如何对冲外推收益率曲线

可能不可能对此类模型变化进行对冲，但了解与参数有关的敏感性仍然可能有用，因为监管机构可能希望引入一种新方法或改变当前方法的参数。如何对冲外推收益率曲线17对于上述特定方法，可以很容易地计算出UFR的敏感性。我们介绍S:=-dL*Td-f∞L*T、 这可以看作是一个关于UFR的持续时间。我们继续假设Lτ=0.4.7.1。方法2。遗传的∞\'Dt=dd\'f∞E-\'f∞t=-te-\'f∞t=-t\'dt和thusS=REt-dL*热释光*T=Dur[\'z，L]，即L.4.7.2的持续时间。方法3。方法3 hasdd-f∞\'Dt=-（t）- τ） \'Dtand thusS=RE（t- τ） dL*热释光*T=Dur[\'z，L]- τ、 这是L减去τ的持续时间，因此其灵敏度严格小于方法2的灵敏度。我们称这个量为τ以上的剩余持续时间；ExcDur[y，C，τ]：=RTτ（t- τ） dC*t[y]C*T[y].4.7.3。方法5。对于方法5，dd-f∞（t’zt）=（t-τ)2(κ-τ） ，τ<t≤ κ、 t-τ+κ，t>κ。索德夫∞\'Dt=dd\'f∞E-t\'zt=-dd-f∞（t\'zt）·Dt=(-（t）-τ)2(κ-τ） \'Dt，τ<t≤ κ,-T-τ+κ\'Dt，t>κ。和-dd-f∞L*T=Zκτ（T- τ)2(κ - τ） dL*t+ZTκT-τ + κdL*t=Zκτ（t）- τ)κ - τdL*t |{z}=:I+ZTκ（t- τ） dL*t+ZTκ（t- κ） dL*T.我≤Zκτ（t）- τ） dL*T=>s≤ExcDur[\'z，L，τ]+ExcDur[\'z，L，κ]。我≥ 0=>s≥(κ - τ） L*κ+ExcDur[\'z，L，κ]。因此，灵敏度低于τ和dκ以上的额外持续时间的平均值，我们也有一个下限，这可能是有意义的。自excdur[\'z，L，κ]≤ 此外，对于如何对冲外推收益率曲线4，灵敏度始终低于方法3.18的灵敏度。7.4. 方法6。对于史密斯-威尔逊方法，-dd-f∞\'Dt=（t- τ） \'Dt- E-\'f∞（t）-τ)1 - E-α（t）-τ） αDτ=（t- τ） \'Dt-α\'D（1）t-\'D（α）t→ （t）- τ） \'Dt- （t）- τ） \'D（0），作为α→ 0，其中“D（α）”是方法3中带有“f”的贴现系数∞+ αasUFR，而不是“f”∞.

设z（α）和为相应的g贴现曲线，z仍然表示史密斯-威尔逊曲线。我们还有limα→∞dd-f∞\'Dt=-（t）- τ） “Dt。总的来说，S=ExcDur[\'z，L，τ]-L*T[\'z（0）]- L*T[\'z（α）]αL*[z]S≥ ExcDur[\'z，L，τ]- ExcDur[\'z（0），L，τ]S≤ ExcDur[\'z，L，τ]，当α趋于0或∞ . 史密斯-威尔森方法的灵敏度也低于方法3。它与方法5的比较取决于α值和负债现金流。5.结论和未来研究我们提出了一个框架，可用于推导最佳对冲基金。从本质上讲，我们概括了将关键利率期限在一定期限内匹配到连续期限内的常见做法。这种归纳法的优点是，可以方便地比较不同的外推方法。在我们应用该框架的外推方法中，我们发现一些方法，包括史密斯-威尔逊方法，需要在最后一个流动点暴露远期利率，这在市场上很难执行，因为它需要做空最后一个流动市场点。其他方法，如零息票收益率的恒定外推（方法2）或不连续过渡到特定的最终远期利率（方法3），只需要长时间暴露到最后一个液点。然而，方法3比方法2需要更少的风险敞口，因此对整个市场的争议性更小。SFSA规定的方法对市场的争议更小，因为它需要从市场利率逐步过渡到预先确定的利率。

与方法3相比，它的缺点是，它只允许进行初始套期保值，而方法3可以完美地进行套期保值。未来的研究可能会调查其他外推方法，如theNelson-Siegel-Svensson方法。该框架还可用于研究引导法的套期保值能力，即从市场观察中插入负债贴现因子的方法。如何对冲外推收益率曲线本文只关注收益率曲线的瞬时变化。随着时间推移，套期工具的到期日从τ开始减少（对于除方法5以外的所有方法），如果想要持有到期日为τ的债券，必须出售现有的套期，并购买到期日较长的新套期。未来研究的另一个领域是这将如何影响公司和未来市场。感谢Martin Bender、Mathias Lindholm和Jan Svedberg对本文草稿的评论。附录A.方法5A。1.贴现收益率。在这里，我们推导出方法5的z（第3.5节）。对于τ<t≤ κ、 t\'zt=Zτ\'fsds+ztτ\'fsds=τZτ+ztτ\'fsds=τZτ+κ- τZtτ（κ- s） fsds+κ- τZtτ（s）- τ） \'f∞ds=τκ- τκ - τzτ+κκ- τ（tzt）- τzτ）-κ - τZtτsfsds+（t- τ)2(κ - τ） \'f∞=κtzt- τzτκ- τ-κ - τZtτsfsds+（t- τ)2(κ - τ） \'f∞=κtzt- τzτκ- τ-κ - τszss=ts=τ+κ- τZtτszsds+（t- τ)2(κ - τ） \'f∞=κ - tκ- τtzt+κ- τZtτszsds+（t- τ)2(κ - τ） \'f∞.对于t≥ κ、 tzt=Zκ¨fsds+Ztκ¨fsds=κ¨Zκ+Ztκ¨f∞ds=κzκ+（t- κ） \'f∞=κ - τZκτszsds+κ- τ′f∞+ （t）- κ） \'f∞=κ - τZκτs′Z（s）ds+T-τ + κ\'f∞.A.2。二阶性质。设L为负债现金流和方法5（第3.5节）中相应的一阶对冲（在z）。让Lτ=0，以便关注屈服曲线的外推部分。假定对于τ，zt=1≤ T≤ κ.

在本小节中，我们将展示ZTT(zt）dA*t> 泽t（δ′zt[z|z] )- tδ′zt[z|z]dL*t、 20如何对冲外推收益率曲线，以显示所有一次性债务的情况*t={t≥ σ} 与相应的对冲A*t、 为了便于记法，leta（σ）：=ZTt(zt）dA*t、 l（σ）：=ZEt（δ′zt[z|z] )- tδ′zt[z|z]dL*t、 我们有σ<τ≤ κdA*t=（dtκ-τ、 τ<t≤ σκ-σκ-τ、 t=σ，对于σ>κ，dA*t=dtκ- τ、 对于τ<t≤ κ.我们有δ′zt[z|z] =（κ）-tκ-τ+tκ-τRtτs ds，τ<t≤ κ、 tκ-τRκτs ds，t>κ，=（κ-τ-(κ-t） 2t（κ）-τ） ，τ<t≤ κ,κ-τ2t（κ）-τ） ，t>κ，=（κ-τ-(κ-t） 2t（κ）-τ） ，τ<t≤ κ、 κ+τ2t，t>κ和δ′z[z|z] =0。首先考虑σ>κ的情况。a（σ）=Zκτtκ- τdt=κ- τ3(κ - τ） =κ+κτ+τl（σ）=κ + τ=κ+ 2κτ + τ=> a（σ）- l（σ）=（κ）- τ)> 0.现在考虑τ<σ的情况≤ κ、 并引入λ：=σ-τκ-τ.a（σ）=Zστtκ- τdt+σκ- σκ - τl（σ）=（κ- τ- (κ - σ))4(κ - τ).如何对冲外推收益率曲线21我们注意到limσ→ τa（σ）=limσ→ τl（σ）=τ。a′（σ）=2σκ- σκ - τ= 2σ(1 - λ).l′（σ）=（κ）- τ- (κ - σ))(κ - σ)(κ - τ)= (τ + λκ + (1 - λ)σ)(1 - λ） a′（σ）- l′（σ）=（2σ）- τ - λκ - (1 - λ)σ)(1 - λ)= (σ - τ - λ(κ - σ))(1 - λ)= (κ - τ)(λ - λ(1 - λ))(1 - λ) = (κ - τ )λ(1 - λ) > 0.自limσ→ τa（σ）- l（σ）=0和a′（σ）- l′（σ）>0，a（σ）- 对于τ<σ，l（σ）>0≤ κ、 我们在e.A.3上被判死刑。对UFR的spect敏感性。dd-f∞（t’zt）=（t-τ)2(κ-τ） ，τ<t≤ κ、 t-τ+κ，t>κ。索德夫∞\'Dt=dd\'f∞E-t\'zt=-dd-f∞（t\'zt）·Dt=(-（t）-τ)2(κ-τ） \'Dt，τ<t≤ κ,-T-τ+κ\'Dt，t>κ。和-dd-f∞\'P[z；L]=zκτ（t- τ)2(κ - τ） dL*t+ZTκT-τ + κdL*t=Zκτ（t）- τ)κ - τdL*t+ZTκ（t- τ） dL*t+ZTκ（t- κ） dL*T.≤Zκτ（t）- τ） dL*t+ZTτ（t- τ） dL*t+ZTκ（t- κ） dL*T.=ZTτ（t）- τ） dL*t+ZTκ（t- κ） dL*T.因此，灵敏度小于τ和κ以上多余持续时间的平均值。附录B.方法6B。1.连续版本。Andersson和Lindholm[1]推导出了Smith-Wilson贴现因子的以下表示形式。

从本质上讲，它表明，到期时间t的史密斯-威尔逊贴现因子是高斯过程在时间t的预期值，条件是其在时间ti，i=1，N、 作为被观察到的旅游时间的零息票价格ti，i=1，N.定理。设X为随机微分dXt=-αXtdt+α3/2dbt和初始值X~ N（0，α）独立于B；十、*t:=RtXsds；和Yt:=e-\'f∞t（1+X）*t） 。然后是“Dt=E[Yt|Yti=Dti；i=1，…，N]。22如何对冲外推收益率曲线注意定理中的Ornstein-Uhlenbeck过程不是平稳的；对于平稳性，x应该是N（0，α）。我们以比Andersson和Lindholm更精简的形式提出了上述理论，因此我们也提供了一个证明。证据我们有xt=Xe-αt+α3/2Ztτe-α（t）-s） dBs=e-αtX+α3/2ZtτeαsdBs因此，对于所有t，E[Xt]=0，这意味着E[X]*t] =0，因此d=E[Yt]=E-\'f∞t、 对于s≤ t、 Cov（Xs，Xt）=e-α（s+t）Cov（eαsXs，eαtXt）=e-α（s+t）冠状病毒X+α3/2ZsτeαudBu，X+α3/2ZtτeαudBu= E-α（s+t）Var（X）+αZsτe2αudu= E-α（s+t）α+α（e2αs）- 1)= αe-αtcosh（αs）。这反过来又给了我们≤ t、 Cov（X）*s、 X*t） =ZZ0≤U≤s0≤五、≤tCov（Xu，Xv）dudv=ZZ0≤U≤五、≤s+ZZ0≤五、≤U≤s+ZZ0≤U≤s≤五、≤T乔夫（徐，Xv）dudv=ZZ0≤U≤五、≤s+ZZ0≤U≤s≤五、≤TCov（Xu，Xv）dudv=2Zsαe-αvZvαcosh（αu）dudv+Ztsαe-αvdvZsαcosh（αu）du=2Zsαe-αvsinh（αv）dv+（e-αs- E-αt）sinh（αs）=αs- E-α钦（αs）。最后我们可以推导出cov（Ys，Yt）=e-\'f∞（s+t）Cov（X）*s、 X*t） =W（s，t）。如何对冲外推收益率曲线23Let Y:=（Yτ，…，YtN′）和D:=（Dτ，…，DtN′）。因为Y是高斯过程[Yt | Y=D]=E[Yt]+Cov（Yt，Y）Cov（Y，Y）-1（D）- E[Y]）=E-\'f∞t+Cov（Yt，Y）ζ=e-\'f∞t+NXi=1Cov（Yt，Yti）ζi=e-\'f∞t+NXi=1W（t，ti）ζi，如所需，其中我们已经确定ζ：=（ζ，…，ζN）\'=Cov（Y，Y）-1（D）-E[Y]）。

当曲线适用于到期时间在0到τ之间的所有零息债券时，我们将使用该表示法获得m方法的连续版本。我们将史密斯-威尔森方法的连续版本定义为：（13）`Dt:=E[Yt|Ys=Ds；0≤ s≤ τ]，这里是定理的高斯过程。在我们试图简化这个表达式之前，我们必须更多地了解这个表达式的随机过程。请注意，进程X*不是马尔可夫过程，而增广过程（X*, 十） 是的。对于t≥ 我们有*t=X*s+ZtsXudu=X*s+ZtsXse-α（u）-s） +α3/2Zuse-α（u）-v） dBvdu=X*s+Xs1- E-α（t）-s） α+α3/2ZtsZuse-α（u）-v） dBvdu，尤其是[X]*t | X*s=x*, Xs=x]=x*+ x1- E-α（t）-s） α。此外，由（X）生成的西格玛代数*s、 Xs）是由{X]生成的西格玛代数的su bset*U0≤ U≤ s} ，也就是说，如果我们知道X的整个轨迹*到了时间s，我们知道它的值和它在时间s的导数≥ s、 E[X*t | X*u=x*U0≤ U≤ s] =E[X*t | X*s=x*s、 Xs=Xs]=x*s+xs1- E-α（t）-s） α，其中xs:=ddsx*s、 现在让我们回到定义（13）。为了0≤ T≤ τ、 我们显然有“Dt=Dt，即”zt=zt。让x*t定义为Dt=e-tzt=：e-\'f∞t（1+x）*t） 以及24如何对冲外推收益率曲线let xt:=ddtx*t、 我们有*t=e\'f∞tDt- 1=e\'f∞T-RTFSD- 1，soxt=（\'f∞- ft）e’f∞tDt。对于t≥ τ、 e-t|zt=Dt=E[Yt|Ys=Ds；0≤ s≤ τ]=E[E-\'f∞t（1+X）*t） |X*s=x*s0≤ s≤ τ]=e-\'f∞t（1+E[X*t | X*τ=x*τ、 Xτ=Xτ]=e-\'f∞T1+x*τ+xτ1- E-α（t）-τ)α= E-\'f∞（t）-τ） Dτ1+（\'f∞- fτ）1- E-α（t）-τ)α.B.2。史密斯·威尔逊的套利例子。如果将史密斯-威尔森曲线转换为收益率为0的零息债券，收益率将开始为负。

实际上，Dt=`Dt<==> 1=e-\'f∞t+W（t，t）ζ=e-\'f∞t+e-2英尺∞t（αt- E-αtsinh（αt））ζ=> ζ=e＠f∞特夫∞T- 1αt- E-αtsinh（αt）`Dt=e-\'f∞T1+αt- E-αtshinh（αt）αt- E-αtshinh（αt）（e\'f）∞T- 1), 0≤ T≤ T=>滴滴涕|滴滴涕=0=-\'f∞+α - αe-αtαt- E-αchinh（αt）|{z}>t（e\'f）∞T- 1） |{z}>\'f∞t> 0。因此，当t=0时，dt增加，而当D=1时，小t的贴现因子大于1，这对应于负收益率。事实上，与数学金融的理想化设置相反，负收益率只有在以零成本持有现金是可行的情况下才意味着套利，而对于更大数额的现金则不是这样，因为它们必须放在一个固定的金库中。因此，S mith Wilson方法可以产生负产量，这在实践中可能不是一个大问题。参考文献[1]Andersson，H.和Lindholm，M.（2013）。关于Smith-Wilson方法与Ornstein-U-hlenbeck积分过程之间的关系。斯德哥尔摩大学数学系《数理统计2013:1》研究报告。如何对冲外推收益率曲线25[2]欧洲保险和职业养老金管理局（2014年）。2014年压力测试：准备阶段的技术规范（第二部分）。https://eiopa.europa.eu/fileadmin/tx_dam/files/publications/technical_specifications/B_-_Technical_Specification_for_the_Preparatory_Phase__Part_II_.pdf[3] 纳希德，M.Z.（1966）。关于变异和差异的一些评论。艾默尔。数学月刊73.4第2部分：。，63–76.[4] Rebel，L.（2012）。评估养老金负债的最终远期利率方法：回顾和替代方法。研究报告，卡达诺。http://www.netspar.nl/files/Evenementen/2012-11-09%20PD/rebel.pdf[5] 萨根，H.（1992）。变分法导论。多佛出版社，纽约。1969年原著的重印本。[6] 史密斯A.和威尔逊T.（2000）。

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