弱近似格式的多级路径模拟

我们假设W和N是独立的，并且映射b:Rd7→ Rd，σ：Rd7→ 研发部rmadρ：Rd×Z 7→ Rd是连续的，且在[0，T]上最多呈线性增长，因此（4.5）的解定义良好。让Γ={-1, 0, . . . , m} ，m={γ=（γ，…，γl）：γi∈ Γ，l≥ 0}，和；代表空位。对于任何非空γ=（γ，…，γl）∈ M、 表示γ=（γ，…，γl），γ=（γ，…，γl）-1） ，|γ|=l，kγk=|γ|+γ和γ 是γ的负分量数。对于任何映射φ∈ C（Rd），定义与（4.5）L相关的运营商-1[φ]（x；z）。=φ（x+ρ（x，z））-φ（x），L[φ]（x）=dXi=1bi（x）iφ（x）+dXi，j=1i j（x）i jφ（x），Lj[φ]（x）=dXi=1σi j（x）iφ（x），j=1，m、 其中i j（x）=mXl=1σil（x）σjl（x）和j= xj。复合算子递归定义为asLγ[φ]（x；z，…，z）γ) = γL-γ[φ]（x；z，…，zγ)如果γ≥ 0和小瓶γ[φ]（x；z，…，zγ) = L_γ[φ]（x+ρ（x，z）；ZZγ)-L_γ[φ]（x；z，…，zγ)否则标志Nj=N[（j）- 1), J],Z, （4.5）的欧拉格式如下= 十、 XJ= 十、（j）-1)+ A.十、（j）-1) +mXk=1bk十、（j）-1)Wkj+NjXk=1ρ（X）（j）-1), Zjk），j=1，n、 式中Zjk，k=1，Nj是独立的随机变量，其定律为ν（dz）ν（Z）。通过替换随机变量，可以构造（本质上）弱Euler格式Wkjandnj分别由满足E[ξkj]+E（ξkj）+E（ξkj）-= O(),E[（ηj）l]-ν（Z）= O(), l=1,2,3。对于一些c>0的人来说。尤其是，你可以ξij=p=, Pξij=-P=,Pηj=1= p、 pηj=0= 1.- p、 （4.6）其中| p-  ν（Z）|=O(). 此外，随机变量（Zj，k）可以由满足EHLγ[Φ]（x，ζ1，l..，ζ）的i.i.d.随机变量（ζj，k）代替γ,Lγ)i=EhLγ[Φ]（x，Z1，l…，Zγ,Lγ)i（4.7）andEhLγ[Φ]（x，ζ1，l…，ζγ,Lγ)五十> γ[Φ]（x，ζ1，L…，ζγ,Lγ)i==EhLγ[Φ]（x，Z1，l。

Zγ,Lγ)五十> γ[Φ]（x，Z1，L…，Zγ,Lγ)i（4.8）对于Φ（x）≡ x、 全部x∈ Rd，|γ|≤ 2与γ > 0和k=1，2，其中Z根据ν（dz）/ν（Z）分布。备注5。如果d=m=1，则|γ|=2阶函数的系数为γ > 0采用表格（0，-1） [Φ]（x，ζ1，l）=b（x）xρ（x，ζ1，l），l（1，-1） [Φ]（x，ζ1，l）=σ（x）xρ（x，ζ1，l），l(-1,0）[Φ]（x，ζ1，l）=b（x+ρ（x，ζ1，l））-a（x），L(-1,1）[Φ]（x，ζ1，l）=σ（x+ρ（x，ζ1，l））- b（x），L(-1.-1） [Φ]（x，ζ1，l，ζ1，l）=ρ（x+ρ（x，ζ1，l），ζ1，l）-ρ（x，ζ1，l）。如果ρ（x，u）=xu，a（x）=a+axα，b（x）=b+bxβ，我们得到l（0，-1） [Φ]（x，ζ1，l）=（a+axα）ζ1，l，l（1，-1） [Φ]（x，ζ1，l）=（b+bxβ）ζ1，l，l(-1,0）[Φ]（x，ζ1，l）=axα（1+ζ1，l）α-1.,L(-1,1）[Φ]（x，ζ1，l）=bxβ（1+ζ1，l）β-1.,L(-1.-1） [Φ]（x，ζ1，l，ζ1，l）=xζ1，lζ1，l。类似的结果也适用于多维情况。因此，对于一大类随机过程，包括细过程和多项式过程，条件（4.7）和（4.8）可被视为广义力矩条件。在相应的ML算法中，我们可以使用近似ηL，jfNL，jof表格：PηL，j=1= Lν（Z），PηL，j=0= 1.-Lν（Z）。然后，对于l<l的随机变量ηl，jl有一个二项分布，可以按照第4.1.4.3节“一般léVY过程”中的描述，将其视为一维平方可积léVY过程（Lt）t≥对于某些σ，公式的0 lt=bt+σbt+^t^Rz~N（ds，dz）≥ 0，其中N（ds，dz）是补偿泊松随机测量+ 强度度量为dsν（dz）的R，其中'| z |ν（dz）<∞. 为了将欧拉近似方案应用于（1.1），我们需要近似增量Lj。Asmussen和Rosinski[1]（另见[10]）建议用适当的高斯随机变量替换L中的小跳跃。

Sowe定义ζδ, j、 =Lδj+Uδ, j、 其中，Lδ是与L相同的Lévy过程，但其（补偿）跳线小于δ和Uδ, jis高斯随机变量，与忽略的跳跃具有相同的均值和方差。由此产生的Euler格式采用formX,δ=X，（4.9）X,δj= 十、,δ（j）-1)+ A.十、,δ（j）-1)ζδ, j、 j=1，n、 让我们讨论（1.2）中的第一个条件（弱收敛）。如[5]所示（另见[10]），E[f（X）,δT）]-f（XT[E）](R)  ∨δ3-α、 （4.10）如果∈ C（R）和ν{| z |>t}(R)t-α、 t→ +0.（4.11）注意每个r.v.ζδ, jc可以表示为ζδ, j=b+σ,δ·ξj+Nδ, jXi=1Zδi，j-E[Zδi，j], j=1，n、 σ在哪里,δ.= σ+\'）z|≤δzν（dz）, ξj~ N（0，1），Nδ, J~ 泊松 ν{| z |>δ}Zδ1，j，Zδ2，j。i.i.d.随机变量的分布| z |>Δν（dz）/ν{| z |>δ}.因此，通过（4.9）生成一条轨迹的成本是有序的-1+ν{| z |>δ}. 现在，让我们用两个自然数nf，nc=2·nf，两个正数δf，δc来描述ζδc之间的耦合cζδff、 设ζδcc、 j=2fb+σf、 δf·（ξ2j+ξ2j）-1） +Nδff、 2 jXi=1Zδfi，2j | Zi，2j |>δc-EhZδfi，2j | Zi，2j |>δci+Nδff、 2 j-1Xi=1Zδfi，2j-1 |子，2j-1 |>δc-EhZδfi，2j-1 |子，2j-1 |>δci, （4.12）然后ζδcc、 j-ζδff、 2 j-ζδff、 2 j-1=Nδff、 2 jXi=1Zδfi，2j | Zi，2j|≤δc-EhZδfi，2j | Zi，2j|≤δci+Nδff、 2 j-1Xi=1Zδfi，2j-1 |子，2j-1|≤δc-EhZδfi，2j-1 |子，2j-1|≤δci.因此，E[R]=0和|R|≤ 2.f^|z|≤δc | z |ν（dz）。因此，假设^| z，推论2的假设是充分的|≤δc | z |ν（dz）≤ C对于一些c>0。在（4.11）中，这相当于δc(R)1/(2-α） f.利用估计（4.10），我们推导出所得到的耦合多级方案的复杂性。提议6。如果α≤ 3.-p3在（4.11）中，则第3.2节中提出的耦合多级算法的复杂度与耦合（4.12）是有序的（“-2·日志“, α ≤ 1,\"-2.-α, 1 < α ≤ 3.-p3，前提是δl=1/(2-α） l。

对于α>3-p3我们可以使用最简单的耦合ζδcc、 j=ζδff、 2j+ζδff、 2 j-常数δl=“1/（3-α） 要得到更高的估计”-(6-α)/(3-α） 对于相应的耦合多级算法的复杂性。讨论观察到，标准MC算法的复杂度预先设定E[f（XT）]的界限高于via（“-3, α ≤ 3/2,\"-(6-α)/(3-α), 3/2 < α ≤ 2.因此，耦合MLMC方法优于标准MC算法，只要α≤ 3.-p3。在Dereich[3]中也可以观察到类似的行为（至少α）≤ 1). 我们可以使用第4.2节中介绍的方法，用一些简单的随机变量进一步替换限制的Lévy跳跃大小（Zδfi，j）。请注意，在后一种情况下，上述复杂性界限仍然有效。5数值实验在本节中，我们给出了与第4节中讨论的过程类别相对应的数值例子。MLMC算法是根据[7]实现的，由于模拟过程的特殊结构，有一些变化。回想一下，MLMCestimator的形式是：YL，N=NNXn=1f（XT（ζ（n））+LXl=1nlxn=1FXlT（ζ（n）l）- FXl码-1Tn（l）ζ,=^Y+LXl=0^yl，但对于所有考虑的问题，一般方案是相同的，可以用以下算法进行总结：输入：要求的精度ε，并设置最终水平^L.1。集合L:=22。计算Nl:=100个样本，水平l=0、1、23。估算Var（^Yl）并更新各水平的NLL=0，L:Nl:=max（Nl，&2·ε）-2·pVar（^Yl）2-l·LXk=0pVar（^Yk）·2k\'）如果更新NL在级别上增加小于1%，则转至步骤5.4。计算额外的样本数并转至步骤3.5。如果L<2或max{|710; YL-1 |/2，|^YL |}≥ ε/p2:L:=L+1，Var（^YL）=Var（^YL）-1） /2Else:ReturnPLl=0^Yl。6.如果L>^L，则显示错误：最终水平^L不足以收敛。ReturnPLl=0^Yl。7.

转到第三步。在我们所有的数值实验中，我们选择了足够大的^L，因此≥ 我一直很满意。5.1扩散过程5。1.1欧洲MAX-CALL选项考虑三维过程Xt=（Xt，Xt，Xt），t∈ [0，T]，具有独立的分量，其中每个过程用b（x）=r·x和σ（x）=σ·x求解形式为（4.1）的一维SDE，对于某些r，σ∈ R.我们感兴趣的是计算期望值off（XT）=e-r·Tmax最大值（XT，XT，XT）- K、 0.我们选择了以下参数：r=0.05，σ=0.2，T=1，K=1，Xi=1，i=1，2，3，和^L=9。事实上，在这种情况下，精确解是可用的，对于上述参数值，我们有E[f（XT）]≈ 0.2276799594. 方差衰减如图5.1所示。尤其是α线-α=0.9753的α·l表示估计的对数方差最好，这与推论2一致。相应的RMSE如图5.2所示。-6.-8.-10-12-14-16-18log2（差异）0112345679l-10.0564- 0.9753 · l正常增量名义增量图5.1：三维欧式最大看涨期权：具有二项式和正常增量的模式的水平方差。-14-12-10-8.-6.-4.-14-13-12-11-10-9-8.-7.-6.-5.-4log2（ε）log2（ε）log2（RMSE）图5.2：三维欧洲最大看涨期权：估计的RMSEA“对于不同的数值”达到所需的精度。5.1.2几何亚洲期权考虑一维过程Xt，t∈ [0，T]，其中，对于某些r，σ，每个坐标过程用b（x）=r·x和σ（x）=σ·x求解形式（4.1）的一维SDE∈ R.我们感兴趣的是计算函数lf（X·）=e的期望值-r·Tmax经验TT^log（Xt）dt- K、 0.参数值为r=0.05，σ=0.2，T=1，K=1。在这种情况下，期望值的精确值由[f（X·）]≈ 0.05546818634.方差衰减如图5.3所示。

由于在第一个水平上，方差的衰减速度比预测的要快，我们用α线在最后6个水平上对方差进行了衰减- α·l，得到α=1.0059。相应的RMSE如图5.4所示。-8.-10-12-14-16-18-20-22-24-26-28log2（差异）01143456789111121415l-12.4931- 1.0059 · l正态增量正态增量图5.3：几何亚式选项：二项式和正态增量的水平对数方差。-14-12-10-8.-6.-14-13-12-11-10-9-8.-7.-6log2（ε）log2（ε）log2（RMSE）（正常增量）log2（RMSE）（二项式增量）图5.4：几何亚洲选项：二项式和正常增量的RMSE。5.2跳跃扩散考虑跳跃SDEdXt=R-λ ·em+0.5·θ-1.· Xt·d t+σ·Xt·Wt+Xt·d J（t），其中J（t）=N（t）Xj=1（Yj-1） ，原木（Yj）~ N（m，θ）和N（t）是速率为λ的泊松过程。我们对计算（XT）=e的期望值感兴趣-r·Tmax（X（T）- K、 0）。参数值分别为r=0.05、σ=0.2、λ=0.5、m=0.05、θ=0.25、T=1、K=1。根据[9]（第3.5节）可知，对于上述参数值E[f（XT）]≈0.153065585. 我们进行了两种类型的模拟，固定顶层^L=8：oY从对数正态分布中取样，而布朗运动的增量建模为正态随机变量oY根据显著性4作为离散随机变量^Y取样。8，矩与对数正态分布的前6个矩匹配，而布朗运动的增量被建模为（4.4）定义的离散随机变量。在这两种情况下，通过ηl，j生成l级和j级的跳跃次数ηl，jat~ 毕^L-l、 二,-^L·λ. （5.1）可以看出，（5.1）可以以与（4.4）相同的精神实施。在最底层L，我们只允许两次跳跃0或1。让我们用参数m和θ表示对数正态分布的第i个矩。

随机变量^Y取4个值，概率为p，p、 数值和概率是通过求解优化问题得到的：MinimizeXk=1pk·xk-u!受试者toXk=1pk·xik=ui，i=1，6溶液isp=0.608176614910593，x=1.081500568717563p=0.003503326771883，x=2.376117006693613p=0.226782660300013，x=0.71955922208576P=0.161537398017512，x=1.581001071314797两种模拟的方差衰减如图5.5所示。We基于基于50次独立运行的弱Euler方案，估计了ML估计的RMSE，见图5.6.1 2 3 4 5 7 8-17-16-15-14-13-12-11-10-9llog2（变量a n c e）- 八点五八五六七- 0 . 9649·lN o r m al inc re m e n s，logn orm al j u m p sB i n o a m al inc re m t s，disc re t e j u m p sFigure 5.5：欧式选项：二项式增量和离散跳跃、正态增量和对数正态跳跃的水平对数方差。感谢作者感谢Mike Giles教授、Lukasz Szpruchand博士和Sonja Cox博士的有益评论和评论。作者非常感谢弗拉基米尔·希里亚耶夫在数值实验方面的帮助。6.校对7。假设（1.1）中的系数函数a是一致的Lipschitz函数，且最多具有线性增长，即ka（x）- a（x）k≤ 拉克斯- xk，ka（x）k≤ Ba（1+kxk）（6.1）对于任何x，x∈ Rd和一些正常数La和Ba。此外，假设e[kXk]<∞, 那么下面的估计呢XfnF我≤ 3Ba·（n·mf，2+n·mf，1）·exp3Ba·（n·mf，2+n·mf，1）,嗯XcnC我≤ 3Ba·（n·mf，2+n·mf，1）·exp3Ba·（n·mf，2+n·mf，1）,对于n=1，北卡罗来纳州。证据

从那时起f=X+nXi=1XfiF- Xf（i）-1)F,-14-13-12-11-10-9-8.-7.-6.-5.-4.-14-13-12-11-10-9-8.-7.-6.-5.-4log2（ε）log2（ε）N orm a l in c re m ents，logn o r m al j m p sB i N m i al inc r m e t s，dis c r e te j m p s图5.6：欧式期权：二项式增量和离散跳跃、正态增量和对数正态跳跃的RMSE。由于增量SEH的独立性XfnFi=EX+nXi=1aXf（i）-1)F·（ζfi）-E[ζfi]+nXi=1aXf（i）-1)F·E[ζfi]≤ 3e[kXk]+3nXi=1EA.Xf（i）-1)Fmf，2+3nnXi=1EhA.Xf（i）-1)F国际货币基金组织，1≤ 3E[kXk]+3Ba·mf，2·n+nXi=1EhXfi-1.我+ 3Ba·n·mf，1·n+nXi=1EhXfi-1.我使用Gronwall不等式的离散版本（见附录），我们得到XfnF我≤ 3Ba·（n·mf，2+n·mf，1）·exp3Ba·（n·mf，2+n·mf，1）.用同样的方法证明了引理的第二个不等式。6.1命题1的证明利用我们的引理7XfnF我知道，嗯XcnC对于n=1，…，i<A（6.2），nc和常数A，Anot取决于n。

我们有XFRC- Xcrc=Xf（r）-1)C- Xc（r）-1)c+a（Xf（2r-1)f）- a（Xc（r）-1)c）ζf2r++ha（Xf（r-1)c）- a（Xc（r）-1)c） iζf2r-1.- a（Xc（r）-1)c） hζcr-ζf2r-ζf2r-1表示Dr.=XfrC- Xcrc、 然后我们有了代表Dr=Dr-1+δr+带r的“r”=a（Xf（2r-1)f）- a（Xc（r）-1)c）ζf2r-Eζf2r+ha（Xf（r）-1)c）- a（Xc（r）-1)c） 我ζf2r-1.-Eζf2r-1.-a（Xc（r）-1)c） hζcr-ζf2r-ζf2r-1i和δr=a（Xf（2r-1)f）- a（Xc（r）-1)c）Eζf2r+ha（Xf（r）-1)c）- a（Xc（r）-1)c） iEζf2r-1..函数a的Lipschitz连续性a（Xf（2r-1)f）- a（Xc（r）-1)c）≤ 莱伊Xf（2r）-1)F- Xc（r）-1)C≤ 2 LaEh博士-1.i+2拉巴1+EXf（右）-1)C嗯ζf2r-1.伊恩德a（Xf（r-1)c）- a（Xc（r）-1)c）我≤ 莱伊博士-1.i、 因此“r我≤ 3Ea（Xf（2r-1)f）- a（Xc（r）-1)c）嗯ξf2ri++3Eha（Xf（r-1)c）- a（Xc（r）-1)c）耶ξf2r-1.i+3Eha（Xc（r）-1)c）耶ζcr-ζf2r-ζf2r-1.我≤ C1+EXf（右）-1)C嗯ξf2r-1.耶ξf2ri++cEh博士-1.我嗯ξf2r我+嗯ξf2r-1.我+C1+EhXc（r）-1)C我R≤ chmf，2Eh博士-1.i+mf，2+rif对于某些常数c，c，c，c和R.=Ehζcr-ζf2r+ζf2r-1.i、 类似地δr我≤ chmf，1Eh博士-1.对于某些c>0的情况，i+mf、1mf、2I。definemr=rXj=1“jand注意，mr是关于fififirationfr.=σ的鞅Xf（2 j-1)f、 Xc（j）-1)c、 Xf（j）-1)c、 j≤ R, r=1，nc+1。因此，Doob不等式对任何n≤ nc:Esupr=1，。。。，核磁共振≤ 嗯锰我≤ cmf，2nXj=1Eh流行音乐播音员-1.i+cnmf，2+CNR。所以我们有Dnmaxj=1，。。。，恩杰Dn我≤ 2·nnXj=1Ehδji+2·呃锰我≤ Cmf，2+nmf，1nXj=1Eh流行音乐播音员-1.i+cnmf，2+nmf，1mf，2+R最后，Gronwall引理的一个离散版本（见附录）暗示了Dn我≤ cnmf，2+mf，1mf，2+R经验Cnmf，2+nmf，1.6.2命题6的证明我们的目标是最小化ELXL=0Nl·（δ-αl+-1l）受试者tomin(五十、 δ3-αL）≤ “，LXl=0lNl≤ “.我们表示为=（δ-αl+-1l），l=0。

，L.根据拉格朗日原理，我们得到：-λ·N-2l·L=> Nl=AE(-λ) ·洛杉矶-1l=>LXl=0lNl=p-λ·LXl=0lAE洛杉矶-1l=”=>P-λ = \"-2·LXl=0pl·al=>Nl=AE洛杉矶-1l·”-2·LXl=0pl.成本也具有代表性LXl=0Nl·al=LXl=0al·AE洛杉矶-1l·”-2·LXk=0pk·ak=”-2·LXl=0pl·al！=\"-2·LXl=0`E1+我…我！根据我们对偏见的限制L=M-L=，δL=“3-α= 3.-我们现在考虑两种情况。1.我们设置δl=“3-α在所有水平上都是常数。然后，成本是从上面的byLXl=0Nl·（δ-αl+-1l） \"-2·\"-α3-α= \"-6.-α3-α2. 在第二种情况下，我们将设置δl=2.-αl.注意，δl=2.-αL<3.-αL，因此偏置条件已满。然后是“总成本”-2·LXl=0`E1+我…我！ \"-2·LXl=0q1+1.-α2-αl！ \"-2·LXl=0q1+2.-2·α2-αl！。把所有的案例结合起来，我们就得到了陈述。附录引理。设（yn）和（gn）为两个非负序列，设c为非负常数。如果≤ c+nXk=1gkyk，n≥ 0，Thenny≤ c expnXk=1gk！。证据我们有≤ c+X0≤k<nc-gkYk<j<n（1+gj）=c+cX0≤k<nYk≤j<n（1+gj）-Yk+1≤j<n（1+gj）= c+cY0≤j<n（1+gj）-Yn+1≤j<n（1+gj）= cY0≤j<n（1+gj）≤ c经验X0≤j<ngj.参考文献[1]瑟伦·阿斯穆森和扬·罗西恩斯基。Lévy过程小跳跃的近似，着眼于模拟。《应用概率杂志》，第482-493页，2001年。[2] 弗拉德·贝利和丹尼斯·塔莱。随机微分方程的Euler格式：Malliavin演算误差分析。《模拟中的数学与计算机》，38（1）：35–411995。[3] Steffen Dereich等人。带高斯校正的Lévydriven SDE的多级蒙特卡罗算法。《应用概率年鉴》，21（1）：283–311，2011年。[4] 吕克·德夫罗耶。非均匀随机变量生成。斯普林格·维拉格，1986年。[5] El Hadj Aly Dia等人。Lévy过程小跳跃的误差界。《应用概率的进展》，45（1）：86–1052013。[6] 尼古拉斯·福尼尔。