具有跳跃和时间依赖性的遍历盲源分离

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英文标题：
《Ergodic BSDEs with jumps and time dependence》
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作者：
Samuel N. Cohen and Victor Fedyashov
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we look at ergodic BSDEs in the case where the forward dynamics are given by the solution to a non-autonomous (time-periodic coefficients) Ornstein-Uhlenbeck SDE with L\\\'evy noise, taking values in a separable Hilbert space. We establish the existence of a unique bounded solution to an infinite horizon discounted BSDE. We then use the vanishing discount approach, together with coupling techniques, to obtain a Markovian solution to the EBSDE. We also prove uniqueness under certain growth conditions. Applications are then given, in particular to risk-averse ergodic optimal control and power plant evaluation under uncertainty.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了遍历BSDE，在这种情况下，前向动力学是通过解一个非自治（时间周期系数）的Ornstein-Uhlenbeck SDE（带L趶vy噪声）给出的，取可分离Hilbert空间中的值。我们证明了无限视界贴现BSDE的唯一有界解的存在性。然后，我们使用消失折扣方法，结合耦合技术，获得了EBSDE的马尔可夫解。我们还证明了在某些生长条件下的唯一性。然后给出了应用，特别是风险规避遍历最优控制和不确定性下的电厂评估。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Ergodic_BSDEs_with_jumps_and_time_dependence.pdf (378.77 KB)

2022-5-6 08:09:46 上传

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关键词：时间依赖 依赖性 Applications Quantitative Optimization

Oxford大学Victor FedyashovovUniversity of Oxford 2018年10月16日摘要在本文中，我们研究了在前向动力学由非自治（时间周期系数）Ornstein–Uhlenbeck样SDE的解给出的情况下，具有L’evy噪声的遍历BSDE。我们证明了有限视界d为计数BSDE的唯一有界解的存在性。然后，我们使用消失折扣方法，结合耦合技术，得到了EBSDE的马尔可夫解。我们也证明了在某些生长条件下是唯一的。然后给出了应用，特别是在不确定性条件下的风险规避遍历最优控制和电厂评估。关键词：遍历BSDE、L’evy噪声、指数遍历性、电厂评估、最优控制MSC:60H20、93E20、60F171简介过去十年来，在了解有限范围内的最优控制方面做了大量工作。利用经典随机最优控制（如Bensousan和Lions[4]）的技术，已经获得了许多关于折扣问题的结果。更不发达的是对未来和现在同样重视的回报，因此对短期影响不敏感。出现的一个框架是遍历随机控制，这是最优控制理论的一个领域，试图用平均成本标准来理解优化。该领域的大多数结果都集中在成本上，而成本仅取决于潜在受控马尔可夫过程的当前状态，以及对未来成本的线性预期。

换句话说，值函数的形式为j（x，u）=lim supT→∞T-1EuZTL（Xt，ut）dt（1） 其中X代表正向动力学，而控制{ut}t≥0是一个可预测的过程，在可分离局部紧度量空间U中取值，L是一个有界可测代价函数。很明显，这些方法无法充分处理风险规避优化问题，因为在这种情况下，函数J对未来成本的非线性依赖是必需的。自20世纪90年代初以来，有几篇论文描述了Pardouxand Peng在[17]中提出的反向随机微分方程（BSDE）与随机最优控制理论之间的联系（有关方法的概述，请参见[25]）。正如彭在[13]中所定义的那样（详见Cohen[7]和Coquet等人[10]），SDES与“非线性预期”理论之间也建立了强有力的联系。因此，有理由认为，存在一个基于BSDE的框架，这将被证明是理解非线性设置中优化的自然选择。一个这样的框架是基于遍历BSDEs的，BSDEs是BSDEs的一个扩展，其形式为YT=YT+ZTt[f（Xu，Zu）- λ] 杜-ZTtZudWu，（2）式中λ∈ R是解决方案的一部分，首先由Furhman、Hu和Tessitor在[12]中介绍。使用他们的方法，可以相对容易地考虑非线性问题，例如当（1）中的期望被动态一致的非线性期望（尤其是[13]术语中的g-期望）取代时。目前工作的目标是以两种自然的方式扩展现有的理论。第一个概括是dd跳转到Furhman等人的差异设置。在[11]中。换言之，我们的目标是能够使用EBSDE-basedapproach来解决遍历最优控制问题，在这种情况下，随机动力学是参考L’evy过程给出的。

跳变的最优控制最近引起了人们的极大兴趣，主要是因为它可能应用于网络控制问题和混合随机系统。从财务角度来看，它允许我们将冲击因素纳入模型。EBSDE中的Corres积水将采用YT=YT+ZTt[f（Xu，Zu，Uu）的形式- λ] 杜-ZTtZudWu-ZTtZH\\{0}Us（x）~N（ds，dx），其中0≤ T≤ T<∞. 第二个扩展是结合时间相关的e。这将允许我们考虑带有季节性组件的动态麦克风，如商业周期。还值得注意的是，由于我们在马尔可夫框架下观察EBSDE，它们与具有非局部部分和非自治系数的IPDE相关，即(-图（t，x）- 卢（t，x）- f（x，u（t，x）G（t），Φu（t，x）（·））=λ；（t，x）∈ R+×H，u（t+t）*, x） =u（t，x），其中二阶积分微分算子L的形式为L=M+K，其中mv（t，x）=trG（t）G*（t）v（t，x）+ hA（t）x+Ft（x），v（t，x）iandKv（t，x）=ZH\\{0}{v（t，x+G（t）y）- v（t，x）- hG（t）y，u（t，x）i}ν（dy）。例如，在[3]中可以找到这种有限维联系的推导。对于有限维希尔伯特空间中的这类方程，理论还不完善。EBSDE提供了一种看待这些问题的新方法。建立与IPDEs合作的结果超出了目前的工作范围，但它为未来的研究提供了一个有趣的方向。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍了必要的注释，并讨论了预备工作；第3节是关于远期SDE解决方案的结果；第4节介绍了EB SDE，并证明了主要结果。第5节包含了EBSDE在最优遍历控制中应用的几个例子。2符号和一般假设对于本文的其余部分，设H是一个可分实希尔伯特空间，其标积H·、·IH和范数k·kH。

为了简化符号，我们将分别表示h·、·i和k·k。由于我们将使用一般的可分bleHilbert s空间，我们将需要一些经典结果的扩展。本节的主要目的是说明这些问题。我们首先定义了一般希尔伯特空间H:定义1上的Q Wiener和L’evy过程。一个随机过程L=（L（t），t≥ 如果L（0）=0，则取H中的值称为L’evy过程，过程L是随机连续的，并且它具有静态的、独立的增量，在这个意义上，定律L（t）- L（s））仅取决于差异- s、 所谓随机连续性，我们指的是，forevery>0和t≥ 0，林→tP（| L（s）- L（t）|>=0。备注1。关于L’evy过程在aHilbert空间中取值的一种有用的方法是通过级数展开，即假定{en}n≥1是H的反常基，我们有（t）=Xn≥1hL（t），enien=Xn≥1Ln（t）en，其中ln是实值c`ad lag L`evy过程。定义2。H值随机过程{Wt，t≥ 如果oW=0，oW有连续的轨迹，oW有独立的增量，oWt定律，则称为Q-wiener过程- Wsis高斯分布，均值为零，协方差（t- s） 问：对所有人来说都是0≤ s≤ 从某种意义上说，对于任何h∈ H和0≤ s≤ t、 真值随机变量hh，Wt- WsiHis高斯分布，均值为零，方差为（t- s） 嗨，嗨。对于给定的进程{Lt}t≥还有一套∈ H我们用N（t，A）表示到时间t的“大小为A的跳跃”的（随机）数，即Nt（A）=N（t，A）：=card{s∈[0，t]|Ls∈ A} 。表示B（H）Borelσ-代数，我们说A∈ B（H）在0以下有界/∈\'A，wher e\'A表示A的闭包。下面结果的证明可以在[1]：命题1中找到。

如果A在下面有界，那么N（·A）={N（t，A），t≥ 0}是强度为M（A）=E[N（1，A）]的aPoisson过程。我们注意到，由于我们假设H是可分离的，它也是光滑的，因此空间B=H\\{0}被赋予它的Borelσ-场B是一个Blackwell空间。我们需要这样做，因为考虑泊松测度的随机积分在Blackwell空间上得到了很好的定义。[22]之后，我们采用了It^o随机积分的定义，并将其定义为等距，这扩展了简单可预测过程中的经典等距。如果我们定义（~N）=PB-可测量过程σ：EZtZBkσ（s，x）kν（dx）ds< ∞那么每一次∈ 我们有ZtZBσ（s，x）~N（ds，dx）= EZtZBkσ（s，x）kν（dx）ds.正如我们将在下面看到的，任何L’evy鞅都可以表示为Aviener过程和补偿泊松过程的和。因此，结合布朗运动的标准积分理论，我们得到了一个定义良好的随机被积函数。备注2。众所周知，在有限维空间中，任何L’evy过程都有一个c’adl’ag修改。然而，一般来说，这个属性在banach空间中失效。但由于我们研究的是L’evy鞅，我们所考虑的过程可以假设满足这个性质（参见，例如[18]）。例如，在[14]中可以找到著名的H-valuedL\'evy过程的L\'evy–It^o分解的以下版本：定理1。（它是^o–LKevy分解）如果L是H值LKevy过程，则存在漂移向量b∈ H、 H上的Q-Wiener过程W和一个随机测度N，使得对于下面有界的任何a，W独立于Nt（a），并且我们有lt=bt+W（t）+Z | | | x |<1x | N（t，dx）+Z | |x||≥1xNt（dx），其中，ν是L′evy度量，而nTi是相应的泊松随机度量。备注3。

对于本文的其余部分，我们只对L’evy鞅的情况感兴趣，因此上面的分解采用以下形式lt=W（t）+ZtZBxN（dt，dx）。式中，N（dt，dx）是补偿泊松随机测度。假设1。由于我们将主要处理平方可积L′evymartingales，我们将需要以下条件来保持：ZBkxkν（dx）<∞.考虑到我们的L’evy过程是平方可积的，这个假设表示没有太多的大跳跃。在可分离的Hilbert空间中引入关于L′evy过程的随机积分是没有必要的，但它将被证明对第3.3节中的耦合论证至关重要。在本文中，我们将反复使用涉及测量变化的方法。为此，我们需要一个Girsanov定理的版本。以下是对[8]中定理15.3.10的重新表述：定理2。假设我们有一致有界函数β：Ohm ×[0，T]→ 手γ：B×Ohm ×[0，T]→ R+，使得γ（·，ω，t）- 1.∈ L（ν（dx））表示所有（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。我们定义QDP=EZ[0，·]β（ω，t）dWt+Z[0，·]ZB（γ（x，ω，t）- 1） ~N（dx，dt）T、 其中E表示Dol’s Dade指数。那么∧t:=dQdPFTI是一个正平方可积鞅，在QWQ:=W下-Z[0，·]β（ω，t）dt是一个维纳过程，其中积分被理解为一个级数（见Remark1）。N在Q下的补偿器由νQ（dx，dt）：=γ（x，ω，t）ν（dx）dt给出。备注4。一般来说，β均匀有界的假设是有必要的。然而，出于本文的目的，它允许我们通过改变测量来消除有界漂移。3.正向SDE在本节中，我们研究“正向”过程的特性，即{X}t≥τ、 对于某些τ≥ 0.它的作用可以直观地理解为BSDE驱动程序中的随机性来源。

我们首先向前求解X的动力学，然后在向后运行时将获得的值s插入BSDE。在我们的例子中，我们假设X是可分离Hilbert spa ce H上由L’evy噪声驱动的Ornstein–Uhlenbeck型方程的解。我们还假设系数是时间周期的。这是扩展现有理论的一种自然方式，在各种应用中都很有意义（见第6章）。3.1上下文我们从一个{at}t族开始这一节≥H上公共域D（A）稠密的线性算子的0，假设A:R+×D（A）→ H根据以下定义（见[14]）生成经验有界进化族：定义3。H上的指数有界演化族是一个双参数族{U（t，s）}t≥对H上的有界线性算子进行sof运算，使得r的U（s，s）=I和U（t，s）U（s，r）=U（t，r）≤ s≤ t、 o每x∈ H、 地图（t，s）→ U（t，s）x在s上是连续的≤ t、 存在M>0和u>0这样的t | | | U（t，s）| | op≤ 我-u（t）-s） 福斯≤ t、 备注5。“生成”指的是0≤ s≤ t对于所有x，我们有ddtu（t，s）x=A（t）U（t，s）x∈ H.评论6。关于指数有界进化家族的一种思考方式是对常见情况的时间相关的有限维修正，其中a是实d×d矩阵，其特征值具有非正实部。然后U取etA的形式，所有条件都满足。我们现在考虑由以下非自治的It^o SDEX（t，τ，X）=U（t，τ）X+ZtτU（t，s）Fs（X（s，τ，X））ds+ZtτU（t，s）G（s）dL（s），（3）给出的H值过程X是下面柯西问题的温和版本，dXt=a（t）Xtdt+Ft（Xt）dt+G（t）dLt，Xτ=X，t≥ τ. （4） 解的存在和唯一性的条件将在OREM 3中给出。对于本文的其余部分，我们假设如下假设2。

（i） 这个家族生成了一个指数有界的进化家族。他们的副词是A*（t） 也有一个公共域，在H.（ii）F:R+×H中是有意义的→ H是一个具有公共域D（F）的一致有界可测映射族，它在H（iii）中是稠密的(Ohm, F、 P）是一个完全概率空间，由L的It^o–LKevy分解得到的对（W，~N）在{Ft}t中具有可预测的表示性≥0.（iv）{Gt}t≥0是L（H，H）中的一致有界线性算子族，其公共域D（G）在H中稠密，且逆有界。（v） 线性算子U（t，·）G（·）在希尔伯特-施密特范数k·kt中一致有界，由kskT定义：=EZtTr（SuQS）*u） 杜,其中Q是L.（vi）系数A（t），F（t，·）和G（t）的维纳部分的协方差算子*– 周期性的*≥ 0，这是（t+t）*) = A（t），F和G也是如此。注7。上述标准k·k允许以下等距：EZtStdWt= kSkt，其中W是Q-Wiener过程，Q是迹类算子。对于具有自治系数的情况，即At=A，G（t）=Gand F（t，·）=F（·）T≥ 以下定理是定理9的直接推论。[18]中的29：定理3。假设A，F，G是时间齐次的，并且假设（i）F和G满足假设2，（ii）F是Lipschitz连续的。那么，尽管τ≥ 任何Fτ-可测平方可积随机变量H中的Xτ，方程dxt=（AXt+F（Xt））dt+GdLt，X（τ）=Xτ（5）具有唯一的（直到修改）温和解，具有c`adl`ag版本。此外0≤ τ ≤ T<∞, 存在C<∞ 这样，对于所有的x，y∈ H、 监督∈[τ，T]EkX（T，τ，x）- X（t，τ，y）k≤ Ckx- yk。（6） 备注8。现在假设F是有界且可测的，并且可以近似为Lipschitz函数的统一极限。

然后，我们可以修改[18]中定理10.14的假设，以证明方程（13）存在唯一的c`adl`ag mildsolution。换句话说，存在一个适应的H值dc`adl`ag过程{Xt}t≥τ、 使得方程xt=e（t-τ）Ax+Ztτe（s）-τ）AF（Xs）ds+Ztτe（t）-τ）AGdL（s），等于P- a、 此外，这个估计仍然成立。备注9。定理3可以向前扩展到非自治情况。在[14]中已经处理了线性情况。对于形式为（3）的半线性方程组，可以通过标准不动点引理证明其存在性，通过Gr–onwall引理证明其唯一性。由于这不是这项工作的主要目的，我们省略了证据。为了简化表示法，我们编写了Ust=U（t，s）和Ut=U（t，0）。确保（3）中的随机卷积在B¨ochner积分意义下存在，可以在[14]中找到以下结果：定理4。如果U是一个指数有界族，G s满足假设2，那么随机卷积XU，G:=RtτU（t，r）G（r）dL（r）存在于以下意义：ZtτU（t，r）G（r）dL（r）=ZtτU（t，r）G（r）dW（r）+ZtτZBU（t，r）G（r）xN（dr，dx）。定义4。每当f:H→ R是可测且有界的，我们称p（s，t）[f]（x）：=Ef（X（t，s，X））与（3）的解X有关的双参数跃迁s群。为了简化旋转，在续集中，我们将特别关注=0的情况，我们写Xxt:=X（t，0，X）和Pt[f]（X）=E[f（Xxt）]。然而，所有的结果，包括耦合估计，可以很容易地推广到更一般的P（s，t）[f]（·）情况。3.2耦合估计本小节的目标是获得lawscorres在不同初始条件下对（3）的两个解的指数收敛性。在一类有界非线性部分的过程中，我们需要这种收敛是一致的。