随机不可逆投资的最优边界面

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英文标题：
《Optimal Boundary Surface for Irreversible Investment with Stochastic
  Costs》
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作者：
Tiziano De Angelis, Salvatore Federico and Giorgio Ferrari
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper examines a Markovian model for the optimal irreversible investment problem of a firm aiming at minimizing total expected costs of production. We model market uncertainty and the cost of investment per unit of production capacity as two independent one-dimensional regular diffusions, and we consider a general convex running cost function. The optimization problem is set as a three-dimensional degenerate singular stochastic control problem.   We provide the optimal control as the solution of a Skorohod reflection problem at a suitable boundary surface. Such boundary arises from the analysis of a family of two-dimensional parameter-dependent optimal stopping problems and it is characterized in terms of the family of unique continuous solutions to parameter-dependent nonlinear integral equations of Fredholm type.
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中文摘要：
本文研究了以生产总预期成本最小化为目标的企业最优不可逆投资问题的马尔可夫模型。我们将市场不确定性和单位生产能力的投资成本建模为两个独立的一维正则扩散，并考虑一个一般的凸运行成本函数。该优化问题是一个三维退化奇异随机控制问题。我们将最优控制作为Skorohod反射问题在合适的边界曲面上的解。这种边界源于对一类二维参数相关最优停止问题的分析，其特征是参数相关的Fredholm型非线性积分方程的唯一连续解族。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：不可逆 Optimization Mathematical IRREVERSIBLE Applications

随机费用不可逆投资的最优边界面*Tiziano De Angelis+Salvatore FedericoGiorgio Ferrari§2018年9月5日摘要。本文研究了一个马尔可夫模型，该模型用于解决企业以最小化总预期生产成本为目标的最优不可逆投资问题。我们将市场不确定性和单位生产能力的投资成本建模为两个独立的一维正则微分，并考虑一般的凸规划成本函数。该优化问题是一个三维退化奇异随机控制问题。我们将最优控制作为合适边界表面处的反射扩散的解决方案。这种边界源于对一类二维参数相关的最优停止问题的分析，其特征是参数相关的Fredholm型非线性积分方程的唯一连续解族。关键词：不可逆投资，奇异随机控制，最优停止，自由边界问题，非线性积分方程。MSC2010:93E20、60G40、35R35、91B70。JEL分类：C02、C73、E22、D92。1引言本文研究了企业最优不可逆投资问题的马尔可夫模型。当运行成本函数取决于不确定的经济状况以及已安装的产品时，该公司旨在将生产的总预期成本降至最低*第一作者获得EPSRC资助EP/K00557X/1；德国研究基金会（DFG）通过grant Ri–1128–4–2提供的资金支持得到了第三位作者的衷心感谢。这项工作是在第二作者访问比勒菲尔德大学数学经济学中心（IMW）期间开始的，感谢德国学术交流服务局（DAAD）的资助。

第二作者感谢DAAD的财务支持和IMW的热情款待。+英国利兹LS2 9JT伍德豪斯巷利兹大学数学学院；Tdeangelis@leeds.ac.uk意大利费伦泽大学经济与投资研究所科学分院，经潘迪特大道950127号费伦泽；萨尔瓦托。federico@unifi.it§德国比勒费尔德大学数学经济中心（IMW），德国比勒费尔德D-33615比勒费尔德大学阿特斯特拉斯25号；乔治。ferrari@uni-比勒菲尔德。不可逆投资问题的非最优边界2产能，单位产能的投资成本是随机的。在数学中，这相当于求解三维退化奇异随机控制问题v（x，y，z）：=infνEZ∞E-rtc（Xxt，z+νt）dt+z∞E-rtYytdνt, （1.1）当上限被接管时，一套合适的非减损容许控制。这里的X和Y是两个分别模拟市场不确定性和生产能力投资成本的扩散过程。控制过程是指截至时间t和c的累计投资是一个一般的凸成本函数。我们通过依赖奇异随机控制和最优停止之间存在的联系来解决问题（1.1）（参见[3]、[6]、[8]、[9]、[32]和[34]）。事实上，我们提供了最优的投资策略*关于非最优边界面（x，y）7→ Z*（x，y）将状态空间划分为行动和不行动区域。

然后，通过一系列与参数相关的Fredholm型非线性积分方程的连续解，对此类曲面进行了唯一表征。在数学经济文献中，奇异随机控制问题通常被用于对不确定环境下的不可逆（部分可逆）最优投资问题进行建模（参见[14]、[16]、[23]、[24]、[29]、[35]、[38]、[44]以及其中的参考文献等）。单调（约束变化）控制代表企业为最大化净预期利润或最小化总预期成本而使用的累积投资（投资减少）政策。正如[37]和[42]等人指出的，与最优投资相关的最优时机问题与实物期权相关。随机不可逆（或部分可逆）投资的问题可以通过多种不同的方法来解决。其中包括动态规划技术（见[23]、[29]、[35]和[38]）、随机一阶条件和Bank El Karoui的表示定理[4]（见[5]、[15]、[24]和[44]）、一维问题的[7]变换方法，以及具有梯度约束的非线性偏微分方程的分析研究（例如参见[46]和[47]）。从经济建模的角度来看，引入随机投资成本是非常自然的（见例[5]）；然而，它使（1.1）的最佳边界的分析变得相当困难。我们的问题（1.1）的三维结构使得直接研究相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程似乎毫无希望，目的是找到明确的光滑解（如[38]中的二维问题等）。

事实上，在我们的例子中，问题（1.1）的值函数的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的线性部分是aPDE（而不是ODE），它没有通解。另一方面，如[24]所述，我们可以通过依赖随机一阶条件方法和适当应用Bank El Karoui的r表示定理[4]来解决问题（1.1）。然而，从[24]的主要结果（即[24，Th.3.11]）得出的最佳边界的积分方程，在我们的多维环境中无法得到。本文利用奇异随机控制与最优停止之间的联系来研究问题（1.1）。在关于变分不等式的一个众所周知的结果（见命题3.12）的基础上，我们发展了几乎完全概率的论点，以找到不可逆投资问题的非最优边界3最优控制ν*. 我们证明了*将（最佳控制）状态过程保持在最佳边界曲面z以上所需的最小影响是什么*, 谁的水平曲线z*（x，y）=z，其中z∈ R+是最佳边界x7→ Y*（x；z）与原始奇异控制问题有关的参数依赖最优停止问题。在进一步的mild条件下，我们刻画了每个函数y*（·；z），z∈ R+，作为Fredholm型非线性积分方程的唯一连续解（见下面的定理4.10）。应该注意的是，在[46]中也使用了与最优停止的联系，以研究与优化类似（1.1）相关的具有梯度约束的非线性偏微分方程问题。[46]X中∈ 注册护士-1是布朗运动，受控过程Z∈ R是一个线性受控布朗运动，Y·≡ 1，并仅基于分析方法对最佳边界（PDE的自由边界）进行详细分析。

将这些方法扩展到我们的设置似乎是可能的，但并非微不足道。在这里，我们开发了一种不同的方法，主要使用随机演算来唯一地确定我们的最佳边界。找到最优停止问题最优边界的积分方程的问题已在许多论文中得到成功解决（参见[40]中的一项调查），可追溯到Van Moerbeke[48]等人的工作（参见[13]中的PDE方法调查）。在有限时间范围内的一维随机可逆投资问题中，最近通过应用Peskir的局部时空演算获得了最优边界的积分方程（详情见[16]和参考文献）。然而，这些假设不适用于你的情况，因为似乎很难证明这个过程{y}*（Xxt；z），t≥ 0}是每个给定z的半鞅∈ R+，如[41，Th.2.1]所要求。另一方面，研究了多维环境下的数值可计算积分方程，例如[40，第13节]，其中考虑了微分X及其运行的上确界S。然而，与[40，第13节]不同的是，我们处理的是X和Y独立的真正二维微分（X，Y）。这导致了对问题的完全不同的分析，并开发了新的方法。综上所述，我们工作的主要贡献如下：1）我们给出了随机投资成本不确定性下不可逆投资模型的最优边界；ii）作为一个副产品，我们开发了一些方法来唯一地描述有限时间范围最优停止问题的最优边界，从而扩展了基于随机演算的现有技术的一部分。

这些最优boun-Daries方程也可以根据第二类非线性Fredholm积分方程的数值方法进行数值处理（见下面的备注4.11）。论文的结构如下。在第二节中，我们设置了随机不可逆投资问题。在第3节和第4节中，我们介绍了相关的最优停止问题族，并刻画了它的值函数及其最优边界。最优控制的形式见第5节。最后，附录A讨论了一些技术结果。2随机不可逆投资问题在本节中，我们设定了随机不可逆投资问题的研究对象。让(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）是F={Ft，t的完全过滤概率空间≥ 0}由二维布朗运动W={（Wt，Wt），t生成的不可逆投资问题4的最优边界≥ 0}并用p个空集扩充。1.一个真正的过程X={Xt，t≥ 0}代表经济的不确定状态（通常是对商品的需求，或者更一般地说，宏观经济状况的一些指标）。假设X是一个时间齐次马尔可夫微分方程，满足随机微分方程（SDE）dXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt，X=X，（2.1）对于某些特定的Borel函数u和σ。为了说明Xon对其初始位置的依赖性，我们用Xx表示（2.1）的解。2.一维正过程Y={Yt，t≥ 0}代表生产能力的投资成本。我们假设Y根据SDEdYt=u（Yt）dt+σ（Yt）dWt，Y=Y，（2.2）对于某些特定的Borel函数u和σ进行演化。同样，为了解释Y对Y的依赖性，我们用Yy表示（2.2）的解。3.控制过程ν={νt，t≥ 0}描述了公司的投资政策，是截至时间t的累计投资。

我们说控制过程ν是可容许的，如果它属于非空凸集v:={ν：Ohm ×R+7→ R+| t 7→ νtis c`adl`ag，不减损，F适应}。（2.3）在下面我们设置- = 0，对于每一个ν∈ V.4。纯受控过程Z={Zt，t≥ 0}，代表企业的生产能力，由zt定义：=z+νt，z∈ R+。（2.4）过程Z取决于它的初始位置Z和控制（投资）过程V，因此我们用Zz，V表示它。我们假设不受控制的差异xxx和yy具有状态空间I=（x，x） R andI=（y，y） 分别为R+。备注2.1。如果X∈ R和驱动X和Y的SDE的布朗运动是相关的。事实上，唯一的证明是X和Y，以及X的依赖性∈ R是命题4.4、命题4.8和定理4的结果。10.然而，由于这些是本文的关键结果，我们从一开始就采用上述设置来简化论述。xxx和yy的边界行为以及系数ui，σi，i=1，2的进一步要求在以下假设中规定。不可逆投资问题的最优边界假设5.2。（i） 系数ui:R 7→ R、 σi:r7→ R+，i=1，2，使得|ui（ζ）- ui（ζ′）|≤ Ki |ζ- ζ′|，|σi（ζ）- σi（ζ′）|≤ Mi |ζ- ζ′|γ, ζ, ζ′∈ 对于某些Ki>0，Mi>0和γ∈ [, 1].（ii）xxx和yy的差异是非退化的，即在ii中σi>0，i=1,2。（iii）边界x、x是扩散区XX的非出口，边界y、y是扩散区Yy的自然边界。假设2.2保证zζ+εoζ-εo1+|ui（y）|σi（y）| dy<+∞, 对于一些εo>0和Ii中的每个ζ，（2.5），因此（2.1）和（2.2）都有一个弱解，在概率定律意义上是唯一的（参见[33，第5.5章]）。由于系数最多呈线性增长，此类解决方案不会在有限的时间内爆炸。

另一方面，假设2.2-（i）也保证了山田渡边结果（见[33，第5.2章，第2.13项]和[33，第5.3章，第3.3项]等）的（2.1）和（2.2）解的路径唯一性。因此，（2.1）和（2.2）有一个唯一的强解，因为[33，C h.5.3，Cor.3.23]对于任何x∈ 土地∈ I.此外，从（2.5）可以看出，在I和I中，扩散过程xxx和yy分别是规则的；也就是说，对于I中的任何x和ζ（分别，y和ζ′），Xx（分别，Yy）h是一个正概率的点ζ（分别，ζ′）。因此，状态空间I和I不能被分解为sm aller集合，而XX和YY不能从这些集合中退出（例如，参见[45，第V.7章]）。最后，XX和YY有连续的版本，我们将在本文中始终参考这些版本。假设2.2意味着比较标准（例如，见[33，第5.2章，第2.18款]）；i、 e，x，x′的∈ 一、 x≤ x′==> Xxt≤ Xx\'t，P-a.s。T≥ 0.（2.6）此外，重复[33，第5.2章，第2.13款]的证明中的论点也得到了证实→ 辛亚斯n→ ∞ ==> XxntL-→ Xxt==> XxntP-→ Xxt，T≥ 0; （2.7）类似地，对于（2.2）的唯一解∈ 一、 y≤ y′==> Yyt≤ Yy\'t，P-a.s。T≥ 0; （2.8）安丁→ yin Ias n→ ∞ ==> YyntL-→ Yyt公司==> YyntP-→ Yyt，T≥ 0.（2.9）如果：i）从状态空间内部开始的过程不能在有限时间内到达ξ，以及ii）从ξ开始的过程立即进入状态空间内部，则扩散过程的边界点ξ是不存在的。另一方面，可以在有限的时间内到达入口边界点ξ，但它不能成为扩散的起始点。最后，如果边界点ξ是：非入口和非出口，则它是自然的（参见[11，第2章，第15页]）。

此外，对于ξ自然和有限，如果ξ=y（或ξ=y），则也有u（ξ）=σ（ξ）=0。为完整起见，请参见附录A.3。不可逆投资问题的最优边界6系数具有次线性增长的SDE解的标准估计意味着（参见[36，第2.5章，第12节]）Eh | Xxt | qi≤ κ0，q（1+| x | q）eκ1，qt，Eh | Yyt | qi≤ θ0，q（1+| y | q）eθ1，qt，t≥ 0，（2.10）表示任何q≥ 对于一些κi，q:=κi，q（u，σ）>0和θi，q:=θi，q（u，σ）>0，i=0，1。在这种情况下，我们考虑一家公司，根据经济状况x和生产能力z产生投资成本和运行成本c（x，z）。该公司与投资策略相关的总预期生产成本ν∈ V isJx，y，z（ν）：=EZ∞E-rtc（Xxt，Zz，νt）dt+Z∞E-rtYytdνt, （2.11）对于任何（x，y，z）∈ I×I×R+。这里r是一个正的贴现因子，成本函数满足假设2.3。（i） c:i×R+7→ R+是c∈ C（I×R+；R+，C（x，·）∈ C（R+）每x∈ 一、 和cz∈ Cα（I×R+；R）对于某些α>0（即cz是α-H–older连续的）。（ii）c（x，·）对于所有x是凸的∈ Iand cz（·，z）对于每个z都是不递增的∈ R+。（iii）c和CZ满足关于x的多项式增长条件；也就是说，存在局部有界函数ηo，γo:R+7→ R+，和一个常数β≥ 0使得| c（x，z）|+| cz（x，z）|≤ ηo（z）+γo（z）|x |β。在本文中，我们还提出了以下标准假设，以保证我们的问题具有特殊的一致性（见下面的备注2.5-（3）和引理2.6）假设2.4。r>κ1，β，其中κ1，qas在（2.10）中，β在假设2.3-（iii）中。备注2.5。1.排列| x的任何函数c- 在124c和124z之间- z |δ，K≥ 0，δ>1，（2.12）满足假设2.3。