如何对冲外推收益率曲线

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英文标题：
《How to hedge extrapolated yield curves》
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作者：
Andreas Lager{\\aa}s
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We present a framework on how to hedge the interest rate sensitivity of liabilities discounted by an extrapolated yield curve. The framework is based on functional analysis in that we consider the extrapolated yield curve as a functional of an observed yield curve and use its G\\^ateaux variation to understand the sensitivity to any possible yield curve shift. We apply the framework to analyse the Smith-Wilson method of extrapolation that is proposed by the European Insurance and Occupational Pensions Authority (EIOPA) in the coming EU legislation Solvency II, and the method recently introduced, and currently prescribed, by the Swedish Financial Supervisory Authority.
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中文摘要：
我们提出了一个框架，说明如何通过外推收益率曲线对冲贴现负债的利率敏感性。该框架基于功能分析，因为我们将外推收益率曲线视为观察收益率曲线的函数，并使用其G ateaux变化来理解对任何可能的收益率曲线变化的敏感性。我们应用该框架来分析由欧洲保险和职业养老金管理局（EIOPA）在即将到来的欧盟立法Solvency II中提出的史密斯-威尔逊外推方法，以及瑞典金融监管局最近引入并规定的方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> How_to_hedge_extrapolated_yield_curves.pdf (246.34 KB)

2022-5-6 08:46:06 上传

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关键词：收益率曲线 收益率 Quantitative Applications Occupational

如何对冲外推收益率曲线和更大的ASAbstract。我们提出了一个框架，介绍了如何通过外推收益率曲线来计算贴现负债的利率敏感性。该框架基于函数分析，因为我们将外推收益率曲线视为观测收益率曲线的函数，并使用其G^ateaux变化来理解对任何可能的场曲线偏移的敏感性。我们应用该框架分析了欧洲保险和职业养老金管理局（EIOPA）在即将到来的欧盟立法Solvency II中提出的史密斯-威尔森外推方法，以及瑞典金融监管局最近引入并规定的方法。1.简介保险公司，尤其是人寿保险公司，未来的负债可能比固定收益金融资产的流动性市场更大。因此，这些负债不能被赋予pu再市场价值，但必须通过某种程度上基于模型的收益率进行贴现，并根据超过某个最后流动点（LLP）的市场收益率进行推断。这个问题与这样一个事实有关，即人们通常想要一个连续的到期时间收益率曲线，而只有离散数量的金融工具用于推导该曲线。此外，零息债券的价格是唯一可以直接观察到的真实市场贴现因子，而零息债券并不常见。因此，即使到期时间短于LLP，也必须引导ayield曲线。外推方法有时本质上与bootstrapmethod相同，本文提出的框架可用于从同一角度分析两者，即：。

我们想知道，在给定的到期时间内，贴现因子对用于构建贴现曲线的所有市场利率的敏感性。然而，我们将专注于外推，而不是自举本身。id ea是计算贴现因子相对于用于构建曲线的市场工具价格的总差异。这本质上与计算负债贴现因子的关键利率持续时间相同。这可能会变得很麻烦，因为区别在于haveAFA保险，106 27斯德哥尔摩，瑞典电子邮件地址：andreas@math.su.se.2010数学学科分类。91G80，46N10，91G30。关键词和短语。术语结构，变分法，函数分析。本文表达的观点不一定是AFA保险的观点。2.如何对冲外推收益率曲线，以及使用的市场工具的数量。为了获得不同外推方法的定性结果，我们考虑了一个理想情况，即使用连续的零息债券构造曲线。这种情况下的微分替换为G^ateaux变量，而离散情况下的和通常替换为一个积分，该积分结果易于解释。我们将该框架应用于一些简单的外推方案，其中包括瑞典金融监管局（SFSA）[7]规定的方法，以及欧洲保险和职业养老金管理局（EIO PA）为comingEU-wide Solvency II法规规定的所谓Smith-Wilson方法[2,6]。由于我们主要对定量结果感兴趣，因此在描述方法时，我们将使用连续复合费率，即使立法可能使用年度复合费率。我们将我们的调查局限于市场收益率曲线的瞬时变化。

由于套期保值需要重置，因此长时间跨度的变化在实践中也很重要。从定性上讲，SFSA方法使上次市场观察之外的所有负债对该观察时的零息票收益率敏感，而史密斯-威尔逊方法使其对上次市场观察时的零息票收益率和远期利率敏感。在市场收益率曲线“典型”形状的年间隔市场利率的特例中，其他研究人员注意到了对远期利率的依赖性，例如[4]。我们展示了无论市场收益率曲线的形状如何，这都是该方法的本质特征。对最后一个远期利率的依赖是不幸的，因为很难启动任何规模的边缘，因为对远期利率的敞口是通过做空一个债券和做多另一个债券来复制的。本文的主要贡献有两个方面。首先，该框架提供了一种简单的方法来计算与外推方法有关的最佳负债对冲。其次，最优套期保值的构成允许讨论给定的外推方法对单个保险公司和整个金融市场是否可行。本文在第二节介绍了一般理论和框架，然后在第三节介绍了一些外推方法。在第4节中，我们将理论应用于这些方法，并在可能的情况下推导出最佳的模糊限制，在第5节中，我们讨论了结果和对未来研究的展望。2.理论2。1.贴现系数和收益率。设y为一般收益率曲线，letDt:=e-t为到期时间t的贴现系数，y为d为贴现曲线。我们用Dt[y]来强调它是y的函数。我们用括号来强调本身是函数的参数，即。

Dt[y]可以称为函数。如何对冲外推收益率曲线3我们的分析主要是静态的，因为我们将考虑收益率曲线的瞬时变化及其后果。我们将当前时间设为0，这样我们就可以简单地将“到期时间”称为“到期”或“时间”。时间的单位通常是年，我们将把分析限制在t的时间∈ T:=[0，T]其中T是任意的但固定的，sayT=200以覆盖大多数可想象的保险现金流。我们让z表示市场零息债券曲线，因此Dt[z]是到期日为t的零息债券的价格，让z表示用于评估负债的d贴现曲线，即t时一个负债单位的现值为Dt[\'z]。我们将考虑几个例子，其中z是z的函数，我们写下z[z]来强调这一点。我们还定义了“Dt[z]：=Dt[\'z[z]]——或其他符号“D:=D”o \'-z-作为市场利率函数的负债贴现系数。一般理论只使用（零息票）收益率，但对于某些应用，我们需要远期利率。我们定义了市场（瞬时）远期利率ft:=ddt（tzt）和贴现远期利率ft:=ddt（t’zt），因此（1）zt=tZtfsds，以及类似的f或‘’z和‘’f。由于我们打算对收益率和贴现曲线进行一些函数分析，我们必须为它们确定一个函数空间。一般来说，我们假设∈ Cs（T），最多有一个有限的麻木跳跃的cadlag fu ncions空间，范数kzk:=supt∈T | zt |。当我们需要正向速率的存在时，我们假设z∈ Cs（T），cadlag函数的s步，最多有一定数量的跳跃，且具有一阶导数，normkzk:=supt∈T | zt |+支持∈T | z′T |。这两个空间都是变形线性空间，参见[5，第1.3章]。

人们可能会选择更大的空间，但这些空间适用于我们心目中的应用。此外，我们假设“z”定义在整个Cs（T）上，或者当需要远期利率时，定义在Cs（T）上，并且在各自的空间中具有范围。2.2. 现金流和现值。我们用函数C表示一般现金流，其中CTI定义为区间内的累计现金流[0，t]。请注意，如果在时间t进行一次总付，函数C在时间t处有一个跳跃。我们将有点草率地将C表示的现金流称为“现金流C”或“C”。我们坚持C是有界的，也就是说，它可以写成两个非减量函数的差，C=C+- C-. 这似乎是合理的，这两个术语分别代表流入（C+）和流出（C）-). 由收益率曲线y贴现的C的现值由Stieltjes积分p[y；C]：=C+ZTDt[y]dCt给出。由于C是有界变化的，因此积分定义得很好。4如何对冲外推收益率曲线*t[y]：=C+RtDs[y]dct作为截至时间t的现金流的现值，因此P[y；C]=C+RTdC*t[y]=C*T[y]和，至少非正式地，dC*t[y]=Dt[y]dct是时间t时现金流的当前值。当可以从上下文推断时，我们将在符号中删除参数。通常情况下*t=A*t[z]和L*t=L*t[\'z]。因此，由函数A表示的资产现金流的市场价值和由函数L表示的负债的贴现价值分别为P[z；A]和P[\'z；L]。我们定义P[z；L]：=P[\'z[z]；五十] ，即作为z.2.3函数的负债贴现价值。套期保值。让我成为负债现金流。

我们说，资产现金流A是L的完美对冲，如果所有z（2）P[z；A]＝P[z；L]。我们说，如果L存在一个完全对冲，那么z是完全可对冲的。A是L（在z）ifP[z+的一阶对冲ZA]- P[z；A]=“P[z+ZL]-\'P[z；L]+o（）。请注意，一阶套期保值的定义取决于z：A可能是L在一个z上的一阶套期保值，但不是另一个z。还要注意的是，在z的一级套期保值不一定有P[z；a]=`P[z；L]：它是负债现值的任何可能变化——随着市场收益率曲线从z变为z+z——这是由资产匹配的（最多剩下一小部分），而不是现值本身。如果所有L和z都存在一个一阶套期保值，我们说“z”是一阶套期保值的。2.4. 函数导数和泰勒近似。在第2.4小节中，f将表示通用函数，而非前向曲线。函数f[G]在h方向上的G^ateaux变化，或者简单地说是变化，由（3）δf[G|h]：=lim定义→0+f[g+h]- f[g]。这种变化在h中的阶数是均匀的，我们将使用这个forTaylor应用程序，即如果g变为g+我们有，see[5，Thm 1.5]，（4）f[g+g] =f[g]+δf[g|g] +R(g） ，林在哪里→0+R（g） /=0。注意（3）中的h和（4）中的g通常可以是函数（或泛函）本身。我们显然需要g+假设在第四个域中，g在这种情况下，该标准已完全满足，例如，通过具有足够小的范数。如何对冲外推收益率曲线5以下链式规则适用于（5）δ（fo g） [h | k]=δfg[h]δg[h | k].评论函数空间上的导数有更严格的版本可以使用。

例如，如果将δf[g | h]限制为线性且在h中有界，则得到所谓的g^ateaux微分，并且如果泰勒展开式（4）中的余数R在甘德不仅沿着雷{g:>0}，即limkgk→0R(g） /kgk=0，得到所谓的Fr’echet差分。线性泛函δf[g |·]被称为g^ateaux和Fr|echet导数，在各自的情况下——参见[3]。下面的例子3说明了为什么在我们考虑的应用中，差异的线性不能被认为是理所当然的，因此我们需要G^ateaux变量所提供的通用性。例1。贴现因子Dt[y]在方向上的变化y是δDt[y|y] =-T自δDt[y]以来的ytDt[y]|y] =lim→0+Dt[y+y]- Dt[y]=lim→0+e-t（yt）-yt）- E-tyt=-Tyte-tyt=-TytDt[y]。例2。对于现金流的现值，我们有一个大致的方向yδC*T[y|y] =δP[y；C|y] =ZTδDt[y|y] dCt=-ZTtytDt[y]dCt=-ZTtytdC*t[y]（6）在特殊情况下比如说，y是一个常数函数对于所有的c，我们得到*T[y|y] =-cZTt dC*t[y]与c=-1我们把这个量称为C（y）的美元持续时间。无论C以何种货币计价，我们都称之为美元持续时间。在实践中，人们经常考虑c=-0.0001（一个基点），以及一个基点的美元价值（DV01）。C的持续时间定义为美元比率除以现值：Dur[y，C]：=RTt dC*t[y]C*T[y]。例3。设zt[z]：=max（0，zt）- c） 对于某些正常数c，即负债贴现率等于用c向下调整的市场利率，如果差异为负，则将其置为0。在监管机构如何对冲外推收益率曲线使用的债务贴现率的各种“压力测试”中，也有类似的解释。

通过定义（3），我们得到δ′zt[z|z] =lim→0+max（0，zt+）zt- c）- 最大值（0，zt）- c） =0，zt<c0，zt=c和zt≤ 0zt，zt=c和zt>0zt，zt>c.G^ateaux变化δ′z[z| z] 这显然不是线性的对于某些t，如果zt=c，则z在z处。f在h和k方向上的二阶G^ateaux变化是δf[G|h，k]：=lim→0+δf[g+k | h]- δf[g | h]，为了简化符号，当两个方向相同时，我们写δf[g | h]：=δf[g | h，h]。这将用于二阶泰勒近似：f[g+g] =f[g]+δf[g|g] +δf[g|g] +R(g） 和林→0+R（g） /=0。二阶变化的链式法则是δ（fo g） [h | k，l]=δfg[h]δg[h | k]，δg[h | l]+ δfg[h]δg[h | k，l],或者两个方向相同，δ（fo g） [h | k]=δfg[h]δg[h | k]+ δfg[h]δg[h | k].例4。贴现因子Dt[y]在方向上的第二个变量y是δDt[y|y] =t(yt）Dt[y]。对于现金流的现值，我们有δC*T[y|y] =RTt(yt）dC*t、 当收益率曲线y以平行方式移动时，即。对于某些常数，y=c，对于所有t，δc*T[y|y] =cRTtdC*t、 QuantityRTDC*TC*这叫做C的凸性（在y处）。例5。根据链式法则，`Dt[z]在方向上的二阶变化z是δ¨Dt[z|z]=t（δ′zt[z|z] )- tδ′zt[z|z]\'Dt[z]和（7）δ\'P[z；L|z] =ZTt（δ′zt[z|z] )- tδ′zt[z|z]dL*t、 2.5。一般结果。让我们首先考虑完美的对冲。以下命题表明，完全套期保值相当于负债贴现因子是市场贴现因子中的一个有效因子。提议1。当且仅当对于所有t，对于一些独立于z的现金流C（t），z是完全可对冲的。完全对冲的形式为A=L+RTC（t）sdLt。如何对冲外推收益率曲线。为了证明必要性，我们想证明完美套期保值意味着定理中现金流C（t）的存在。

考虑负债现金流L（t）s:={s≥ t} ，表示时间t的一次总金额为1，并设a（t）为L（t）的完美对冲。通过定义一个贴现因子和一个完美对冲的定义，（2），我们得到了‘Dt[z]＝‘P[z；L（t）]＝P[z；a（t）]，我们可以让C（t）=a（t）。还要注意的是，A（t）s=L（t）+RTC（u）sdL（t）u。为了证明其有效性，我们想证明，托勒姆的资产现金流是一种完美的对冲。P[z；A]=A+Zs∈TDs[z]dAs=L+Zt∈TC（t）dLt+Zs∈TDs[z]Zt∈TdC（t）sdLt=L+Zt∈TC（t）+Zs∈TDs[z]dC（t）sdLt=L+ZTP[z；C（t）]dLt=L+ZT\'Dt[z]dLt=\'P[z；L]。我们现在讨论一阶套期保值。提议2。当且仅当δP[z；A|z] =ΔP[z；L|z] ，前提是存在G^ateaux变化，在这种情况下，Firstorder套期保值解决了（8）ZTtztdA*t=ZTtδ′zt[z|z] dL*防盗。将泰勒近似（4）应用于P[z+ZA] 和‘P[z+Z五十] 给出usP[z+ZA]- P[z；A]=δP[z；A|z] +R(z） \'P[z+ZL]-\'P[z；L]=δ\'P[z；L]|z] +R(z） 因此，一阶套期保值性相当于δP[z；A|z] =ΔP[z；L|z] 。方程式（8）由方程式（6）和链ru le（5）得出。-δP[z；A|z] =ZTtztdA*T-δ′P[z；L|z] =-ZTδ¨Dt[z|z] dLt=-ZTδDt\'z[z]δ′z[z|z]dLt=ZTtδ′zt[z|z] Dt[\'z[z]]dLt=ZTtδ\'zt[z]|z] dL*T8如何对冲外推收益率曲线我们将重复使用等式（8），并称之为对冲等式。如果A是L的一阶套期保值，则可以使用二阶泰勒展开来了解套期保值的表现。通过等式（7），P[z+ZA]- P[z；A]- （\'P[z+ZL]-\'P[z；L]）=δP[z；A|z]- ΔP[z\'\'|z]+ R(z）=ZTt(zt）dA*T-ZTt（δ′zt[z|z] )- tδ′zt[z|z]dL*T+ R(z） 。（9） 负债现值对“z”参数的敏感性也很重要。Ifθ是一个标量参数，（10）ddθP[\'z；L]=ZTddθDt[\'z]dLt=-ZTtd′ztdθdL*t、 三,。