如何对冲外推收益率曲线

一些外推方法我们将描述六种可能的外推方法。如引言所述，我们将使用连续复合利率，即使法律规定的方法可能使用年度复合利率。我们在理想情况下描述了这些方法，其中零息票债券价格适用于特定时间内的所有到期日。方法1和2是从零息票收益率开始描述的，而方法3和4是从远期利率开始描述的。方法1和方法3并不真的外推各自的曲线类型，而是将长期收益率或远期收益率设定为预定的常数值。方法2和4是对相应类型曲线的常数外推。瑞典金融监管局（SFSA）取消了方法5，而欧洲保险和职业养老金管理局（EIOPA）建议在Solvency II下使用的方法6，即史密斯-威尔逊方法。3.0. 共性。所有的方法都有“zt=zt”表示≤ τ. 成熟时间τ有时称为最后一个液点（LLP）。方法在“ztt”的表达式中起作用∈ E：=（τ，T），即在屈服曲线的外推部分。方法1、3、5和6有一个预先确定的前向速率限值，\'f∞:= 极限→∞英尺，称为最终远期利率（UFR）。请注意，极限“f”的存在∞意味着限制→∞\'zt=\'f∞, 尽管‘z’的转换到极限值的速度比‘f’慢。方法5和6都有一个附加参数κ>τ，该参数被解释为到期时间，其中外推远期利率应等于或接近UFR。

详情见下文各节。如何对冲外推收益率曲线9许多建议的监管方法实际上是在市场收益率曲线z上添加常数c或常数曲线ct，然后再使用它来推导自举和外推曲线，即在e上使用“z[z+c]而不是“z[z]）。引入常数c来调整市场利率，例如：（a.）如果零利率z基于WAP（c<0），则可能有信用风险成分；（b.）监管机构可能希望给保险公司一些减免（c>0）。这意味着¨Dt=e-TCTDT≤ τ、 因此，在没有引入c时完全可对冲的现金流——或现金流的一部分——仍然是完全可对冲的。对于一阶套期保值能力，我们必须考虑变化屈服曲线z+c而不是z的z，并且由于δ′z[z+c|z] =δ′z[z|z] 对冲等式（8）的重要部分不受影响。负债对c变化的敏感性，比如从c到c+c、 也很透明，因为我们可以用c代替y、 因此，我们用c=0.3.1进行预测。方法1。预定的长期零息票收益率。这实际上不是一种外推方法，因为τ以外的所有零息票收益率都设置为一个常数。尽管如此，它还是有用的基线方法。\'zt=\'f∞, T∈ E、 这意味着“英尺=”f∞和¨Dt=e-\'f∞t、 注意，z在τ处有一个不连续性，除非zτ正好等于f∞.3.2. 方法2。零息票收益率的连续外推。这里`zt=zτ，t∈ E、 这意味着“ft=zτ”和“Dt=E”-tzτ=Dt/τ。该方法给出的贴现曲线在τ处是连续的，尽管它在τ3.3处可能有一个扭结，即连续导数。方法3。预先确定的长期远期利率。

该方法与方法1类似，尽管它引入了超过τ的恒定远期利率，而不是恒定的零息票利率。英尺=f∞, T∈ E、 这意味着“zt=τtzτ”+1.-τt\'f∞,和¨Dt=e-τzτ-（t）-τ） \'f∞= E-（t）-τ） \'f∞Dτ。注意，即使正向曲线“f”在τ处不连续，折扣曲线“z”也不连续。如果f在τ处不连续，贴现曲线z在τ处将类似。10如何对冲外推收益率曲线3。4.方法4。远期利率的恒定外推。这种方法与方法2类似，尽管它不断地将远期利率推到τ之外，而不是零息票利率。\'ft=fτ，t∈ E、 这意味着“zt=τtzτ”+1.-τt\'fτ。和¨Dt=e-τzτ-（t）-τ） \'fτ。由于正向曲线“f”在τ处是连续的，“z”在τ处没有扭结。3.5. 方法5。SFSA。SFSA[7]为瑞典保险公司规定了该方法，并对方法3进行了详细说明，其中预先确定的长期贴现远期利率为∞在τ和κ之间呈线性相位。\'ft:=（κ）-tκ-τft+t-τκ-τ′f∞, τ<t≤ κ、 \'f∞t>κ。我们在附录A.1中显示‘zt=（κ-tκ-τzt+tκ-τRtτszsds+t-τκ-τ1.-τt\'f∞, τ<t≤ κ、 tκ-τRκτszsds+1.-τ+κ2t\'f∞, t>κ。由于正向曲线“f”在τ和κ处是连续的，“z”在那里没有扭结。3.6. 方法6。史密斯·威尔逊。该方法由EIOPA[2]提出，通常通过插值和外推一定数量的贴现系数[2,6]来描述。对于从当时的市场利率到到期日t，tN，`Dt:=e-\'f∞t+NXi=1W（t，ti）ζi，其中w（s，t）：=e-\'f∞（s+t）αmin（s，t）- E-αmax（s，t）sinh（αmin（s，t））,式中，ζ：=（ζ，…，ζN）由¨Dti=Dtifor i=1，N.如本文所述，该模型的自由参数α>0。该参数控制着向UFR的前进速度的收敛速度；α越高，收敛速度越快。

实际的EIOPA方法要求设置α，以确保| | fκ-\'f∞| 小于或等于指定值且κ>τ。如果fτ足够接近‘f∞, α没有很好的定义。对α由收敛标准定义的情况的综合分析超出了本文的范围，但我们将指出这方面的必要步骤。如何对冲外推收益率曲线11我们在附录ix B.1中显示，当市场观察值使用到τ时，该方法的连续版本具有贴现因子¨Dt=e-\'f∞（t）-τ） Dτ1+（\'f∞- fτ）1- E-α（t）-τ)α, T∈ E.注意1-E-α（t）-当t从τ到时，τ）α从0增加到α∞. 因此，如果t的值足够高，则贴现系数w将变为负值≤\'f∞+ α. 其他人也注意到了史密斯-威尔逊方法的这个问题，例如Rebel[4]。如果fτ≤\'f∞+ α、 我们有（11）`zt=τtzτ+1.-τt\'f∞-tlog1+（\'f∞- fτ）1- E-α（t）-τ)α!,和（12）英尺=华氏度∞-（\'f∞- fτ）e-α（t）-τ） 1+（\'f∞- fτ）1-E-α（t）-τ )α.如果零息票收益率曲线是无套利的，则只有当相应的远期曲线非负时，零息票收益率曲线才是无套利的。如果市场曲线z是无套利的，且¨f∞≥ 0.对于史密斯-威尔逊电流，我们可以进行以下分析。自从e-α（t）-τ） 当t从τ开始增加时，从1开始减少，向前的r-rate“ftm在耳上趋向于”f∞随着t从τ增加。这意味着所有的远期利率都是非负的∈ 假设fτ≥ 0和¨f∞≥ 因此，Sm ith Wilson方法在该连续设置中提供了无套利外推收益率曲线。但是，如果史密斯-威尔逊曲线符合一定数量的市场收益率，则该曲线不一定是无风险的，见附录B.2.4。我们通过分析第3节中的每一种方法来着手。

为了应用套期保值方程（8），我们需要G^ateaux变化δ′z[z|z] 。如果零场曲线从z变为z+z、 然后远期利率曲线从f变为f+f，在哪里ft:=滴滴涕（tzt），因为f在z中是线性的。因为所有的方法在t时都有一个完美的现金流对冲≤ τ、 我们假设Lτ=0，以便关注t倍的现金流∈ E.我们还假设LT>0以避免琐事。4.1. （非）套期保值方法1。我们记得“zt:=”z∞对于t>τ，以及δ¨zt[z|z] =0。对冲方程r eads（回想一下Lτ=0），ZEtztdA*t=ZEtδ′zt[z|z] dL*t=012如何对冲外推收益率曲线，如果所有t的At=0，即贴现曲线的“外推”p部分不对冲，则这一点成立。这是合理的，因为它对变化的市场利率不敏感。根据命题1，这也是一种性能套期保值，其中我们有C（t）s=e-\'f∞t所有s和t.4.2。套期保值方法2。在该方法中，对于t，Dt=Dt/τ∈ E、 由于n在Dτ中是线性的，根据命题1，不可能有完美的对冲。转到一阶套期保值，我们有‘zt:=zτ，所以δ‘zt[z|z] =zτ。这里的对冲等式是ZetztdA*t=zτZEt dL*t、 如果dA*t={t=τ}τREt dL*t、 套期保值在THLLP有一笔总金额，其美元期限为τdA*τ等于到期时间为t的所有负债的美元比率∈ E:REt dL*t、 如果对所有保险公司强制采用这种方法，它将为到期日为τ的零息债券提供大量购买预保险，因为这是对冲所有长期负债所需的。这可能反过来降低zτ，从而增加负债的价值，这可能需要之前未完全对冲的公司进行进一步对冲，从而导致收益率更低。同样值得注意的是，套期保值的市场价值大于负债的现值。

换句话说，这意味着与负债现值相等的溢价不足以购买所需的对冲，保险公司将不得不诉诸杠杆。该方法的另一个问题是，与负债相比，一阶对冲缺乏凸性。这可以通过检查（7）中的该方法来看出。套期保值的二阶变量是ZTT(zt）dA*t=τ(zτ）ZEt-dL*.因为δ¨z[z|z] =0，负债的二阶变化为Zet（δ′zt[z|z] )- tδ′zt[z|z]dL*t=(zτ）ZEtdL*t、 二阶变化的差异为τ(zτ）ZEt-dL*- (zτ）ZEtdL*t=-(zτ）ZEt（t- τ） dL*t<0。其结果是，无论收益率是增加还是减少，对冲都必须增加。实际上，这种可变风险敞口可以通过购买零息债券上的期权（包括看涨期权和看跌期权）来实现，因此引入这种方法也可以提高期权价格（隐含波动率）。如何对冲外推收益率曲线134.3。套期保值方法3。对于这种方法，Dt=e-（t）-τ） \'f∞Dτ，它在Dτ中是线性的，因此可以通过取C（t）s=e来完美地对冲这种方法-（t）-τ） \'f∞{s≥ τ }. 查看套期保值的第一顺序属性也很有帮助。\'zt=τtzτ+（1）-τt）`f∞对于t∈ E，因此δ′zt[z|z] =τtzτ。我们到达了树篱等式ztdA*t=τzτZEdL*t、 解决方案是dA*t={t=τ}REdL*t={t=τ}L*T.与方法2类似，套期保值由LLP的一笔总付构成。不同之处在于，一次性付款的市场价值应等于所有负债在s时的现值≥ τ，即REdL*t、 而方法2的套期保值要求美元持续时间的匹配。真诚的*t<τREt dL*t、 方法3的套期保值要求投资于LLPτ的金额小于方法2。

因此，所有套期保值者想要投资到期日为τ的零息票债券的问题将会减少。此外，由于对冲的市场价值等于负债的现值，因此不需要杠杆。4.4. （不可能）套期保值方法4。这里“zt=τtzτ+（1-τt）fτ表示t∈ E、 所以δ¨zt[z|z] =τtzτ+（1）-τt）fτ，我们得到对冲方程zetztdA*t=τzτZEdL*t+fτZE（t）- τ） dL*t、 我们从方法3的套期保值等式中识别右侧的第一项，并知道如何套期保值。最后一个学期fτ是不稳定的。要对其进行适当的对冲，就需要在τ时间段暴露于正向利率，而在其他时间段则不存在其他收益率。远期利率协议（FRA）是一种衍生工具，在一定的时间间隔s ayτ内提供对远期利率的敞口- toτ。可通过资产流量DFT=（，t=τ）进行复制- -eRτ-fsds，t=τ，14如何对冲外推收益率曲线。e、 人们今天同意在时间τ借用单位- 并偿还eRτ-fsdsunits时间τ。请注意，这两种流的市场价值相互抵消：dF*τ-=Dτ-dFτ-=Dτ-=e-(τ-）zτ-=e-τzτeRτ-fsds=-E-τzτdFτ=-DτdFτ=-dF*τ、 因此，该合同的市场价值在开始时为零：F*T=RTdF*t=0，其利率敏感性为δF*T[z|z] =ZTtztdF*t=Dτ- (τ - )zτ-+ τzτ= DτZτ-消防处。请注意，该值随远期利率的增加而增加，而债券值随收益率的增加而减少。为了隔离fτ我们必须让→ 0.然而，这将意味着借款金额将分化为实体。当然，这个问题在某种意义上是艺术性的，因为它似乎是因为我们在与一个连续的成熟度一起工作。实际上，在构建收益率曲线的最后两个到期日之间，人们将面临远期利率。

由于必要的远期利率协议将包括第二个到期日的短期零息票债券和最后一个到期日的长期零息票债券，因此对冲这一风险敞口可能会有问题，尽管并非不可能，而且这可能难以实现足够的规模，尤其是如果行业的最大阻力想要做空相同的债券。4.5. 套期保值Met hod 5（SFSA）。该方法是根据正向率定义的，如我们在附录A.1中所示，\'zt=（κ-tκ-τzt+tκ-τRtτszsds+t-τκ-τ1.-τt\'f∞, τ<t≤ κ、 tκ-τRκτszsds+1.-τ+κ2t\'f∞, t>κ。相应的贴现因子在市场贴现因子中不是一个有效因子，因此根据命题1，我们不可能有完美的对冲。然而，模糊套期保值是可能的。G^ateaux变化为δ′zt[z|z] =（κ）-tκ-τzt+tκ-τRtτszsds，τ<t≤ κ、 tκ-τRκτszsds，t>κ，如何对冲外推收益率曲线15和对冲方程isZTztdA*t=Zκτκ- tκ- τtztdL*t+Zκτκ - τZtτszsdsdL*t+ZTκκ - τZκτszsdsdL*t=Zκτκ- tκ- τtztdL*t+Zκτκ - τZκtdL*sTztdt+κ- τZTκdL*sZκτtztdt=Zκτκ- tκ- τtztdL*t+Zκτκ - τZTtdL*sTztdt。因此，树篱就是这样的*t=κ-tκ-τdL*t+（κ-τRTtdL*s） τ<t的dt≤ κ.对冲由两个条款组成。一，κ-tκ-τdL*t、 与时间t对应的负债现金流呈线性递减。另一个（κ-τRTtdL*s） dt=κ-τ（L）*T- L*t） dt，包括与大于或等于t的所有负债的现值成比例的流量。方法5所述的外推从市场远期利率线性过渡到预定的长期远期利率，而不是方法3的即时过渡。

比较两种方法的套期保值，我们发现方法5的套期保值也从每个负债现金流的现值与资产现金流的市场价值的精确套期保值线性过渡到方法3的“边缘情况”，其中所有期限较高的负债的现值都由一个较低的持续期债券进行套期保值。由于这种方法不集中于单个债券，而是集中于到期日在τ和κ之间的债券的整个区间，因此这种方法对债券市场的破坏性可能比方法3更小。套期保值的总市值等于负债的现值：ZκτdA*t=Zκτκ- tκ- τdL*t+κ- τZκτ（L*T- L*t） dt=κ - tκ- τL*Tt=κt=τ+κ- τZκτL*tdt+L*T-κ - τZκτdL*t=L*T、 因此，与方法3类似，不需要杠杆。由于这种方法并不像方法3那样完美，对冲的二阶性质值得研究。如附录A.2所示，与方法2不同的是，与负债相比，套期保值实际上具有过度的凸性。对于收益率曲线z在τ和κ之间的平行移动，无论它们是u p还是向下，对冲都需要减少。如果一家保险公司想利用这一点，它可以知道如何对冲外推收益率曲线——同样与方法2不同——出售期权，这可能会压低期权价格。4.6. （不可能）套期保值方法6（史密斯·威尔逊）。Smith-Wilson方法的离散版本显然是完全可对冲的，因为ζ在D=（Dt，…，DtN）中是线性的，因此任何“Dt”也是线性的。

然而，连续性案例甚至不是一阶边缘，即使使用“完美”对冲，其原因也指向实际问题。回忆（11）：\'zt=τtzτ+1.-τt\'f∞-tlog1+（\'f∞- fτ）1- E-α（t）-τ)α!,对于t∈ 这导致δ′zt[z|z] =τtzτ+c（t）其中c（t）=c（t；τ，α，fτ，\'f∞) :=1.- E-α（t）-τ） αt1+（\'f∞- fτ）1- E-α（t）-τ)α.出现G^ateaux变量表达式中的fτ表示该方法与方法4相同的问题。相似性更进一步：参数α通常很小，当α→ 0，c（t）→ (1-τt）/（1+（\'f∞-fτ）（t）-τ），以及自¨f∞fτ也是几个百分点的数量级，c（t）≈ (1 -τt），这是方法d 4的G^ateaux变化中的fτ。因此，最优套期保值将需要与方法4相似的风险敞口，即最后两个到期日之间的远期利率，如Rebel[4]的p离散收益率曲线所示。在Smith-Wilson方法的变体中，选择α以确保| fκ-\'f∞| ≤ ，α本身是z的函数，参数为τ、κ和。α[z]的Animplicit表达式可以从（12）中推导出来，但我们在这里不讨论这个问题。G^ateaux变化现在是δ＠zt[z|z] +d′ztdαδα[z|z] ，式中δ′zt[z|z] Smith-Wilson方法的变化是否与固定的α、d′ztdα（11）右侧相对于α的导数和Δα[z]有关|z] 是α[z]的扭转变量。4.7。对UFR的敏感度。如果外推方法发生变化，负债的价值也会发生变化。