动态风险管理中的道德风险

（4.13）然后我们通过直接求解后一个随机微分方程thatVA，v，aT=VAexp拉ZTG（t，Zv，at，Γv，at）-TrΓobs，v，atdhBobs，v，ait-TrΓobs--,v、 在dt×exp-拉ZTZobs，v，at·dBobs，v，at+razzzobs，v，at·dhBobs，v，aitZobs，v，at×exp-拉ZTZobs--,v、 at·dBobs--,v、 at+RAZT佐布斯--,v、 在dt, P- a、 接下来，我们记得委托人必须仅基于Fobsonly信息集提供合同。根据Gwe的定义，可以检查ξt的表达式是否与Γobs无关--,v、 我们希望它也不依赖于Zobs--,v、 a，也就是说，有佐布斯--,v、 a≡ 0.在这种情况下，从（4.8）开始，表示gobs（t，zobs，γobs）：=sup（v，a）∈V×Agobs（t，zobs，γobs，V，a），（4.14）和gobs（t，zobs，γobs，V，a）：=-k（v，a）+zobs·ut（v，a）+Trγobs∑t（v）∑Tt（v）.合同报酬ξ2的定义如下：定义4.1。可容许合同报酬ξT=ξT（Z，Γ）是一个FobsT-满足（ξT（Z，Γ））=Ce的可测量随机变量-拉特涅茨·德博斯，v，at-Gobs（t，Zt，Γt）dt+TrΓt+razzttdhBobs，v，aito、 （4.15）对于某些常数C<0，以及某些有界fob对（Z，Γ）-可预测的过程，其值分别为S和S，因此存在一个最大化器（v*（Z，Γ），a*（Z，Γ）∈ U of gobs（·，Z，Γ），dt×dP-a.e。。我们用C表示所有可容许契约的集合，用U表示相应（Z，Γ）的集合。有界性假设是技术性的，假设它可以简化证明，并且可以放松。如示例部分所示，如果最优Z和Γ是常数过程，则满足假设。需要gobs（·，Z，Γ）具有最大化子的假设来证明合同ξT的激励相容性，并解决委托人的问题。备注4.2。

除了常数项和“dt”积分项外，使用UAa CARA效用函数，可容许契约在以下因素中是线性的（在积分意义上）：可收缩变量，即输出和可收缩风险源；以及收缩变量的二次变异和交叉变异过程。正如在numericalexample中所看到的，最优契约通常使用所有这些组件。这与第一最佳合同以及HolmstromMilgrom（1987）中仅使用输出的漂移控制情况形成对比，。备注4.3。我们现在认为，在技术条件下，对于给定函数F，一个形式为ξT=F（Xv，aT，BT）的“类选项”契约是一个可容许契约。为了简单起见，假设b=0，a=0，考虑偏微分方程，下标表示偏导数，G=G（z，z，γ，γ，γ，γ），其中γ和γ是对称矩阵γ的对角项，γ是非对角项的值，ut+G（ux，uy，uxx）- 劳克斯，乌伊- 劳伊，尤西- RAuxuy）=0，（t，x）∈ [0，T）×R，u（T，x，y）=F（x，y）。然后，假设偏微分方程有一个光滑解，它遵循^o的公式应用于tou（T，Xv，T，Bt）thatF（Xv，0T，Bt）=u（0，0，0，0）+ZTux（s，Xv，0s，Bs）dXv，0s+ZTuy（s，Xv，0s）dBs+ZTuxx（s，Xv，0s，Bs）dhXv，0is+uyy（s，Xv，0s，Bs）dhBis+ZTuxy（s，Xv，0s，Bs）dhXv，0，Bis-ZTGobsux，uy，uxx- 劳克斯，乌伊- 劳伊，尤西- 劳克斯（s，Xv，0s，Bs）ds。因此，F（Xv，0T，BT）的形式为ξT（Z，Γ），其中向量zt具有由ux（T，Xv，0T，BT）和uy（T，Xv，0T，BT）给出的条目，其中矩阵Γ是由（uxx）给出的对角线条目-劳克斯（t，Xv，0t，Bt），（uyy）- RAuy）（t、Xv、0t、Bt）和（uxy）给出的非对角线条目- 劳克斯（t，Xv，0t，Bt）。在本节末尾，我们表明，根据上述可受理合同的定义，可以描述代理人的最佳行为。

在给定Z，Γ：V（Z，Γ）={（V）的情况下，介绍一组对最大化采空区而言是最佳的控制*（Z，Γ），a*（Z，Γ）），以满足定义4.1的条件。下一个命题指出，对于给定的合同ξT（Z，Γ）∈ C、 任何控制（v*（Z，Γ），a*（Z，Γ）∈V（Z，Γ）对于代理是最优的。提议4.1。可容许契约ξT（Z，Γ）∈ （4.15）中定义的C与V（Z，Γ）是激励相容的。也就是说，给定合同ξT（Z，Γ），任何控制（v*（Z，Γ），a*（Z，Γ）∈ V（Z，Γ）等时性。此外，相应主体的价值函数满足方程（4.13）和（Zobs，Zobs）--) = （Z，0）和（Γobs，Γobs）--) = (Γ,0).证明：设（Z，Γ）是U中的任意配对过程，考虑合约ξT（Z，Γ）的代理问题：VA，v，atξT（Z，Γ）:= essup（v，a）∈U（t，（v，a））EthUAξT（Z，Γ）- Kv，at，T）i，P- a、 s.我们首先计算所有（v，a）∈ U（t，（v，a）），UA（ξt（Z，Γ））eRAKv，at，t=UA（ξt（Z，Γ））E- 拉兹。tZr∑r（vr）dBrT×exp拉兹特采空区（r，Zr，Γr）- 采空区（r、Zr、Γr、vr、ar）博士, P- a、 其中，当我们用t代替t时，UA（ξt（Z，Γ））与UA（ξt（Z，Γ））具有相同的形式（4.15）。由于Z以定义为界，且σ满足线性增长条件（3.2），因此我们有U的定义（尤其见（3.4））即经验拉兹特∑Tr（vr）Zr博士< +∞.因此，我们可以用“新密度”来衡量概率-拉兹。tZr∑r（vr）dBr那么，等等UAξT（Z，Γ）eRAKv，at，T= UAξt（Z，Γ）E’PtheRARTtGobs（r，Zr，Γr）-gobs（r，Zr，Γr，vr，ar）dri。自从戈布斯- 采空区≥ 0，我们看到了UAξT（Z，Γ）eRAKv，at，T≤ UAξt（Z，Γ）,通过（v，a）的任意性∈ U（t，（v，a）），那么VA，v，at（ξ（Z，Γ））≤ UAξt（Z，Γ）.因此，任何控制（v*,A.*) 其中Gobs（r，Zr，Γr）=Gobs（Zr，Γr，v*r、 a*r） ，达到上限。因此，VA，v，atξT（Z，Γ）= UAξt（Z，Γ）,以及上述VA，v，atare的动力学。2标记4.4。

当UA不是一个CARA效用函数时，如果agentdraw形式UA（ξT）的效用/不效用，同样的方法也会起作用- 如果效用是可分性的，那么效用是可分性的。例如，在只有X=Xv，ais可收缩且σ=Id的情况下，我们将可容许的契约ξT=ξT（Z，Γ）定义为满足（ξT（Z，Γ））=C+ZTZudXu+ZTΓudhXiu的契约-ZTeG（Zu，Γu）du，对于一些常数＠C，一些FXv，a-具有R值的可预测过程Z和Γ，以及与上述类似定义的过程G（Zt，Γt）。因此，需要UA（ξT）而不是ξT是线性的（在积分意义上）。然而，虽然代理人的问题是可以处理的，但前提是，一般来说，很难解决委托人的最大化问题。4.2.1 C类有多普遍？这个问题与非马尔可夫情形下价值函数的HJB特征化的可能性有关，通过引入和研究所谓的二阶BSDE来解决这个问题；例如，见Soner、Touzi和Zhang（2012）。然而，最优控制的识别（甚至存在）是一项非常困难的任务，这可能需要很强的规律性假设。利用这一最新理论的结果，我们在附录中证明，仅在漂移控制的情况下（如inHormstrom和Milgrom（1987））任何可行的合同报酬都具有形式（4.15），而在波动性控制的情况下，在额外的规律性假设下，这是正确的。更准确地说，我们有下面的定理。定理4.1。

如果v不受控制且固定为v∈ 如果有常数C>0和ε∈ [1,+∞) 这样的利姆卡克→+∞k（v，a）kak=+∞,kDak（v，a）k≤ C1+kakε,++一种可能的解释是，函数k以一种程式化的方式代表了风险厌恶对v和A的选择及其成本的共同影响。（在二次成本的情况下满足的条件），则代理人价值函数定义良好的任何FobsT可测量随机变量ξt可表示为（4.15）。更一般地说，（4.15）是指在假设7中存在“二阶灵敏度”过程的意义下，代理价值函数的非鞅分量的“光滑性”。附录1。基本上，通过在表格（4.15）中加入适当选择的GOB，我们可以确保相应的合同支付足够顺利，从而使代理人的价值函数过程也顺利。换句话说，有了这样一个契约，代理的价值函数就是我们在（4.11）中启发式推导的路径依赖HJB方程的解。在现有文献中（仅存在漂移控制），无论模型的层位是有限的还是有限的，都是如此。实际上，始终使用鞅表示和比较定理类型的结果，这相当于路径相关的HJB方程。对于价值函数退化到不能满足这种弱光滑形式的合同，似乎不太可能解决代理人的问题。在实践中，这意味着委托人也不知道代理人在签订此类合同的情况下会做什么，委托人可能不会考虑这些合同。4.3第一名的可实现性。在本节中，我们假设漂移力a不受代理控制，并固定为零。

此外，我们采用了（3.3）的设置，带有V=Rd和CARA实用函数。我们认为，当成本函数为零时，总是可以达到第一个最佳。换言之，在v的选择上没有约束，选择v也没有成本，因此不存在代理摩擦。一对（Z，Γ）∈ R×S，我们引入符号z:=zz！和Γ：=γ！。如果我们选择γ<0，并假设成本k（v，0）为0，那么很容易看到最优的v*∈ Rd在Gobs（Z，Γ）的定义中，是以下等式Zσb+γσ.1+γd的唯一解∑i=1σ。i·v*σ.i=0，其中任意1≤ 我≤ d、 σ。iis是矩阵σ的第i列。这直接导致*= -γ（σσT）-1（zσb+γσ.1）。（4.16）委托人可选择值Z:=RPRA+RP，γ=-RARP（RA+RP），γ：=0，以及zandγ的任意值。那么，这个契约显然是可接受的，因为Z和Γ是有界的且恒定的，从（4.16）可以看出，当σ=Id时，它实现了以下最优波动率*=RA+RPRAPB。当k=0时，这正好等于（2.1）中得到的最佳波动率vfBob（对于d=2，但对于任何d都成立），这很容易验证，对于一般σ也成立。这一结果与Cadenilas、Cvitani’c和Zapatero（2007）的观点不一致，他们指出，在一个无摩擦且完全的市场（即，波动努力的零成本，布朗运动的数量等于可观测资产的数量）中，具有任意效用函数的情况下，使用仅依赖于产出最终价值的契约可以获得第一个最佳结果。我们在这里看到，对于指数函数，完整性是不必要的，线性契约是最优的。事实上，通过上述zandΓ，我们得到了，设置z=0，ξT（z，Γ）=const。

+RPRA+RPXT，这与k（v）=0.4时的第一个最佳合同相同。4委托人的CARA效用问题在本节中，我们假设委托人和代理人的效用都是指数的，即我们有UI（x）=-E-RIx，I=RA，RP.固定一个可容许的ξT（Z，Γ）∈ C并介绍符号Z=ZXZB！Γ=ΓXΓXBΓXBΓB！。委托人将其最终收益Xv的预期效用最大化- ξT（Z，Γ）。由于契约ξT（Z，Γ）在命题4.1的意义上是激励相容的，因此代理人的最优波动率和漂移选择对应于任何（v*（Z，Γ），a*（Z，Γ）∈ V（Z，Γ）。然后，假设代理让委托人在对代理来说是最优的控制选择中进行选择，则主要问题是：sup（Z，Γ）∈U，（v）*（Z，Γ），a*（Z，Γ）∈V（Z，Γ）E向上的十五、在- ξT（Z，Γ）.表示（v）*,A.*) := （五）*（Z，Γ），a*（Z，Γ）），并将表达式替换为ξT（Z，Γ），我们得到xv，在- ξT（Z，Γ）=-C+ZTσTs（v）*s） bs（a）*s） （1）- （中新社）-σs（v）*（s）ΓXs+RAZXsds+ZT采空区（s、Z、Γs）-ΓBs+RAZBsds-ZTΓXBs+razzszbsdhX，Bis-ZTZBsd（Bobs，v*,A.*)s+ZT1.- ZXs五、*s·σdBv*,A.*s、 P- a、 引入向量θ*:= σs（v）*s） 并表示其第一个条目θ*（s） ，并用θ表示*-1(s)(d)- 1） 无第一项的维度向量。与命题4.1的证明完全一样，特别是通过分离适当的随机指数，可以得出主要问题归结为θ最大化*s（Z，Γ）·bs（a）*s（Z，Γ））1.- ZX-kθ*s（Z，Γ）kΓX+RAZX+ 采空区（s、Z、Γ）-ΓB+RAZB-ΓXB+razzbθ（s，Z，Γ）-RPhθ*-1（s，Z，Γ）1.- ZX+θ*（s，Z，Γ）1.- ZX- ZB我

（4.17）由于采空区（s，Z，Γ）定义的最高值在（v）处达到*,A.*), 这相当于最小化问题infz，Γ，v*（Z，Γ），a*（Z，Γ）n- θ*（s，Z，Γ）·bs（a）*s（Z，Γ））+kθ*（Z，Γ）克拉ZX+ k（v）*,A.*) +拉ZB+ RAZXZBθ*（s，Z，Γ）+RPhkθ*s（Z，Γ）k1.- ZX- 2θ*（s，Z，Γ）1.- ZXZB+ZB伊奥。（4.18）注意，如果使Z最小*, Γ*, 五、*还有*存在时，它们必然是确定性的，因为b、σ和k是非随机的。根据命题4.1，合同ξT（Z*,Γ*) 激励是否与（v）相容*（Z）*,Γ*),A.*（Z）*,Γ*)), 如果ξT（Z）*,Γ*) ∈ C.此外，正如我们刚才所展示的，它对于委托人的问题也是最优的，也就是说，我们已经证明了以下几点。定理4.2。考虑可容许契约集ξT（Z，Γ）∈ C.那么，在该集合中等时并为代理提供预期效用VA<0的契约是ξT（Z）*,Γ*) 对应于Z*,Γ*,五、*,A.*哪一个是（4.18）中的极小值，前提是存在这样的极小值，v*6= 0.此外，合同现金常数C由C:=-罗格(-弗吉尼亚州）。证据这里唯一需要检查的是合同ξT（Z）的可接受性*,Γ*), 但这只是优化器确定性的结果，注意到当*6= 0. 2下一步，为了简单起见，当没有关于a的优化，且成本函数k是超二次函数时，我们在这里提供了至少一个（4.18）极小值存在的充分条件。二次k的情况实际上更难，在命题7的附录中处理。1.提案4.2。假设代理不控制漂移，即a=0，并考虑设置（3.3），V=Rd。

此外，假设成本函数k（v）：=k（v，0）对于某些常数C>0k至少是C满足的k（v）k≤ C1+kvk1+ε, 对于某些ε>0和limkvk→+∞k（v）kvk=+∞.然后，达到（4.18）中的最大值。5非可收缩风险的次优考虑到唯一可收缩过程为Xv，a的情况。在这种情况下，我们需要通过采用以下更改来修改我们的方法，可以使用类似的参数进行验证。首先，委托人现在只能提供有关FXv，aT，asigma-字段（包含在过滤FXv，a:={FXv，aT}0中）的可测量合同报酬≤T≤t由输出过程Xv，a生成。遵循与前一节完全相同的随机控制理论直觉，我们引入函数Gobs，函数Gobsabove的对应项，定义为任意（s，z，γ）∈[0，T]×R×R byGobs（s，z，γ）：=sup（v，a）∈V×Agobs（s，z，γ，V，a）：=sup（V，a）∈V×AnσTs（V）bs（a）z+kσs（V）kγ- k（v，a）o，z，γ∈ 再次，如果存在一个最大化子，我们用（v）来表示它*（z，γ），a*（z，γ））。现在我们在本例中介绍一组可允许的合同。定义5.2。可容许合同报酬ξT=ξT（Z，Γ）是一个FXv，aT-满足以下条件的可测量随机变量ξT（Z，Γ）:= 总工程师-RARTnZtdXv，在-Gobs（t，Zt，Γt）dt+Γt+RAZt美国在台协会o、 （5.19）对于某些常数C≥ 0和有界FXv的某对（Z，Γ），a-与估价师一起进行可预测的过程，并且存在一个最大化者（v*（Z，Γ），a*（Z，Γ）∈ 采空区的U（·，Z，Γ），dt×dP-a.e。。我们用C表示所有可容许契约的集合，并用相应的（Z，Γ）的集合表示。与之前类似，我们引入了一组最优的控制，以最大化采空区，givenZ，Γ：V（Z，Γ）={（V）*（Z，Γ），a*（Z，Γ）），以满足定义5.2的条件。在这种情况下，以下命题与命题4.1类似，可以用相同的论点来证明。提议5.3。

（5.19）中定义的可容许契约ξT（Z，Γ）与V（Z，Γ）是激励相容的。也就是说，给定合同ξT（Z，Γ），V（Z，Γ）中的任何控制对于代理问题都是最优的。因此，委托人的问题修改如下，再次表示符号的简单性（v*,A.*) := （五）*（Z，Γ），a*（Z，Γ）），并假设UP（x）=-E-RPx:inf（Z，Γ，v）*,A.*)∈U×V（Z，Γ）E经验RPZTσTs（v）*s） bs（a）*s） （Zs）- 1） +kσs（v）*s） kΓs+RAZsds-ZTGobs（u，Zu，Γu）du+ZT（Zs- 1） dXv*,A.*s.类似地，如上所述，用θ表示*s向量σs（v*s） 。校长的问题就变成了*,A.*N- θ*s（Z，Γ）bs（a）*s） +RAkθ*s（Z，Γ）kZ+k（v）*,A.*) +RPkθ*s（Z，Γ）k（1）- Z） o.（5.20）然后我们得到了定理5.3，和之前一样。考虑可容许契约集ξT（Z，Γ）∈ C.那么，为代理人提供最优预期效用Vai的最优契约就是对应于Z的契约*,Γ*,五、*,A.*哪一个是（5.20）中的极小值，前提是这些极小值与v一起存在*6= 0. 此外，合同中的合同现金期限如下：-罗格(-弗吉尼亚州）。在这种情况下，4.2命题的类比仍然成立，具有相同的陈述和相同的预防。6结论我们利用最新发展的数学技术，建立了一个研究动态风险管理中道德风险的框架。虽然这让我们能够解决效用完全来自终端支付的问题，但我们在未来的一篇论文中留下了类似的问题，即跨期支付的固定收益，a Sannikov（2008）。