时变随机禀赋下的最优投资

但是接下来的v（t，x，y）≥ EUγAπM，t，x，yT≥ EUγxAπM，t，1,0T= Uγ（x）EAπM，t，1,0Tγ.最后一个期望值可以显式计算并给出AπM，t，1,0Tγ= Eheγ（r+σθπM）-σπM（T）-t） +γσπM（WT-Wt）i=eγ（r+σθπM-(1-γ） σπM（T）-t） =eγK（t）-t） 。第2步：为了证明上界，让（t，x，y）∈[0，T]×Oas以及π∈π和writeA:=Aπ，t，x，yandc:=ct，y。对于ε∈（0,1]固定，设置ψε：=ψγ，ε，0并用ρn，n表示∈ N、 a时变随机赋元局部鞅标度序列的最优投资：=ZstσπuAuψεx（u，Au，cu）dWu+ZstσC（u）cuψεy（u，Au，cu）dWCu，s∈ [t，t]。ψερn，Aρn，cρnψε方程，可以得出ψε（t，x，y）=Ehψε（ρn，Aρn，cρn）+Zρnt-ψεt（s，As，cs）-  Lπsψε（s，As，cs）ds- Mρni≥ Eψε（ρn，Aρn，cρn）.当ε>0时，我们看到ψε是下界的。因此，我们可以应用Fatou引理得到ψε（t，x，y）≥ 林恩芬→∞Eψε（ρn，Aρn，cρn）≥ Eψε（T，AT，cT）= EUγAT+ε≥ EUγ在.由于π是任意选择的，这意味着ψε（t，x，y）≥ V（t，x，y）和henceUγx+y~n（t）eγK（T）-t） =limε↓0ψε（t，x，y）≥ V（t，x，y）。备注3.3。证明V估计值的另一种方法是使用如下财务参数：o下界对应于没有随机禀赋的问题的值函数，因此当存在随机禀赋时可以改进；o通过将该问题与捐赠也可以交易的人工市场模型进行比较，可以找到另一个上限。3.2值函数的粘度表征下一步是证明值函数是HJB方程的唯一粘度解。关于二阶偏微分方程粘度溶液的定义（以及所有重要结果），我们参考[]。虽然HJB方程的粘度解是标准的，但在γ<0的情况下，由于值函数趋向于-∞在状态空间的边界附近。

为了解决这个问题，我们需要对HJB方程有一个足够强的比较原理。在讨论比较原理之前，让我们记录下哈密顿量：[0，T]×O×R×R2×2→ R、 （t，x，y，p，M）7→ 由H（t，x，y，p，M）给出的H（t，x，y，p，M）：=supπ∈[π，π]n[（r+σθπ）x+y]p+uC（t）yp+tr∑π（t，x，y）∑π（t，x，y）>M（t，x，y）具有时变随机禀赋的最优投资∈ [0，T]×O，p∈ 兰特M∈ R2×2带∑π（t，x，y）：=σπx0ρσC（t）yp1- ρσC（t）y！，在任何地方都是有限的，而且是连续的。注意，对于这一点，[π，π]是紧致的，这是至关重要的，因为否则哈密顿量可能会在其域的某些点发散，从而产生φ函数，它认为t、 x，y，Dа（t，x，y），Dа（t，x，y）= supπ∈[π,π]Lπφ（t，x，y）,其中，Dа和Dа分别表示а相对于空间变量（x，y）的梯度和海森。他的连续性的一个重要结果是，引理V.6.1在[22]中，我们可以应用抛物线形式的Ishii引理；参见[22]中的定理V.6.1。定理3.4（比较原理）。乐土，v:[0，T]×O→ 这是含（3.2）Uγ（x）eγK（T）的HJB方程的上半连续粘性下解和下半连续粘性上解-（t）≤ u（t，x，y），v（t，x，y）≤ Uγx+y~n（t）eγK（T）-t） ，（t，x，y）∈ [0，T]×O.进一步假设u（T，·）≤ v（T，·）在O.Thenu（T，x，y）上≤ v（t，x，y）代表所有（t，x，y）∈ [0，T]×O.证明。第一步：设置证明和定义。我们用矛盾来论证，并假设存在（t）*, 十、*, Y*) ∈ [0，T）×O使得（3.3）u（T）*, 十、*, Y*) - v（t）*, 十、*, Y*) > 0.对于δ>0和n∈ N、 我们引入一个函数φN:[0，T]×O×O→ R由φn（t，x，y，\'x，\'y）给出：=u（t，x，y）- v（t，\'x，\'y）- Δψ（t，x，y）- Δψ（t，\'x，\'y）-nh | x- \'x |+| y- 这里，ψ：=ψγ，对于某些γ，0,1∈（0,1）带γ>γ。

我们记得ψ：[0，T]×O→ Ris是HJB方程的经典上解，其形式为ψ（t，x，y）=U′γx+y~n（t）e′γK（T-（t）+十、-（1+|γ|）+y-(1+|γ|)e（1+|γ|）λ（T）-t） ，（t，x，y）∈ [0，T]×O，其中φ在[0，T]上严格为正。最后，我们定义了一个函数φ：[0，T]×O→ R乘以φ（t，x，y）：=u（t，x，y）- v（t，x，y）- 2Δψ（t，x，y），（t，x，y）∈ [0，T]×O，具有时变随机禀赋的最优投资，我们随后将假设δ>0足够小，以保证φ（T*, 十、*, Y*) = u（t）*, 十、*, Y*) - v（t）*, 十、*, Y*) - 2Δψ（t）*, 十、*, Y*) > 0，这在（3.3）中是可能的。第二步：φn的最大化子。

每n∈ N、 我们定义：=sup（t，x，y，\'x，\'y）∈[0，T]×O×Oφn（T，x，y，\'x，\'y）和M:=sup（T，x，y）∈[0，T]×Oφ（T，x，y）。让我们首先观察一下≥ 锰+1≥ M>0表示所有n∈ Nas，很明显，φnis（意味着Mn≥ Mn+1）和Mn=sup（t，x，y，\'x，\'y）∈[0，T]×O×Oφn（T，x，y，\'x，\'y）≥ 助理（t、x、y）∈[0，T]×Oφ（T，x，y）=M≥ φ（t）*, 十、*, Y*) > 此外，使用（3.2），我们注意到∈ Nand（t，x，y，\'x，\'y）∈ [0，T]×O×O我们有φn（T，x，y，\'x，\'y）≤ u（t，x，y）- v（t，\'x，\'y）- Δψ（t，x，y）- Δψ（t，\'x，\'y）≤胡γx+y~n（t）- δU′γx+y~n（t）- Uγ（`x）- δU′γ\'x+\'yа（t）γK（T）-（t）- δhx-（1+|γ|）+y-（1+|γ|）+x-（1+|γ|）+\'y-（1+|γ|）ie（1+|γ|）λ（T-t） 。由于γ>max{γ，0}和φ>0，因此它遵循这一点∈恩苏普特∈[0，T]φn（T，x，y，\'x，\'y）→ -∞ 作为x→ ∞ 或者→ ∞ 或者“x”→ ∞ 或者“y”→ ∞.同样，我们也看到了这一点∈恩苏普特∈[0，T]φn（T，x，y，\'x，\'y）→ -∞ 作为x→ 0或y→ 0或¨x→ 0或y→ 0.特别是，由于φ是上半连续的，我们发现f：=（t，x，y，\'x，\'y）∈ [0，T]×O×O:φ（T，x，y，\'x，\'y）≥ 0是紧致的，并且，asMn>0和φn≤ φ、 任意φn，n的任意最大化序列∈ N、 此外，我们还发现φnimplies的上半连续性（tn，xn，yn，\'xn，\'yn）∈ F使得mn=sup（t，x，y，\'x，\'y）∈[0，T]×O×Oφn（T，x，y，\'x，\'y）=φn（tn，xn，yn，\'xn，\'yn）。第三步：最大化者的收敛。AsFis紧凑型和（tn，xn，yn，\'xn，\'yn）∈ 奥尔芬∈ N、 在必要时传递到子序列之后，它将遵循thatlimn→∞（tn，xn，yn，\'xn，\'yn）=（t∞, 十、∞, Y∞, \'x∞, “y”∞)具有时变随机禀赋的最优投资∞, 十、∞, Y∞, \'x∞, “y”∞) ∈ F此外，我们注意到ψ，Mn≥ 0意味着|xn- \'xn |+| yn- “伊恩|= u（tn、xn、yn）- v（tn，\'xn，\'yn）- Δψ（tn，xn，yn）- Δψ（tn，\'xn，\'yn）- 锰≤ sup（t、x、y、x、y）∈Fu（t，x，y）- v（t，\'x，\'y）< ∞.（3.4）为了最后一个表达的完整性，我们使用了that和-vare上半连续和紧集上的有限值。

由于（3.4）是有限的，不依赖于n，因此（`x∞, “y”∞) = （十）∞, Y∞). 从这个，用那个≥ 然后是bothuand的上半连续性-v和ψ的连续性，可以得出0≤ 林尚→∞N|xn- \'xn |+| yn- “伊恩|= 林尚→∞胡（田纳西州、新南威尔士州、云南省）- v（tn，\'xn，\'yn）- Δψ（tn，xn，yn）- Δψ（tn，\'xn，\'yn）- Mni≤ 林尚→∞胡（田纳西州、新南威尔士州、云南省）- v（tn，\'xn，\'yn）- Δψ（tn，xn，yn）- Δψ（tn，\'xn，\'yn）- 惯性矩≤ u（t）∞, 十、∞, Y∞) - v（t）∞, 十、∞, Y∞) - Δψ（t）∞, 十、∞, Y∞) - Δψ（t）∞, 十、∞, Y∞) - M=φ（t）∞, 十、∞, Y∞) - M≤ 特别是，所有不等式实际上都必须是等式，并且lim sup可以被一个适当的限制代替。因此，我们认为Limn→∞N|xn- \'xn |+| yn- “伊恩|= 0和limn→∞Mn=M=φ（t∞, 十、∞, Y∞)还有Limn→∞u（tn，xn，yn）=u（t∞, 十、∞, Y∞) 还有limn→∞v（t，\'x，\'y）=v（t∞, 十、∞, Y∞).第4步：应用Ishii引理。让我们展示一下（t）∞, 十、∞, Y∞) 不位于状态空间的边界上。AsFis是[0，T]×O×OandO=（0，∞)×(0, ∞),我们不能有X∞= 0诺莉∞= 0.此外，如果∞=T、 我们使用ψ≥假设u（T，·）≤ v（T，·）在O上得出矛盾0<M=φ（T，x∞, Y∞) ≤ u（T，x）∞, Y∞) - v（T，x）∞, Y∞) ≤ 0.因此，ast∞< T、 下面是所有的∈ n足够大，因此不会损失n∈ sn的存在，sn∈ R和Mn，\'Mn∈ R2×2对称，使sn- \'sn=0和（3.5）Mn0-“嗯！≤ 3nI-我-我我！I:=1001！，具有时变随机禀赋的最优投资（qn，pn，pn）∈ J（1,2），+u（tn，xn，yn）和（\'qn，\'pn，\'pn）∈ J（1,2），-其中（qn，pn，pn）：=sn+Δψt（tn，xn，yn），nxn- \'\'xnyn- \'yn！+δDψ（tn，xn，yn），Mn+δDψ（tn，xn，yn）！，（\'qn，\'pn，\'pn）：=\'sn- Δψt（tn，\'xn，\'yn），nxn- \'\'xnyn- 艾琳！- δDψ（tn，\'xn，\'yn，\'Mn）- δDψ（tn，\'xn，\'yn）！。第五步：矛盾。

由于u和v是粘度的亚解和上解，因此-qn- Htn，xn，yn，pn，pn≤ 0和- “qn- Htn、\'xn、\'yn、\'pn、\'pn≥ 0.使用初等不等式sup{a+b}- sup{c- d}≤ sup{a- c} +sup{b}+sup{d}之后是0≤ qn- \'qn+Htn，xn，yn，pn，pn- Htn、\'xn、\'yn、\'pn、\'pn(3.6)≤ supπ∈[π，π]n（r+σθπ）n | xn- \'xn |+n（xn- \'xn）（yn）- \'yn）+uC（tn）n|yn- \'yn |+trh∑π（tn，xn，yn）∑π（tn，xn，yn）>Mn- ∑π（tn，\'xn，\'yn）∑π（tn，\'xn，\'yn）>Mnio+δψt（tn，\'xn，\'yn）+supπ∈[π,π]Lπψ（tn，\'xn，\'yn）+ δψt（tn，xn，yn）+supπ∈[π,π]Lπψ（tn，xn，yn）.使用（3.5），标准估计表明trh∑π（tn，xn，yn）∑π（tn，xn，yn）>Mn- ∑π（tn，\'xn，\'yn）∑π（tn，\'xn，\'yn）>Mni≤3nhπσ| xn- \'xn |+σC（tn）| yn- “yn | i.但是这个和n（xn- \'xn）（yn）- “‘yn’≤ n麦克斯|xn- \'xn |，|yn- “伊恩|≤ N|xn- \'xn |+| yn- “伊恩|这里是J（1,2），+w（t，x，y）和J（1,2），-w（t，x，y）表示函数w:[0，t]×O的二阶抛物超主语集的闭包→ R分别位于（t，x，y）。具有时变随机禀赋的最优投资允许我们继续估计（3.6）如下：0≤ supπ∈[π，π]n（|r |+σ|θ|π|）n |xn- \'xn |+n | xn- \'xn |+n | yn- \'yn |+|uC（tn）| n | yn- \'yn |+σπn | xn- \'xn|+σC（tn）n|yn- \'yn|o+δψt（tn，\'xn，\'yn）+supπ∈[π,π]Lπψ（tn，\'xn，\'yn）+ ψt（tn，xn，yn）+supπ∈[π,π]Lπψ（tn，xn，yn）≤ nCx | xn- \'xn |+nCy | yn- \'yn|+δψt（tn，\'xn，\'yn）+supπ∈[π,π]Lπψ（tn，\'xn，\'yn）+ ψt（tn，xn，yn）+supπ∈[π,π]Lπψ（tn，xn，yn）,式中cx:=1+| r |+σ|θ| supπ∈[π，π]|π|+σsupπ∈[π，π]|π|和Cy:=1+supt∈[0，T]|uC（T）|+支持∈[0，T]|σC（T）|。发送n→ ∞ 使用ψ是HJB方程的一个严格上解，因此也就是0≤ 2δψt（t）∞, 十、∞, Y∞) + supπ∈[π,π]Lπψ（t）∞, 十、∞, Y∞)< 0，这是期望的矛盾，因此得出这个证明。备注3.5。将[]中的结果推广到风险规避大于1（即γ<0）的情况的主要技术挑战在于比较原则。

事实上，对于这样的γ值，效用函数uγ爆炸了asx↓0，这需要非常精确地控制边界附近的粘度亚/上解，以建立比较原理。在我们的情况下，这是通过提案3.2实现的，它允许我们确定x=0附近的值函数的行为。有了这个比较原理，随机Perron方法[]立即表明，值函数V是HJB方程的唯一连续粘性解。推论3.6（粘度表征）。满足终端条件v（T，x，y）=Uγ（x），（x，y）的连续函数类中HJB方程（3.1）的唯一粘性解的值函数∈ O、 生长条件uγ（x）eγK（T-（t）≤ V（t，x，y）≤ Uγx+y~n（t）eK（T-t） ，（t，x，y）∈ [0，T]×0.3.3值函数的正则性我们现在给出了充分的条件，保证值函数甚至是HJB方程的经典解。相关但不同的结果可在[]和[]中找到。建立具有统一时间规律性的随机投资函数的内禀函数。然而，同感性质允许我们考虑变换（3.7）V（t，x，y）=yγe-βtwt、 对数x/y, 或者，等效地，w（t，ζ）：=eβtV（t，eζ，1），其中ζ：=logx/yandβ∈ 结果证明，Ws解出了一个简化形式的HJB方程-wt- supπ∈[π，π]na（π，t）wζζ+b（π，t，ζ，w，wζ）o=0，（t，ζ）∈ （0，T）×R，它是一致椭圆的，并且允许一个经典解，前提是ucσ连续地以1为单位计算空间，这有利于数值计算。定理3.7（正则性）。假设uCandσCare连续可区分。然后∈C1,2（（0，T）×O）。特别是，V是HJB方程的经典解。证据

第一步：转换HJB方程。让我们考虑一下等式（3.8）- wt- supπ∈[π，π]na（π，t）wζζ+b（π，t，ζ，w，wζ）o=0，（t，ζ）∈ （0，T）×R，其中：A×[0，T]→ R和b:A×[0，T]×R×R×R→ a（π，t）：=hπσ - ρσC（t）+ (1 - ρ） σC（t）i，b（π，t，ζ，v，p）：=R- uC（t）+（1- 2γ）σC（t）+πσθ-πσ+γρσC（t）π+e-ζp+γuC（t）- γ(1 - γ） σC（t）+βv、 对于π∈ [π，π]，t∈ [0，T]，ζ，v，p∈ R、 参数β在哪里∈ R的选择应确保（3.9）β<inft∈[0，T]h-γuC（t）+γ（1）- γ） σC（t）i.形式上，如果我们考虑变换w:[0，t]×R，则方程（3.8）出现→ R、 （t，ζ）7→ w（t，ζ）：=eβtV（t，eζ，1）。现在∈ N.然后我们声称方程（3.8）允许一个解Wn:（0，T）×[-N、 N]→ W与wN∈ C1,2（（0，T）×(-N、 N）满足边界和终端条件（3.10）wN（t，ζ）=eβtV（t，eζ，1），（t，ζ）∈{T}[-N、 N]∪（0，T）×{-N、 N}.具有时变随机禀赋的最优投资一旦建立，我们就可以定义一个连续函数vn：（0，T]×O（N）→ R、 （t，x，y）7→ vN（t，x，y）：=yγe-βtwN（t，logx/y），其中O（N）表示setO（N）的闭合：=（x，y）∈ O:对数x/y∈ (-N、 N）.观察到，通过终端/边界条件（3.10）和V的均匀性，我们得到vn（t，x，y）=yγe-βtwN（t，logx/y）=yγV（t，x/y，1）=V（t，x，y）tTx，y∈ O（N）\\ONwN（3.8），T×-N、 NSTRAIGHT正演计算表明，VNB解原HJB方程，即。-vNt（t，x，y）- supπ∈[π,π]LπvN（t，x，y）= 0，（t，x，y）∈ （0，T）×(-N、 N）。但在粘性解和hencevN=Von（0，T]×O（N）的意义上，Vn也满足了这个方程，唯一性结果定理V.8.1在[]。特别是，我们发现∈ C1,2（（0，T）×O（N））每N∈ N，我们最后发送N→ ∞.第二步：我们只需证明方程（3.8）允许经典解Wnon（0，T）×(-N、 N）满足边界/终端条件（3.10）。

为此，有必要验证[]中定理A.8中的条件；原始结果参见[]第6.4节中的定理3。（i） 每π∈【π，π】，很明显a（π，·）和b（π，·）是连续可微的，π，t∈π、 π×Tbπt实际上，非零导数由at=σC（t）˙σC（t）给出- ρσ˙σC（t）π，bt=- ˙uC（t）+（1）- 2γ）σC（t）˙σC（t）+γρσ˙σC（t）πp+9C（γ）- γ(1 - γ） σC（t）˙σC（t）+βv、 bv=γuC（t）-γ(1 - γ） σC（t）+β，bp=r- uC（t）+（1- 2γ）σC（t）+σθπ-σπ+γρσC（t）π+e-ζ、 bζ=-bζζ=-E-ζp，bζp=bpζ- E-ζ.从这里，我们还可以看到at，bt以及关于ζ和p的所有二阶导数都有界于m：=（π，t，ζ，v，p）∈ [π，π]×（0，T）×(-N、 N）×R×R:|v |+|p |≤ M尽管如此，我∈ N.具有时变随机禀赋的最优投资（ii）a在[π，π]×[0，T]上一致椭圆，即0<（1）- ρ） 输入∈[0，T]|σC（T）|≤ a（π，t）≤ sup（t，π）∈[0，T]×[π，π]|a（π，T）|<∞, （π，t）∈ [π，π]×[0，T]。（iii）对于所有（π，t，ζ，v，p）∈ [π，π]×（0，T）×(-N、 N）×R×R，它认为（1+| p |）ap（π，t）+av（π，t）+aζ（π，t）1+| p |=0。类似地，设置c:=sup（π，t，ζ）∈[π，π]×[0，T]×[-N、 N]R- uC（t）+（1- 2γ）σC（t）+σθπ-σπ+γρσC（t）π+e-ζ,C:=支持∈[0，T]γuC（t）-γ(1 - γ） σC（t）+β,由此得出（1+| p |）bp（π，t，ζ，v，p）+b（π，t，ζ，v，p）+bv（π，t，ζ，v，p）+bζ（π，t，ζ，v，p）（1+| p |）≤ （1+| p |）C+| p | C+| v | C+C+| p | 1+| p | eN≤ h（v）1+| p|,h:R在哪里→ [0, ∞) 是由h（v）给出的连续函数：=|v | C+3C+C+eN，v∈ R.（iv）修正Q>0。然后，由于选择β来满足（3.9），因此存在一个常数δ>0，使得b（π，t，ζ，-Q、 0）=-γuC（t）-γ(1 - γ） σC（t）+βQ≥ δ>0，b（π，t，ζ，Q，0）=γuC（t）-γ(1 - γ） σC（t）+βQ≤ -δ<0，对于所有（π，t，ζ）∈ [π，π]×（0，T）×(-N、 N）。在条件（i）至（iv）下，[]第6.4节中的定理3适用。

这就产生了Wn的存在，并且证明是完整的。4最优策略及其渐近性在这一部分中，我们构造了一个最优策略，并研究了它在财富与捐赠之比变大时的性质。具有时变随机禀赋的最优投资4。1.最优策略的存在性和特征通过计算HJB方程中的最大化子，很容易找到候选最优策略。事实上，一个简单的计算表明，哈密顿量的唯一最大化子由（4.1）^π给出*（t，x，y）：=H-θσVx（t，x，y）xVxx（t，x，y）-ρσC（t）σyVxy（t，x，y）xVxx（t，x，y）i∨ π∧ π、 （t，x，y）∈ [0，T）×O.对于任何初始配置（T，x，y），候选最优策略π*∈ π由π定义在（t，t）上*s:=^π*（s，A）*s、 cs），s∈ （t，t），其中c:=ct，Yan和A*是（4.2）dA的解吗*s=r+σθ^π（s，A）*s、 （政务司司长）A.*s+csds+σ^π（s，A）*s、 cs）A*sdWs，s∈ [t，t]，A*t=x。然而，我们注意到，漂移和扩散系数（x，y）是否为7尚不清楚→r+σθ^π（t，x，y）x+y和（x，y）7→ σ^π（t，x，y）x满足必要的正则性，以确保（4.2）的强解的存在。因此，我们遵循一条不同的路线：首先，我们认为对于每个初始配置（t，x，y），存在一个最优策略，然后证明它可以通过函数^π以反馈形式表示*. 这条有点不寻常的路线是我们假设[π，π]是紧凑的产物。事实上，我们预计，允许交易策略在整个实线中取值，可以使用[17]中的类似参数，以更经典的方式构造最优策略。命题4.1（优化器的存在）。Let（t，x，y）∈[0，T）×O。