动态风险管理中的道德风险

这是一个简单的优化问题：根据Girsanov定理（假设适当的技术条件），与第一个最佳问题类似，代理的目标可以写成-EP*这个-拉特[gs]-Gs]dsi，对于适当的概率P*. 通过我们对G的定义，我们发现它永远不会大于-1，对于任何一对（v）来说，它都等于-1*（s） ，v*（s） ）（如果存在）使g最大化：=g（ZXs，Zs，ΓXs，Γs），s乘以s，ω乘以ω。因此，代理会选择其中一对。请注意，这意味着委托人总是可以让代理人对其中一个投资组合头寸漠不关心。例如，如果bis不是零，她可以设置ZX=-αβ/b和ΓX≡ β、 使g独立于v，因此代理人对v不感兴趣。如果只有一种股票，比如S，这也是可能的，因此在这种情况下，如果我们假设代理人在不感兴趣时会选择对委托人最有利的股票，就可以通过这样的合同获得第一个最佳股票。2.2.1可收缩S：如果观察到Sis，则可通过两种风险资产获得第一个最佳结果，然后观察到Sand X之间的协变量，这意味着观察到vis。由于还观察到了二次变化，因此观察到了| v |，并且，如果观察到的过程是可收缩的，我们预计第一个最好的结果是可以实现的。的确，（v）*,五、*) 通过最大化g=-β（v）- α)-β（v）- α） +ZXb·v+Γv+ΓXkvk+Zb+（Z）+2ZZXv。例如，假设b6=0，β≤ β. 假设主集ΓXt≡ β、 ZXt≡ -αβ/b，Γt=-αβ- ZXtb+（β- β） vFB，Z≡ 0.那么，g=（β- β)五、- vvFB+ 康斯特。我们看到代理人对vhe适用的内容漠不关心，他会选择*= vFB。因此，如果在漠不关心的情况下，代理人会选择对委托人最有利的行为，他会选择最有利的行为。

还可以证明委托人将通过本合同获得第一预期效用。2.2.2不可收缩SIf Sis不可收缩，最佳（v*,五、*) 通过最大化g（v，v）=-β（v）- α)-β（v）- α） +ZXb·v+ΓXkvk。例如，假设β≤ β. 如果ΓX>β，那么代理将最佳选择|v*| = ∞. 这是为了验证这对委托人来说不是最优的。如果ΓX=β且ZXis不等于(-αβ). 如果ΓX=β和ZX=-αβ，那么代理对于选择哪个vto是无关紧要的。如果ΓX<β≤ β、 最佳位置为V*i=ZXbi+αiβiβi- ΓX.委托人的效用与-Ehe-RP（RT[（1-ZXs）dXs-ΓXsdhXis+Gsds]）i.使用上述选项v*i、 通过与上述类似的Girsanov概率测度变化，可以进一步验证，在Z=zx和Γ=ΓX，b·v上，最大化与最大化是相同的*（Z，Γ）-[RAZ+RP（1- Z） ]千伏*K- k（v）*（Z，Γ）。这是一个可以用数字来解决的问题现在，我们给出一个数字示例，它将向我们展示：第一，无法获得第一个最佳结果；第二，最优合同包含非零二次变化分量，忽略它可能导致预期效用的重大损失；第三，委托人奖励代理人承担高风险的参数值（不同于实践中投资组合夏普比率的典型使用）。在图1中，我们绘制了当改变参数α并保持其他一切不变时，委托人的第二最佳效用确定性与第一最佳效用确定性的相对损失百分比。对于初始暴露α的极端值，损失可能非常大。也就是说，当初始风险敞口远不理想时，向代理人提供激励以调整风险敞口的道德风险成本很高在附录中，我们提供了优化器存在的充分条件。

在数值上，我们找到了所有参数选择的优化器。在图2中，我们将委托人的第二最佳确定性与她将获得的第二最佳确定性进行了比较，如果提供的合同在输出中是线性的，但不依赖于其二次变化的，则该合同是最优的。我们再次看到，相应的相对百分比可能很大。图3绘制了系数（灵敏度）乘以最优契约中的二次变化的值。我们看到，委托人使用二次变异作为激励工具：对于初始风险敞口α的低值，她希望通过奖励高变异来增加风险敞口（敏感性为正），对于其高值，她希望通过惩罚高变异来降低风险敞口（敏感性为负）。这是因为当初始风险敞口α不是期望值v时*, 需要采取激励措施，使代理人付出昂贵的努力来调整暴露。在本文的其余部分中，我们对这个例子进行了概括，旨在描述可以用（2.2）表示的合同支付，其定义类似于（2.3）。3一般模型我们考虑输出过程Xv的以下一般模型，a:Xv，at=Ztσs（vs）·（bs（as）ds+dBs），（3.1），其中（v，a）表示代理的控制对，还允许单独的控制a偏移，其中v和a是适应的过程，取Rm×Rn的某些子集v×a中的值，用于某些（m，n）∈ N*×N*.

此外，b:[0，T]×A-→ Rd和σ：V-→ 给出了确定函数kb（a）k+kσ（v）k≤ C（1+kvk+kak），（3.2）对于某些常数C>0，B=（B，…，Bd）是d维布朗运动，乘积是向量的内积，或作用于向量的矩阵。委托投资组合管理的例子对应于m=n=d，σt（v）：=vTσ，bt（a）：=b，（3.3）对于某些固定的b∈ 以及一些可逆的d×d矩阵σ。在这种情况下，过程Xv，AI的解释是投资组合价值过程的解释，取决于代理人选择波动矩阵σ为d的风险资产中投资组合美元持有量的向量V，以及风险溢价的向量b。另一个特例是Holmstrom和Milgrom（1987）的原始连续时间委托代理模型，当d=1时，v是固定的，且代理人仅控制a。除了输出过程Xv，a，我们可能希望允许基于额外可观察和可收缩风险因素B的合同，。。。，Bd，大约1≤ d<d。例如，St=S+uSt+σsbt可能是可收缩股票指数的模型。通常在契约理论中，为了便于处理，模型在其所谓的弱公式中被考虑，在该模型中，代理人不是通过直接改变控制（v，a），而是通过改变潜在概率空间上的概率度量来改变输出过程。在标准的连续时间合同模型中，当努力只存在于漂移中时，改变度量是通过Girsanov定理来实现的。然而，直到最近，这种工具还不能用于改变波动性时所需的单一度量变化，这里的例子就是这样。

我们现在可以用数学严格地表述我们问题的弱表述。§然而，我们采取了一种不同的方法：我们将采用随机控制的标准强公式（不改变度量），而不是假设弱公式。我们仍然能够明确地描述代理问题的解决方案，但只能在一个受限的可接受合同族中。我们将提供一个假设，根据该假设，合同属于受限制的家族，我们将论证该家族包括所有实践中相关的合同，并且如果v是固定的，我们将证明该假设不具有限制性。因此，我们也提供了一种新的替代方法来解决Holmstrom Milgrom（1987）的问题。我们首先需要介绍一些符号和框架。我们研究正则空间Ohm [0，T]上的连续函数及其Borelσ-代数F。d-维标准过程表示为B，F:=（Ft）0≤T≤这是它的自然过滤。让Pdenote the d-二维维纳测度Ohm. 因此，B是d-P下的维布朗运动。我们用P下的期望算子表示。取v×A值的一对（v，A）F-可预测过程称为可容许的ifZT |σs（vs）·bs（as）|+∞, P- a、 东南部经验pZT | |σs（vs）| | ds< +∞, 对于所有p>0，（3.4）和Z·bs（as）·dBs是L1+η中的P-鞅，对于某些η>0，（3.5）§我们在本文的早期版本中使用了弱公式。有趣的是，为了得出这些结果，即使我们使用强公式，我们也需要在证明中使用弱公式。事实上，对于我们限制族中的可容许契约，代理问题的弱公式和强公式是等价的。式中kσs（vs）k-D∑i=1σis（vs）6= 0.

（3.6）此外，我们假设载体b的第一个序列不依赖于控制过程a（因为它们将对应于外源性收缩因子）。克雷马克3.1。条件（3.6）实际上不需要证明我们的结果；只有在我们的计算中，才需要激发可接受合同的定义。如前一节中的示例所示，我们假设代理人仅在最后一个时间T支付金额ξT。当代理人选择控制（v，a）∈ U，委托人的效用为up（Xv，在- ξT），且该试剂的效用为-E-RA（ξT）-Kv，a0，T），其中Kv，at，T=ZTtk（vs，as）ds。k:Rm×Rn-→ R是一个非负（凸）成本函数。4第二个最佳可收缩风险在本节中，我们假设只有一个外部可收缩风险因素，即我们设置d=1**. 因此，我们将Bas解释为可观察和可收缩的系统性风险。4.1设置我们允许合同报酬同时取决于输出Xv、a和B。也就是说，如果代理人选择了pairu:=（v，a），委托人可以提供与FobsT有关的可测量合同报酬，这是一个包含在过滤FOB中的σ字段：=FXv，a∨ fbx由（Xv，a，B）生成，其中fxv，a:={FXut}0≤T≤这是输出过程产生的（完成的）过滤。回想一下，我们的假设意味着B不依赖于a，并为可收缩和非可收缩因子引入以下符号：bob，v，a:=（Xv，a，B）T=Z·us（vs，as）ds+Z·∑s（vs）dBs，k上述可积条件适用于CARA效用函数的情况，并且可能需要对其他效用函数进行修改。下面我们将简要讨论一般情况。还请注意，如果a=0且σ=Id存在投资组合管理问题，则条件（3.6）意味着投资者必须投资至少一个非收缩风险源。

当没有可收缩的风险源时（即当d=0时），该条件降低为σs（vs）6=01，d。**我们可以使{B，…，Bd}的任何子集都是可收缩的，其余的都是不可收缩的。为了简单起见，我们假设只有一个可收缩的风险源，因为它也符合“系统风险-股票指数”的解释。我们将在下一节中考虑所有风险源都不可收缩的情况。波布--,v、 a:=Z·∑⊥s（vs）dBs，其中任何（v，a）∈ V×A和任何s∈ [0，T]，Rvectorus（v，a）和2×d矩阵∑s（v）由us（v，a）定义：=σTs（v）bs（a）！，∑s（v）：=σTs（v）I1，d！，对于I1，d：=101，d-1.,式中，0p，qdenotes是零的p×q矩阵。此外，∑⊥姐姐a（d）- 2） x d矩阵满足，对于任意v∈ V和任何s∈ [0，T]∑⊥s（v）∑Ts（v）=0d-2,2与∑⊥s（v）Σ⊥sT（v）=Id-2.换句话说，我们把与可收缩风险源“正交”的一切都视为不可收缩风险源。注意向量Bobs，v，aBobs--,v、 a当且仅当其二次变化的密度可逆时，t生成与B相同的过滤F。使用∑的定义⊥∑我们可以很容易地计算出Bobs，v，aBobs--,UTEsds=∑s（vs）∑Ts（vs）02，d-二维-2,2Id-2.它是可逆的当且仅当∑s（vs）∑Ts（vs）本身是可逆的。简单的计算使我们得出以下必要和充分的条件kσs（vs）k-σs（vs）6=0，这正好是d=1时的（3.6），从而解释了我们为什么假设（3.6）。4.2可接受的合同在本小节中，我们将定义可接受的合同报酬集。为了激发我们的定义，考虑在给定的控制选择（v，a）下，代理人在时间t的价值函数∈ UVA，v，at:=essup（v，a）∈U（（v，a），t）EthUA（ξt）- 其中集合U（（v，a），T）表示与（v，a），dt×P重合的U元素子集-a、 e.在[0，t]上。

注意，我们在收益和值函数的终值之间有以下明确的关系：ξT=U-1A（VA、v、aT）. （4.8）我们的想法是考虑我们可以合理预期的价值函数Vat的最一般表示，然后通过（4.8）确定可接受的合同报酬。当ua是一个CARA效用函数时，我们可以从（4.8）中猜测，它收缩ξ皮重，使得ξtca可以写成各种积分的线性组合。例如，在没有外部可收缩因子的特殊情况下d=0，我们可能期望合同满足Yua（ξT）=C exp-拉ZTZsdXv、as+ZTYSDHV、ais+ZTHsds,对于一些常数C<0和一些适应过程H，Y，Z，UA（x）=-E-RAx，这将给出ξT=~C+ZTZsdXv，as+ZTYsdhXv，ais+ZTHsds，（4.9）对于一些常数C。我们将完全承认这种形式的合同，但考虑到（4.8），我们将对过程H施加一些限制。

接下来，我们将以一种正式的方式呈现这种推理，以激发随后的定义。注意，VA，v，atis是一个Ft-可测量的函数，因此可以写成函数形式asVA，v，at=VAt、 Bobs，v，a，Bobs--,v、 答。= 弗吉尼亚州t、 （Bobs，v，as）s≤t、 （Bobs--,v、 as）s≤T.如果价值函数在Dupire（2009）功能分化的意义上是平滑的（有关更多详细信息，请参见Cont和Fourni’e（2013）），那么，Dupire时间导数tVA，v，aexists，你可以找到可预测的过程Zv，a=~Zobs，v，aZobs--,v、 a！和Γv，a=Γobs，v，aΓobs--,v、 a！，带着~~Zobs，v，a，~Zobs--,v、 在兰德路-分别为2，Γobs，v，a，Γobs--,v、 A空间和Sd中的最大值-对于对称矩阵，我们对其^o规则进行了以下推广（见Dupire（2009）中的定理1或Cont和FourniKe（2013）中的定理4.1），dVA，v，at=tVA，v，at+TrhΓobs，v，atdhBobs，v，aiti+TrhΓobs--,v、 atdhBobs--,v、 aiti+~Zobs，v，at·dBobs，v，at+~Zobs--,v、 at·dBobs--,v、 在=tVA，v，at+TrΓobs，v，at∑t（vt）∑Tt（vt）+TrΓobs--,v、 在+~Zobs，v，at·u（vt，at）dt+∑Tt（vt）~Zobs，v，at+Σ⊥TT（vt）~Zobs--,v、 在· dBt，P- a、 美国。

（4.10）例如，如果我们恰好处于马氏情形，其中VA，v，at=f（t，Bobs，v，at，Bobs）--,v、 at）对于一些光滑函数f（t，x，y），那么，根据它的^o法则，过程Zobs，v，a，~Zobs--,v、 a和Γobs，v，a，Γobs--,v、 a由Zobs，v，at=xf（t、防喷器、v、at、防喷器--,v、 在……佐布斯--,v、 at=yf（t，Bobs，v，at，Bobs--,ut），Γobs，v，at=xxf（t，防喷器，v，at，防喷器--,v、 在--,v、 at=yyf（t，Bobs，v，at，Bobs--,v、 在），与十、xx，Yyy表示对相应变量的偏导数。接下来，根据经典随机控制理论的鞅最优性原理，动态规划原理建议过程VA，v，ateRAKv，a0，t对于所有容许控制（v，a）都应该是一个上鞅，对于任何最优控制（v*,A.*), 只要存在这种情况。通过正式证明超鞅的漂移系数为非正，鞅的漂移系数必须为零，我们得到了以下路径相关的HJB（Hamilton-Jacobi-Bellman）方程：- tVA，v，at+RAVA，v，atG（t，Zv，at，Γv，at）=0，其中（Zv，at，Γv，at）：=-拉瓦，v，在~Zv，at，~Γv，at, 其中g（t，z，γ）：=sup（v，a）∈V×Ag（t，z，γ，V，a），（4.12）和g（t，z，γ，V，a）：=-k（v，a）+zobs·ut（v，a）+Trγobs∑t（v）∑Tt（v）+Trγobs--.将上述内容代入（4.10），其结果如下：- a、 s，d（VA，v，ateRAKv，a0，t）=- RAVA，v，ateRAKv，a0，tg（t，Zv，at，Γv，at，vt，at）- G（t，Zv，at，Γv，at）dt- 拉瓦特拉科夫，a0，t∑t（vt）TZobs，v，at+Σ⊥T佐布斯--,v、 在· dBt。