核心-外围结构性银行体系中的系统性风险

（3.9）接下来请注意∈ Cρit- ρit=Ztdsn1- ε| C |- 1Xj∈C\\{i}ρjs- (1 - ε） ρ为+（1）- ε） （ρ为- E[ρCs]）+ε| P | Xk∈Pρks- ερis+ε（ρis- E[ρPs]）o.我们取对应于核心组的积分下的所有项，并得到（我们去掉了因子1）-ε） |C|- 1Xj∈C\\{i}ρjs- ρis+（ρis- E[ρCs]）=|C |- 1Xj∈C\\{i}nρjs- ρjs-ρ是- ρ是+ρjs- E[ρCs]o、 然后我们取对应于外围银行的积分下的所有项（去掉因子ε），得到| P | Xk∈Pρks- ρ是+ρ是- E[ρPs]=|P | Xk∈Pρks-ρks-ρ是- ρ是+ρks- E[ρPs].现在我们估计∈ C、 取勒贝格积分下的模，并使用三角不等式e[|ρi- ρi|*[T]≤ KZTds1.- ε| C |- 1Xj∈C\\{i}E[|ρjs- ρjs |]+E[|ρis- ρ为|]+ E1.- ε| C |- 1Xj∈C\\{i}（ρjs）- E[ρCs]）+ε| P | Xk∈PE[|ρks- ρks |]+E[|ρis- ρ为|]+ E“ε| P | Xk∈P（ρks）- E[ρPs]）#).把前面的不等式加起来∈ C、 它们是相同分布的，以及k的所有ρk∈ P，| C | E[|ρ- ρ|*T] =Xi∈CE[|ρi- ρi|*[T]≤ KZTds(1 - ε） 十一∈CE[|ρ为- ρ为|]+（1-ε） EXj∈C\\{i}ρjs- E[ρCs]+εXi∈C|P | Xk∈PE[|ρks- ρks |]+E[|ρis- ρ为|]+ εE“|C | | P | Xk∈P（ρks）- E[ρPs]）#)= KZTds(1 - ε） 十一∈CE[|ρ为- ρ为|]+（1-ε） EXj∈C\\{i}ρjs- E[ρCs]+εXi∈CE[|ρ为- ρ为|]+εE“|C | | P | Xk∈P（ρks）- E[ρPs]）#)+ KεXi∈CZTds（| P | Xk∈PE[|ρks- ρks |]]为了估计最后一个积分，我们使用以下事实：∈ P所有的期望都是相等的，并且在积分下取所有s的上确界∈ [0，T]。这就给了任意的l∈ PZTds | P | Xk∈PE[|ρks- ρks |]≤ te[|ρl- ρl|*[T]≤ T KZTdsEh|C|Xi∈C（ρ为- E[ρCs]）i、 其中最后一个不等式来自（3.9）中的界。现在我们把这个术语放回公共积分下，回想一下，我们所有的边界都依赖于T，并再次简单地称为tk。

然后在上述范围内加减ρIs，并使用三角形线质量|C | E[|ρ- ρ|*[T]≤ KZTds（Xi）∈CE[|ρ为- ρ为|]+E“xi∈C（ρ为- E[ρCs]）#+ E“|C | | P | Xk∈P（ρks）- E[ρPs]）#).这意味着[|ρ- ρ|*T] =|C | Xi∈CE[|ρi- ρi|*T] （3.10）≤ KZTds（E[|ρs- ρs |]+E“|C|Xi∈Cρ是- E[ρCs]#+ E“|P | Xk∈Pρks- E[ρPs]#),因此，根据Gronwall引理，E[|ρ- ρ|*T] （3.11）≤ 中兴通讯“|C|Xi∈C（ρ为- E[ρCs]）#+ E“|P | Xk∈P（ρks）- E[ρPs]）#!ds。现在我们有了我，j∈ V，因为所有的ρi，ρjare独立，cov（ρis，ρjs）=E[（ρis- E[ρC/Ps]）（ρjs- E[ρC/Ps]）]=0，所以根据柯西-施瓦兹不等式，对于所有的∈ [0，T]，嗯|C|Xi∈Cρ是- E[ρCs]我≤|C |呃xi∈C（ρ为- E[ρCs]）i=|C | Xi∈CEh（ρ为- E[ρCs]）i≤|C | KC，（3.12），其中KC不依赖于|C |。同样的论点也适用于P上的和，所以我们从（3.11）E[|ρ）中得到- ρ|*[T]≤ Kp|C|KC+p|p|Kp！<∞. （3.13）对于l∈ P我们回到（3.9）并调用（3.12）和（3.13），我们发现- ρl|*[T]≤ KE[|ρ- ρ|*T] +ZTdsnEh|C|Xi∈Cρ是- E[ρCs]木卫一≤ Kp | C | KC+p | p | Kp！。这意味着结果。备注3.2。（1） 请注意，在极限系统（3.6）和（3.7）中，所有过程都是独立的，因此我们有混沌的传播，这意味着当系统规模变大时，所有鲁棒性过程都变得独立。（2） 从结果（3.8）我们可以看到，只要核心银行的数量变大，并且核心银行和外围银行的数量满足一定的增长条件，所有银行都是均值回归到均值过程。在真实市场中，我们会想到比核心银行更多的外围银行，所以|C |/|P |→ 0作为N→ ∞ 会看起来很现实。4核心-外围市场的风险管理为了研究核心-外围银行模型中的某些分散效应，我们分别为核心银行和外围银行引入了摩擦参数θC，θP>0，类似于[8,11,12]。

因此，将模型（3.4）和（3.5）扩展为ρit=θC1.- ε| C |- 1Xj∈C\\{i}ρjt+ε| P | Xk∈Pρkt- ρitdt+σCdLit，i∈ C、 （4.1）dρkt=θP|C|Xi∈Cρit- ρktdt+σPdLkt，k∈ P.（4.2）推论4.1。定理3.6的结论适用于扩展模型（4.1）和（4.2），并具有相应的极限动力ρit=θC(1 - ε） E[ρCt]+εE[ρPt]- ρitdt+σCdLit，i∈ C、 （4.3）dρkt=θPE[ρCt]- ρktdt+σPdLkt，k∈ P.（4.4）我们考虑θCandθPas参数，强调相应机构在其投资策略中加权银行间活动的强度；i、 例如，价值越高，意味着对银行间信贷的投资越大。这个较高的值将增加奥恩斯坦-乌伦贝克动力学中平均回归项的影响。我们首先根据公式（2.3）对有限网络进行模拟研究，该网络具有定理3.1中假设的特定结构和额外引入的摩擦参数；isdρt=Θ（Aw- IN×N）ρtdt+∑dLt，t≥ 0，（4.5）其中Θ和∑是对角线θ=（θC，…，θC，θP，…，θP）和σ=（σC，…，σC，σP，…，σP）的对角矩阵，分别用于正常数θC，θP，σC和σP。对于我们的模拟，选择N=55作为网络大小，其中|C |=5和| P |=50。对于allour模拟，鲁棒性过程从1开始，由布朗运动驱动。根据[6]中的数据，我们采用ε=0.58.4.1对冲市场波动性的变化。我们根据代理人的稳健性路径，检查市场波动性变化对核心银行或外围银行的影响。我们考虑不同的情况。最初，核心和外围将面临相同的经济环境，我们分别选择σC=σP=0.2和θC=θP=1。对于这种参数选择，图1左上角显示了所有五个核心银行和五个（50个）外围银行的稳健性样本路径。

下一步，我们假设市场波动性更大。鉴于核心银行可以通过复杂的对冲策略保持其非银行间资产的波动性不变；i、 例如，如果σC=0.2的值相同，外围银行就没有这种方法的资源和专业知识。因此，标准偏差为0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.6 1.0 1.4σP=0.2，θP=1时间稳健性0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.6 1.0 1.4σP=0.5，θP=1时间稳健性0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.6 1.0 1.4σP=0.5，θP=6时间稳健性0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.6 1.0 1.4σP=0.5，θP=15时间稳健性图1：本文所述核心-外围银行网络模拟的已实现稳健性过程。五家核心银行的稳健性用黑色表示，五家（50家）外围银行用红色表示。所有四个图都使用相同的

当冲击同时打击所有核心银行的稳健性时，这种策略有一定的缺点。为了指出由此产生的影响，我们重新进行了模拟，并假设所有核心银行的稳健性在t=0.9时降低了0.3，并在t=1（冲击后立即）和t=2时对市场进行了调查。这种局限于核心银行的冲击意味着，在短期内，核心银行和外围银行的稳健性将出现分歧。然而，由于等式（4.5）中的均值回归，从长期来看，核心银行和外围银行的稳健均值将再次回归到一个共同值（参见下面的推论4.3）。表4.1说明了在冲击场景中，增加的θP井会减少变化，但冲击核心会对外围产生更强烈的影响，以获得更高的θP值。对于较小的θP值，外围银行的稳健性对核心上的冲击表现出较低的灵敏度。在这种情况下，核心银行没有冲击（t=1）没有冲击（t=1）有冲击（t=1）有冲击（t=1）有冲击（t=1）有冲击（t=1）有冲击（t=2）有冲击（t=2）有冲击（t=2）有冲击（t=2）有冲击（t=2）有冲击（t=2）有冲击（t=2）有冲击（t=2）θP P（P710）P P P P P P P P p710p P P P\\710p P P P P p710p P\\710p\\710p710p\\710p710p\\710）P p710p P p710p\\\\710p710p\\^C^C^C7100.69（0.14）0.70（0.19）0.70（0.15）101.00（0.14）0.98（0.14）0.81（0.14）0.69（0.14）0.69（0.16）0.69（0.16）151.00（0.13）0.98（0.14）0.77（0.13）0.69（0.14）0.69（0.15）0.69（0.16）201.00（0.12）0.98（0.14）0.74（0.12）0.69（0.14）0.69（0.14）0.68（0.16）251.00（0.11）0.98（0.14）0.72（0.11）0.69（0.14）0.14）0.14（0.14）0.16）0.68（0.14）0.16）0.68（0.14）0.16）表一个核心银行的稳健性和一个银行的估计值分别为0.1和0.1。给出了基于100次模拟运行的经验平均值，括号内为标准误差。这些数据基于波动性增加的情景；i、 例如，从σP=0.2增加到σP=0.5。

对原始波动率和均值回归的模拟，σP=0.2和θP=1，得出平均估计值ρP=0.99，标准误差为0.14。因此，在市场波动性较高的情况下，外围银行可以通过设定θP=10，来近似于较低波动性之前的变化幅度。反过来，他们可以从与更强大的外围银行的银行间活动中获益。这一点在t=2时的稳健性估计中变得很明显，它显示了在冲击后状态下，核心和外围的新的共同稳健性。显然，对于θP=1，核心银行至少可以从冲击中部分恢复，但如果θP太大，情况就不再如此了。总体而言，我们得出结论，外围银行可以有动机向银行间市场进行更多投资，以对冲其波动性，然而，银行间投资的增加使它们更容易受到核心范围内冲击造成的传染。如果外围国对核心国投资过多，整个网络也将受到影响，因为外围国对核心国构成的敏感性增加，将对核心国本身及其从过去的冲击事件中恢复的能力产生负面反馈影响。4.2市场结构性断裂的风险管理在本节中，我们希望通过依赖首次通过时间，以更具体的方式阐明之前模拟的结果。以下推论给出了极限过程的一阶矩和二阶矩。推论4.2。极限模型的SDE（4.3）和（4.4）具有独立的OrnsteinUhlenbeck动力学，其解ρit=e-θCtρi+θCZte-θC（t）-u） （（1）- ε） E[ρCu]+εE[ρPu]）du+σCZte-θC（t）-u） 迪卢，我∈ C、 ρkt=e-θPtρk+θPZte-θP（t）-u） E[ρCu]du+σPZte-θP（t）-u） 德尔库，k∈ P、 此外，对于i=1。

N有二阶矩结构e[ρit |ρi=ai]=e-θCtai+θCZte-θC（t）-u）(1 - ε） E[ρCu]+εE[ρPu]杜，我∈ C、 E[ρkt |ρk=ak]=E-θPtak+θPZte-θP（t）-u） E[ρCu]du，k∈ P、 Var[ρit |ρi=ai]=σC2θC（1）- E-2θCt），i∈ CVar[ρkt |ρk=ak]=σP2θP（1）- E-2θPt），k∈ PCov[ρis，ρit |ρi=ai]=σC2θC（e-θC | s-t|- E-θC（s+t）），i∈ CCov[ρks，ρkt |ρk=ak]=σP2θP（e）-θP | s-t|- E-θP（s+t）），k∈ P.假设推论4.2系统存在一个固定版本，则该平稳模型的核心银行和外围银行的均值和方差分别为常数。它们由t的上述力矩得出→ ∞, 这就产生了i的E[ρC]=E[ρP]=：u和Var[ρi]=σC/（2θC）∈ C和Var[ρk]=σP/（2θP）表示k∈ P由此产生的平稳动力学进一步简化了原始模型。推论4.3。推论4.2中SDE的静态版本由比亚迪ρit=θC给出u - ρitdt+σCdLit，i∈ C、 dρkt=θPu - ρktdt+σPdLkt，k∈ P、 式中，u是核心银行平均稳健性的a.s.极限| C | Pi∈Cρitas |C |→ ∞尽管如此，t≥ 0.因此，对于大量核心银行和外围银行，我们可以根据推论4.3中简单的Ornstein-Uhlenbeck动态来讨论各种风险度量。作为第一个风险度量，我们考虑标准差。定义4.4。对于每家银行，我们定义了i的标准差风险si=qσC/（2θC）∈ 对于k，C和Sk=qσP/（2θP）∈ P这当然是我所认识的每家银行的一个目标∈ V使Si保持在一定范围内，并保持最佳常数（参见[12]）。作为第二个风险度量，我们定义了代理稳健性的平均起始消息时间的倒数。定义4.5。每一家银行我∈ V通过τi=1/E[Ti（0）]表示逆首次通过时间风险（IFPTrisk），其中Ti（0）：=inf{t≥ 0:ρit=0}表示ρito 0的首次通过时间。首次通过事件也可以作为触发事件，在市场中启动级联机制（例如Battiston等人[3]）。

数学分析[3]用布朗运动的时间来近似均值回复OU过程的首次通过时间。我们更喜欢使用以下精确公式。引理4.6。假设由独立布朗运动驱动的核心-外围银行系统，并假设所有鲁棒性过程都是推论4.3中SDE的解，所有i的起始值ρi=1∈ 五、定义α：=σ/√2θ，设Φ=1- Φ表示标准正态分布的尾部，而φ表示标准正态分布的密度。设T（0）表示一般组的首次通过时间ρ为0。然后保持：E[T（0）]=2ασZΦ（v-*α）*（v）-μα）dv=θZ（1）-u)/α-u/αΦ（y）~n（y）dy.（4.6）证明。据道普说。[21]Ornstein-Uhlenbeck过程的首次通过时间dxt=θ（u- Xt）从1开始第一次达到0的dt+σdwt预期e[T（0）]=r4πθσZexp五、- uσθPNu,σ2θ> 五、dv，（4.7），其中N（·，·）是一个正态随机变量，在第一和第二分量中具有均值和方差。然后，设置α：=σ/√2θ，我们得到[T（0）]=r4πθσZexp五、- uσθPu+rσ2θN（0,1）>vdv=r4πσZ√θexp五、- uσθΦ√2θv- uσdv=2ασZ√2πexp五、- uαΦ五、- uαdv。（4.8）因此{-y/2}=√2πφ(√2θy），可将被积函数重写为asf五、- uα:= Φ五、- uα.φ五、- uα,其中，变量替换产生最终结果。银行i稳健过程的首次通过时间Ti（0）可以解释为银行违约。因此，任何一家银行都肯定会以保持τilow为目标。如果核心银行出现结构性突破，我们将以更量化的方式评估外围银行的风险管理。

感兴趣的风险度量是任何外围银行的标准偏差风险SP=pσp/（2θp）和IFPTτp。我们首先回到第4.1节中的场景，我们发现对于SP目标值固定的银行，当波动率σPis变化时，外围银行可以通过选择适当的θP来对冲。现在我们可以量化该值，即对于任何σP值，θP=σP/（2SP）（4.9）。特别是，σ的增加需要θP的增加，这与图1所示的模拟是一致的。对于σP从0.2到0.5的变化（参见5 10 15 200.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0θPIFPTu=0u=0.1u=0.3u=0.5u=0.7u=1.0图2u的不同值的IFPT风险作为θP的函数。第4.1节），例如，等式（4.9）建议将θpf从1增加到6.25，以保持标准偏差风险SP4在其初始值不变。在不改变θp的情况下，外围银行必须接受从0.1414到0.3535的标准差风险，这意味着未来稳健性的不确定性更高。然而，从表4.1中的值可以看出，如果核心银行的稳健性相对较低，θP的较大值可能会加剧外围银行稳健性的降低。如果考虑到IFPT风险τpinto，增加θpEcomes的这一缺点显而易见。图2显示了IFPT风险如何取决于θPforσP=0.5和堆芯中平均稳健性u的不同值。只要μ保持足够大，通过增加θ相效益降低SPPT只会对IFPT风险产生影响。然而，对于接近零的u值，θ的增加意味着IFPT风险的大幅增加。我们希望通过采用第4.1节设置的最终示例来证实这一点；i、 例如，我们再次假设波动率从σP=0.2增加到σP=0.5，从而影响外围。

我们现在的目标不是对冲SPPT，而是通过相应地调整θp来保持IFPT风险τp恒定。对于u=0.5和假设的波动性情景，我们已经计算出——通过对等式（4.6）应用数值根式——外围银行必须将θpf从1增加到8.6，以保持τP恒定在τP=0.002的低水平。否则，在不调整银行间投资额的情况下，IFPTτPwouldjump为0.192。如需说明，请参见图3，该图比较了两种方案的τP，θ的增加和θP的不增加。与之前对冲的情况类似，如果μ变化，保持τP不变的缺点也会增加。假设由于外部冲击，核心银行内部出现了一些结构性断裂，这会降低核心银行的平均稳健性。图3表明，增加银行间资产投资的补救措施将是0。5 0.4 0.3 0.2 0.10.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0u如果IB资产没有增加IB资产的增加图3：银行间市场核心的平均稳健性u不同值的IFPT风险。该图比较了两种投资策略：在σC=0.2和σP=0.5的情况下，增加银行间资产与不增加银行间资产。一旦核心稳健性的平均稳健性下降略高于0.2，则为更差的替代方案。当此类事件发生时，在不增加银行间投资的情况下，外围银行的IFPT风险会更小，以对冲波动性增加时的IFPT风险。5结论基于经验证据，我们采用分层区块模型将银行间市场建模为一个网络，其中少数高度关联的大型银行（核心）扮演着大量小型银行（外围）的金融中介角色。