带跳跃和扩散的鲁棒超边缘

此外，我们表示byF=（Ft）t≥0标准过程（t，ω）产生的过滤7→ ωtand by P(Ohm) 上的概率测度空间(Ohm, F） 具有弱收敛的拓扑结构。给定t≥ 0，我们引入以下符号。两条路径ω，ω的并置∈ Ohm at t由（ω）给出tΩ）u:=ωu[0，t）（u）+ωt+～ωu-T[t，∞)（u） ，u≥ 0.任何P∈ P(Ohm), 有一个正则的条件概率分布{Pωt}ω∈Ohm给定FtsatisfyingPωtω′∈ Ohm : ω′=ω在[0，t]上= 1表示所有ω∈ Ohm.然后我们定义Pt，ω∈ P(Ohm) byPt，ω（F）：=Pωt（ωtF），F∈ F、 ω在哪里tF:={ωt~ω：~ω∈ F}。给定函数fOhm ω∈ Ohm, 我们还定义了函数ft，ωbyft，ω（～ω）：=f（ωt)ω，)ω∈ Ohm.如果f是可测的，那么对于P-a.e.ω，EPt，ω[ft，ω]=EP[f|ft]（ω）∈ Ohm. （公约）∞-∞ = -∞ 使用；e、 例如，在定义条件期望EP[f | Ft]：=EP[f+|Ft]- EP[f-|（英国《金融时报》）而我们最终会关注一组P P(Ohm) 在测量中，通过{P（s，ω）}（s，ω）族诱导P在技术上是有用的∈R+×OhmP的子集(Ohm) 如下。设{P（s，ω）}在ω|[0，s]=ω′|[0，s]时，P（s，ω）=P（s，ω′）的意义下给出并调整。集合P（0，ω）与ω无关，因为所有路径都从原点开始，所以我们可以定义P:=P（0，ω）。我们一直假设P6=. 在应用中，P将是主要对象，我们指定了一个对应的族{P（s，ω）}，使得P=P（0，ω）；有关示例，请参见第4节。下面条件（A）的性质（ii）和（iii）意味着{P（s，ω）}族本质上由集合P决定。我们记得，如果一个波兰空间的子集是另一个波兰空间在Borel可测映射下的Borel子集的图像，则它被称为分析的；特别是，任何Borel集都是解析的（参见[4，第7章]了解背景）。

我们现在可以在{P（s，ω）}的条件和粘贴下，说明以下关于可测性和稳定性的条件；它将使我们能够获得次线性期望Et（·）及其动态规划。条件（A）。对于所有0≤ s≤ t、 ω∈ Ohm 和P∈ P（s，\'ω），（i）{（P′，ω）：ω∈ Ohm, P′∈ P（t，ω）} P(Ohm) × Ohm 是分析型的；（ii）Pt-s、 ω∈ P（t，’ωsω）对于P-a.e.ω∈ Ohm;（iii）如果κ：Ohm → P(Ohm) 这是英国《金融时报》-s-可测核与ν（ω）∈ P（t，’ωsω）对于P-a.e.ω∈ Ohm, 然后，由P（A）=ZZ（1A）t定义的度量-s、 ω（ω′）κ（dω′；ω）P（dω），A∈ f是P（s，’ω）的一个元素。需要更多的符号来说明Et（·）上所需的结果。给定σ-场G，G的普遍完成就是σ-场G*= ∩PG（P），其中P在G上的所有概率测度范围内，G（P）是G在P下的完成。此外，如果{f>a}对所有a都是解析的，则标量函数f称为上半解析函数∈ R.任何Borel可测函数都是上半解析函数，任何上半解析函数都是普适可测函数。提议3.1。让条件（A）保持不变，让0≤ s≤ t和f：Ohm →Rbe是上s emi分析函数。当函数et（f）（ω）：=supP∈P（t，ω）EP[ft，ω]，ω∈ Ohm是F吗*t-可测和上半解析。此外，对于所有ω，Es（f）（ω）=Es（Et（f））（ω）∈ Ohm.此外，当P（s；P）={P′时∈ P:P′=P on Fs}，我们有（f）=ess su pPP′∈P（s；P）EP′[Et（f）|Fs]P-a.s.f或所有P∈ P.（3.1）参见[30，定理2.3]和该结果的后续注释。[30]中的定理是针对连续路径的空间而提出的，但在没有变化的情况下，它会覆盖到Skorohod空间；只有波兰的结构才重要。3.2二元性结果如下，我们将 P(Ohm) 由上面的{P（s，ω）}族决定。我们将使用过滤G=（Gt）0≤T≤T、 式中gt:=F*T∨ NP这里是F*这是FTA的普遍完成，NP是所有P的（FT，P）-null集合∈ P

设我们是一个具有cádláG路径的Rd值、G+适应过程。G-可预测过程H∈ 如果HoS是所有P的P-超鞅，则称L（S，P）为可容许∈ P、 我们用所有这些过程的集合来表示。定理3.2。假设{P（s，ω）}满足条件（A），并且Pis是s的非空的、饱和的sigma鞅测度集，因此s在所有P∈ P.此外，让f：Ohm → R是一个更高的半解析、GT可测函数，因此∈政治公众人物∞.然后∈PEP[f]=min十、∈ R: H∈ H带x+HoST≥ f P-所有P的a.s∈ P.证据通常，定理3.2中的一个不等式是直接的：如果x∈ 存在着∈ 使x+HoST≥ f、 HoS的超鞅性质意味着x≥ EP[f]代表所有P∈ 因此，我们重点展示H的存在∈ H带有抑制\'∈PEP′[f]+HoST≥ f P-所有P的a.s∈ P.从定理2.4的观点来看，我们将构造一个cádlágp超鞅YsatisfyingY≤ 补充∈PEP′[f]和YT=fp-a.s.适用于所有P∈ P.（3.2）回想命题3.1中的thatte（f）（ω）：=supP∈P（t，ω）EP[ft，ω]对于所有t都是可测量的∈政治公众人物∞ 这意味着∈政治公众人物∞; 该论点与[22，定理2.3]证明的第1步相同。现在（3.1）意味着Et（f）是（f*, P）所有P∈ P.然后我们可以定义：=lim supr↓t、 r∈t<t和Y′t:=ET（f）的QEr（f）。超鞅的修正定理[9，定理VI.2]得出了s et N之外的结果∈ NP，Y′的路径是cádlág，上极限实际上是一个极限，而且Y′是allP的（g+，P）-上鞅∈ P.我们定义Y:=Y′Nc；那么Y的所有路径都是cádlág，Y仍然是所有P的（g+，P）-上鞅∈ P（回想一下NP G） 。特别是，Y是相对于图2.4术语中的过滤G+的P超鞅。修正P∈ P我们检查YT=fp-a.s。

事实上，我们有YT=Y′T=ET（f）P-a.s.，由于GT=FTP-a.s.（3.1）产生ET（f）=f P-a.s.接下来，我们证明（3.2）的第一部分；这里的微妙之处在于，Yneed通常不是确定性的。再次修复P∈ P我们需要证明这一点≤ 补充∈PEP′[f]≡ E（f）P-a.s.（3.3）让yP∈ R表示支配YP-a.s的最小常数。；那么上面的数字当然等于YP≤ E（f）。让P′∈ P.根据Y和[9，定理VI.2]的定义，我们得到了ep′[Y|F]≤ E（f）P′-a.s.，但作为f={, Ohm}, 两边都等同于实数和thussupP′∈PEP′[Y]≤ E（f）为P′∈ P是任意的。因此，它很有可能显示出这一点≤ 补充∈PEP′[Y]。为此，请注意yP=supQEQ[Y]，其中取F0+上的总体概率测度Q的上确界，其与P等价。因此，有必要确定每一个这样的Q都是P的某些元素P′对F0+的限制。实际上，fix Q和Z=dQ/dP是相对于F0+的Radon-Nikodym导数。我们通过dP′=ZdP定义了GTP上的度量P′；然后q=P′|F0+。此外，利用Z是F0+可测的，S是右连续的，我们看到P′再次是S和us P′的sigma鞅测度∈ 我们已经证明了不等式（3.3），这就完成了P超鞅的构造。定理2.4与σ-场GT和过滤G+一起应用，产生aG+可预测过程H∈ L（S，P）这样的∈PEP′[f]+HoST≥ Y+HoST≥ YT=FP——所有P的a.s∈ P.我们记得，G+可预测性和G-可预测性是一样的，因为任何G+适应的左连续过程也是G-适应的。为了证明H是允许的，我们注意到对于每一个P∈ P、 sigma鞅HoSis P-a.s。

从下方以鞅EP[f | G]为界；这意味着法图引理的超鞅性质。4非线性Lévy过程的应用在本节中，我们在非线性Lévy过程的背景下给出了上述理论的一个自然例子。该模型由[17]首先引入，其构造基于部分积分微分方程（PIDE），从而将[32,33]的概念扩展到跳跃过程。文献[24]提供了非线性Lévy过程的更一般的构造。我们继续使用规范设置Ohm = D（R+，Rd′），我们选择S作为标准过程St（ω）=ωt（即D=D′）。让Psembe表示所有概率P的集合，在该集合下，S是半可数（同样，我们不需要特别说明过滤；参见[23，提案2.2]）。我们将把重点放在subsetPacsem上=P∈ Psem：（BP，CP，νP）<< dt，P-a.s。具有绝对连续鞅特征的。给定P∈ 在Pacsem中，我们可以考虑通过（dBP，dCP，dνP）=（bPdt，cPdt，FPdt）定义的相关差异特征（bP，cP，FP）。微分特征的取值单位为Rd×Sd+×L，其中Sd+是对称非负有限d×d-矩阵和L的集合=在Rd:ZRd | x上测量|∧ 1 F（dx）<∞ F（{0}）=0是所有Lévy测度的集合（在适当的weakconvergence拓扑下的可分离度量空间；参见[23，第2节]）。

A元素（b、c、F）∈ Rd×Sd+×Lis称为Lévy三重态，我们记得，对于每一个这样的三重态，都存在一个以（b，c，F）为其不同特征的Lévy过程。允许 6= Θ  Rd×Sd+×L是Lévy三元组的集合，那么我们可以考虑所有半鞅定律的集合，它们的微分特征在Θ，PΘ中：=P∈ Pacsem：（bP、cP、FP）∈ Θ，P dt-a.e。.这将是我们在续集中的基本集合P；事实上，根据[24，定理2.1]，我们有以下事实。引理4。1.让我来 Rd×Sd+×L可测且P（s，ω）：=PΘ表示所有（s，ω）∈ R+×Ohm. 然后集合{P（s，ω）}满足条件（A）。也就是说，在本例中，P（s，ω）完全不依赖于（s，ω）；这反映了莱维过程在时间和空间上是同质的这一事实。这种依赖性是不寻常的，例如，在[27]中的受控随机微分方程或[28,30]中的随机g-期望的情况下。接下来，我们确定PΘ何时满足主要结果的条件。为此，我们引入了具有可积跳跃的Lévy测度集L*=F∈ L:Z（| x）|∧ |x|）F（dx）<∞并用Sd表示++ Sd+严格正定义矩阵集。引理4.2。让我来 Rd×Sd+×L.σ鞅测度的集PΘcons是S的当且仅当Θ是f形式Θ=（b、c、F）∈ Rd×Sd+×L:（c，F）∈ Θ′，b=Z（x）- h（x））F（dx）（4.1）对于某些特殊情况 Sd+×L*. 在这种情况下，S在所有P∈ PΘ当且仅当Θ\' （Sd+×{0}）∪ （Sd++×L）*).

（4.2）此外，以下条件是f或PΘ饱和的充分条件：（c，f）∈ Θ′意味着（c，ψF）∈ Θ′对于所有ψ>0，使得ψF∈ L*, （4.3）式中ψ：Rd→ (0, ∞) 波雷尔是可测量的。我们注意到，当且仅当Θ′是非空的且Borel可测。条件（4.3）不是饱和所必需的；例如，用Θ={（0，0，δ）}我们得到了与补偿泊松过程相对应的集，该过程是饱和的，但违反了（4.3）。然而，只要有一个非偏正的布朗组分，强度的任意变化显然是可能的，因此（4.3）不是那么必要。证据根据[18，命题III.6.35，第215页]，S是西格玛鞅∈ 只有当其不同特征（bPt、cPt、FPt）满足要求时∈ L*和bPt+Z（x- h（x））FPt（dx）=0，P×dt-a.e.（4.4）第一个权利要求中的“如果”陈述紧随其后，而对于相反的断言，我们使用具有任意三元组的Lévy过程的存在性。很明显，（4.2）意味着主导分歧。相反，如果后者成立，那么对于任何Lévy定律P∈ PΘ我们必须使eitherFP=0（然后cpp可以是任意的），或者（|x）|∧1)*νPt=（R（| x）|∧1） dFP）严格增加，然后CPM必须为正。最后，我们证明（4.3）对于饱和是有效的。的确，让P∈ PΘ和P′~ P然后，一般的Girsanov定理[18，命题III.3.24，第172页]表明p′∈ 对于某些正可预测函数ψ=ψ（ω，t，x），pacsem和相应的特征满足cP′=cpa和FP′=ψFP。如果P′是S的sigma鞅测度，则ψFP∈ L*P×dta。e、 通过（4.4）现在（4.3）得到P′∈ PΘ。作为前面两个引理的结果，我们得到以下结果。提案4.3。允许 6= Θ  Rd×Sd+×L是Borel可测量的，形式为（4.1），满足（4.2）和（4.3）。那么定理3.2适用于P=PΘ。备注4.4。

（i） 本节说明了使用西格玛鞅而不是局部鞅是很方便的。事实上，即使Lévy sigma鞅（在经典意义上）自动是局部鞅（甚至是真的），也很容易发生PΘ包含不是局部鞅测度的sigmamartingale测度。要了解这一点，请回想一下，除了满足（4.4）条件外，局部鞅还可以通过满足以下条件来描述：|∧ |x|）Ft（dx）dt<∞ P-a.s.对于所有具有条件（a）视图的t.而言，该物业将不方便处理。（ii）在我们的边缘化背景下，使用[24]中的非线性Lévy过程的一般构造，而不是[17]中基于PIDE的构造，这一点至关重要，即使是在有限变化跳跃和连续索赔领域。事实上，饱和条件（这是至关重要的）通常会导致违反压实度条件，从而确保[17]中的良好压实度。例如，如果我们想考虑Wiener过程和Poisson过程之和，饱和要求我们必须考虑跳跃部分的无限强度变化。4.1指数Lévy过程在金融中股票价格建模的背景下，过程s通常是指数形式；参见，例如[25]。我们继续使用与上述相同的设置，除了我们为规范过程Xt（ω）=ω写X，并将S定义为X的随机指数。更准确地说，让PΘ是X的一组西格玛鞅测度。指数随机微分方程d=diag（S）-) dX，S=1（4.5）可以像[19]中那样“按路径”求解，也可以通过Doléans–Dadeformula[18，I.4.64，p.59]和定理2.4证明中的参数来求解：回顾NP 利用X是cádlág这一事实，我们可以构造一个cádlág，g+适应（甚至g-适应）过程S，它在所有P下解（4.5）∈ PΘ。

为了获得正的价格，我们选择Θ，以使包含的Lévy度量集中在(-1.∞]d、 这相当于Xi>-1 PΘ-q.s.以及Si>0和Si-> 0 PΘ-q.s.那么，P是X的sigma鞅测度当且仅当它是sigmamatingale测度f或s，并且支配扩散性质的特征（4.2）仍然有效。因此，引理4.2在没有变化的情况下延续到指数情况，命题4.3也是如此。我们注意到，在这种情况下，西格玛鞅测度和局部鞅测度之间没有区别，因为任何正西格玛鞅都是局部鞅。参考文献[1]B.Acciaio、M.Beiglb"ock、F.Penkner和W.Schachermayer。资产定价基本理论和超级复制理论的无模型版本。出现在数学中。《金融》，2013年。[2] E.Bayraktar、Y.-J.Huang和Z.Zhou。在模型不确定性下对美式期权进行套期保值。暹罗J.金融数学。，6(1):425–447, 2015 .[3] E.Bayraktar和Z.Zhao。模型不确定性和投资组合约束下的套利和对偶问题。出现在数学中。《金融》，2014年。[4] D·P·贝尔塞卡斯和S·E·史莱夫。随机最优控制。离散时间案件。学术出版社，纽约，1978年。[5] S.Biagini，B。Bouchard、C.Ka rdaras和M.Nutz。连续过程的稳健基础理论。出现在数学中。《金融》，2014年。[6] B.布查德和M.纳茨。非支配离散时间模型中的套利与对偶。安。阿普尔。Probab。，25(2):823–859, 2015.[7] P.切里迪托、M.库珀和L.唐皮。具有可数可加测度的递增凸函数的表示。预印本arXiv:1502.05763V12015。[8] F.德尔班和W.沙切迈耶。鞅的bo-undedsequences的紧性原理及其应用。

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