时变随机禀赋下的最优投资

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英文标题：
《Optimal investment with time-varying stochastic endowments》
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作者：
Christoph Belak, An Chen, Carla Mereu, Robert Stelzer
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  This paper considers a utility maximization and optimal asset allocation problem in the presence of a stochastic endowment that cannot be fully hedged through trading in the financial market. After studying continuity properties of the value function for general utility functions, we rely on the dynamic programming approach to solve the optimization problem for power utility investors including the empirically relevant and mathematically challenging case of relative risk aversion larger than one. For this, we argue that the value function is the unique viscosity solution of the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation. The homogeneity of the value function is then used to reduce the HJB equation by one dimension, which allows us to prove that the value function is even a classical solution thereof. Using this, an optimal strategy is derived and its asymptotic behavior in the large wealth regime is discussed.
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中文摘要：
本文考虑了一个效用最大化和最优资产配置问题，该问题存在一个不能通过金融市场交易完全对冲的随机捐赠。在研究了一般效用函数的值函数的连续性之后，我们利用动态规划方法来解决电力效用投资者的优化问题，包括相对风险规避大于1的经验相关且数学上具有挑战性的情况。为此，我们认为值函数是Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的唯一粘性解。然后利用值函数的齐次性将HJB方程简化为一维，从而证明值函数甚至是其经典解。利用这一点，我们导出了一个最优策略，并讨论了它在大财富状态下的渐近行为。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Optimal_investment_with_time-varying_stochastic_endowments.pdf (748.98 KB)

2022-5-6 08:49:06 上传

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关键词：Optimization maximization Differential Quantitative Mathematical

具有时变随机禀赋的最优投资Schristoph Belaka、An Chenb、Carla Mereuc和Robert StelzerdaTU Berlin，Strasse des 17数学研究所。Juni 136，10623柏林，德国。belak@math.tu-柏林。德国乌尔姆赫尔姆霍尔茨大街2089081号德彪姆大学保险科学研究所。一chen@uni-乌尔姆。decccarlammereu@gmail.comdUlm德国乌尔姆赫尔姆霍尔茨大街18号数学金融研究所大学，89081。罗伯特。stelzer@uni-乌尔姆。无法通过金融市场交易进行完全对冲的非随机捐赠。在研究了一般效用函数的值函数的连续性之后，我们利用动态规划方法来解决电力效用投资者的优化问题，包括相对风险规避大于1的经验相关且数学上具有挑战性的情况。为此，我们认为价值函数是Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的唯一粘性解。然后利用值函数的齐次性将HJB方程降维，从而证明值函数甚至是其经典解。利用这一点，我们导出了一个最优策略，并讨论了它在大财富状态下的渐近行为。关键词。效用最大化；汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程；随机禀赋；粘度溶液。在本文中，我们分析了在一定时间内接受随机捐赠的经济主体的效用最大化或最优投资问题。我们处理的是一个不完整的市场环境，因为捐赠风险与市场中的交易资产并不完全相关。

激励我们模型的一个具体例子是一个经济代理人，她在工作期间接受随机工资，并将固定比例的工资投资于金融资产，在退休年龄优化其财富的效用。另一个例子可能是养老基金，它从养老基金的成员那里获得随机捐款，并进行投资以产生现金流。事实上，本文的原始想法源自对养老金计划的研究。这种养老金计划在过去几年中非常流行，并正在取代固定福利养老金计划（参见例[1]）。在所有经合组织国家，固定缴款（DC）计划在过去几十年中发挥着越来越重要的作用，关于从最初占主导地位的固定缴款养老金计划向DC计划过渡的进一步原因，请参见[]中的讨论。在DC计划中，养老金福利通常将其工资的一小部分贡献给基金。养老金福利的薪水或工资，通常为：1406.6245v4[q-fin.PM]2022年2月23日，考虑固定部分和绩效相关部分（通常取决于公司范围、部门和个人的成功）的时变随机捐赠的最佳投资可以被视为随机投资。同样，由于工资或薪金的意外变化、失业和流行病，将供款视为随机供款也是合理的。然而，与交易风险资产的完美关联显然是不现实的。在计划中，养老金福利承担全部投资风险。例如，美国的DC福利。美国通过所谓的“个人退休账户”或更频繁的退休储蓄问题来管理投资风险。通过投资和/或消费使经济主体的预期效用最大化的问题可以追溯到[]和[]并被进一步研究，例如：。

在[，，]中，仅引用几句。这类问题最初是用动态规划方法解决的，该方法要求在状态过程中假设马尔可夫性，并导致汉密尔顿-雅可比马尔可夫资产价格可以放松以解决最优投资问题。在完全市场环境中，双重方法已在[，]和不完全市场环境中进行了研究，如[23]和[24]。对于接受外生随机捐赠的投资者，其模型为时间非齐次几何布朗运动。我们遵循原始HJB方法，并认为，在电力效用的情况下，在市场参数的适当规律性假设下，价值函数是HJB方程的经典解。为了得到这些结果，我们使用粘性解方法，结合非线性抛物偏微分方程正则解的经典存在性结果。更准确地说，我们首先认为，价值函数甚至可以认为价值函数是HJB方程的经典解。在此基础上，我们构建了一个最优的交易策略。由于我们将策略限制为取紧凸集中的值，因此我们将看到，由于缺乏SDE漂移和扩散系数的全局Lipschitz性质，先验上不清楚（通过HJB方程中哈密顿量的最大化器以反馈形式给出）是否允许astrong解。因此，我们不得不遵循一种非经典的方法来构建非最优策略：我们首先论证存在最优策略，然后证明它可以以反馈形式呈现。特别是，这意味着最优策略是唯一的。

给定时变随机禀赋的最优投资，这是在没有随机禀赋的情况下的最优策略。然而，将随机禀赋纳入经典效用最大化问题的想法在本领域的论文中仅限于指数效用函数的分析上更容易处理的情况（以及其他几种[]和[]）。在假设随机禀赋有界的情况下，一些作者还讨论了终端财富的期望效用最大化问题。（L）元素分解的存在唯一性∞)*分为规则部分和单数部分，这很难明确描述。[]的作者通过引入随机捐赠的数量作为一个新的控制变量，克服了这个问题，放宽了边界假设。[]旨在研究市场模型和效用随机场上存在最优消费问题最大化的条件。此外，[]研究了值函数的性质和相应的对偶问题。[]研究了一般不完全半鞅设置下最优投资和消费策略的存在性和唯一性，并提供了一个关于可选强上鞅定义和增量过程的对偶刻画。[]重点研究随机禀赋下效用最大化问题的稳定性，即当基于鞅最优性原理和BSDE方法的最优解存在模型和/或偏好错误时。他们使问题变得容易解决。与本文最密切相关的是[]和[]。[]的设置类似于我们的andmotion。然而，他们发现了一种接近最优的消费和投资策略，与未知的最优策略相比，这种策略会导致较小的财富等价损失。

在[]中，预期的HJB方程，不取决于时间。我们采用并扩展了他们的方法，从椭圆情况（有限时间范围）发展到抛物线情况（有限时间范围）。我们进一步将其模型扩展到更广泛的随机禀赋类别，即我们允许时间变化小于1，我们还将该模型扩展到与经验更相关的幂值函数。事实上，我们能够为（未减少的）注释建立一个强有力的比较原则，即存在许多估计个人投资者相对风险规避（RRA）系数的实证和实验研究。虽然不同病例的RRA水平不同，但所有水平似乎都大于1。例如，[]发现65%的数据显示RRA高于3.76，24%低于2，12%介于2和3.76之间。[]将3、4和5描述为RRA的最合理估计值，[]将3.01和3.74描述为RRA的区间界限。效用最大化问题中时变随机禀赋的最优投资；参见，例如[38,4]。使我们的模型足够容易处理，从而构建HJB方程的经典解，从而构建最优交易策略的关键特性是，我们的简化形式价值函数的同质性仍然取决于财富，通过财富与禀赋比率，因此，即使在减少风险后，我们的问题也与经典工作[42]中关于在存在不可忽视风险的情况下优化预期效用的设置有根本不同。我们的HJB方法的另一个优点是，它非常适合数值解，并且允许研究经济问题，例如最优策略的定性行为。我们通过简单比较年轻人和老年人的最佳投资策略（即。

接近退休）的投资者，并通过考虑遵循“年龄越大，投资风险越小”原则的广泛生命周期投资策略，我们的理论是否可以从理论上证明这一点。论文的其余部分组织如下。第1节描述了模型设置，尤其是捐赠流程。在第二节中，我们介绍了最优化问题，并研究了它的一些基本性质，如适定性、连续性、凹性和齐性。第三节我们只研究电力效用，并研究相关HJB方程的性质。在这里，我们证明了价值函数是HJB方程的唯一粘性解，并且证明了如果市场参数是充分正则的，它甚至是一个经典解。在第4节中，我们在常规情况下构造了一个最优策略，并分析了其在财富与捐赠比率接近实际时的渐近行为。在第5节中，我们应用数值方法来阐明可以获得的具体经济见解。最后，第6节对本文进行了总结。1模型F，{Ft}t∈[0，T]，由无风险资产和风险资产组成的金融市场。从现在起，letT>0将成为一个固定的时间点。让我们分别记录储蓄账户和风险资产。

我们假设这两种资产遵循Black-Scholes模型：dSt=rStdt，dSt=uStdt+σStdWt，其中u，r∈ R、 σ>0，在我们的过滤概率空间上是布朗运动。假设捐赠过程在同一概率空间上具有由另一布朗运动驱动的随机动力学，该概率空间被假设与具有时变随机捐赠的最优投资相关系数ρ∈(-,1).换句话说，我们假设有另一个布朗运动依赖于Wc=ρW+p1- ρW，这导致了由dct=uc（t）ctdt+σc（t）ctdWCt，t给出的随机过程c∈ [0，T]，c=y，其中y>0且uc:[0，T]→ R、 σC:[0，T]→ (0, ∞) 是确定性连续函数。备注1.1。文献中有时会选择时间均匀的几何布朗运动来模拟随机收入（见[]）。考虑到DC养老金计划的例子，我们可以将其过程解释为一种差异收入，或者更确切地说，它的一部分可能会随着时间的推移而变化，并持续支付到养老基金中。从分析的角度来看，这个随机禀赋家族的基本特征是，在电力效用的情况下，属性的价值函数可以实现问题维度的降低。考虑到确定性时变漂移和波动性，不会实质性地改变以下数学分析。看起来现实的是，职业生涯开始时，收入的漂移和波动性都比接近退休时要高一些。x>tπt股票中的财富和1- πt与利率相关的无风险资产。此外，随机收入将以ratect连续支付给账户。

假设与策略π对应的财富过程（用π表示）具有以下动力学：dAπt=πtAπtStdSt+（1- πt）AπtStdSt+ctdt。定义θ：=（u）- r） /σ，可以写成（1.1）dAπt=[（r+σθπt）Aπt+ct]dt+σπtAπtdWt，t∈ [0，T]，Aπ=x.按ct率付款。π风险资产。我们假设π是一个逐步可测的过程，取紧致π中的值，ππ<π我们排除了完美相关情况ρ=1和ρ=-1.在这些极端情况下，风险资产和随机收益都完全由W驱动。优化问题变得更简单，与随机劳动收入的weretirement问题不同，后者的劳动收入与金融市场风险完全相关。时变随机禀赋下的最优投资序列假定为πM∈ [π，π]，其中πM表示默顿分数πM:=θ（1）- γ)σ.πMin情形≡0和带有1的power utility- γ是相对的风险厌恶。让我们强调一下，我们的紧凑性假设并不意味着投资于风险资产的资金或现金头寸是有界的。相反，这意味着在允许卖空风险资产和在银行账户上获得信贷的程度上存在相对的限制。例如，选择[π，π]=[0,1]相当于假设风险资产的卖空和最优投资问题的价值函数比无限制情况下要容易得多。事实上，我们将在第2节的结果和第3节的粘度表征中充分利用这一假设；另见定理3.4之前的讨论。相比之下，这种交易约束在构建最优策略方面带来了重大挑战。

事实上，尽管我们能够证明价值函数是HJBequation的经典解，并以反馈形式获得候选最优策略，但尚不清楚与候选最优策略相关的财富过程是否存在；有关详细信息，请参见第4节开头的讨论。我们首先通过建立最优策略的抽象存在性结果，然后验证任何最优策略是否与我们的候选最优控制一致，从而克服了这个问题。π, ππ ∈方程（1.1）解的存在唯一性。永远不会变得消极。在我们的假设下，财富过程保持正的，对可接受的策略没有任何额外的要求。这可以从（1.1）的显式解由πt给出的事实中看出=x+ZtcsZπ-sdsZπt，t∈ [0，T]，其中Zπ是给定为ZπT:=exp的随机指数因子Ztπsσθ+r-（πsσ）ds+ZtσπsdWs, T∈ [0，T].2优化问题：报表和属性称布朗运动代表了收入中的不确定性，假设收入不在市场上交易。这使得市场不完全，因此我们面临着在不完全市场中最大化个人预期效用的问题。更准确地说，具有时变随机禀赋的最优投资我们正在寻找最优投资策略π*∈ 那么Uπ*T= supπ∈πEUπT,式中：（0，∞)→ Ris是一个效用函数，它是两次连续可微分的、递增的、凹的，并且满足Inada条件极限↑+∞U（x）=0和limx↓0U（x）=∞.稍后，我们将限制为一个常数相对风险规避（CRRA）幂效用函数的特殊情况，即。