具有跳跃和时间依赖性的遍历盲源分离

换句话说，我们的目标是证明以下定理：定理5。设F:R+×H→ H可以是任何Lipschitz函数和{At}t≥0固定并生成指数有界的进化族。然后存在常数C>0和ρ>0，对于任何有界连续函数ψ：H→ R、 |P（τ，t）[ψ]（x）- P（τ，t）[ψ]（y）|≤ C（1+| | | | | | | | | | | y |）e-ρ（t）-τ）supu∈H | |ψ（u）| |（7），其中常数C和ρ仅依赖于supu∈HF（u）与演化族{At}t的常数u≥0.当我们证明EBSDE存在解决方案时，这个估计将在续集中至关重要。在我们的证明中，我们遵循了[11]中定理M2.4和[21]中定理2.8的推导。我们需要从耦合理论中得到一些结果。调查可在[15]中找到。本节的其余部分如下：我们首先陈述耦合理论中的必要事实（见[15]或更多细节）。在得到必要的机械（最重要的是引理S2和3）之后，我们证明定理5。定义5。给定可测空间RX和RY上的两个概率测度ux和uYon，耦合是一个随机变量（ZX，ZY），取乘积空间RX×RY中的值，其分量分别具有边际分布ux和uy。定义6。当存在T时，两个过程X和Y被称为允许在[T，T]上成功耦合∈ [T，T]使得Xt=Yt。引理1。（文献[15]中的定理5.2]）对于可测空间（E，E）上的任意两个概率测度（u，u），存在耦合（Z，Z′），使得oku- ukT V=2P（Z=6=Z′），oZ和Z′独立于{Z 6=Z′}的条件，前提是后一事件具有正概率，oP（Z=Z′，Z∈ A） =（u）∧ u）（A），其中ku- ukT V=supΓ∈E|u（Γ）- u（Γ）|是（E，E）测量值的标准总偏差标准。备注10。上面的引理显示了对耦合的一种稍微不同的思考方式。

给定边际定律，我们“手动”构造随机变量。在这个构建过程中，我们的目标是调整这些变量，以使它们满足的概率最大化。在这种情况下，我们所说的耦合是指构造的随机变量对（X，X′）。在续集中，我们将需要以下辅助引理，其中（原则上）我们将解的终值耦合到（3）。引理2。修正T>0，考虑k的（3）解（τ=kT）≥ 初始条件为x的0∈ BR（0）和y∈ BR（0），x 6=y。根据Xk，x（k+1）~x和Xk，y（k+1）~T的各自定律，用ukx和uky进行计算。SetYkt=Xyt+（k+1）~T- t（k+1）~TUτt（x）- y） 并且观察到Yk（k+1）的定律是uky。那么，对于每一个p>1，就存在这样的zhdukydukx（u）pdukx（u）≤ C.（8）证明：考虑到xysaties（4），我们立即注意到dyt=（A（t）Yt+Ft（Yt））dt+G（t）dL（t）-（k+1）~TUτt（x）-y） +Ft（Yt）-英尺（Xyt）dt。我们现在定义*（s）=（k+1）~TUτt（x）- y） +Ft（Yt）- 英尺（Xyt）G-1（t）。根据假设，G是一个可逆算子，存在C>0这样的结果-1顶部≤ C.根据我们的假设，很明显*（s） k≤ 2CkF k∞+T先生,其中M来自U的定义。我们定义QDP=EZ（k+1）~Tk~Tb*（t） dWt.由于b（·）是一致边界，根据定理2，过程∧s:=dQdP定义在[kT，（k+1）~T]上的Fs是一个正平方可积鞅和Q~ P.此外，在Q下，~Lt=Lt-Rtb*（s） ds是一个L’evy过程，在P下具有相同的三元组（在L’evy–Khintchine表示的意义上）a s L。很明显，Y（k+1）~Thas法则ukxunder Q和ukyunder P。我们注意到dukydukx（u）pdukx（u）≤ E∧p（k+1）~T,该声明使用的是，对于每一个p>1，过程E（R·kTpb）*（s） dWs）是真鞅。备注11。

由于（3）中的系数取决于时间，所以在长度为t的不同时间段上具有相同初始条件的解的规律是不同的。然而，由于b上的界*（·）在时间上保持一致，界（8）也保持一致。下面的引理可以在[15]中找到：引理3。设u和u是某些空间上的两个等价概率测度。如果存在C>0和p>1这样的常数dudu（x）p+1du（x）<C，然后1.∧dudu（x）du（x）≥1.-P个人计算机P-因此，在引理1的表示法中，我们得到p（Z=Z′）=u∧ u（A）≥1.-P个人计算机P-1.证明：（定理5）为了简单起见，我们集中讨论τ=0的情况。从证明中可以清楚地看出，这个结果可以很容易地推广到一般的双参数半群。我们确定初始条件x，y∈ H.对于任意两个过程XY和XX，其定律分别对应于初始条件为y和x的（3）的解，我们表示它们各自的定律ux和uy。我们现在考虑耦合过程y=（Xyt，t<t，Xxt，t）≥ T.（9）其中T=inf{s:Xxs=Xys}是xxx和Xy的首次会面时间。我们注意到Y和XY有相同的定律。现在，对于任何有界φ：H→ R、 | Pt[φ]（x）- Pt[φ]（y）=Eφ（Xxt）- Eφ（Yt）|=|E[φ（Xxt）- φ（Yt）]1{T>T}| ≤ 2杯∈H |φ（x）| P（T>T）（10）和马尔可夫不等式，对于任何ρ>0P（T>T）≤ EeρTE-ρt。因此，为了得到我们的结果，我们将构造xxx和Xy，然后证明存在常数C>0和ρ>0，这样eρT≤~C（1+kxk+kyk）。（11） 备注12。需要理解的一件重要事情是我们所说的“构造”是什么意思。因为我们试图证明定律的收敛性，所以我们不必使用前向方程的原始解，而是可以将在不同时间间隔上构造的片段拼凑在一起。

在每一个这样的区间[kT，（k+1）T]上，我们让Xxs=X（s，kT，XxkT）与L（3）中的L’evy过程L替换为L，而Xys=X（s，kT，XykT）与L替换，其中L和L是与L具有相同规律的L’evy过程。由于解的规律不依赖于噪声的选择，Xxs和Xys对[kT，（k+1）~T）与原始解具有相同的规律。我们按照以下方式进行：o（步骤1）我们首先表明，我们可以选择一个时间步长T>0和aradius R>0，这样，如果我们只在时间{nT}n观察两个独立的解过程xxx和xy∈N、 Xyn和Xxn进入BR（0）的等待时间均为N指数。

此处的独立性在sens中被理解为，我们获取了两份独立的L’evy过程的副本（L和L），如备注12所示（第2步）将Xxk和Xyk皮重放入BR（0）中一次，持续一段时间≥ 0，我们取消了独立假设，分别构造了[k＠T，（k+1）＠T]上的两个解XXxk＠T，k＠和XXxk＠T，k＠T（3），初始条件为Xxk＠和Xyk＠。然后我们推断，对于构造的解，它们在[kT，（k+1）~T]上相遇的概率从下到下一致有界于k.o（步骤3）。然后我们迭代这些参数，以表明我们正在构造的两个过程在时间上没有相遇的概率呈指数衰减。第一步：我们从证明存在正常数u、c和D开始形式推导，例如ekxxtk≤ D（kxke-2ut+c）。为了继续进行，我们定义了t=U（t，0）x+ZtU（t，s）F（Xs）ds、Zt=ZtU（t，r）G（r）dW（r）和qt=ZtZBU（t，r）G（r）xN（dr，dx）。我们注意到≤ 库茨克+ZtUstF（Xs）ds≤ kUtkopkxk+-FZTKUTKOPDS≤ ME-utkxk+-FZte-u（t）-s） ds≤ 我-utkxk+-Fu。因此，通过使用不等式（a+b）≤ 2（a+b），kVtk≤ 2.我-2uTXK+\'Fu.利用等距图和W和N的独立性，我们还可以看到ekzt+Qtk=EhZt+Qt，Zt+QtiH=EkZtk+EkQtk=kU（t，·）Gkt+ZtZBkUstG（s）xkν（ds）ds≤ C+kGkopZtZBkUstkopkxkν（dx）ds≤ C+kGkopM~D≤对于某些常数C，其中D=RBkxkν（dx），M来自U的定义，k·k定义如假设2所示。我们现在可以利用（a+b）这个事实≤ 2（a+b）再次到getEkXxtk≤ D（k-xke）-2ut+c）（12）对于某些常数D和c，我们注意到上面所有的界在时间上保持一致，也就是说，即使我们没有马尔可夫性质，我们仍然可以得到任意两个解xxof（3）和xof（3），EkXx（k+1）~Tk+kXy（k+1）~TkFkT≤ 扩散系数-2uT（kXxk-Tk+kXyk-Tk）+2Dc，k≥ 0（13）对于任何固定的T。

我们现在定义，对于固定的R>0Ak={kXxk＠Tk+kXyk＠Tk>R}，Bk=k\\j=0Aj。通过切比雪夫不等式和（13）我们得到了p（Ak+1）FkT）≤扩散系数-2untr（kXxk-Tk+kXyk-Tk）+2DcR。（14） 我们现在定义matrixC=de-2u/T2DcDRe-2u/T2DcR！。在将（13）和（14）乘以1Bk后，取一个期望值并注意到BK+1≤ 1Bkwe haveEkXx（k+1）~Tk+kXy（k+1）~TkBk+1P（Bk+1）！≤ 总工程师kXxkTk+kXy（k+1）~TkBkP（Bk）！这种不平等是成分方面的。因此，我们完成了这个过程EkXxkTk+kXykTk英国石油公司（Bk）≤ Ckkxk+kyk,对两边的行向量（0，1）进行预乘，我们可以看到p（Bk）≤ （0,1）Ckkxk+kyk.上述讨论适用于任意选择的T和R，但现在我们想要得到一个指数界。C的igenvalues集合是{0,2DcR+De-2uT}，我们需要它们都小于1。因此，我们选择R=8dC和T，使e-2uT≤4D，所以DCR+De-2uT≤. 鉴于相应的特征向量构成R中的基，向量（0，1）可以表示在特征向量基中，因此存在一个常数C>0，这样p（Bk）≤\'Ck（1+kxk+kyk）。现在，我们将离散时间线上BR（0）的第一次命中时间定义为τ=inf{k＠T:kXxk＠Tk+kXy（k+1）~Tk≤ R、 k∈ N} ，然后是p（τ）≥ kT）≤ P（Bk）≤\'Ck（1+kxk+kyk）。（15） 取一个常数β，使βT<ln2。ThenEe∧βτ=∞Xk=0eβkTP（τ=kT）≤∞Xk=0eβkTP（τ≥ kT）≤\'C1-因此，对于每一个γ，都存在一个常数Csuch≤β，E（Eγτ）≤ C（1+kxk+kyk）。（16） 证明的第一步现已结束。第二步：我们使用引理2证明中引入的符号根据引理1，在区间[k＠T，（k+1）＠T]上，存在一对过程（＠Xx，k＠T，＠Yk＠T），其终端时间定律分别为ukx和uky，因此p（＠Xx，k＠T（k+1）~T=＠Yk＠T（k+1）~T）=kukx- ukykT V.o我们认为，在x，y∈ BR（0）。

在引理2中取p=3，应用引理3，我们知道存在一个常数，比如kukx- ukkT V≥2C，因此（~Xx，k~T（k+1）~T=~Yk（k+1）~T）≥4C.o我们立即发现~Xx，k ~-Tt，~Xy，k ~-Tt=~Yk ~-Tt-~T- tTUkTt（x- y）T∈[kT，（k+1）T]成功地与下面有界的概率耦合，sinceP（~Xx，ks=~Xy，kss对于一些∈ [k~T，（k+1）~T]）≥ P（~Xx，k（k+1）~T=~Yk（k+1）~T）≥4C。（17） 这样，第二步就完成了。第3步：我们现在已经准备好构建（9）中使用的进程Xx，xy，在持续时间T的各个时间间隔上，然后将它们全部修补在一起。假设我们已经在[0，k~T]上构造了xy和Xxon。我们现在按照以下方式进行：o如果Xyk和Xxk皮重在BR（0）中，那么在[k＠T，（k+1）~T]上，我们设置Xxt=~XXxk＠T，k＠T和Xyt=~XXyk＠T，k＠T，其中＠X是在步骤2中构造的最大耦合如果至少有一个过程没有在球中完成，那么在下一个时间步中，我们设置Xxt=\'XXxk＠t和Xyt=\'XXyk＠Tt，其中{\'Xxt}t≥k/Tand{Xyt}t≥k~T分别为τ=k~T和初始条件Xxk和Xyk~T的（3）的独立解。因此，我们在整个时间线上构建了XX和XY。我们现在开始证明他们第一次见面时间的指数界限。为此，我们定义了一个家庭∈N} 如下所示：z=0和zn+1=inf{k>zn:k∈ N、 XxkT，XykT∈BR（0）}。到16岁时我们就到了eγz~T≤ C（1+kxk+kyk）和thusEeγ（zn+1）-zn）~TFznT≤ C（1+kXxzn)Tk+kXyzn)Tk）。自从e-γznTis FznT-可测量和kXx，yznTk≤ R、 我们找到了eγzn+1T≤ Cn+1Cn（1+kxk+kyk），其中C=1+2R。

现在我们设置`k=inf{k:Xxzk?T=Xyzk?T}。自Xx以来，yzkT∈ BR（0）对于每k>0，我们有，从（17）P（\'k>k+1 |\'k>k）≤1.-4C.当P（\'k>k+1）=P（\'k>k+1 | k>k）P（\'k>k）时，我们得出结论P（\'k>k）≤1.-4Ck、 我们现在选择0<α<γ1.-4C1.-α/γCα/γCα/γ<1，然后，利用H¨older不等式，我们可以看到e（eαz¨k¨T）=eE（Eαz\'k | T | k）≤Xk≥0Eeαzk＠T＠k=k≤Xk≥0（P（\'k=k））1-α/γ（EeαzkT）α/γ≤Xk≥0（P（\'k>k- 1))1-α/γ（EeαzkT）α/γ≤Xk≥01.-4C（k）-1)(1-α/γ（CkCk）-1（1+kxk+kyk））α/γ≤ C（1+kxk+kyk）对于某些常数C.对于每个ρ≤ 我们找到了吗eρT≤ Eeρ（z′k+1）~T≤~C（1+kxk+kyk），其中~C=CeρT引理4。估计（7）可以推广到F有界且可测的情况，并且存在Lipschitz（在第二个参数中）函数{Fn}n的一致有界序列≥1这样的limnfn（t，x）=F（t，x），十、∈ H、 t≥ 0.证明：证明使用标准Girsanov参数，与[11]中的推论2.5相同。备注13。引理4之所以必要，是因为为了在续集中构造EBSDE的解，我们首先必须改变度量。根据Girsanov定理，我们知道在新的测度下，前向过程将有额外的有界漂移。因此，我们需要确保这个估计仍然成立。3.3重现本节致力于证明在某些假设下，正向过程（3）最终以概率1进入H中的任何开放球。我们将其用于时间周期系数和具有非平凡扩散成分的L’evy噪声的情况。这是现有理论的自然延伸，本身也很有趣。在续集中，我们需要一个稍微弱一点的性质，即最终返回到零附近的任何开球，以证明EB SDE的马尔可夫解的唯一性。我们首先制定一个额外的假设：假设3。

为了简单起见，假设in（3）τ=0。然后我们假设过程ZA（t）定义为byZA（t）=ZtUsG（s）dLs。跨越整个空间H，也就是P（ZA（t）∈ V）>0表示所有t>0和任何openV∈ H.评论14。这种假设似乎过于严格，因为人们可以想到许多L’evy过程并不跨越整个空间。例如，当整数上支持一维分量{Ln（t）}时的情况。即使在更一般的情况下，人们也可以想到子空间上L（t）支持的L’evy过程。然而，由于我们把注意力集中在G（s）对于每个s都是可逆的情况≥ 0，而L有一个非平凡的微分分量，这个假设是合理的。引理5。如果过程ZA（t）满足所有t>0的假设3，则过程xxt满足（3）是不可约的。换句话说SP（Xxt∈ B（z））>0对于任何t>0，z∈ H、 >0。备注15。在这里，以及在续集中，我们用BR（x）表示半径R围绕x的开放球∈ H.证明：我们遵循[21]中第3.3条的证明。我们假设T>0，y∈ H、 >0。对于其余的证明，我们也表示Xt=Xxt。然后下一步+a=Utt+aXt+Zt+ATUT+aFs（Xs）ds+Zt+ATUT+aG（s）dLs。设z是支持随机变量iabluest+aXt分布的任意元素。然后，根据定义，事件B={Ust+aXt- z |</3}是正概率的。自从kF k∞= 监督≥0，x∈HFt（x）<∞, 利用U的定义，我们有Zt+ATUT+aFs（Xs）ds≤Zt+atkUst+akopkF k∞ds≤ M kF k∞Zt+ate-u（t+a）-s） ds≤ ca，对于某些c>0。然后我们写text+a-y=（Utt+aXt）-z） +Zt+ATUT+aFs（Xs）ds+Zt+ATUT+aG（s）dLs-y+z.（18） 事件=Zt+ATUT+aG（s）dLs- y+z< /3根据假设3，为正概率。因为x和Lon[t，t+a]的增量是独立的，所以事件B和C也是独立的∩ C有正概率。给出（18），我们已经证明| Xt+a- y|≤ /3+ca+/3在B上的阳性概率∩ C

我们现在选择a，以便ca</3和T- A.≥ 0.设置t=t- a、 我们得到了- y|≤ ) ≥ P（B）∩ C） >0，这是结果。为了继续，我们需要一些关于方程（3）解的不变测度的结果。我们通过考虑线性问题dxt=A（t）dt+G（t）dLt，Xτ=X求出，可以通过扩展状态空间的标准技术，即考虑向量（X，y）的演化，将其简化为自治情况∈在[14]之后，我们定义了一个单参数半群asPsu（t，X）：=P（t，t+s）u（t+s，·）（X），这意味着我们将双参数半群作为xonly的函数应用于u。从定义中可以清楚地看出，Pτ是一个马尔可夫半群，这给了我们使用强大的现有理论的机会。为了证明不变测度的存在性和唯一性，我们需要定义半群是收缩的“周期”L-空间中的Corres-ponding。韦德诺特酒店*(ν) :=f:R×H→ R可测量：f（t+t）*, x） =f（t，x）ν- a、 e.andZ[0，T*]×H | f（y）|ν（dy）<∞.从某种程度上来说。很明显我*这是一个希尔伯特空间。以下结果建立在[14]中。提议2。半群P存在唯一不变测度。换句话说，对于每一个有界可测函数u，使得u（t+t*, x） =u（t，x）对于每个t>0和x∈ 我们有：Z[0，T*]×HPsu（t，x）ν（dt，dx）=Z[0，t*]×Hu（t，x）ν（dt，dx）。此外，关于L*（ν） 半群是收缩的。我们推导出，与原始半线性问题dxt=a（t）dt+Ft（Xt）dt+G（t）dLt，Xτ=X相对应，也存在一个唯一的不变测度u。这可以很容易地通过将测度变换为线性情况来表示。我们把细节留给读者。我们现在准备证明这一节的主要结果，即向前过程{Xt}t的重现≥τ.