσν+r），α=（ωκ- κu - ωρσν -2ρσνu),α= ωκm-σ+ σu + β -κm-σu,α= ωuκm+σ- ωσ+ uβ -κm-σu= uα+ ωuσ-σu-ωσ和β=ν2+ν.为了确保系数α，α是非负的，我们使用假设|ρ|<1，并取和，使得ρ<<1- .此外，我们取ω>u和（3.11）ν≤κ(ω - u）ρσ（ω+2u），当0<ρ<1时，以获得该α≥ 0表示任何|ρ|<1。HESTON模型9为了证明引理，我们首先需要证明ROhmY五、yvφψ可以通过√Y五、Yφ,ψ.

实际上，通过H¨older和Youn g的不等式，ZOhmY五、yvφψ=ZOhm√Y五、yyvφψ≤√Y五、Yφ、 ψ+2kyvkφ，ψ（3.12），任意>0。另一方面，使用假设κm>σ和ω>u，我们推导出α>0，因此ω>κm-σu - βκm-σ.因此，通过（3.12），我们得到Raφ，ψH（v，v）≥ α√Y五、十、φ,ψ+α- α√Y五、Yφ、 ψ+αkvkφ，ψ+α-α2kyvkφ，ψ。（3.13）选择（3.14）<2αα，我们推导出α- α> 0.下一步是证明（3.15）α-α2≥ 这相当于表明ω满足不等式σω-Hκm-σu -2+ σuiω+σu- βu -2++κm-σu -2u - σuu -2≤ 所以我们需要ω:=κm-σu -2+ uσu -+ 2βσu -2≥ 0.让我们观察一下（3.15）可以用以下方式重写u -2α+ ωuσ- σu- ωσ≥ 0，从中我们可以推断出>2u，10 A.CANALE，R.M.MININNI和A.Rhandiσ- ωuσ+ σu=σ(ω - u)+ u> 0.因此，（3.17）ω≥ 0<==>κm-σ≥2u2u - 1.2.- 2u2u - 1.-2βuσσ=：g（2u）σ，其中g（t）=（2+c）t- （1+c）t（t- 1） c=2σ。另一方面，通过（1.7），存在δ>0，使得κm>（1+2）√δ)σ.因此，可以得出（3.18）κm-σ> δσ.因此，如果g（2u），则（3.17）成立≤ δ. 一个简单的计算表明，如果（3.19）2u>t:=1+√1+δ然后g（2u）<δ，因此ω> 0. 另一方面，从（3.14）和（3.19）得出，α<4μα，因此使用（3.11），（3.20）u<ω<κm-σu+tα- βκm-σ= u +γσu - βκm-σ、 式中γ=2τt- 1.