具有跳跃和时间依赖性的遍历盲源分离

我们给出了两个证明：一个适用于dim H<∞, 是基本的，在这个意义上，它不依赖于不变测度的存在。第二个是关于dim H=∞.定理6。对于任何x，x∈ H、 s≥ 对于任何固定的>0，我们定义τ：=inf{t≥ s:Xxt∈ B（x）}。然后P（τ>T）→ 0作为T→ ∞.证据：（直觉，模糊H<∞) 从定理5的证明步骤1中，我们知道我们不能找到半径R>0，因此我们的过程返回到球¨BR（0）的概率不是很小。然后我们用T步离散时间。我们知道，离散化过程通常会返回到“BR（0）”，通过引理5，从“BR（0）”跳到任何空位球的概率如下所示。然后，我们调用一个Borel–Cantelli类型的参数来证明这个定理。（正式程序，尺寸H<∞) 我们首先介绍一系列事件{En}n≥1asEn={存在k=1…n:Xxk?∈ B（x）}，并立即注意到“嗯-1） =P（{X（n)T，（n- 1） ~T，Xx（n）-1） ~T）∈ B（x）}，其中E表示E的补码，x（t，s，x）是（3）的解在时间t时的值，从时间τ=s开始，xτ=x。因此，P（En | | En）-1） =PX（n~T，（n- 1） ~T，Xx（n）-1） ~T）∈ B（x）≥ PXx（n）-1） ~T∈ BR（0），X（n~T，（n- 1） ~T，Xx（n）-1） ~T）∈ B（x）= PXx（n）-1） ~T∈ BR（0））P（X（nT，（n- 1） ~T，Xx（n）-1） ~T）∈ B（x）.因为（3）中的系数是T*-周期性和¨BR（0）是紧致的（因此[0，T*] ××BR（0）是紧致的），并且考虑到（3）的解相对于初始值的稳定性（如（6）所述），存在δ>0这样的pX（n~T，（n- 1） ~T，Xxn~T）∈ B（x）XxnT∈\'BR（0）> δ.亨塞克斯≥1P（En | En）-1) ≥ δXn≥1P（XxnT∈\'BR（0））。在定理5证明的“步骤1”中，我们展示了ekxxtk≤ L（kxke-2ut+c），因此通过马尔可夫不等式我们得到了p（kXxtk>R）≤LR（kxke-2ut+c）。很明显，我们可以选择R，这样1- P（kXxkTk>R）≥ 1/k适用于所有k≥ 1.

因此≥1P（En | En）-1) ≥ δXn1/n=∞,因此，通过Borel–Cantelli引理的对应物（见[5]），我们得出了p（τ<∞) = P(∪nEn）=1，结束证明。证明：（dim H=∞) 让函数ψ：→ R是有界的，是连续的。从定理7我们知道，对于任何x，y∈ H和0≤ T≤ t′我们有| Ps[ψ]（t，x）- Ps[ψ]（t′，y）|=|Ps[ψ]（t′，Xt，Xt′）- Ps[ψ]（t′，y）|≤ C（1+| | Xt，Xt′| |+| | y |）e-ρ（s）-t′）supu∈H | |ψ（u）| |。（19） 利用（19）和半群Pt存在唯一不变测度ν的事实，我们可以证明（例如[20]）是指数混合的。换句话说，Ps[ψ]（t，x）→ ν（ψ）=Z[0，T*]×Hψ（t，x）ν（dt，dx）。现在我们设置ψ（t，x）=1x∈为了某个开局 H.那么Ps[ψ]（t，x）=P（Xt，xs）∈ A） 。根据定理5，我们知道对于所有的0≤ T≤ s、 x∈ 我们有p（Xt，xs）∈ A） >0。因此ν（[0，T*] ×A）=Z[0，T*]×HP（Xt，xs）∈ A） ν（dt，dx）=对于某些常数δA，δA>0。设置t=0和A=B（x），我们得到了→∞P（Xxt）∈ B（x））=ν（[0，T*] ×B（x））=Δ>0因此，根据[19]中的命题3.4.5，权利要求如下。4向后的SDESE现在从“向前”过程X开始考虑问题的“向后”部分。本节的组织如下：我们首先介绍了有限期内的贴现BSDE类别，并证明它们承认存在大量的解决方案。然后，我们使用上一节中获得的耦合估计来证明EBSDE解的存在性。下一小节是关于马尔可夫解的唯一性。最后，我们为解决方案提供了一个可选的表示。与[23]类似，我们对BSDE的驱动程序施加了某些假设。定义7。此后，我们假设具有跳跃的BSDE的驱动器是可测函数f：Ohm ×R+×R×H×L（B，B，ν）→ R.假设4。

对于所有的T，我们在驱动器rf（ω，T，y，z，u）上有以下条件：of在（ω，T）中是可预测的f是连续的w.r.ty，存在一个r+值过程（φt）0≤T≤Tsuch那RTφsds< ∞ 和| f（ω，t，y，z，u）|≤ φt+K|y |+| | z | |+ZB | u（v）|ν（dv）1/2of是“单调的”w.r.t y，即α ∈ R如此T≥ 0, y、 y′∈ RZ∈HU∈ L（B，B，ν）（y）- y′（f（ω，t，y，z，u）- f（ω，t，y′，z，u））≤ α| y- y′| P- a、 s.of是Lipschitz w.r.t.z，尤其是uK≥ 0 : T∈ [0，T]，Y∈Rz、 z′∈ Hu、 u′∈ L（B，B，ν）|f（ω，t，y，z，u）-f（ω，t，y，z′，u′）|≤ K | | z-z′| |+KZB | u（v）- u′（v）|ν（dv）1/2为了得到一个比较理论，我们做了以下进一步的假设。假设5。存在-1<C≤ 0和C≥ 0以至于十、∈ HZ∈ H*, u、 u′∈ L（B，B，ν，R）我们有f（ω，t，y，z，u）- f（ω，t，y，z，u′）≤ZB（u（v）- u′（v））γω，z，u，u′t（v）ν（dv），其中γω，t，z，u，u′：Ohm ×B→ R在所有参数中都是可测量的（可预测×Borel），并且满足（1∧ ||x | |）≤ γω，t，z，u，u′（x）≤ C（1）∧ ||x | |）代表所有v∈ B.在[23]中可以找到以下具有跳跃的有限视界BSDE的存在定理。本文考虑了有限维布朗运动的情况。在有限维情况下，W是aQ维纳过程的扩展是直接的（详情见[8]）。定理7。在假设4下，存在唯一解（Y，Z，U）∈（S×L（W）×L（ν）），对于任何终端条件η∈ L（FT），根据方程y=η+ZTtf（ω，u，Yu，Zu，Uu）du-ZTtZ*乌德乌-ZTtZBUs（x）~N（ds，dx）。引理6。在假设5下，对于每个Y，Z，U，U′都存在一个过程γt=γω，Yt，Zt，Ut，U′tsuch thatf（ω，t，Yt，Zt，Ut）- f（ω，t，Yt，Zt，U′t）=ZB（U（v）- 证明：我们首先注意到t>0，ω ∈ Ohm, Z∈ H*, u、 u′∈ 存在满足C（1）的γω，z，u，u′1，t（v）和γω，z，u，u′2，t（v）∧||v | |）≤ γi，t（v）≤ C（1）∧||v | |）对于i=1。

ω（2，y，z，t）- f（ω，t，y，z，u′）≤ZB（u（v）- u′（v））γω，y，z，u，u′t（v）ν（dv）和f（ω，t，y，z，u）- f（ω，t，y，z，u′）≥ZB（u（v）- u′（v））γω，y，z，u，u′2，t（v）ν（dv）。然后存在αt=α（t，ω，y，z，u，u′），这样f（ω，t，y，z，u）- f（ω，t，y，z，u′）=ZB（u（v）- u′（v））（αtγω，z，y，u，u′1，t（v）+（1- αt）γx，z，y，u，u′2，t（v））ν（dv），我们立即看到αt=f（ω，t，y，z，u）- f（ω，t，y，z，u′）-RB（u（v）- u′（v））γω，z，y，u，u′2，t（v）ν（dv）RB（u（v）- u′（v））（γω，y，z，u，u′1，t（v）- γω，y，z，u，u′2，t（v））ν（dv）∈ [0,1]，注意到如果分母为零，则αt=1满足要求。现在，请注意∈ [0，t]和v∈ B我们可以明确定义γt（v）=α（t，ω）γω，Yt，Zt，Ut，U′tt（v）+（1- α（t，ω））γω，Yt，Zt，Ut，U′t2，t（v），其中α（t，ω）=α（t，ω，Yt，Zt，Ut，U′t），很明显，γtsatis fies（20）。4.1在有限视界bsdesign中，我们表明在有限视界BSDE内存在一个唯一的bo unded解，即方程Yt=Yt-ZTt(-αYu+f（ω，u，Zu，Uu））du+ZTtZudWu+ZTtZBUs（x）~N（ds，dx），（21），这将证明对下一节中的遍历BSDE研究至关重要。为了继续，我们需要田中的一般半鞅公式。例如，可以在[8]中找到以下版本。这里，我们使用符号（x）=x/|x |表示X6=0，符号（0）=0的约定。引理7。（田中公式）设X是半鞅，a∈ 然后存在一个连续增长的局部时间过程La和一个纯跳跃过程LX，a，La（0）=0（唯一P- a、 因此X允许以下表示：d | Xt- a |=符号（Xt）-- a） dXt+dLat+LX，在哪里LX，at=|Xt- a|- |Xt-- a|- 签名（Xt）-- （a）XT是一个“本地时间”跳转过程。备注16。如果我们考虑上述过程LX，我们注意到LX，at=|Xt- a|- |Xt-- a|- 签名（Xt）-- （a）（Xt）- a） =|Xt- a|- 签名（Xt）-- a） （Xt）- a） =|Xt- a |（1）- 符号（（Xt）-- a） （Xt）- a） ））≥ 0.定理8。

设α>0和f：Ohm ×R+×H*×R→ R满足假设4和假设5，f（w，t，0，0）|由C统一约束∈ r存在一个适应的解决方案（Y，Z，U），其中Y c`adl`ag和Z∈ L（W），U∈ 对于所有0，L（~N）到有限水平方程（21）≤ T≤ T<∞, 满意的| Yt |≤ C/α，这个解在有界适应解中是唯一的。此外，如果（YT，ZT，UT）表示（唯一）适应的平方可积解toYTt=ZTt(-αYTu+f（ω，u，ZTu，UTu））du-ZTt（ZTu）dWu-ZTtZBUs（x）~N（ds，dx）（22）然后limT→∞YTt=Yta。s、 证明：我们首先证明，如果有界解存在，它是唯一的。假设我们有两个有界解（Y，Z，U）和（Y′，Z′，U′）到（21）。WedenoteδY:=Y- Y′，δZ:=Z- Z′和δU=U- U′。我们还表示αs:=（f（ω，s，Zs，Us）-f（ω，s，Z′，Us）| |δZ | |δZ如果Z 6=Z′，则为0。现在定义Mt=RtαsdWs+RtRBγs（x）~N（ds，dx），其中γ=γω，t，Z′，U，U′定义为引理6。然后我们可以用定理2证明存在一个概率测度Q~ P使得在Q下，过程kt=ZTt（f（ω，u，Zu，Uu）- f（ω，u，Z′u，u′u））du+ZTtδZ*udWu+ZTtZBδUs（x）~N（ds，dx）是鞅。我们现在应用田中的公式和备注16来了解所有的≤ T≤ 我们没有-αt |δYt |- E-αs |δYs | Fs]≥ 0，因此|δYs |≤ E-α（t）-s） 等式[|δYt | Fs]≤ E-α（t）-s） C，对于|δYt |上的ca界。这个界独立于T，并随着T而崩溃→ ∞.因此|δYs |=0，从中我们可以看到Ys=Y′sa。s、 对于每个s，因此Y=Y′直到不可区分，因为Y和Y′是c`adl`a g。我们现在证明了有界解的存在。我们首先注意到，T-horizon BSDE（22）确实存在一个独特的解决方案。为了看到这一点，通过一个标准的比较参数，必须检查我们的新驱动程序，即F（ω，t，y，z，u）：=-αy+f（ω，t，z，u）满足假设4，前提是f满足。

这一点很清楚，因为我们的附加项不依赖于（z，u），它是连续且单调的。我们将解表示为（YT，ZT，UT）。我们现在证明YTis是有界的。与上述类似，我们定义了βs:=（f（ω，s，ZTs，UTs）-f（ω，s，0，UTs）| | ZT | ZTsif ZTs6=0,0，否则。表示Mt=RtβsdWs+RtRBγs（x）~N（ds，dx），其中γ=γω，0，U，0是引理6中的定义。然后，如上所述，存在一个概率测度Q~ P、 在这个过程中Kt=ZTt（f（ω，u，Zu，Uu）-f（ω，u，0，0））du+ZTtZ*udWu+ZTtZBUs（x）~N（ds，dx）是一个鞅，因此e应用田中的fo公式和It^o公式-αt | YTt |我们认为| YTt |≤ eαtEQhZTte-αu | f（ω，u，0，0）| duFti≤ C/α（23），其中C是| f（ω，t，0，0）|上的界。因此它是一致有界的。我们现在证明了在T中，Y在T的紧集上均匀地形成了一个柯西序列≥ 我们定义ρs：=f（ω，s，ZTs，UTs）-f（ω，s，ZT′，UTs）|ZT-ZT′| |（ZTs）- ZT′s）如果ZTs6=ZT′s，则为0，表示“Mt=RtβsdWs+RtRB”γs（x）~N（ds，dx），其中“γ=γω，ZT′，UT，UT′定义为引理6。如上所述，应用田中的公式和不等式（23），我们观察到| YTt- YT’t|≤ E-α（T）-t） E\'Q[|YT\'t- YTt | |英尺]≤ 2Ce-α（T）-t） /α，（24）其中“Q”的定义方式与Q类似。因此，我们看到YTtis是t中的Cauchysequence，因此存在极限，我们将其表示为Yt。不等式（23）中建立的界也适用于Yt，从等式（23）中可以清楚地看出，一致收敛于碰撞。我们现在展示了ZT和UTT是不连续的序列。我们表示Zt=ZTt- ZT′tandUt=UTt- UT\'t.将其应用于~Yt, 式中Yt:=YTt- YT\'t。然后，在‘Q’下进行标准计算后，我们看到，对于每个t<t，~YT=~Y+E’QZtZB | | Us（v）|ν（dv）ds+eqZt | | Zs | ds+2αE′QZtYsds.鉴于我们的索赔如下。因此，极限为T→ ∞ 序列{ZTt}和{UTt}存在。把Z和U作为它们各自的极限，我们得到了我们想要的解（Y，Z，U）。假设6。

（马尔可夫结构）在续集中，我们将假设驱动程序f是马尔可夫的，对于一些可测量的f，isf（ω，t，Zt，Ut）=f（Xt（ω），Zt，Ut）。为了方便起见，我们简单地为f的推论1写f。设（Yα，x，s，Zα，x，s，Uα，x，s）为解的唯一有界解-ZTt(-αYα，x，su+f（x（t，s，x），Zα，x，su，Uα，x，su））du+ZTt（Zα，x，su）*对于某些s，dWu+ZTtZBUα，x，ss（x）~N（ds，dx），（25）在[s，T]上≥ 0.我们通过vα（s，x）=Yα，x，ss定义函数vα。然后，假设vα是可测的，Yα，x，st=vα（t，x（t，s，x））是一个解，并且通过唯一性我们也得到vα（s，x）是有界的。也不难看出过程sz和U是马尔可夫的，换句话说，对于某些确定性的vα，ξα，ψα，可以将解三重态（Yt，Zt，Ut）表示为（vα（t，Xt），ξα（t，Xt），ψα（t，Xt））。有关马尔科夫代表的详细信息，请参见[8]。在接下来的内容中，我们将反复使用测量的变化来消除BSDE中驱动程序的各个部分。根据引理4，为了使用定理5的结果，我们需要确保在新的测度下，过程{Xt}t漂移的非线性≥0可以近似为fLipschitz函数的统一极限。因此，我们需要以下假设：假设7。用推论1表示，函数θα：R+×H→R、 定义为α（t，x）：=f（x，0，ψα（t，x））- 对于所有α>0.4.2遍历BSD，f（x，0，0）可以点表示为一致有界Lipschitz（in x）函数族的极限。现在，我们使用与定理8中相同的技术来获得遍历BSDEYt=YT+ZTt[f（Xxu，Zu，Uu）的解-λ] 杜-ZTtZ*乌德乌-ZTtZBUs（x）~N（ds，dx），（26）其中0≤ T≤ T<∞, f:H×H*×R→ R是一个给定的函数，Y是一个重新赋值的c`adl`ag随机过程，Z是H中的一个预dic表过程*.

我们以这样的方式改变度量，以消除漂移项，然后获取期望值，然后将T发送到单位。在我们的例子中，生成器通过正向过程X（t，s，X）依赖于ω，我们定义了测量Qx，α，t，使得过程Kt=ZTt（f（X（u，s，X），Zαu，X，s，uαu，X，s）- f（X（u，s，X），0，0））du+ZTt（Zαu）*dWu+ZTtZBUαs（x）~N（ds，dx）是[s，T]上的Qx，α，T-鞅。然后，在Qx，α，T下，我们有-αsvα（s，x）=EQx，α-αTvα（T，X（T，s，X））+Z]s，T]e-αuf（X（u，s，X），0，0）dui。As | vα（t，X（t，s，X））|≤ 所有0的C/α≤ T≤ T，让T→ ∞ 我们在这里-αsvα（s，x）=limT→∞EQx，α，ThZ]s，T]e-αuf（X（u，s，X），0，0）dui。为了继续进行，我们注意到，在新的测量下，我们的正向SDE的形式为（dXt=A（t）Xt+FQ（t，Xt）dt+G（t）dLtXs=x，（27），其中FQ（·，·）是测量Q下的非线性，包括新的漂移项。引理8。映射FQ（t，x）是有界的，可以表示为一致有界Lipschitz函数族的点极限。证据：我们清楚地知道FQ的结构。定义ρs（x）：=（f（x，ξα（s，x），ψα（s，x））-f（x，0，ψα（s，x））| |ξα（s，x）| |（ξα（s，x）），如果ξα（s，x）6=0,0，否则。式中，Zs=ξα（s，Xs）和Us=ψ（s，Xs），如推论1所示。使用引理6，定义{γu}u≥sto-be-uch thatf（X（t，s，X），0，Ut）- f（Xxt，0，0）=ZBU（v）γt（X（t，s，X），v）ν（dv）（28）对于所有t≥ 0.然后F（t，X（t，s，X））：=FQ（t，X（t，s，X））- Ft（X（t，s，X））可以写成¨F（t，X（t，s，X））=G（t）ρt（X（t，s，X））+ZBγt（X（t，s，X），r）G（t）rν（dr）。第一个参数是有界的，因为f在Z中是Lipschitz。通过与[11]中引理3.4相同的参数，我们还可以证明它是Lipschitz函数的一个逐点极限。第二项依赖于X（t，s，X），仅考虑过程γt。根据（28）和假设7，我们得出了结果。引理9。

对于推论1中定义的vα和任意x∈ H、 存在界C′和C使得| vα（s，x）- vα（s，x）|<C′（1+kxk+kxk）和α| vα（s，x）|<楔形分布在x，s和α中。证明：用上面的Qx，α，Tas，我们表示Pα（t，s）[f]（x）=EQx，α，t[f（x（t，s，x）），其中x（t，s，x）是（27）的温和溶液。然后我们得到| vα（s，x）- vα（t，x）|≤ eαs极限→∞EQx，α，ThZ]s，T]e-αuf（X（u，s，X），0，0）dui- 极限→∞EQx，α，ThZ]s，T]e-α（u）-s） f（X（u，s，X），0，0）酒后驾车+ C′s- t|≤Z∞东南方-α（u）-（s）Pα（u，s）[f（·，0，0）]（x）- Pα（u，s）[f（·，0，0）]（x）du+C′s- t|≤ C′（1+kxk+kxk）+C′|s- t |，每0≤ T≤ s、 其中C′和C′与α无关。最后一步我们使用定理5的结果。不等式α| vα（s，x）|<C源自定理8。备注17。我们注意到，由于周期结构，vα（t+t*, x） =vα（t，x），因此，对于固定的s≥ 0和x∈ H、 kvα（t，x）- vα（s，x）k≤ kvα（t，x）- vα（t，x）k+kvα（t，x）- vα（0，x）k≤ C′（1+kxk）+supu∈[s，s+T*]kvα（u，x）- vα（s，x）k≤ C′（1+kxk）+C′T*.假设vα在时间上是一致的Lipschitz，我们有kvα（t，x）- vα（s，x）k≤ C′（1+kxk）对于某些新常数C′。10引理。存在一个束缚C，比如kxvα（t，x）k≤\'C（1+kxk）。在x，t和α中保持一致。证明：我们首先对过程{X（t，τ，X）}t的灵敏度进行估计≥τ相对于初始值x（对于剩余部分，我们使用符号Xt，xs表示x（s，t，x））。根据标准ar公式（参见，例如[24]），可以证明，对于任何固定的≥ τ、 存在一个常数ct>0，如hthatekhdxxτ，xt，hik≤ ctkhk（29）适用于任何方向h∈ H

我们还知道，对于任何t>0的情况，都存在一个概率测度Qx，t~ P、 使得vα（t，x）=EQ，x，tE-αvα（t+1，Xt，Xt+1）-Zt+1te-α（s）-t） f（Xt，xs，0，0）ds.自从xvα（t，x）=x[vα（t，x）- E-αvα（0，0）]，然后我们得到xvα（t，x），hi=e-αEQ，x，tx~vα（t+1，Xt，Xt+1）hDxX（t+1，t，x），hi- 等式，x，tZt+1te-α（s）-（t）xf（Xt，xs，0，0）hDxX（s，t，x），hids，（30），其中vα（t，x）：=vα（t，x）- vα（0,0）。我们需要的最后一个公式是所谓的Bismut–Elworth公式（对于L’evy噪声情况，请参见，例如[24]）：ψ（X（s，t，X））ZstG-1（s）VhsdWs= （s）- t） hh，DxP（t，s）[ψ]（x）i，其中Vhs=hDxX（s，t，x），hi和P（t，s）是与x（·t，x）相关联的双参数半群。设置ψ（·）=vα（t+1，·）和φ（·）=f（·，0，0），我们注意到athdxp（t，t+1）[ψ]（x），hi=x~vα（t+1，Xt，Xt+1）Vht+1和hdxp（t，s）[φ]（x），hi=xf（Xt，xs，0，0）Vhs。因此，两次使用Birit–Elworth配方，我们得到xvα（t，x），hik≤ 2e-αEQ，x，t~vα（t+1，Xt，Xt+1）Zt+1tG-1（s）VhsdWs+ 2.等式，x，tZt+1te-α（s）-（t）xf（Xt，xs，0，0）Vhsds≤ 2EQ，x，tk~vα（t+1，Xt，Xt+1）kEQ，x，tZt+1kg-1（s）Vhskds+ 2Zt+1t等式，x，tkφ（Xt，xs）k（s- （t）-2EQ，x，tZstkG-1（u）Vhukduds。从备注17中，我们知道kvα（t+1，Xt，Xt+1）k≤ C′（1+kXt，xt+1k），kφ（·k）≤ C.随后的索赔考虑到（29）和以下事实：-1（t）是一致有界的。定理9。存在一个序列αn→ 0，一个有界确定性函数v:R+×H→ R和常数λ∈ R、 使得（vαn（s，x）- vαn（s，x））→ v（s，x）和αnvαn（s，x）→ λ表示所有的s≥ 0，x∈ H.证明：由于H是一个可分空间，因此存在一个稠密子集V R+×H.在V上，我们可以用一个对角过程来构造一个序列eαn0，例如（Vαn（s，x）- vαn（s，x））→ v（s，x）和αnvαn（s，x）→ λ对于某些函数v:v→ R和一个实数λ。通过引理9和引理10，我们知道函数vα在时间和空间上都是loc。