随机不可逆投资的最优边界面

我们观察到（2.12）是一种自然选择，例如，在能源市场框架中，x代表可再生能源的需求网（因此具有随机性），Z代表常规供应量。不能满足需求以及供应过剩会给能源供应商带来成本。2.假设2.3-（ii）的第二部分描述了需求增加对边际成本的负面影响。从（2.12）中可以直观地看出，z的增加将导致成本的降低（增加），而需求高于（低于）供应的程度越大，成本的降低（增加）就越显著。3.根据（2.10）、假设2.3-（iii）和假设2.4，c和CZ满足可集成性条件（a）EZ∞E-rtc（Xxt，z）dt< ∞, （x，z）∈ I×R+；不可逆投资问题的最优边界7（b）EZ∞E-rt | cz（Xxt，z）| dt< ∞, （x，z）∈ I×R+。请注意，上面的可积性（b）保证了我们将在下一节讨论的最优停止问题的值的完整性（见（3.2））。在由漂移u和波动率σ的几何布朗运动给出的基准情况下，使用高斯随机变量的拉普拉斯变换的著名公式，得出[（Xxt）β]=xβexpnβu+σ(β - 1)因此，假设2.3读数为r>β（u+σ（β- 1)) =: κ1,β.5. 值得注意的是，如果我们允许运行成本函数c依赖于三重（x，y，z），满足类似于假设2.3的（i）-（iii）和y 7的条件，本文的所有结果都成立→ cz（x，y，z）增加。然而，由于这个扩展没有明确的经济意义，并且为了简化说明，我们仅将c视为上面的假设2.3。公司经理的目标是选择内部收益率不变的投资政策*∈ V（参见（2.3））使总预期成本（2.11）最小化。

因此，通过表示状态空间O:=I×I×R+，企业经理面临着价值函数v（x，y，z）：=infν的最优不可逆投资问题∈VJx，y，z（ν），（x，y，z）∈ O.（2.13）注意，（2.10）、假设2.3和假设2.4（参见备注2.5-（3）），再加上控制变量中Zz，ν的一个有效性质，导致了以下引理2.6。（2.13）的值函数V（x，y，z）对所有（x，y，z）都是有限的∈ 哦，诸如此类→ V（x，y，z）是凸的。问题（2.13）是一个退化的、三维的、凸的单调跟随型奇异随机控制问题（参见[21]、[32]和其中的参考文献）。此外，如果c（x，·）是三次凸的，那么（2.11）的Jx，y，z（·）在V上也是严格凸的，因此如果（2.13）的解存在，它必须是唯一的。3.相关的最优停止问题族我们现在介绍并研究与单变量控制问题（2.13）相关的最优停止问题族（参见[3]等）。SetT:={τ：τ是F-停止时间}，并定义ψx，y，z（τ）：=EZτe-rtcz（Xxt，z）dt- E-rτYyτ, τ ∈ T，（x，y）∈ I×I，z∈ R+。（3.1）任意z的不可逆投资问题的最优边界∈ R+我们考虑最优停止p问题v（x，y；z）：=supτ∈Tψx，y，z（τ），（x，y）∈ 注意到v（x，y；z），z∈ R+是一类二维参数相关优化问题。在本节的其余部分和下一节中，我们将∈ 我们研究了最优停止问题（3.2）。用Q:=I×I表示其状态空间。我们介绍以下定义（参见[33，第1章，定义4.8]）3.1。一个右连续随机过程ξ：={ξt，t≥ 如果随机变量{ξτ{τ}族<∞}, τ ∈ T}是一致可积的，我们做了下面的3.2。

过程{e-rtYyt，t≥ 0}属于（D）类，因此→∞E-rtYyt=0P-a.s.备注3.3。1.过程e-如果，例如，e[supt≥0e-rtYyt]<∞, 最佳停车一般理论中的标准技术假设（参见[40，Ch.I]）。假设3.2的最后一个要求满足，例如{e-rtYyt，t≥ 0}是（Ft）上鞅，r>θ1,1（参见（2.10））。事实上，从[33，第1章，问题3.16]和Fatou\'slema one中可以看出0≤ 限制→∞E-rtYyt]≤ lim inft→∞E[E]-rtYyt]=0，因此限制→∞E-根据假设3.2，从现在起，我们将采用公约-rτYyτ{τ=∞}:= 极限→∞E-rtYyt=0，a.s.（3.3）我们也有-rτ| f（Xxτ，Yyτ）| 1{τ=∞}:= 林监督→∞E-rt | f（Xxt，Yyt）|，a.s.，（3.4）对于任何Borel可测函数f。下一个引理将在接下来的s.引理3.4中有用。在假设2.2、2.4和3.2下，它保持[e]-rτYyτ]=y+EZτe-rtu（Yyt）- 瑞伊特dt, 对于τ∈ T（3.5）证据。结果适用于有界停止时间τn:=τ∧ n、 带τ∈ T和n∈ N、 通过应用It^o公式，注意到由此产生的局部鞅项实际上是一个真正的鞅，通过假设2.2和2.4，并通过取期望值。然后让n→ ∞ 并使用假设2.2、3.2和主导收敛一个结果（3.5）。在本节的其余部分中，我们旨在刻画（3.2）的v。不可逆投资问题的最优边界命题3.5。在假设2.2、2.3、2.4和3.2下，以下假设成立：1。v是这样的-Y≤ v（x，y；z）≤ C（z）（1+| x |β+| y |），（x，y）∈ Q、 （3.6）对于常数C（z）>0，取决于z.2。v（·，y；z）对于每个y都是不递增的∈ I.3。v（x，·；z）对于每个x都是不递增的∈ 一、证据。1.取（3.2）中的τ=0表示下边界。假设2.2、2.3-（iii）、2.4、3.2和引理3.4保证了上界。2.X7→ cz（x，z）是不可逆的。

假设2.3-（ii）和（2.6）implyv（x，y；z）- v（x，y；z）≤ supτ∈TEhZτe-rtcz（Xxt，z）- cz（Xxt，z）dti≤ 0，对于x>x.3。它遵循（2.8）和第2点中的论点。提议3.6。在假设2.2、2.3、2.4和3.2下，最优停止问题（3.2）的值函数v（·；z）在Q证明下是连续的。修正z∈ R+和{（xn，yn），n∈ N} 收敛的（x，y序列）∈ Q.取ε>0，设τε：=τε（x，y；z）为ε-最优停止时间，用于具有值函数v（x，y；z）的最优停止问题。然后我们有v（x，y；z）- v（xn，yn；z）≤ ε+EZτεe-rtcz（Xxt，z）- cz（Xxnt，z）dt- E-rτε（Yyτε）- Yynτε）.（3.7）考虑到（2.7）和（2.9）、假设2.3、2.4和3.2，我们可以将支配收敛（在它的弱版本中，只需要在度量上收敛；See，例如[10，第2章，第2.8.5]）应用到上述不等式的右侧，并获取lim infn→∞v（xn，yn；z）≥ v（x，y；z）- ε. （3.8）类似地，对于具有值函数v（xn，yn；z）的最优停止问题，取ε-最优停止时间τεn:=τε（xn，yn；z），并使用引理3.4，我们得到v（xn，yn；z）- v（x，y；z）≤ ε+EZτεne-rtcz（Xxnt，z）- cz（Xxt，z）dt- E-rτεnYynτεn- Yyτεn= ε+EZτεne-rtcz（Xxnt，z）- cz（Xxt，z）dt- （伊恩）- y） +EZτεne-rtRYynt- Yyt-u（Yynt）- u（Yyt）dt(3.9)≤ ε+EZ∞E-rtcz（Xxnt，z）- cz（Xxt，z）dt+ |Y- yn |+C EZ∞E-rtYynt- Yytdt,不可逆投资问题的最优边界10对于某些C>0，我们在最后一步中使用了u的Lipschitz连续性（参见假设2.2）。现在回想一下（2.7）和（2.9），（2.10），假设2.3和2.4，我们可以在上面不等式的右边应用弱版本（参见[10，Ch.2，Th.2.8.5]）中的一个不确定收敛来获得极限→∞v（xn，yn；z）≤ v（x，y；z）+ε。（3.10）现在（3.8）和（3.10）通过ε>0的任意性暗示v（·，·；z）的连续性。备注3.7。

与上述命题3.6的证明中使用的论点类似的论点也可以用来证明（x，y，z）7→ v（x，y；z）在O中是连续的。我们现在提供v的概率表示，我们稍后将使用它来描述最优边界。为此，我们首先定义了问题（3.2）的持续区域和停止区域asCz:={（x，y）∈ Q | v（x，y；z）>-y} ，Az:={（x，y）∈ Q | v（x，y；z）=-y} 。（3.11）我们还记得，由于v（·；z）是连续的标准最佳停车理论（参见[40]），因此可以保证停车时间τ*= τ*（x，y；z）：=inf{t≥ 0 |（Xxt，Yyt）∈ Az}（3.12）对于问题（3.2）是最优的，只要是P-a.s.定义。此外，我们做出以下假设3.8。每（x，y）∈ I×I和t>0分别表示密度p（t，x，·）和密度p（t，y，·）的规律。Moreover1）（t，ζ，ξ）7→ π（t，ζ，ξ）在（0，∞) ×Ii×Ii，i=1,2；2） 对于任何紧集K I×存在q>1（可能取决于K）这样的z∞E-rtZKp（t，x，ξ）p（t，y，ζ）qdζdζqdt<+∞, 适用于所有人（x，y）∈ K.备注3.9。假设3.8在X和Y由两个独立的几何布朗运动给出的情况下明显满足。关于布朗运动驱动的SDE解的概率律的密度的存在性和光滑性的文献非常多，它主要依赖于PD Es和Malliavin演算的技术（例如，参见[26]和[39]关于该主题的经典参考文献）。一般来说，在一些非常温和的假设下（例如，见最近的论文[25]），可以保证一维扩散定律的密度存在。关于（ui，σi）i=1，2，以获得跃迁密度及其一阶导数的高斯边界的充分条件，可在[26，第1章，第2节]中找到。

11].人们也可以参考，例如[20]和其中的参考文献，以获得更近期的泛化。下一个定理的证明是通过几个步骤获得的，我们将在下面的技术小节中对此进行说明。尽管这些细节很重要，但对于理解第4节和第5节来说，它们不是必需的，可以在一读时跳过。不可逆投资问题的最优边界定理3.10。在假设2.2、2.3、2.4、3.2和3.8下，以下代表适用于每个（x，y）∈ Q:v（x，y；z）=EZ∞E-rtcz（Xxt，z）1{（Xxt，Yyt）∈Cz}- （赖特）- u（Yyt））1{（Xxt，Yyt）∈Az}dt. （3.13）赛斯（x，y；z）：=cz（x，z）1{（x，y）∈Cz}- （ry）- u（y））1{（x，y）∈所以（3.13）可以写成v（x，y；z）=EZ∞E-rtH（Xxt，Yyt；z）dt. （3.15）由于（3.6）和假设2.4，强马尔可夫性质和基于条件期望的标准参数适用于表示公式（3.15），允许验证：∈ Q、 e-rτv（Xxτ，Yyτ；z）+zτe-rsH（Xxs，Yys；z）ds=EZ∞E-rsH（Xxs，Yys；z）dsFτ, τ ∈ T，（3.16），特别是，E-rtv（Xxt，Yyt；z）+中兴-rsH（Xxs，Yys；z）ds，t≥ 0是（Ft）-鞅。（3.17）等式（3.16）也暗示E-rτv（Xxτ，Yyτ；z）≤ EZ∞E-rtH（Xxt，Yyt；z）dtFτ, τ ∈ T，（3.18），因此f家族E-rτv（Xxτ，Yyτ；z），τ∈ T是一致可积的。3.1 v的概率表示：详细度状态空间Q=I×I扩散{（Xxt，Yyt），t≥ 0}可能是无界的，它便于研究与最优停止问题相关的变分不等式，用有界区域上的一系列问题逼近问题（3.2）。

让{Qn，n∈ N} 是一个近似于Q的集合序列，我们假设Qnis为每n开、有界且连通∈ NQn∈ C2+αn某些αn>0，Qn Qn+1每n∈ N、 limn公司→∞Qn:=Sn≥0Qn=Q.（3.19）显然，总是有可能找到这样的集合序列。然后，将最优停止概率（3.2）定位如下。给定n∈ N、 确定停止时间σN=σN（x，y；z）：=inf{t≥ 0 |（Xxt，Yyt）/∈ Qn}（3.20）不可逆投资问题的最优边界12，注意σ∞= σ∞（x，y；z）：=inf{t≥ 0 |（Xxt，Yyt）/∈ Q} =∞ a、 因为我们假设XX的边界是不存在的，而YY的边界是自然的，因此是无法达到的。此外，从（3.19）中的最后一个得到σn↑ σ∞= ∞ P-a.s.，作为n→ ∞. （3.21）利用（3.20）中的σnas，我们可以确定近似最优停止p问题vn（x，y；z）：=supτ∈TEZσn∧τe-rtcz（Xxt，z）dt- E-r（σn）∧τ） Yyσn∧τ, （x，y）∈ Q、 （3.22）并证明以下命题3.11。假设2.2、2.3、2.4和3.2成立。然后1。vn（·；z）≤ vn+1（·；z）≤ 所有n的Q上的v（·；z）∈ N.2。vn（x，y；z）=-y代表（x，y）∈ Q\\Q和所有n∈ N（特别是对于每个（x，y）∈ Qn，自从Qnis开放以来）。vn（x，y；z）↑ v（x，y；z）作为n→ ∞ 每（x，y）∈ 问题4。如果{vn（·；z），n∈ N} C（Q），则vn（·；z）在所有紧子集K上一致收敛到v（·；z） 问题：证据。1.根据（3.21）得出，并将（3.22）与（3.2）进行比较。这一说法源于vn的σ和的定义（分别见（3.20）和（3.22）。固定（x，y）∈ Q用τε表示：=τε（x，y；z）ε-v（x，y；z）的最佳停止时间，然后0≤ v（x，y；z）- vn（x，y；z）≤ EZτεn∧τεe-rtcz（Xxt，z）dt-E-rτεYyτε- E-rσnYyσn{σn<τε}+ ε、 其中第一个不平等是由于上述1。

现在，随机变量序列{Zn，n∈ N} 定义为zn:=ZτεσN∧τεe-rtcz（Xxt，z）dt-E-rτεYyτε- E-rσnYyσn根据假设2.3、2.4和3.2，以及d limn，{σn<τε}是一致可积的→∞Zn=0 P-a.s.，byRemark 3.3-（2）和（3.21）。然后3是Vitali的收敛定理和ε的任意性。自v（·；z）∈ C（Q），根据上面的1和3以及Dini的Lemm a。修理∈ N和z∈ R+，并通过cnz分别定义近似最优停止问题（3.22）的连续区域和停止区域：{（x，y）∈ Q | vn（x，y；z）>-y} ，Anz:={（x，y）∈ Q | vn（x，y；z）=-y} 。（3.23）不可逆投资问题的最优边界13用L表示与二维微分{（Xt，Yt），t有关的二阶椭圆微分算子≥ 0}. 既然X和Y是独立的，那么L:=LX+LY，其中（LXf）（X，Y）：=（σ）（X）xf（x，y）+u（x）xf（x，y），（LYf）（x，y）：=（σ）（y）yf（x，y）+u（y）yf（x，y），代表f∈ Cb（Q）。根据标准参数，我们可以将函数vn（·，·；z）|Qnof（3.22）与变分不等式（在z中参数化）maxn正式关联起来L- Ru（x，y；z）+cz（x，z），-u（x，y；z）- yo=0，（x，y）∈ Qn，（3.24）带边界条件u（x，y；z）=-y、 （x，y）∈ Qn。（3.25）下一个结果为标准结果，为完整起见，附录中给出了其证明。提案3.12。在假设2.2、2.3、2.4和3.2下，每n∈ N和z∈ R+vn（·；z）∈ W2，p（Qn）表示所有1≤ p<∞, 在qn中用边界条件（3.25）唯一地解出（3.24）a.e。此外，停止时间τ*n（x，y；z）：=infT≥ 0 |（Xxt，Yyt）/∈ Cnz, （3.26）对于（3.23）中的Cnzas，对于问题（3.22）是最优的。备注3.13。请注意，由著名的Sobolev’s inc.lu si ons（例如参见[12，第9章，Cor.9.15]），空间W2，p（Qn）与p∈ (2, ∞) 可以连续嵌入C（Qn）。

因此，对于W2，p（Qn），p类函数，边界条件（3.25）是适定的∈ (2, ∞). 在下文中，我们将始终提到W2，p（Qn）元素的独特代表性。提案3.14。每（x，y）∈ Q以下表示形式保持svn（x，y；z）=EZσne-rtcz（Xxt，z）1{（Xxt，Yyt）∈Cnz}-（赖特）- u（Yyt））1{（Xxt，Yyt）∈澳新银行}dt- E-rσnYyσn.（3.27）证据。自vn（·；z）∈ W2，p（Qn）和解（3.24）–（3.25）（参见命题3.12），一个推广的It^o公式给出（另见附录中的（a-3）和（a-6）vn（x，y；z）=E-E-rσnYyσn-Zσne-rt（L）- r） vn（Xxt，Yyt；z）dt. （3.28）它来自于第3.12条命题（L- r） vn（x，y；z）=cz（x，z）1{（x，y）∈Cnz}- （ry）- u（y））1{（x，y）∈Anz}，代表a.e.（x，y）∈ Qn，（3.29）该索赔中有一个小的技术问题，我们在附录a.2引理a.1中为感兴趣的读者解释了这个问题。一个不可逆投资问题的最优边界14，我们通过使用（3.28）和（3.29）中的假设3.8得到了索赔。我们观察到，自从vn≤ v和{vn，n∈ N} 是一个递增序列 Cn+1z 澳新银行 A+1z 阿兹，N∈ N.（3.30）另一方面，逐点收敛vn↑ v（参见命题3.11）意味着如果（x，y）∈ Cz，然后是v（x，y）+y≥ ε对于某些ε>0和vn（x，y）+y≥ ε/2表示所有n≥ 与非匹配∈ 因此我们有了Limn→∞Cnz:=[n≥0Cnz=Cz，limn→∞澳新银行：=\\n≥0Anz=Az。（3.31）我们现在可以证明定理3.10。定理3.10的证明。我们研究（3.27）的极限为n↑ ∞. 注意：1。（3.27）的左边side e通过命题3.11-（3）以点方式收敛到v（x，y；z）；2.{e-rσnYyσn，n∈ N} 是一类一致可积且收敛的随机变量。s、 由于（3.21）以及假设2.4和3.2（另请参见备注3.3-（2））中的讨论）。因此limn→∞E[E]-根据Vitali的收敛定理，rσnYyσn]=0；3.

从（3.30）开始EZσne-rtcz（Xxt，z）1{（Xxt，Yyt）∈Cn}dt-Z∞E-rtcz（Xxt，z）1{（Xxt，Yyt）∈C} dt(3.32)≤ EZ∞E-rt | cz（Xxt，z）| 1{（Xxt，Yyt）∈C\\Cn}dt+ EZ∞σne-rt | cz（Xxt，z）| 1{（Xxt，Yyt）∈C} dt.（3.32）右侧的第一项收敛为零，为n→ ∞ 根据支配收敛和（3.31）（参考假设2.3-（iii）、2.4和备注2.5-（3））。同样，支配收敛和（3.21）givelimn→∞EZ∞σne-rt | cz（Xxt，z）| 1{（Xxt，Yyt）∈C} dt= 0.4. 由（3.31）可知，对于a.e.（t，ω）∈ R+×Ohm画→∞[0，σn]（t）e-rthrYyt- u（Yyt）i{（Xxt，Yyt）∈Anz}=e-rthrYyt- u（Yyt）i{（Xxt，Yyt）∈Az}。此外，由于u的Lipschitz连续性（参见假设2.2），E-rthrYyt- u（Yyt）i{（Xxt，Yyt）∈澳新银行}≤ E-rt瑞伊特- u（Yyt）≤ E-rtC（1+Yyt），对于某些C>0取决于y和r。上述不等式的最后一个表达式可积于r+×Ohm 根据（2.10）和假设2.4。因此主导了收敛和（3.21）yieldlimn→∞EZσne-rthrYyt- u（Yyt）i{（Xxt，Yyt）∈澳新银行= EZ∞E-rthrYyt- u（Yyt）i{（Xxt，Yyt）∈Az}dt.现在拿n→ ∞ 在（3.27）中，使用1-4 above，（3.13）如下。不可逆投资问题的最优边界154最优边界的表征在本节中，我们将提供最优停止问题族（3.2）的最优边界的表征。为此，我们提供资金*（x；z）：=inf{y∈ I | v（x，y；z）>-y} ，（x，z）∈ I×R+，（4.1）与约定inf =y、 请注意，根据这个约定*（·；z）取I中的值。我们将在适当的条件下显示y*（·；z）将I×iI拆分为CZ和Az（参见（3.11））。此外，我们将描述y*（·；z）作为Fredholm型非线性积分方程的唯一连续解。备注4.1。获得最佳停止边界积分方程的一种常见方法是使用所谓的局部时空公式（参见[41]）。