动态风险管理中的道德风险

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英文标题：
《Moral Hazard in Dynamic Risk Management》
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作者：
Jak\\v{s}a Cvitani\\\'c and Dylan Possama\\\"i and Nizar Touzi
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider a contracting problem in which a principal hires an agent to manage a risky project. When the agent chooses volatility components of the output process and the principal observes the output continuously, the principal can compute the quadratic variation of the output, but not the individual components. This leads to moral hazard with respect to the risk choices of the agent. We identify a family of admissible contracts for which the optimal agent\'s action is explicitly characterized, and, using the recent theory of singular changes of measures for It\\^o processes, we study how restrictive this family is. In particular, in the special case of the standard Homlstr\\\"om-Milgrom model with fixed volatility, the family includes all possible contracts. We solve the principal-agent problem in the case of CARA preferences, and show that the optimal contract is linear in these factors: the contractible sources of risk, including the output, the quadratic variation of the output and the cross-variations between the output and the contractible risk sources. Thus, like sample Sharpe ratios used in practice, path-dependent contracts naturally arise when there is moral hazard with respect to risk management. In a numerical example, we show that the loss of efficiency can be significant if the principal does not use the quadratic variation component of the optimal contract.
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中文摘要：
我们考虑一个合同问题，委托人雇佣代理人来管理一个风险项目。当代理人选择产出过程的波动性分量，委托人持续观察产出时，委托人可以计算产出的二次变化，但不能计算单个分量。这就导致了代理人风险选择的道德风险。我们确定了一系列可容许合约，其中明确描述了最优代理的行为，并利用最近关于It过程测度奇异变化的理论，研究了这类合约的限制性。特别地，在标准Homlstr的特殊情况下\\“在固定波动率的om Milgrom模型中，该族包含了所有可能的契约。我们解决了CARA偏好情况下的委托代理问题，并证明了最优契约在以下因素中是线性的：可收缩风险源，包括输出、输出的二次变化以及输出和可收缩风险源之间的交叉变化在实践中，当风险管理存在道德风险时，路径依赖合同自然产生。在一个数值例子中，我们表明，如果委托人不使用最优契约的二次变化分量，效率损失可能是显著的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：道德风险 风险管理 MORAL HAZARD Optimization Differential

动态风险管理中的道德风险*Jakˇsa Cvitani+，Dylan Possamai和Nizar Touzi§2015年3月17日摘要。我们考虑一个合同问题，委托人雇佣一名代理人来管理arisky项目。当代理人选择产出过程的波动性分量，委托人持续观察产出时，委托人可以计算产出的二次变化，但不能计算单个分量。这就导致了与代理人的风险选择有关的道德风险。我们确定了一个可容许契约族，其中最优代理的行为是明确刻画的，并且利用最近关于It^o过程测度奇异变化的理论，我们研究了这个族的限制性。特别是，在具有固定波动率的标准Homlstrom-Milgrom模型的特殊情况下，该系列包括所有可能的合同。我们解决了CARA偏好情况下的委托代理问题，并证明了最优契约在以下因素中是线性的：可收缩风险源，包括产出、产出的二次变化以及产出和可收缩风险源之间的交叉变化。因此，与实践中使用的样本夏普比率一样，当风险管理存在道德风险时，路径依赖合同自然会产生。

在一个数值例子中，我们表明，如果委托人不使用最优合同的二次变分，效率损失可能是显著的。关键词：委托代理问题、道德风险、风险管理、波动性/投资组合选择。2000年数学学科分类：91B40、93E20JEL分类：C61、C73、D82、J33、M52*我们谨向保罗·瓜索尼、尤利·桑尼科夫、胡里奥·巴克霍夫以及以下与会者表示感谢：加州理工学院布朗包研讨会、巴赫利尔研讨会、伦敦经济学院2014年风险与随机学会议、伯斯班夫2014年套利与投资组合优化会议、2014年奥伯沃尔法赫金融与保险随机分析会议，2014年克里特经济理论与计量经济学研究会议，第五届暹罗金融数学与工程会议，以及2014年智利大学优化会议一般均衡理论、动态合约与金融会议。+加州理工学院，人文和社会科学，M/C 228-77，加利福尼亚大道东1200号。帕萨迪纳，加利福尼亚州91125，美国；电子邮件：cvitanic@hss.caltech.edu.该研究部分由NSF资助DMS 10-08219塞雷梅德，巴黎多芬大学塔西尼广场，法国巴黎75116号；电子邮件：possamai@ceremade.dauphine.fr§CMAP，法国帕莱索91128号萨克莱大道理工学院；电子邮件：尼扎尔。touzi@polytechnique.edu1简介在许多情况下，管理者负责管理许多不同类型的风险敞口，他们会动态地这样做。一个著名的例子是管理多个风险集合的投资组合。然而，几乎所有现有的具有道德风险和连续产值过程的连续时间委托代理模型都假设代理人控制产出过程的漂移，而不是其波动成分。

在Holmstrom和Milgrom（1987）的半模型中，代理人控制的是漂移，此后在HM（1987）的半模型中，效用从终端支付中提取，在Sannikov（2008）的半模型中，效用从跨期支付中提取。事实上，在这些论文中，当只有一个风险源（一个布朗运动）时，道德风险无论如何都不会来自波动性选择，因为如果委托人持续观察输出过程，就不存在关于波动性选择的道德风险：波动性可以从输出的二次变化过程中推导出来。然而，当代理人管理manynon可收缩风险源时，他对单个风险源的敞口选择不能从输出观察中得出，即使是连续的。这个问题没有被研究的一个原因是之前缺乏一个可行的数学方法来解决它。当代理选择It^o过程的漂移时，这可以表示为潜在概率测度到等效概率测度的Girsanov变化，其背后有一个广泛的数学理论。然而，改变挥发性成分需要单独改变测量值，这个问题直到最近才被成功研究。我们利用这方面的最新进展，并使用新理论来分析我们的委托代理问题。然而，我们偏离了通常的建模假设，即代理的努力在于改变输出的分布（即潜在的概率度量），相反，我们采用标准的随机控制方法，代理实际改变受控过程的值，而概率度量保持不变。

所有现有文献都使用前者，即所谓的“弱公式”的原因是，对于任何给定的合同，代理人的问题都是可以处理的。相反，我们通过将可容许契约族限制为一组自然的契约，从而使代理人的问题易于处理，从而对代理人的问题进行易于处理的描述。本质上，我们将可接受合同限制为代理人问题可解的合同。可以说，从实践的角度来看，这些是唯一相关的合同——其他合同，委托人不知道他们将为代理人提供什么样的激励，可能不会提供。此外，我们还证明了在经典的Holmstrom-Milgrom模型中，限制族实际上完全没有限制。因此，除了用波动率控制来解决新的代理问题外，我们还提供了一种仅用漂移控制来研究经典问题的新方法。我们刚才描述的是我们在方法论方面的主要贡献。原则上，我们的方法可以应用于任何效用函数。然而，与HM（1987）一样，只有终端支付，唯一可处理的情况是具有CARA（指数）效用函数的情况。本文的主要经济观点如下。最优契约是线性的（在CARA的情况下），但不仅在HM（1987）中的输出过程中，而且在这些因素中：输出、其二次变化、可收缩风险源（如果有），以及输出和可收缩风险源之间的交叉变化。因此，当风险管理存在道德风险时，使用路径依赖合同自然会出现。特别是，我们的模型与样本夏普比率在补偿投资组合经理时的使用是一致的。

然而，与夏普比率的典型用法不同，有一些参数值是委托人奖励代理人，使其获得更高的二次变化值，从而承担更高的风险。如果有两个风险源，且至少有一个是可观察和可收缩的，则获得第一个最佳值，因为有两个风险因素和至少两个可收缩变量，即输出和至少一个风险源；然而，为了获得第一个最佳结果，最优契约利用了二次和交叉变异因子。对于两个不可收缩的风险源，我们用二次成本函数数值求解了一个CARA例子。在这种情况下，通常无法达到第一个最佳状态。数值计算表明，如果委托人不使用最优契约的路径依赖成分，预期效用的损失可能会很大。文献综述。Sung在1995年出版的《持续道德风险》一书中写道。然而，在那篇论文中，道德风险是只在最后时刻可以观察到的结果，而不是因为多个风险来源。因此，最优合同仍然只是终端产值的线性函数。欧阳（2003）的论文表明，在一个所有风险来源（所有可用于投资的风险资产）都是可观察的，但产出只有在最终时间才可观察的经济体中，最优合约取决于产出的最终价值和“基准”投资组合。他的一些研究结果在Cadenilas、Cvitani’cand Zapatero（2007）中得到了扩展，他们表明，如果市场是完整的，那么第一个最佳结果可以通过仅依赖于产出最终价值的合同实现。因此，只有在市场不完整的情况下，次优可能不同于FirstBest。

在我们的模型中，委托人观察产出的整个路径，但不是所有的外部风险源，而且存在非零努力成本，这使得市场不完整。因此，对于一般参数配置，第一最佳和第二最佳确实是不同的。最近，Wong（2013）在一个不同于我们的模型中考虑了风险承担的道德风险：与Sannikov（2008）一样，地平线是有限的，虽然波动性是固定的，但代理人的努力影响了输出过程中泊松冲击的到达率。Lioui和Poncet（2013）与我们一样，考虑了一个委托代理问题，其中波动率由代理选择。它们是最好的框架；然而，与上述论文不同的是，他们假设代理人有足够的讨价还价能力，要求合同在产出和基准因子上是线性的。工作文件Leung（2014）提出了一个模型，在该模型中，由于存在一个外生因素乘以代理人的（一维）波动性选择，且委托人未观察到该因素，因此会产生波动性道德风险。在方法论技术方面，数学文献中的许多论文一直在开发工具，用于比较与不同波动率结构相对应的随机微分系统。我们在论文的主体部分引用了他们，因为我们使用了他们的很多结果。在这里，我们只提到两篇论文，它们不仅有助于这些工具的发展，而且还将它们应用于金融经济学中的问题：Epstein and Ji（2013）和（2014）。他们的问题不是委托代理问题，而是模糊性问题，也就是说，决策者对市场因素的漂移和波动有多个先验的模型。

在我们的模型中没有模糊性，是代理控制输出过程的漂移和波动。我们从第2节开始，在我们的上下文中给出了最简单的例子，使用CARA效用函数和二次惩罚，我们在第3节描述了一般模型，在第4节介绍了收缩问题和我们解决它的方法，我们在第5节考虑了无异源收缩因子的情况，并在第6节结束。较长的证据见附录。2.例子：带有CARA效用和二次成本的投资组合管理作为一个说明性的易处理的例子，我们在这里提出了Merton的投资组合选择问题，其中有两个风险资产，即s和一个无风险资产，其连续复合利率集等于零。在资产i中，投资组合价值过程遵循dynamicsdX=vSdS+vSdS。假设dsi，t/Si，t=bidt+dBit，其中Biare是独立的布朗运动和Biare常数。我们有dxt=[v1，tb+v2，tb]dt+v1，tdBt+v2，tdBt。委托人雇佣一名代理人来管理投资组合，也就是说，选择vt=（v1，t，v2，t）的值，持续时间。我们假设代理人只在最后时间T支付金额ξT。委托人的效用上升（XT）- ξT）且该试剂的效用为UA（ξT）- KvT）其中KvT:=RTk（vs）ds和k:R→ R是非负凸代价函数。如果委托人只观察X的路径，那么她可以推断v1，t+v2，t的值，但不能分别推断v1，t和v2，t的值，这会导致道德风险。另一方面，如果她也观察其中一种资产的价格路径，比如S，那么她可以推断出V1的（绝对）值和v2的（绝对）值。

为了区分这些情况，用1表示指示函数，如果Sis路径可观察且可收缩，则等于1，否则等于0。我们假设委托人和代理人具有指数效用函数，UP（x）=-E-RPx，UA（x）=-E-雷克斯。代理人的投资组合运行成本（v，v）的形式为k（v，v）=β（v）- α） +β（v）- α).因此，将波动率从αi移到另一个方向的成本很高，且成本强度为βi。一种解释是，αi是经理开始合同时公司的初始风险敞口。2.1第一最佳合同给定一个“议价能力”参数ρ>0，委托人的第一最佳问题定义为assupvsupξTE[UP（XT- ξT）+ρUA（ξT）- KvT）]。ξ的一阶条件为（XT- ξT）=ρUA（ξT）- KvT）。利用CARA工具，我们得到ξT=RA+RPRPXT+RAKvT+logρRARP.因此，最优的最优契约在产出的最终价值上是线性的。回到优化问题，我们得到它等价于-Cρinff经验-RARPRA+RP（XT）- （KvT）= -CρinffE-RARPRA+RPZTvs·dXs经验-RARPRA+RPZTf（vs）ds,其中x·y表示内积，Cρ是常数，E表示Dol\'eans-Dade随机指数*, andf（v）：=b·v- k（v）-RARPRA+RPkvk。*随机指数定义为：ZutXsdBs= E-Rut | Xs | ds+RutXsdBs。在技术条件下，可以应用Girsanov定理，上面可以写成-Cρinffebp经验-RARPRA+RPZTf（vs）ds.对于一个合适的概率测度b。因此，第一最佳v=vFBis确定性，由函数f（·）的逐点最大化确定，由+vFBi:=bi+βiαiβi+\'R给出，其中¨R:=RA+RP.（2.1）2.2第二最佳合同现在考虑到控制v的不是委托人，而是代理人。

我们考虑基于可观测投资组合价值X的路径、X的可观测二次变化，以及可能的Svia B，以及X和B的协变的线性合约。更准确地说，让ξT=ξ+ZTZXsdXs+YXsdhXis+1OZsdBs+YsdhX，Bis+ Hsds, （2.2）对于一些常数ξ，以及一些适应过程ZX，Z，YX，Yand H。为了与后面的一般理论中的旋转一致，为了将来的符号方便，我们用任意适应过程ZX，Z，ΓX，Γ和G来代替=ΓX+RA（ZX）,Y=Γ+razzz，H=-G+RA（Z）。如果这些过程是确定性的，那么解决代理的问题将很容易，但对于这些过程的任意选择来说就不容易了。我们将允许它们是随机的，但我们将限制过程Gt的选择，其动机是对代理问题的随机控制分析，将在后面一节中讨论。我们将在这一节中看到，Gt的自然选择是Gt:=G（ZXt，Zt，ΓXt，Γt），其中G（ZX，Z，ΓX，Γ）：=supv，vg（v，v，ZX，Z，ΓX，Γ）：=supv，v-k（v，v）+ΓX（v+v）+ZXb·v+1OΓv. （2.3）我们的主要结果之一，定理4.1，描述了具有上述形式表示的合同的特征，此处定义了GTA。特别是，该定理将表明，将同样的方法应用于经典的Holmstrom Milgrom（1987）问题，不会导致+中的一般性损失。在成本β为零的情况下，第一最佳波动率vFBI只是风险溢价和聚合谨慎1/R的产物。选择可能的合同（包括非线性合同），我们将认为，这种合同选择包括所有实际相关的合同。代理正在最大化-E[-经验(-RA（ξT）- KvT）]，并在（2.2）中使用ξTas。