时变随机禀赋下的最优投资

对于风险规避参数γ<，γ6=0，我们假设U=Uγ，Uγ（x）=γxγ，x>0。由于幂效用函数的分析可处理性，它在理论和实证研究中得到了广泛的应用。此外，实证研究和实验研究（例如，[]）都是这一类别的典型代表。此外，经济的长期行为表明，长期的风险规避，如退休决策，并不强烈依赖于财富，见[8]。假设代理人在最终时间T最大化终端财富的预期效用，效用最大化问题的价值函数由（2.1）V:[0，T]×O给出→ R∪ {-∞}, （t，x，y）7→ V（t，x，y）：=supπ∈πEU（Aπ，t，x，yT）,式中：=（0，∞)×(0, ∞). 在值函数的定义中，状态过程分别被取为aπ，t，x，y，ct，yAπ，t，x，yct，y过程分别在x和y的时间t开始。2.1先验估计、局部有界性和连续性我们首先提供了值函数有限且连续的简单有效条件。一个关键因素是以下关于状态过程的先验估计的集合。引理2.1（先验估计）。设α，β，η>0。然后存在Cα，Cβ，Cη>0这样的EHSUPS∈[t，t]ct，ysαi≤ Cα| y |α（t，y）∈ [0，T]×（0，∞),（2.2）supπ∈∏Ehsups∈[t，t]Aπ，t，x，ys-βi≤ Cβ| x|-β、 （t，x，y）∈ [0，T]×O，（2.3）supπ∈∏Ehsups∈[t，t]Aπ，t，x，ysηi≤ Cη|（x，y）|η（t，x，y）∈ 此外，存在一个常数∈πEhAπ，t，x，yT- Aπ，t，x，yT我≤ C（x，y）- （x，y）+ |（x，y）|t- t|从先验角度来看，这当然不明显，甚至不明确。

然而，我们将在命题2.2中看到，u（Aπ，t，x，yT）的正部分是可积的，其界不取决于交易策略π∈在这种情况下，V被定义为R∪ {-∞}-有值函数。具有时变随机禀赋的最优投资（t，x，y），（t，x，y）∈ [0，T]×O.证明。估算值（2.5）来自于[]中命题3.22的直接应用（应用等式（3.78）），其中p=2，q=∞, λ>1，用[]表示。为了获得（2.2），weec | ct，y |α/2（线性）Lipschitz-Sdeecs=ecsαhuC（s）+（α- 2） σC（s）ds+σC（s）dWCsi，s∈ [t，t]，ect=|y |α/2。因此，ec意味着常数Cα>0的存在，即EHSUPS∈[t，t]ct，ysαi=Ehsups∈[t，t]ecs我≤ Cα| ect |=Cα| y |α。转到（2.3），我们使用ct，y≥ 0和-β<0估计值（2.6）Aπ，t，x，ys-β=x+Zstct，yuZπudu-βZπs-β≤ |x|-βZπs-β=|x|-βeZπs,这里，同样由它的引理，eZπ：=|Zπ|-β/2解（线性）Lipschitz-SDEdeZπs=-βeZπshr+σθπs-（β+2）σπsds+σπsdWsi，s∈ [t，t]，eZt=1。如前所述，我们得出结论，存在一个常数β>0（与π无关），即LipschitzeZπππ，πthatEhsups∈[t，t]Aπ，t，x，ys-βi≤ |x|-β-Ehsups∈[t，t]eZπs我≤ Cβ| x|-β| eZπt |=Cβ| x|-β，从而得到（2.3）。最后，关于（2.4），我们注意到EHSUPS∈[t，t]Aπ，t，x，ysηi≤ Ehsups∈[t，t]Aπ，t，x，ys，ct，ysηi≤ Ehsups∈[t，t]Aπ，t，x，ys，ct，ys2.∨ηi（η/2）∧1，如果η<2，我们必须在最后一步中使用Jensen不等式。再次应用Lipschitz-SDEs的a先验估计，得到了与π无关的Ecη>0的存在性，即Ehsups∈[t，t]Aπ，t，x，ys，ct，ys2.∨ηi≤eCη|（x，y）|2∨η、 这意味着（2.4）和Cη：=|eCη|（η/2）∧1.先验估计可用于提供简单有效的条件，在此条件下，值函数是有限的，且[U（aπ，t，x，yT）]对于所有可容许的U+xmax{Ux，}和U从下一致有界-（x） ：=max{-U（x），}。

此外，我们注意到Inada条件在本质上，即具有时变随机禀赋的最优投资↑∞U（x）=0，表示存在常数η∈ （0,1]和K+≥ 0，使（2.7）U+（x）≤ K+1+| x |η, x>0。例如，在功率利用率U=Uγ的情况下，如果γ为（K+，η）=（1/γ，γ），则该估计值适用∈（0,1）和K+=0，如果γ<0。命题2.2（局部有界性）。（i） 让η∈（0,1）使（2.7）成立。然后存在一个常数C+>0，这样SUPπ∈πEU+Aπ，t，x，yT≤ C+1+|（x，y）|η, （t，x，y）∈ [0，T]×O.（ii）假设存在康斯坦茨克-≥0和β>0，使得-（十）≤ K-（1+x）-β). 然后存在一个常数C-> 0这样的SUPπ∈πEU-Aπ，t，x，yT≤ C-1+| x|-β, （t，x，y）∈ [0，T]×O.特别是在这种情况下，值函数是局部有界的，即存在常数CV>0，使得| V（T，x，y）|≤ 个人简历1+| x|-β+| x |η+| y |η, （t，x，y）∈ [0，T]×O.证明。让我们fix（t，x，y）∈ O.为了证明（i），我们应用估计值（2.7）和先验估计值（2.4）来获得一个常数Cη>0且上π的存在性∈πEU+（Aπ，t，x，yT）≤ K+1+supπ∈πE|Aπ，t，x，yT |η≤ K+1+Cη|（x，y）|η.（2.3）（2.4）Cβ>supπ∈πEU-Aπ，t，x，yT≤ K-1+supπ∈πEhAπ，t，x，yT-βi≤ K-1+C-|x|-β.V的估算是（i）和（ii）的直接结果。注意，对于功率效用函数suγ和γ<0，命题第（ii）部分的假设满足（K）-, β) = (-/γ, -γ） 当γ<0时，正部分消失，当γ<0时，负部分消失。

对数效用u=logi是一个常用效用函数的例子，其结果适用于该函数，且其正负部分均不为零。与前一命题相同的假设，以及效用函数导数的适当增长条件。提案2.3（连续性）。假设存在康斯坦茨克-≥以及时变随机禀赋约束K的最优投资≥ 0和β>0使得（2.8）U-（十）≤ K-1+x-β和U（x）≤ Kx-所有x>0的β。然后我们可以找到C>0，这样| V（t，x，y）- V（\'t，\'x，\'y）|≤ Cmin{x |，|x |}-β|（x，y）- （\'x，\'y）|+最大值|（x，y）|，|（\'x，\'y）||T-\'t|1/2对于所有（t，x，y），（\'t，\'x，\'y）∈[0，T]×O.特别是（x，y）中的Vis局部Lipschitz连续和T证明中的局部1/2-H¨older连续。设（t，x，y），（\'t，\'x，\'y）∈[0，T]×o在不丧失一般性的情况下，假设V（T，x，y）≥ V（\'t，\'x，\'y）。对于ε>0，我们让π∈ 在t，x，y中∏是ε-最优策略≤ EU（AT）+ ε、 其中AT:=Aπ，t，x，yT。注意，π的存在是因为V（t，x，y）>-∞. 此外，提案2.2保证V（\'t，\'x，\'y）≥ EU（\'AT）> -∞, 式中，\'AT:=Aπ，\'t，\'x，\'yT。UUwe获得估算值| V（t，x，y）- V（\'t，\'x，\'y）|=V（t，x，y）- V（\'t，\'x，\'y）≤ EU（AT）- U（\'AT）+ ε≤ EU（\'AT）| AT-“在|+ ε≤ 柯|“在|-β| AT-“在|+ ε≤ KEh| AT|-2βi1/2Eh | AT-\'AT | i1/2+ε。（2.9）应用先验估计（2.3）现在表明（2.10）E|“在|-2βi1/2≤ |C2β| 1/2 | x|-β≤ |C2β| 1/2min{x |，|x |}-β和先验估计（2.5）产量|在-“在|1/2≤ C（x，y）- （\'x，\'y）+ |（x，y）|t-\'t|1/2≤ C（x，y）- （\'x，\'y）+ 最大值|（x，y）|，|（\'x，\'y）||T-\'t|1/2,（2.11）我们在最后一步中使用了平方根函数的次可加性。注意，康斯坦茨克、C2β、Cdepends中的任何一个都不依赖于策略π和henceC:=CK | C2β| 1/2也不依赖于π。

现在，将（2.10）和（2.11）插入（2.9）会导致| V（t，x，y）- V（\'t，\'x，\'y）|≤ Cmin{x |，|x |}-β（x，y）- （\'x，\'y）+ 最大值|（x，y）|，|（\'x，\'y）||T-\'t|1/2+ ε.具有时变随机禀赋的最优投资结果如下：ε是任意选择的，Cdoes不依赖于ε。请注意，功率效用函数满足前面命题中的假设，即K=1和β=γ- 1.为了以后的参考，我们将这些结果归纳为一个推论。推论2.4。UUUγ<γ6=0。然后存在一个大于0的常数CV，使得（2.12）|V（t，x，y）|≤ 个人简历1+| x|-γ-+ |x |γ+++y |γ+, （t，x，y）∈ [0，T]×O，其中γ-:= 麦克斯{-γ、 0}和γ+：=max{γ，0}。此外，V是连续的，满足V（t，x，y）- V（\'t，\'x，\'y）|≤ Cmin{x|，|x|1-γ|（x，y）- （\'x，\'y）|+最大值|（x，y）|，|（\'x，\'y）||T-\'t|1/2对于所有（t，x，y），（\'t，\'x，\'y）∈ [0，T]×O对于常数C>0.2.2的值函数的进一步性质在转向与优化问题相关的HJB方程之前，我们首先研究值函数的一些进一步性质。特别是，我们将看到，Vis是凹的，且γ度是均匀的。提议2.5。变量。特别是，对于每一位高管∈[0，T]，映射（x，y）7→ V（t，x，y）在其作用域{（x，y）的内部是局部连续的∈ O:V（t，x，y）>-∞}.我们注意到，在命题2.3中，我们建立了一个更强的连续性结果。然而，对于这一点，我们必须假设（2.8），而命题2.5在没有额外假设的情况下是有效的。道具的证明。2.5.证明按照标准线进行（参见[]中的第3.6.1节）。在其作用域的内部是连续的。T∈, Tx，y，x，y∈ 公牛≤ xy≤ ya策略π∈ Π.

由于禀赋过程是一个几何布朗运动，我们看到Ct，yT=yct，1T≤ yct，1T=ct，yT，从财富过程的显式表示中，我们发现aπ，t，x，yT=x+ZTtct，ysZπsdsZπT≤x+ZTtct，ysZπsdsZπT=Aπ，T，x，yT。由于π是任意选择的，且效用函数U是单调的，这表明v（t，x，y）=supπ∈πEUAπ，t，x，yT≤ supπ∈πEUAπ，t，x，yT= V（t，x，y），具有时变随机禀赋的最优投资。e、 V的第二个和第三个参数都是单调的。第二步：凹形。让我们再来一次∈[0，T]和（x，y），（x，y）∈ O.设π，π∈θ，选择θ∈ [0,1]和定义θ：=θx+（1）- θ）x和yθ：=θy+（1）- θ）y。此外，当Ai=Aπi，t，xi，yi，i=1，2时，我们定义了θ：=θA+（1- θ）A和π：=θAπ+（1）- θ）AπAθ。由于πθ是π和π的凸组合，因此πθ是[π，π]值，因此πθ是允许的。让我们证明aθ是与πθ相对应的财富过程。

对于这一点，请注意，yθ=yθct，1=yθyct，1+（1- θ）yct，1=θct，y+（1）- θ）ct，y，意味着daθs=θdAs+（1）- θ）dAs=rθAs+（1）- θ）作为ds+σθθπsAs+（1）- θ）πsAsds+θct，ys+（1）- θct，ysds+σθπsAs+（1）- θ）πsAsdWs=r+σθπθsAθs+ct，yθsds+σπθsAθsdws，因此线性sde解的唯一性意味着Aπθ，t，xθ，yθ=Aθ=A+（1- A，Aθπθt，xθ，yθ效用函数，我们得到v（t，xθ，yθ）≥ EU（AθT）≥ θEU（AT）+ (1 - θEU（AT）,但是由于π，π是任意选择的，取右边的上确界，我们到达了atV（t，xθ，yθ）≥ θV（t，x，y）+（1）- θ）V（t，x，y）。我们在这一节的结尾展示了，在幂效用的情况下U=Uγ，值函数在空间变量中的次γ是齐次的。引理2.6。UUγγ<γ6Vis在空间变量中的均匀度γ，即V（t，kx，ky）=kγV（t，x，y）对于所有k>0和（t，x，y）∈ [0，T]×O。因此，V可以用可分离的形式表示为asV（T，x，y）=yγUt、 x/y, （t，x，y）∈ [0，T]×O，在（2.13）U:[0，T]×（0，∞) → R、 （t，z）7→ U（t，z）：=V（t，z，1）。证据V的可分离表示紧跟着k=y的同质性，因为V（t，x，y）=Vt、 y（x/y），y= yγVt、 x/y，1, （t，x，y）∈ [0，T]×O.要看到它是均匀的，fix（T，x，y）∈[0，T]×O，k>0和π∈Π. Sincect，ky=kct，你会发现aπ，t，kx，kyT=kx+ZTtct，kysZπsdsZπT=kx+ZTtct，ysZπsdsZπT=kAπ，T，x，yT。但是V必须是均匀的，因为V（t，kx，ky）=supπ∈πEUγAπ，t，kx，kyT= supπ∈πEhγkAπ，t，x，yTγi=kγV（t，x，y）。3汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程从今以后，我们将注意力限制在电力效用上，即U=Uγ。应用著名的随机控制原理，参见。

第三章在[]中，我们可以写下我们控制问题的价值函数的HJB方程：-Vt（t，x，y）- supπ∈[π,π]LπV（t，x，y）= 0，（t，x，y）∈ [0，T）×O，（3.1）V（T，x，y）=Uγ（x），（x，y）∈ O、 其中线性微分算子Lπ通过hlπV（t，x，y）定义：=（r+σθπ）x+yVx+uCyVy+σπxVxx+σCyVyy+ρσCπxyVxy。在这里，以及在下面，我们用下标表示偏导数，并且经常忽略HJB方程的唯一粘性解。此外，我们还表明，只要μc和σCare连续可微，Vis甚至是一个经典解。3.1 HJB方程的上解族。这些对我们后续的分析起着至关重要的作用，尤其是作为HJB方程的抽象边界/增长条件。具有时变随机禀赋的最优投资我们从定义两个常数开始：=r+θ2（1- γ） 以及λ：=maxn-R- infπ∈[π,π]σθπ -(1 + κ)σπ, - 输入∈[0，T]uC（t）-（1+κ）σC（t）o、 由此，我们引入了一个参数函数族ψγ，ε，ι：[0，T]×o→ R、 （t，x，y）7→ ψγ，ε，ι（t，x，y）对于γ<1且γ6=0，ε∈ [0,1]和ι∈ {0, 1}. 我们假设ψγ，ε，ι的形式为ψγ，ε，ι（t，x，y）：=Uγx+yι（t）+εe-r（T）-（t）eγK（T）-t） +ι十、-（1+|γ|）+y-(1+|γ|)e（1+|γ|）λ（T）-t） 所有人（t，x，y）∈[0，T]×O，其中函数ι：[0，T]→ Ris作为一般微分方程˙ι（t）的唯一解给出=R- uC（t）+ρθσC（t）ι（t）- 1，t∈ [0，T]，ι（T）=ι。除非ι=0且t=t，否则应观察ι（t）>0。在任何情况下，ι都是非负的，因此，特别是ψγ、ε、ι定义良好。

我们进一步证明了ψγ，ε，ι是HJB方程的经典上解。命题3.1（经典上解）。对于γ<1且γ6=0的任意选择，ε∈[0,1]和ι∈ {0，1}，函数ψ：=ψγ，ε，ι是HJB方程的上解，即。-ψt（t，x，y）- supπ∈[π,π]Lπψ（t，x，y）≥ 0，（t，x，y）∈ [0，T）×O。此外，如果ι=1，则它是一个严格的上解。我们将ψ分解为ψ=ψ+ψ，其中ψ（T，x，y）：=Uγx+yι（t）+εe-r（T）-（t）eγK（T）-t） ，（t，x，y）∈ [0，T]×O，ψ（T，x，y）：=ι十、-（1+|γ|）+y-(1+|γ|)e（1+|γ|）λ（T）-t） ，（t，x，y）∈ [0，T]×O.通过算符Lπ的线性，可以得出：-ψt- supπ∈[π,π]Lπψ≥-ψt- supπ∈[π,π]Lπψ+-ψt- supπ∈[π,π]Lπψ.因此，为了得出结论，必须证明ψ和ψ是上解，如果ι=1，则ψ是严格上解。具有时变随机禀赋的最优投资步骤1：ψ是（严格）上解。如果ι=0，则ψ≡这就是HJBequation的一个解。因此，让我们假设ι=1，并证明，在这种情况下，ψ是一个严格的上解。设置κ：=（1+|γ|），ψ的偏导数由ψt=-κλ十、-κ+y-κeκλ（T-t） ，ψx=-κx-κ-1eκλ（T-t） ，ψy=-κy-κ-1eκλ（T-t） ，ψxx=κ（1+κ）x-κ-2eκλ（T-t） ，ψyy=κ（1+κ）y-κ-2eκλ（T-t） ，ψxy=0。将这些导数插入HJB方程并重新排列项，可以得到-ψt- supπ∈[π,π]Lπψ= κinfπ∈[π，π]nλ+r+σθπ-（1+κ）σπox-κeκλ（T-t） +κyx-κ-1eκλ（T-t） +κλ+uC（t）-（1+κ）σC（t）Y-κeκλ（T-（t）≥ κλ+r+infπ∈[π，π]nσθπ-（1+κ）σπo十、-κeκλ（T-t） +κyx-κ-1eκλ（T-t） +κλ+inft∈[0，T]nuC（T）-（1+κ）σC（t）oY-κeκλ（T-t） 。通过选择λ，括号内的项是非负的，因此-ψt- supπ∈[π,π]Lπψ≥ κyx-κ-1eκλ（T-t） >0，即ψ是HJB方程的严格上解。第二步：ψ是一个上解。

写出ψ=ι并使用普通微分方程，ψ的偏导数由ψt=-Kx+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γeγK（T-（t）+R- uC（t）+ρθσC（t）y k（t）- y+rεe-r（T）-（t）x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-1eγK（T）-t） ，ψx=x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-1eγK（T）-t） ，ψy=ψ（t）x+y~n（t）+εe-K（T）-（t）γ-1eγK（T）-t） ，ψxx=-(1 - γ)x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-2eγK（T）-t） ，ψyy=-(1 - γ） ~n（t）x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-2eγK（T）-t） ，ψxy=-(1 - γ） ~n（t）x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-2eγK（T）-t） 。将这些导数插入HJB方程并重新排列项，可以得到-ψt（t，x，y）- supπ∈[π,π]Lπψ（t，x，y）= -eγK（T）-t） supπ∈[π，π]n-Kx+y~n（t）+εe-r（T）-（t）时变随机禀赋+h的γ最优投资r+σθπx+r+ρθσC（t）y~n（t）+rεe-r（T）-t） 我x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-1.-(1 - γ） hσπx+2ρσC（t）πxyа（t）+σC（t）yа（t）ix+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-2o。我们不需要在[π，π]上最大化，而是可以在所有ofR上最大化，这样做会使最后一个表达式变小。上确界中的最大化子由^π：=（1）给出- γ） σxhθx+yИ（t）+εe-r（T）-（t）- (1 - γ） ρσC（t）yа（t）i.将其插入上述方程，并重新排列项，然后得出-ψt（t，x，y）- supπ∈[π,π]Lπψ（t，x，y）≥ -eγK（T）-t） h-Kx+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ+hr+σθ^πx+r+ρθσC（t）y~n（t）+rεe-r（T）-t） 我x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-1.-(1 - γ） hσ^πx+2ρ∑∑C（t）πxyа（t）+σC（t）yа（t）ix+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-2i=K- R-θ2(1 - γ)x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γeγK（T-t） +（1）- γ)(1 - ρ） σC（t）y~n（t）x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-2eγK（T）-（t）≥ 0，其中非负性来自K命题3.2的选择（V上的紧界）。值函数V满足γ（x）eγK（T-（t）≤ V（t，x，y）≤ Uγx+y~n（t）eγK（T）-t） ，（t，x，y）∈ [0，T]×O.证明。第一步：我们首先证明下限。为此，考虑常数策略π≡ πM∈记得AπM，t，x，yT≥ AπM，t，x，0T=xAπM，t，1,0T。