随机不可逆投资的最优边界面

我们声称（稍后我们将证明）将极限作为k→ ∞ 在（A-2）中，导程toun（x，y；z）=EE-r（τ）∧σn）un（Xxτ∧σn，Yyτ∧σn；z）-Zτ∧σne-rt（L）- r） un（Xxt，Yyt；z）dt, τ ∈ T（A-3）（A-3）的右侧定义明确，因为假设3.8意味着（Xx，Yy）定律对于勒贝格测度和（L）是绝对连续的- r） 在Lebesgue零测度集上定义了不可逆投资问题的最优边界。我们现在使用（A-3）toobtainun（x，y；z）中的变分不等式（3.24）≥ E-E-r（τ）∧σn）Yyτ∧σn+Zτ∧σne-rtcz（Xxt，z）dt. （A-4）因此，通过τ的任意性，一个人有un（x，y；z）≥ vn（x，y；z）。为了得到逆不等式，取τ：=infT≥ 0 | un（Xxt，Yyt；z）=-Yyt（A-5）在（A-3）中，并回顾un=- 是的，是的∈ C（Qn）（参见备注3.13），并且Qnis有界，因此unis也有界于qnas。就这样-r（τ）∧σn）un（Xxτ∧σn，Yyτ∧σn；z） =e-r（τ）∧σn）un（Xxτ∧σn，Yyτ∧σn；z） 1{τ∧σn<∞}= - E-r（τ）∧σn）Yyτ∧σn{τ∧σn<∞}= - E-r（τ）∧σn）Yyτ∧σnP-a.s.（a-6）乘以（3.3）和（3.4）。此外，到（3.24），我们有（LX）- r） un=-在片场（x，y）∈Qn|un（x，y；z）>-Y. 因此，（A-3）和（A-6）giveun（x，y；z）=E-E-r（τ）∧σn）Yyτ∧σn+Zτ∧σne-rtcz（Xxt，z）dt≤ vn（x，y；z）。（A-7）因此，我们得出结论，对于问题（3.22），在（A-5）中定义的停止时间τ，un=vnon Q和th与停止时间τ一致*n（x，y；z）定义在（3.26）中。现在，为了完成证明，我们只需要证明（A-3）跟在（A-2）后面的是k→ ∞.在f法中，（A-2）左侧的项以点的方式收敛，右侧的项以一致收敛的方式收敛。为了检查右边期望中积分项的收敛性，我们将qn>1作为假设3。8-（2），pn表示pn+qn=1，为简单起见，表示q:=qn和p:=pn。

然后，比奥尔德的不平等，我们有EZτ∧σne-rt（L）- r） （英国）- 联合国）（Xxt，Yyt；z）dt≤Z∞E-rtZQn（L）- r） （英国）- un）（ξ，ζ；z）p（t，x，ξ）p（t，y，ζ）dζdζdt（A-8）≤ 厘米，米，r，n英国- 联合国W2，p（Qn），其中最后一个不等式由假设2.2-（i）和3.8-（2）跟随，其中CM，M，r，n>0依赖于Qn，r和Mi:=supQn{|ui |+|σi |}，i=1,2。现在，（A-8）的右边消失了→ ∞ 根据ukn的定义。A.2两个技术问题1。通过（3.23），启发式地，一个人有（L- r） vn（x，y）=ry- 澳新银行的u（y）∩ Qn。然而，在这一阶段，我们没有关于Anz拓扑性质的充分信息（例如，它可能有正测度，但p riori也有空的内部部分）。下面的引理为先前的等式提供了一个严格的陈述和证明。不可逆投资问题的最优边界34引理A.1。一个有- r） vn（x，y）=ry- u（y），用于a.e.（x，y）∈ 澳新银行∩ Qn。（A-9）证据。回想一下vn（·；z）∈ W2，p（Qn）对于任何p∈ [1, ∞) （参见提案3.12）。设置vn（x，y；z）：=vn（x，y；z）+y，因此设置为vn∈ 通过Sob olev的嵌入（例如参见[12，第9章，Cor.9.15]）证明（A-9）相当于证明（L- r） 在澳新银行，vn=0 a.e∩ Qn。由于Anz上的vn=0，因此也必须\'\'vn=0超过澳新银行∩ Qn。为了完成证明，需要证明Hessian矩阵Anz；也就是说，D’VN是Anz的零a.e∩ Qn。以下是[22，Cor.1-（i），第84页]，其中f定义为：“vn。2.下一个结果对于定理4.10的证明很重要。引理A.2。假设假设4.2、4.5、4.7成立，并假设Cz6= Az6=. 让^y（·；z）：我→Ibe取（4.31）的溶液，取（4.26）中的w。然后v（·；z）≥ Q证明上的w（·；z）。回想一下（4.29）中介绍的符号。第一步。因为^y（·；z）是（4.31）的解，即。

在（4.32）中，很容易看出（4.26）的w检验（x，^y（x；z）；z） =-^y（x；z），十、∈^Dz，（A-10）因此（x，^y（x；z）；z）≤ v（x，^y（x；z）；z） ,，十、∈^Dz，（A-11）第2步。这里我们展示了W（x，y；z）=-Yy<^y（x；z），十、∈^Dz∪ [^x，x），（A-12）这意味着w（x，y；z）≤ v（x，y；z），y<^y（x；z），x∈^Dz∪ [^x，x]取x∈^Dz∪ [^x，x），y<^y（x；z）和定义σ=σ（x，y；z）：=infT≥ 0 | Yyt≥ ^y（Xxt；z）. 通过定义^y（·；z）和dσ，我们有bh（Xxt，Yyt；z）=-瑞伊特- u（Yyt）, T≤ σ、 P-a.s.（a-13）然后，使用m artin gale性质（4.28）直到停止时间σ∧ n、 n∈ N、 由（A-13）得出w（x，y；z）=E- E-rσYyσ{σ≤n} +e-rnw（Xxn，Yyn；z）1{σ>n}-Zσ∧氖-rt瑞伊特- u（Yyt）dt.（A-14）值得注意的是，[22，Cor.1-（i），p.84]要求f是Lipschitz连续的，这对我们来说是无法保证的。然而，Lipschitz连续性只需要存在梯度a.ef、 由于[22，Th.1，p.235]的原因“vn∈ W1，p（Qn）。不可逆投资问题的最优边界假设2.4，（4.25）和界（4.27）给出的极限为n→ ∞w（x，y；z）=E- E-rσYyσ-Zσe-rt瑞伊特- u（Yyt）dt= - y、 （A-15）其中最后一个等式后面跟着引理3.4。由此证明了（A-12）。第三步。这里我们证明了w（x，y；z）≤ v（x，y；z），y>^y（x；z），十、∈ （x，ˇx）∪^Dz。（A-16）以x为例∈ （x，ˇx）∪^Dz，y>^y（x；z），并考虑停止时间τ=τ（x，y；z）：=infT≥ 0 | Yyt≤ ^y（Xxt；z）.通过定义^y（·；z）和τ，并使用与上述第2步相同的局部化参数，我们得到w（x，y；z）=E-E-rτYyτ+Zτe-rscz（Xxt，z）dt≤ v（x，y；z）。（A-17）第4步。引理A.2后面跟着（A-10），（A-12）和（A-16）。A.3非入口边界的一些性质在此我们建立了具有自然边界的扩散的一些性质（参见假设2.2），因此非入口。

我们证明了下边界y的以下结果，但如果它是有限的，类似的论点也成立。通过定义非入口边界（参见[43，第305页]），我们得到了利米↓yPy{τz<t}=0，z>y，t>0，（A-18），其中τz:=inf{s≥ 0年≥ z} 。取任意ε>0，给定且固定的t>0，设置z:=zε=y+ε，我们得到{Yyt- y |>ε} {sups∈[0，t]Yys>z}={τz<t}。（A-19）因此，根据（A-19）和（A-18），Yyt→ 概率上的y（因此在定律上）为y↓ y表示给定和固定的t>0；当Iwac是弱收敛的，当Iwac是弱收敛的↓ y、 因此，由主导的趋同，也有人草率行事↓耶Z∞E-rtf（Yyt）dt=rf（y）F∈ Cb（R）。（A-20）我们现在证明u（y）=σ（y）=0。如果是有限的，同样适用于f或y。不可逆投资问题的最优边界情况1。如果有界，Dynkin公式在任意g∈ Cb（R）导线到（y）=-EZ∞E-rtσ（Yyt）g′（Yyt）+u（Yyt）g′（Yyt）- rg（Yyt）dt. （A-21）然后将极限作为y↓ y、 注意到μ和σ是有界且连续的，通过应用（A-20），我们得到σ（y）g′（y）+μ（y）g′（y）=0，（A-22），并且由于g是任意的，所以它必须是μ（y）=σ（y）=0。案例2。如果Iis无界（即如果i=（y，∞)), 我们用连续有界函数（un，σn）来近似（u，σ），使得[y，n]上的un=u，σn=σ∨ y] 含un（y）→ u（y）和σn（y）→ σ（y）as n→ ∞ 点式I.为y∈ （y，n）∨ y） 与系数u和σn相关的差异（用Yy，n表示）与Yy一致，直到（y，n）的第一次退出时间∨ y） （2.2）解的唯一性；此外，y是Yy，naswell的自然边界。重复上述案例1中的参数，我们得到所有n的un（y）=σn（y）=0∈ N、 因此u（y）=σ（y）=0。A.4关于问题（4.52）的讨论问题（4.52）是最佳停车文献（参见。

例如[40]对于methodsof solution），因此我们只列出了导致其主要属性的参数。很容易看出x7→ v（x；z）是非递增的，因此存在b*∈ 这是Az=[b]吗*,x） ，其中不能包括边界值x，否则Az= 从而与命题4.13的假设相矛盾。可以证明v（·；z）∈ C（I），vxx（·；z）是局部有界的atb*因此，概率表示v（x；z）=EhZ∞E-rtcz（Xxt；z）1{Xxt<b*}- ry1{Xxt≥B*}dti（A-23）采用田中公式。因为（A-23）适用于任何x∈ 一、 那么如果b*∈ Iby评估（A-23）x=b*, 人们很容易发现b*解决方案（4.48）。与定理4.10的证明类似（但比定理4.10的证明更简单）的论点表明，（4.48）在（θ）中有唯一解*,x） 因此，它必须是x=b*. 另一方面，如果b*= x、 重复定理4.10第2步的证明中的论点，我们可以证明x=b*, 由此得出结论。致谢。作者感谢两位匿名推荐人的相关评论，以及戈兰·佩斯基尔、弗兰克·里德尔和毛罗·罗斯托拉托的有用建议和参考。参考文献[1]K.E.阿特金森，《非线性积分方程数值解法综述》，J.积分方程应用。4（1）（1992），第15-46页。不可逆投资问题的最优边界37[2]C.T.H.贝克，《积分方程的数值处理》，牛津克莱伦登出版社（1977）。[3] F.M.Baldursson，I.Karatzas，《不可逆投资与产业平衡》，金融科技。1（1997），第69-89页。[4] P.Bank，N.El Karoui，一个应用于优化和障碍问题的随机表示定理，人工神经网络。Probab。32（2004），第1030-1067页。[5] P.银行，动态燃料约束下的最优控制，暹罗J.控制优化。44（2005），第1529-1541页。[6] J.A.巴瑟，H。

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