随机不可逆投资的最优边界面

在我们的例子中，这需要证明这个过程{y*（Xxt；z），t≥ 0}是每个给定z的半鞅∈ R+（见[41，Th.2.1]）。证明后者是极其具有挑战性的。我们得到了相同的积分方程，但采用了基于上一节结果的不同方法。在本节中，假设2.2、2.3、2.4、3.2和3.8将是持续假设，我们不会在下一个结果声明中重复这些假设。我们现在做出以下假设4.2。地图y 7→ 雷- u（y）在增加。提案4.3。在假设4.2下，有（参见（3.11））Cz={（x，y）∈ Q | y>y*（x；z）}，Az={（x，y）∈ Q | y≤ Y*（x；z）}。（4.2）证据。必须在y 7上显示→ v（x，y；z）+y对于每个x都是不变的∈ 一、 z∈ R+。集合u:=v+y，取y和yin=y>y，集合τ：=inf{t≥ 0 |（Xxt，Yyt）/∈ Cz}，这对v（x，y；z）是最佳的。从引理3.4，即著名的v和（2.8）的ic特征上的超臂，我们得到了u（x，y；z）- \'u（x，y；z）≥ EE-rτ\'u（Xxτ，Yyτ；z）- \'u（Xxτ，Yyτ；z）+ EZτe-rtRYyt- Yyt-u（Yyt）- u（Yyt）dt(4.3)≥ EE-rτ\'u（Xxτ，Yyτ；z）- \'u（Xxτ，Yyτ；z）,其中，最后一个不等式后面是（2.8）和假设4.2。注意，（4.3）中的最后一个表达式由于假设3.2和（3.18）而得到了很好的定义。此外，由于≥ 0它保持不变E-rτ\'u（Xxτ，Yyτ；z）- \'u（Xxτ，Yyτ；z）≥ - EE-rτu（Xxτ，Yyτ，z）. （4.4）假设2.4，命题3.5-（1）和sin ce 1{τ≤n} e-rτu（Xxτ，Yyτ；z）=0 P-a.s.，Fatou\'sLemma给定E-rτu（Xxτ，Yyτ；z）= E林恩芬→∞E-r（τ）∧n） \'u（Xxτ）∧n、 Yyτ∧Nz）≤ 林恩芬→∞EE-rn＠u（Xxn，Yyn；z）1{τ>n}= 0（4.5）不可逆投资问题的最优边界16现在（4.3）、（4.4）和（4.5）意味着Y7→ u（x，y；z）在增加，因此（4.2）保持不变。注意，（3.13）和（4.2）implyv（x，y；z）=EZ∞E-rtcz（Xxt，z）1{Yyt>y*（Xxt；z）}- （赖特）- u（Yyt））1{Yyt≤Y*（Xxt；z）}dt.

（4.6）在假设3.8下，（4.6）也可以用严格的分析方法表示为v（x，y；z）=z∞E-rtZxxp（t，x，ξ）cz（ξ，z）败走恶犬*（ξ；z）p（t，y，η）dηdξdt（4.7）-Z∞E-rtZxxp（t，x，ξ）Zy*（ξ；z）y（rη）- u（η））p（t，y，η）dηdξdt，对于任何（x，y，z）∈ O.提案4.4。根据假设4.2，一个有1。函数y*（·；z）对任何z都是不减损且右连续的∈ R+；2.函数y*（x；·）对于任何x都是非递增且左连续的∈ 我证据权利要求1和2随后对[31，第2.2项]的证明中的论点进行了改编，并使用了我们的命题3.5-（2）-（3）和命题3.6。从命题4.3和命题4.4-（1）中可以看出，CZ和Azare两个区域相互连接∈ R+，以及最佳停止时间τ*（3.12）中定义的（x，y；z）可以写成τ*（x，y；z）=infT≥ 0 | Yyt≤ Y*（Xxt；z）. （4.8）由于表达式（4.6）或（4.7），在以下进一步假设下，我们可以证明函数的C-正则性v.假设4.5。函数p（t，·，ξ）和p（t，·，η）对于每一个（t，ξ）都是不同的∈(0, ∞) ×i各（t，η）∈ (0, ∞) 分别为×I。此外，用p′i表示π对第二个变量的部分导数，它保持1）x 7→ p′（t，x，ξ）在Ifor all（t，ξ）中是连续的∈ (0, ∞ ) x i，对于任何（x，y，z）∈ O、 存在δ>0使得supζ∈[x]-δ、 x+δ]p′（t，ζ，ξ）≤ ψ（t，ξ；δ）对于某些ψ∞E-rtZQψ（t，ξ；δ）p（t，y，η）cz（ξ，z）+ηdξdηdt<+∞ （4.9）2）y 7→ p′（t，y，η）在Ifor all（t，η）中是连续的∈ (0, ∞) x i，对于任何（x，y，z）∈ O、 存在δ>0使得supζ∈[y]-δ、 y+δ]p′（t，ζ，η）≤ ψ（t，η；δ）对于某些ψ∞E-rtZQψ（t，η；δ）p（t，x，ξ）cz（ξ，z）+ηdξdηdt<+∞ （4.10）不可逆投资问题的最优边界命题4.6。在假设4.2和4.5下，有v（·；z）∈ C（Q）对于每个z∈ R+。证据

接下来是（4.7）、假设4.5和标准主导的收敛性论证。上述命题4.6特别说明了跨越自由边界的所谓平滑条件，即vx（·；z）和vy（·；z）在阿兹。目的是描述y的边界*（·；z）作为（参数）积分方程的唯一连续解，我们做了以下附加假设4.7。漂移系数u在陆地上持续存在差异uy<r。此外，u，σ∈ C1+δ（I），对于某些δ>0。提案4.8。在假设4.2、4.5和4.7下，函数y*（·；z）：我→连续的。证据我们知道函数y*（·；z）是不减损的，并且是命题4.4-（1）的右连续。因此，必须表明它也是连续的。借用[17]中的论点，我们通过矛盾来论证，我们假设存在x∈ Isuch thaty*（十）-; z） ：=limx↑xy*（x；z）<y*（x；z）。然后，也存在y∈ iε>0，因此∑z:=（x- ε、 x）×（y）- ε、 y+ε） Cz，{x}×（y）- ε、 y+ε） 阿兹。请注意，根据自由边界问题和最优停止的标准参数（参见第131页[40，第3章，第7节]的讨论，以及偏微分方程结果[28，第6章，第3节，第6.13节]），可以得出v（·z）∈ C（Cz）和σ（x）vxx（x，y；z）=-u（x）vx（x，y；z）- (利)- r） v（x，y；z）- cz（x，z），（x，y）∈ Cz。（4.11）另一方面，由于μ，σ∈ C1+δ（I），一致椭圆偏微分方程的正则性结果（参见[28，第6章，第6.17]等），意味着一个人实际上有vy（·；z）∈C2+δ（Cz）。

因此，我们可以根据y对（4.11）进行区分，以确定σ（x）（vy）xx（x，y；z）=-u（x）（vy）x（x，y；z）- （R）- r） vy（x，y；z），（x，y）∈ Cz，（4.12）式中（Rf）（x，y）：=σ（y）fy（x，y）+hσy（y）+u（y）ify（x，y）+uy（y）f（x，y），f∈ Cb（Q）。现在就拿y，y∈ （y）- ε、 y+ε，y<yand，setFφ（x；y，y，z）：=-zyvxx（x，y；z）φ′（y）dy，x∈ （十）- ε、 x），（4.13），其中φ是实值，任意选择φ∈ C∞c（y，y），φ≥ 0，Zyyφ（y）dy>0。不可逆投资问题的最优边界18从现在起，我们将用Fφ（x）代替Fφ（x；y，y，z）来简化表示法。将（4.12）的两个边乘以2φ（y）/σ（x），并对y进行部分积分∈ （y，y）；它遵循fφ（x）=-Zyyσ（x）hu（x）vxy（x，y；z）+（R- r） vy（x，y；z）iφ（y）dy（4.14）=u（x）σ（x）zyvx（x，y；z）φ′（y）dy+σ（x）zyvv（x，y；z）y（R）- r）*φ（y）dy，每x∈ （十）- ε、 x），带（R）- r）*表示（R）的伴随- r） 。现在，重新定位4.6以及CZ和氮酮的定义也已被证实v（x，y；z）=-YY∈ [y，y]，vx（x，y；z）=0，Y∈ [y，y]，vy（x，y；z）=-1.Y∈ [y，y]。（4.15）因此，以（4.14）中的限制为例，得到一个slimx↑xFφ（x）=-σ（x）zyyy（R）- r）*φ（y）dy=σ（x）Zyy[（R- r） 1]φ（y）dy=σ（x）Zyyyu（y）- Rφ（y）dy<0，（4.16），其中最后一个不等式来自假设4.7。因为Fφ在（x）中是连续的-ε、 x），我们从（4.16）中看到，在x的左邻域中，它必须是Fφ<0，在没有任何一般性损失的情况下，我们假设Fφ<0 in（x）- ε、 x）。通过计算（4.13），我们得到了每个δ∈ （0，ε）0>Zxx-δFφ（x）dx=-Zxx-δZyyvxx（x，y；z）φ′（y）dy dx=-Zyy[vx（x，y；z）- vx（x- δ、 y；z） ]φ′（y）dy=Zyyvx（x）- δ、 y；z） φ′（y）dy=-zyvxy（x- δ、 y；z） φ（y）dy，by（4.15）和Fubini-Tonelli定理。这意味着vxy（·；z）>0 in∑zbyφ和δ的任意数，因此函数x7→ vy（x，y；z）在（x）中严格增加- ε、 对任何人来说∈ [y，y]。然后从（4.15）vy（·z）的最后一个开始-1英寸∑z Cz。

（4.17）另一方面，vy（·；z）根据边界条件vy（·；z）=-1月1日Czby提案4.6。因此，它承认标准的费曼-卡茨表示法（参见[33，第5章，第7.B节]）vy（x，y；z）=Eh- eRτCzyu（~Yyt）-R不可逆投资问题的dti，（4.18）最优边界，其中τCz:=inf{t≥ 0 |（Xxt，Yyt）/∈ Cz}，并带有yydYyt=hσy（~Yyt）+u（~Yyt）idt+σ（~Yyt）dWt，t>0，~Yy=y。自r>u假设4.7，（4.18）意味着vy（·；z）>-1在Cz中，反驳（4.17）并总结证据。为了找到y的上界*（·；z），我们现在表示f（x，y；z）：=cz（x，z）- u（y）+ry（x，y）∈Q、 （4.19）和定义θ（x；z）：=inf{y∈ I | F（x，y；z）>0}∈一、 x∈ 一、 （4.20）与公约 =y、 值得一提的是，（3.1）和基于Q的小子集的onexit次的标准参数给出了以下inclusionAz L-z:=（x，y）∈ Q | cz（x，z）≤ u（y）- 雷. （4.21）那么，根据命题4.3和命题4.21，我们已经*（·；z）≤ θ（·；z）。（4.22）引理4.9。在假设4.2和4.7下，函数θ（·；z）是非减量连续的。此外，如果θ（x；z）∈ Ithenθ（x；z）是I中方程F（x，·；z）=0的唯一解（x，y）∈ Q | cz（x，z）- u（y）+ry<0= {（x，y）∈ Q | y<θ（x；z）}。（4.23）证据。从X7开始→ F（x，y；z）是非递增的（参见假设2.3-（ii））和y7→ 根据假设4.7和（x，y）7，F（x，y；z）处于下降状态→ F（x，y；z）不难看出θ（·；z）是不减损的，并且是右连续的。θ（·；z）的定义和F的连续性保证如果θ（x；z）∈ 伊森（x；z）解出I中的F（x，·；z）=0。假设4.7则意味着θ（x；z）实际上是这类方程的唯一解。现在让我们证明θ（·；z）是连续的。以θ（x；z）>为例，假设θ（x）-; z） <θ（x；z）。

取一个序列{xn，n∈ N} 正在增加，这样xn↑ x、 一个有F（xn，θ（xn；z）；z）≥ 0代表所有n∈ N，因此在极限中，我们得到F（x，θ（x-; z） )；z）≥0≥ F（x，θ（x；z）；z） 这意味着θ（x-; z）≥ θ（x；z）自y 7以来→ F（x，y；z）在增加。显然（4.23）遵循了之前的属性。现在考虑一下有趣的类smz:={f:I→一、 不可逆投资问题的最优边界为θ（·；z）}，且定义为：={x∈ I | f（x）∈ 一} ，f∈ Mz。很明显，Mzis是非空的，如θ（·；z）∈ Mzby引理4.9。此外，由于f的单调性，dfi是f的一个开子区间（可能为空）∈ Mz，也就是Df=（xf，xf），其中我们设置xf:=inf{x∈ I | f（x）>y}，xf:=sup{x∈ I | f（x）<y}，（4.24）与约定inf =x、 小吃 = x、 还要注意，通过f的单调性∈ Mzwe havef≡ （x，xf）上的y（如果后者是非空的）和类似的f≡y在（xf，x）上（如果后者是非空的）。给出了一个有趣的动作^y（·；z）∈ Mz，我们设定h（x，y；z）：=cz（x，z）1{y>^y（x；z）}-雷- u（y）{y≤^y（x；z）}（4.25）和defi new（x，y；z）：=EZ∞E-rtbH（Xxt，Yyt；z）dt. （4.26）注意w（x，y；z）≤ C（z）1+| x |β+| y|, 对于（x，y）∈ Q、 （4.27）由Assum ptions 2.2、2.3、2.4（参见第（3.6）节）提供。此外，我们可以证实这一点E-rtw（Xxt，Yyt；z）+中兴通讯-rsbH（Xxs，Yys；z）ds，t≥ 0是一个（Ft）-鞅（4.28）和家族E-rτw（Xxτ，Yyτ；z），τ∈ T是一致可积的。为了简化符号，从现在开始，我们设置^x:=x^y（·；z），^x:=x^y（·；z），^Dz:=D^y（·；z），（4.29）和x*:=xy*（·；z），x*:= xy*（·；z），D*z： =Dy*（·；z）。（4.30）我们现在可以陈述本节的主要结果。我们使用[40，第25节]引用的论点和其中的参考文献。定理4.10。Le t假设4.2、4.5和4.7成立。假设Cz6= Az6=.

西尼*（·；z）是u形函数y（·；z）∈ MZ和Dy（·；z）6= 这样每x∈ Dy（·；z）它能保持-y（x；z）=z∞E-rtZxxp（t，x，ξ）cz（ξ，z）Zyy（ξ；z）p（t，y（x；z），η）dηdξdt（4.31）-Z∞E-rtZxxp（t，x，ξ）Zy（ξ；z）y（rη）- u（η））p（t，y（x；z），η）dηdξdt。不可逆投资问题的最优边界。存在首先，我们观察到*（·；z）∈ Mzby命题4.4、4.8和（4.22）。事实上*（·；z）为每个x解（4.31）∈ D*Z通过在边界点（x，y）处计算（4.6）的两侧*（x；z））∈ Az，它产生- Y*（x；z）=z∞E-rtEhcz（Xxt，z）1{Yy*（x；z）t>y*（Xxt；z）}idt（4.32）-Z∞E-阿尔泰（莱伊）*（x；z）t- u（Yy）*（x；z）t）1{Yy*（x；z）t≤Y*（Xxt；z）}idt。从（4.32）和假设3.8中，我们可以看到y*（·；z）解（4.31）。独一无二。召回（4.29）和（4.30）。让^y（·；z）∈ Mzbe使得^Dz6= 求解^Dz上的（4.31）。我们需要证明^y（·；z）≡ Y*（·；z）。第一步。这里我们展示了^y（·；z）≥ Y*（·；z）。我们区分两种情况：当*Z∩^Dz6=当D*Z∩^Dz=. 注意，在一般情况下*Z∩^Dz=（x）*∨ ˇx，x*∧ ^x）。案例D*Z∩^Dz6=. 首先，我们证明了^y（·；z）≥ Y*D上的（·；z）*Z∩^dz稍后我们将证明I \\（D*Z∩^Dz）。自相矛盾地假设^y（x；z）<y*（x；z）对于某些x∈ D*Z∩^Dz，取y<^y（x；z）并设置σ=σ（x，y，z）：=infT≥ 0 | Yyt≥ Y*（Xxt；z）. 然后，从（3.17）和（4.28）开始，它遵循（直到引理A.2中常见的本地化参数）E-rσv（Xxσ，Yyσ；z）= v（x，y；z）+EZσe-rt瑞伊特- u（Yyt）dt, （4.33）EE-rσw（Xxσ，Yyσ；z）= w（x，y；z）- EZσe-rt^H（Xxt，Yyt；z）dt. （4.34）附录A中的引理A.2确保≥ 每一个地方和那个w（x，y；z）=v（x，y；z）=-y、 因为y<^y（x；c）<y*（x；z）（参见（A-12））。然后，从（4.33）中减去（4.34），我们得到0≤ EZσe-rth瑞伊特- u（Yyt）+^H（Xxt，Yyt；z）idt= EZσe-rtcz（Xxt，z）-u（Yyt）- 瑞伊特{^y（Xxt；z）<Yyt<y*（Xxt；z）}dt.

（4.35）注意（Xx，Yy）轨迹的连续性和y的连续性*（·；z）给出σ>0P-a.s。此外，根据y的连续性*（·；z）和^y（·；z）一个人得到了那套（x，y）∈Q|^y（x；z）<y<y*（x；z）是开放的，不是空的。这些事实，再加上*（·；z）≤ θ（·；z）和with（4.23），意味着（4.35）中的最后一个表达式必须是严格负的，我们得出了一个矛盾。因此^y（x；z）≥ Y*（x；z），对于所有x∈ D*Z∩^Dz=（ˇx）∨ 十、*, ^x∧ 十、*). （4.36）现在我们证明^y（·；z）≥ Y*（·；z）在I \\（D）上*Z∩^Dz），如果（D）*Z∩^Dz）6=. 由（4.36）和^y（·；z）和y的连续性*（·；z），我们推断不等式（4.36）也适用于区间的端点，即^y（x）*∨ ˇx；z）≥ Y*（十）*∨ ˇx；z） 和^y（x）*∧ ^x；z）≥ Y*（十）*∧ ^x；z） 。（4.37）它源自^x的定义和^y（·z）th在y=^y（^x；z）处的连续性。所以，如果我们用矛盾来争论，假设Gx>x*, 然后通过x的定义*我们会很紧张*（ˇx；z）>y。不可逆投资问题的后一个最优边界22（4.37）中的第一个不等式意味着y=^y（ˇx；z）≥ Y*（ˇx；z）>y，因此存在矛盾。因此，我们得出结论：≤ 十、*.通过应用于（4.37）中第二个不等式的阿洛古论证，我们也得到了x*≥ ^x因此*Z∩^Dz=（ˇx）∨ 十、*, ^x∧ 十、*) = （十）*, ^x）。通过^y（·；z）和y的单调性和连续性*（·；z），并通过定义^x和x*我们有*（x；z）=y代表x≤ 十、*^y（x；z）=y代表x≥ ^x.另一方面y*（x；z）≤ y和^y（x；z）≥ x代表所有y∈ 因此i^y（·；z）≥ Y*（·；z）在I \\（D）上*Z∩^Dz）如所述。案例D*Z∩^Dz=. 通过单调性*（·；z）和^y（·；z），其中一个有^x≤ 十、*或者x≥ 十、*.如果^x≤ 十、*, 然后^y（·；z）≥ Y*（·；z）在I上；如果ˇx≥ 十、*, 我们可以使用与上述相同的参数来确定^x=x，这与^Dz6=.第二步。这里我们展示了^y（·；z）≤ Y*（·；z）。

自相矛盾地假设存在∈ 是不是^y（x；z）>y*（x；z）。拿y来说∈ （y）*（x；z），^y（x；z））并考虑停止时间τ*= τ*（x，y；z）：=inf{t≥ 0 | Yyt≤ Y*（Xxt；z）}。这是问题（3.2）的第一个最佳停止时间，因为它是停止区域Az的第一个进入时间（参见（3.12）和（4.2））。如上文脚背1，（3.17）和（4.28）所示-rτ*v（Xxτ）*, Yyτ*; z） i=v（x，y；z）- E“Zτ*E-rtcz（Xxt，z）dt#，（4.38）Ehe-rτ*w（Xxτ）*, Yyτ*; z） i=w（x，y；z）- E“Zτ*E-rtbH（Xxt，Yyt；z）dt#。（4.39）通过使用（3.18）和标准本地化参数，我们获得了EE-rτ*v（Xxτ）*, Yyτ*; z）=-EE-rτ*Yyτ*. 另一方面，我们从上面的第1步知道^y（·；z）≥ Y*（·；z），hen ceEE-rτ*w（Xxτ）*, Yyτ*; z）= - EE-rτ*Yyτ*根据（A-10），（A-12），y是一个自然边界点的事实，以及引理A.2的证明中的本地化参数。还考虑到≥ w（参考引理A.2）并从（4.38）中减去（4.39），我们得到0≥ E“Zτ*E-rtbH（Xxt，Yyt；z）- cz（Xxt，z）dt#=-E“Zτ*E-rt（cz（Xxt，z）+（rYyt）- u（Yyt）））1{y*（Xxt；z）<Yyt<y（Xxt；z）}dt#。（4.40）现在τ*> 0 P-a.s.通过（Xx，Yy）和y轨迹的连续性*（·；z）。此外，布景（x，y）∈ Q | y*（x；z）<y<^y（x；z）通过y的连续性，在Q中是开放的，而不是空的*（·；z）和^y（·；z）。假设y（·；z）≤ θ（·；z），这些事实加上（4.23）意味着（4.40）中的最后一项必须是严格肯定的，从而导致矛盾。因此，^y（·；z）≤ Y*（·；z）。不可逆投资问题的最优边界注4.11。以规范的Fredholm形式表述（4.31）很有趣，因为关于这类非线性积分方程的数值方法存在大量文献。

你可以将（4.31）改写为-y（x；z）=z∞E-rtZxxp（t，x，ξ）cz（ξ，z）dξdt（4.41）-Z∞E-rtZxxp（t，x，ξ）Zy（ξ；z）y（cz（ξ，z）+rη- u（η））p（t，y（x；z），η）dηdξdt。然后，定义k（x，ξ，α，β，z）：=z∞E-rtp（t，x，ξ）Zβy（cz（ξ，Z）+rη- u（η））p（t，α，η）dηdt，f（x；z）：=z∞E-rtZxxp（t，x，ξ）cz（ξ，z）dξ应用富比尼定理，我们发现（4.31）的形式为- y（x；z）=f（x；z）-ZxxK（x，ξ，y（x；z），y（ξ；z），z）dξ。（4.42）后者是第二类非线性Fredholm积分方程，如果I=（x，x）是无界的（参见[19]或[30]），则可能是奇异的。[1]中对这类INDK方程的数值方法进行了概述（另见经典教科书，如[2]和[19]）。这些方法可用于求解我们的方程（4.42）。然而，由于它们肯定是不平凡的，我们相信这种数值计算不属于我们的工作范围。关于假设Cz6= Az6= 在定理4.10中，我们提供了以下特征。提案4.12。1.当且仅当setL+z：=（x，y）∈ Q | cz（x，z）- u（y）+ry>0（4.43）不是空的。2.当且仅当iflimx时，停止集Azis不为空↑xEZ∞E-rtcz（Xxt，z）dt< - y、 （4.44）证据。对于第一次索赔，请注意L+z Cz（参见第（4.21）节），因此L+z6= => Cz6=. 为了验证相反的含义，必须观察到，通过使用（3.5）到（3.1），如果L+z= 那么，任何停止规则都会产生小于或等于立即停止规则的收益，因此Cz=.对于第二项索赔，我们观察到AZ= <==> Cz=Q<==> τ*= + ∞ P- a、 美国。（x，y）∈ Q<==> v（x，y；z）>-Y（x，y）∈ Q.一个不可逆投资问题的最优边界，因此，Az= 当且仅当ifv（x，y；z）=EZ∞E-rtcz（Xxt，z）dt> - Y（x，y）∈ Q.（4.45）那么，（4.44）意味着Az6=.