弱近似格式的多级路径模拟

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英文标题：
《Multilevel path simulation for weak approximation schemes》
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作者：
Denis Belomestny, Tigran Nagapetyan
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper we discuss the possibility of using multilevel Monte Carlo (MLMC) methods for weak approximation schemes. It turns out that by means of a simple coupling between consecutive time discretisation levels, one can achieve the same complexity gain as under the presence of a strong convergence. We exemplify this general idea in the case of weak Euler scheme for L\\\'evy driven stochastic differential equations, and show that, given a weak convergence of order $\\alpha\\geq 1/2,$ the complexity of the corresponding \"weak\" MLMC estimate is of order $\\varepsilon^{-2}\\log ^{2}(\\varepsilon).$ The numerical performance of the new \"weak\" MLMC method is illustrated by several numerical examples.
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中文摘要：
本文讨论了用多层蒙特卡罗（MLMC）方法求解弱近似格式的可能性。结果表明，通过连续时间离散化级别之间的简单耦合，可以获得与强收敛情况下相同的复杂性增益。我们举例说明了这一一般思想在L掼evy驱动的随机微分方程的弱Euler格式的情况下，并表明，给定$\\alpha\\geq 1/2阶的弱收敛，相应的“弱”MLMC估计的复杂度为$\\varepsilon^{-2}\\log^{2}（\\varepsilon）通过几个数值例子说明了新的“弱”MLMC方法的数值性能。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Multilevel_path_simulation_for_weak_approximation_schemes.pdf (377.04 KB)

2022-5-6 07:41:27 上传

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关键词：Quantitative Differential Applications Computation Monte Carlo

Weakaproximation方案的多级路径模拟Denis Belomestn和Tigran NagapetyanDuisburg-Essen大学、国立研究型大学高等经济学院、Weierstrass应用分析与随机研究所本文讨论了在弱近似方案中使用多级蒙特卡罗（MLMC）方法的可能性。事实证明，通过连续时间离散级别之间的简单耦合，可以获得与强收敛情况下相同的复杂性增益。在Lévy驱动的随机微分方程弱Euler格式的情况下，我们举例说明了这一总体思想，并证明了，给定α阶的弱收敛性≥ 1/2，相应的“弱”MLMC估计的复杂性是有序的-2log（“）。通过几个数值例子说明了新的“弱”MLMC方法的数值性能。1简介Giles[7]中介绍的多级路径模拟方法近年来，它作为一种降低复杂性的工具获得了巨大的普及。MLMC方法的主要优点是，它可以简单地应用于各种情况，并且几乎不需要关于路径生成过程的先验知识。任何多级蒙特卡罗（MLMC）算法都使用多个分辨率级别，l=0，1，五十、 其中L=0是最粗糙的，L=L是最粗糙的。在区间[0，T]的SDE模拟中，0级对应一个时间步= T、 而L级有2个统一的时间步L=2-LT.假设经过过滤的概率空间(Ohm, F、 给出了P（Ft）。现在考虑一个d维过程（Xt）来求解下列Lévy驱动的SDEXt=X+^ta（Xs-) Dls，（1.1），其中Xis是一个Rd值的随机变量，Lt=（Lt。

，Lmt），t≥ 0是一个多维Lévy过程，映射为a:Rd×Rm7→ Rdis Lipschitz是连续的，并且在[0，T]上最多线性增长，因此（1.1）的解定义良好。我们的目标是估计期望值E[f（XT）]，其中f是从RdT到R的Lipschitz连续函数。让XLT通过时间步长的数值离散来近似XTl（对于各种情况，本研究部分得到了德意志联邦科学院（Deutsche Forschungsgeminschaft）通过SPP 1324“从复杂系统中提取量化信息的数学方法”和预测建模中数据分析结构方法实验室（MIPT）的支持，RFgovernment grant，ag.11.G34.31.0073。离散化方法（1.1）见，例如，Platen和Bruti Liberati[16]或Jourdain和Kohatsu Higa[11]最近的评论。Giles[7]中首创的多级方法的主要思想在于，将最接近的E[f（XLT）]写成一个伸缩集[f（XLT）]=E[f（XT）]+LXl=1E[f（XLT）- f（Xl）-[1T]），然后应用蒙特卡罗来估计上述望远镜总和中的每个期望值。MLMC工作的一个重要先决条件是XlTand Xl-1以某种方式耦合，这可以通过使用基本Lévy过程的相同离散化轨迹来构造连续近似值Xl和Xl来实现-1T。耦合度通常通过方差Var[f（XlT）来测量- f（Xl）-1T）]。

Giles[7]（见alsoGiles和Xia[8]）中显示，在假设条件下E[f（XLT）]-f（XT[E）]≤ CαL，Varf（XlT）- f（Xl）-1T）≤ Cβl，（1.2）与一些α≥ 1/2，β>0，c>0和c>0，得到的多级估计的计算复杂度（以ofRMSE为单位）与toC成正比=\"-2, β > 1,\"-2log（“），β=1，”-2.-(1-β)/α, 0 < β < 1.检验假设（1.2）的标准方法是证明基本近似格式具有α阶的弱收敛性和β/2阶的强收敛性。事实上，在后一种情况下，对于任何Lipschitzf连续函数，Varf（XlT）- f（Xl）-1T）≤ cfEhXlT- XTi+cfEhXl码-1T- XT我≤ 2cfβl，根据f，某些常数cf>0。然而，近年来，所谓的弱近似方案，即通常只满足（1.2）中第一个假设的方案变得非常流行。弱Euler格式是α=1的一阶格式，许多研究人员对此进行了研究。Talay和Tubaro[19]展示了弱欧拉模式的一阶收敛性。Bally和Talay[2]使用Malliavin演算证明了Euler格式在H"ormander型条件下的收敛速度也适用于不规则函数。It-Taylor（弱Taylor）高阶格式是弱Euler格式的自然推广。在连续扩散情况下，给出了一些新的α阶离散格式（又称Kusuokatype格式）≥ 2没有Romberg外推法，Kusuoka[12]、Lyons和Victoir[13]、Ninomia和Victoir[15]以及Ninomia和Ninomia[14]引入了这种外推法。在Kohatsu Higa和Tanaka[20]中构造了一类一般的弱近似方法，包括许多著名的离散化方案。

弱近似格式的主要优点是可以使用简单的离散随机变量代替Lévy增量。不幸的是，由于缺乏强收敛性，MLMC方法不能直接用于弱近似格式。在本文中，我们试图克服这一困难，并开发了一种“弱”MLMC方法，可应用于各种弱近似方案。本文的计划如下。首先，我们回顾（1.1）的Euler格式并讨论其收敛性。接下来，我们将展示如何构造相应的MLMC算法，该算法能够将标准MC的复杂度降低到“有序”-最后，我们分析了所提出的弱MLMC算法的数值性能。2.L'EVY驱动的SDEFix的EULER格式∈ N和set = T/n.表示Lj=Lj-L（j）-1), j=1，n、 对于固定的随机向量X，（1.1）的Euler格式如下= 十、 （2.1）XJ= 十、（j）-1)+ A.十、（j）-1)Lj，j=1，n、 文献中广泛研究了方案（2.1）的收敛性。第一个收敛结果来自Talay和Tubaro[19]，他们证明了在L为布朗运动加漂移的扩散过程中，格式弱收敛于1阶。在一般Lévy过程的情况下，Protter和Talay[17]研究了（2.1）的收敛性，结果表明，在函数a和驱动Lévy过程L的某些假设下，弱收敛速度1/n可以恢复。事实上，该方案（2.1）的主要缺点是需要从没错。虽然这种精确的采样对于特定的过程是可能的（参见[17]中的一些例子），但一般来说，这是一个棘手的数值问题。

这就是为什么Jacod等人[10]建议替换这些增加用简单的随机向量ζj对原Lévy过程进行模拟，很容易实现。如[10]所示，如果Ljandζjare足够接近，则弱收敛速度1/n继续保持不变。这些关于弱收敛的结果应该与关于路径收敛或强收敛的结果进行比较。事实上，强收敛速度通常取决于Lévy过程L的特征。例如，Rubenthaler[18]研究了忽略小跳跃时的强误差。他得到了对表格的估计maxj=0，。。。，n | XJ- Xj|(R)N-1+^| z|≤εzν（dz）因为ν是L的Lévy度量，所以如果ν像z一样在零处发散，速率会变得很差-α与α接近2。最近，Fournier[6]提出了一种耦合方法，可以在一维情况下获得更好的路径收敛速度。他构造了一个近似值Xn，ε，令人满意maxj=0，。。。，n | Xn，εj- Xj|(R)N-1+nm4，ε（ν）m2，ε（ν）对于mk，ε（ν）='| z|≤ε| z | kν（dz）。通过用一个独立的布朗运动代替小于ε的L的跳跃，构造了近似Xn，ε。为了证明X和Xnε之间的Wasserstein距离的界，使用了可测量耦合。注意，由于X未知，这种耦合是不可实现的。Dereich[3]在多维环境中使用了类似的耦合思想，设计了（1.1）的多级路径模拟方法。3弱规则模式的多级路径模拟为了成功应用多级方法，需要确保（1.2）保持不变。如果方案（2.1）具有β/2阶强收敛性，即maxj=0，。。。，n | XJ- Xj|(R) β、 然后条件（1.2）保持α=β/2。然而，如果一些近似值ζj，j=1，n、 而不是真正的增量Lj，不再保证强收敛。

在这里，我们提出了一种通用的方法，如何耦合X的两个连续近似，以保证（1.2）中的第二个条件仍然保持β=1。事实上，这将导致对复杂性的估计。”-2log（“），与α有多小无关≥ 1/2.3.1耦合IDEALet us fix两个自然数nc（“粗”离散化水平）和nf（“细”离散化水平），其中nf=2·nc，并设置c=T/nc，f=T/nf。为了耦合欧拉近似烛光Xf、 我们将耦合随机矩阵ζc.=（ζc，…，ζcnc）∈ RncRmandζf.=（ζf，…，ζfnf）∈ RnfRm。我们定义了粗略水平上增量的近似ζc，其方法是差值ζcj-ζf2 j-1.-ζf2 j，j=1，北卡罗来纳州。（3.1）体积小。特别是，我们可以取ζcj=ζf2 j-1+ζf2 j.这种耦合背后的想法非常简单：在真正的Lévy增量的情况下，我们将得到fL2 j-1+ fL2 j=L2 j- L2（j）-1)= cLj。假设ζf，ζfnfare i.i.d.具有矩mf的随机向量，1=E[ζfj]和mf，2Ekζfjk. 以下观点成立。提议1。假设（1.1）中的系数函数a是一致的Lipschitz函数，并且最多具有线性增长，即ka（x）- a（x）k≤ 拉克斯- xk，ka（x）k≤ Ba（1+kxk）（3.2）对于任何x，x∈ Rd和一些正常数La和Ba。表示Rj.=ζcj-ζf2 j-1.- ζf2 jand假设Rj，j=1，nc是零平均i.i.d.随机向量。此外，假设E[kXk]<∞, 那么下面的估计就成立了maxj=0，。。。，北卡罗来纳州十、fj- 十、cj≤ Cnfmf，2+nfmf，1mf，2+nfEkRk×exphcnfmf，2+nfmf，1i（3.3）对于某些常数c>0，c>0取决于La和Ba。推论2。

如果mf，2=O(f） ，mf，1=O(f） 还有EkRk= O(f） 因为F→ 0，那么maxj=0，。。。，北卡罗来纳州十、fj- 十、cj= O(f） ,，F→ 0.讨论首先请注意，（3.3）保持的条件是公式化的，而不是原始增量(Lj），而是根据它们的近似值（ζj）。对于精确增量的情况，我们显然有mf，2=O(f） mf，1=O(f） ，提供^Rdkzkν（dz）<∞,其中，ν是L的一个Lévy度量。此外，注意在推论2的假设下，（1.2）中的第二个条件β=1成立，与相应Euler格式的强收敛阶无关。最后，让我们强调，在莱维驱动的SDE框架内，关于系数函数a的假设是完全正确和标准的。事实上，需要它们来保证（1.1）解的存在性和唯一性（参见Ikeda和Watanabe[21]）。3.2 MLMC算法修复一些L>0和l=2-l=0，L.表示ζL=ζL，1，ζL，2L∈ RLRm，其中矩阵ζ的列是Rm中的i.i.d.随机向量。现在我们递归定义独立的随机矩阵ζL-1.ζ与ζl∈RlRmviaζl-1.~ （ζl）=（（ζl），l-1（ζl）），其中每个向量j（ζl）与ζl耦合，2 j-和ζl，2 jin这样一种方式，所有的差异j（ζl）-ζl，2j-1.-ζl，2j，j=1，2l-1.他们都很小。例如，我们可以简单地把j（ζl）=ζl，2j-1+ζl，2j，j=1，2l-1.（3.4）接下来，对于任何l=1，五十、 任意一个随机矩阵ζ∈ Rl Rm，考虑近似值xl（ζ）=X，Xljl（ζ）=Xl（j）-1)l（ζ）+aXl（j）-1)l（ζ）ζjj，j=1，2l和一些r.v.X∈ Rd.最后，确定自然数N=（N，…，NL）的向量，并确定E[f（XT）]asfollowsYL的弱MLMC估计，N.=NNXn=1f（XT（ζ（n））+LXl=1nlxn=1FXlT（ζ（n）l）- FXl码-1Tn（l）ζ,式中ζ（n）l=（ζ（n）l）和ζ（n）l，n=1，Nl，是ζl.命题3的i.i.d.副本。

假设函数f是Lipschitz连续的，ζLis的分布选择如下：E[f（XLT（ζL））]-f（XT[E）]≤ CαL（3.5）对于某些c>0和α≥ 1/2. 然后，在命题1和推论2的假设下，在适当选择N和L的情况下，为达到精度（由RMSE测量）所需的估计YL，nNed的复杂性是有序的-2log（“）。备注4.矩阵ζ-lunder耦合（3.4）的分布随L的变化非常简单，可以在许多有趣的情况下明确发现（见下面的示例）一般来说，只要ζl，jis的特征函数是明确已知的，就可以用闭合形式计算每个向量ζl，jin的特征函数。使用傅里叶反演公式，我们可以计算每个ζl，j的密度。让我们也注意到，在选择最接近的ζl满足（3.5）时有很大的自由度。4示例4。1扩散过程现在考虑一个d维扩散过程（Xt），求解SDEXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt，t∈ [0，T]，（4.1），其中Wt=（W，…，Wm）是m维布朗运动，b:Rd→Rd和σ：Rd→ Rd×Rmare-Lipschitz连续函数。虽然Wiener过程的增量可以精确地模拟，但我们可以考虑以下弱Euler模式= 十、 XJ= 十、（j）-1)+ B十、（j）-1) +mXk=1σk十、（j）-1)ξkj，其中j=1，n、 i.i.d.随机变量（ξkj）满足E[ξj]+E（ξj）+E（ξj）-≤ C. （4.2）在对系数函数b和σ以及塔莱和图巴罗[19]以及巴利和塔莱[2]中阐述的输出函数f的一些额外假设下，它成立E[f（X）T） ]-f（XT[E）]≤ C对于一些c>0的人来说。构造具有（4.2）性质的r.v.ξ的最简单方法是ξij=±p=, i=1，M

（4.3）观察到ML算法中向量ξ-伦德尔耦合（3.4）分量的分布与二项式分布密切相关，即ξ-il，jpL+2L-L-1.~ 毕L-L. （4.4）因此，当二进制分布的随机变量生成器可用时，变量ξil，jis的生成是简单的。对于固定L，weakMLMC算法意味着从0到L生成L的ξL。因为所有分布的概率都是BiL-L为了我∈ {0，1，…，L}是有理数，可以使用表查找或别名方法（参见[4]）来实现快速单随机数生成。由于ξldo的分布在MLMC方法的不同运行之间不会发生变化，因此所需的所有预处理只能进行一次，结果表可以存储。在问题专用存储设备（FPGA或ASIC）中，这些表可以保存在永久共享恒定存储中，这通常是廉价、快速和丰富的。使用表查找方法，这将以存储O（2L+1）项预处理数据为代价，提供O（1）个最坏情况下的单随机变量生成时间，使用别名方法，可以以存储O（2L+1）项预处理数据为代价，获得O（1）个最坏情况下的单随机变量生成时间。请注意，生成二项式增量的整个过程只能使用整数来实现。因此，对于二项式增量，一个好的MLMC实现可能会比普通增量的MLMC实现更好。4.2跳跃-扩散过程现在考虑一个d维跳跃-扩散过程（Xt），求解SDEXt=X+^tb（Xs）ds+^tσ（Xs）dWs+^t^Zρ（Xs-, z） N（ds，dz），（4.5），其中Wt=（Wt，…，Wmt）是标准的m维Ft适应布朗运动，N（ds，dz）是R+×z上的泊松计数测度，具有完整性测度ν（dz）。