带跳跃和扩散的鲁棒超边缘

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英文标题：
《Robust Superhedging with Jumps and Diffusion》
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作者：
Marcel Nutz
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We establish a nondominated version of the optional decomposition theorem in a setting that includes jump processes with nonvanishing diffusion as well as general continuous processes. This result is used to derive a robust superhedging duality and the existence of an optimal superhedging strategy for general contingent claims. We illustrate the main results in the framework of nonlinear L\\\'evy processes.
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中文摘要：
我们建立了可选分解定理的一个非支配版本，在一个包括具有非零扩散的跳跃过程以及一般连续过程的环境中。这个结果被用来推导一般未定权益的鲁棒超边对偶和最优超边策略的存在性。我们在非线性LSevy过程的框架中说明了主要结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Robust_Superhedging_with_Jumps_and_Diffusion.pdf (243.2 KB)

2022-5-6 10:37:33 上传

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关键词：Mathematical Optimization Differential Quantitative Applications

强劲的超边缘，带跳跃和差异Marcel Nutz*2018年9月12日摘要我们建立了可选分解定理的非支配版本，其设置包括具有非各向异性扩散的跳跃过程以及一般连续过程。这个结果被用来证明一般未定权益的鲁棒s超套期保值对偶和最优套期保值策略的存在性。我们在非线性Lévy过程的框架下说明了主要结果。超复制；选择性分解；非显性modelAMS 2010受试者分类60G44；91B25；93E201简介经典的可选分解定理指出，给定一个过程Y，它在某些参考过程S的所有等价鞅测度下都是上鞅，存在一个被积函数H，使得Y- HoS是非递增的，其中HoS表示随机积分。不同的是，Y允许分解Y=Y+HoS- 对于一些非减量过程，这个结果是在给定的概率空间上给出的(Ohm, F、 P*);在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设S本身就是P*鞅。在连续过程S的情况下，可选分解定理是由[20]引起的，而在有界假设下，跳跃的情况是由[21]引起的，在一般情况下是由[15]引起的。[8]中给出了另一种证明，[16]将结果扩展到包括投资组合约束。可选择的*纽约哥伦比亚大学统计与数学系，mnutz@columbia.edu.感谢NSF对DMS-1208985和DMS-1512900的资助。

作者感谢Kostas K ardaras、Ariel Neufeld、NizarTouzi和Jianfeng Zhang的富有成效的讨论，并感谢助理编辑和两位匿名推荐人的建设性评论。分解定理对于数学金融的应用非常重要，尤其是对于超级复制定价和投资组合优化。本文的第一个结果（定理2.4）是适用于模型不确定性背景下的最优分解定理的一个版本：它不需要参考度量。更准确地说，我们考虑一组概率，可能是非占优的，因为它的元素不受单一参考概率的支配*. 证明了在P的所有元素下都是cádlág局部鞅，且P包含其元素的所有等价局部鞅测度。如果Y是全P下的cádlágsuper鞅∈ P、 我们证明了存在一个被积函数，使得Y- HoS是所有P的非递增P-a.S∈ P.这一结果是在我们称之为支配差异性质（定义2.2）的技术条件下得出的：对于所有P∈ P、 跳跃特性νPof S由扩散特性CP决定。这包括S是具有跳跃和非方差扩散的It^o半鞅的情况，以及一般连续过程的情况。主要的扩散特性使我们能够根据（S，Y）的联合扩散特性来定义H，从而利用后者可以以聚合方式构建（即，同时适用于所有P）的事实。证明该策略可重复应用的证据利用了经典的可选分解理论∈ P.因此，论点非常简单，优点是结果一般，证明是多方面的（参见[5]了解对不同环境的适应性）。

特别是，我们不需要对P的过滤或紧致性假设施加微妙的可分性条件。第二个结果（定理3.2）是模型不确定性设置中的s对偶。在一个以Skorohod s pace作为基本可测空间且集合P满足某些动态规划条件的设置中，证明了给定时间范围T的可测函数f，鲁棒s超套期保值价格π（f）：=inf十、∈ R: H带x+HoST≥ f P-所有P的a.s∈ P满足对偶关系π（f）=supP∈政治公众人物[f]。此外，达到了最大值；i、 例如，存在一个最优的超边缘策略。我们通过上述可选的分解结果构建了该策略。最后，我们在非线性Lévy过程的设置中说明了我们的主要结果；这是一个自然的例子，其中s et P是根据s的特征定义的。我们根据模型原语描述了主要结果的条件，并讨论了问题公式的进一步方面。我们的结果的主要新颖之处在于适用于带跳跃的非支配连续时间模型。据我们所知，在这个框架中，没有现存的结果提供最优策略或最优分解定理的存在性。之前唯一的结果是[13]在最优交通条件下的定性陈述；在这里，通过离散模型的弱近似证明了对偶间隙的存在性，并以路径方式描述了超复制。在正在进行的独立工作[7]中，虽然在KoroHod空间中的紧性条件下（在我们的环境中通常不满足），但通过泛函分析方法可以确定不存在对偶间隙。对连续过程（即波动不确定性）的情况进行了更好的研究。

[10]从容量理论的角度研究了这种情况下的对偶公式，[34,36,38]使用马尔可夫控制问题的近似，而[12]使用基于支配模型的弱近似。另一方面，[22,29,31,35,37]使用了一个聚合公式，它可以被视为我们证明的前身；然而，他们依赖于Doob–Meyer分解定理（在每个P∈ P） 这迫使他们假设每个P∈ P对应于一个完整的市场。因此，即使在持续的情况下，目前的结果也是一个重要的改进，因为它们也适用于不完全市场。在离散时间的情况下，[6]提供了光学分解定理的一般版本。本论文未恢复该结果，因为主要的扩散条件未得到满足。在不同的离散时间设置中，[1]给出了一个不存在最优策略的早期双重结果；参见[14]交易成本背景下的相关结果，[3]投资组合约束，[11]博弈期权，[2]美式期权。本文的其余部分组织如下。第2节讨论一般情况下的可选分解，第3节建立Skorohod空间上的对偶结果，第4节以非线性Lévy过程为例进行总结。2可选分解let T>0和let(Ohm, F） 是一个配备有任意过滤F=（Ft）t的可测量空间∈[0，T]。设S=（St）是一个具有cádlág路径的Rd值F自适应进程，对于某些正整数d，我们用P表示(Ohm) 所有概率测度的集合(Ohm, F） 。给定P∈ P(Ohm), 我们为F的P-增广写FP+。

此外，如果S是半鞅，则∈ P(Ohm) H是一个FP+可预测的d维被积函数，我们用HoSt=R表示P下通常的随机（It^o）积分。概率P∈ P(Ohm) 被称为S的西格玛鞅测度，如果S是关于（P，FP+）的西格玛鞅。我们回顾了西格玛鞅的定义：存在FP+-可预测集（∑n）n≥1增加到Ohm×[0，T]使得1∑noSi是每个n和Siof S的每个分量的鞅（虽然本节中的所有内容也适用于局部鞅，但局部鞅性质的这种推广将在后面很方便。）如果P包含其元素的所有等价sigma鞅测度，我们可以说P是饱和的。也就是说，如果P′∈ P(Ohm) 是S和P′的sigma鞅测度~ P换一些P∈ P、 然后是P′∈ 最后，一个具有cádlág路径的实值fadapt过程称为P局部超鞅，如果它是关于（P，FP+）的所有P的局部超鞅∈ P.我们参考[18]了解随机微积分和未解释符号的背景知识。备注2。1.在上述定义中，过滤FP+的选择是最普遍的：如果X是一个右连续的F-适应过程，对于某些过滤F，它是一个关于（P，~F）的局部超鞅（或西格玛鞅）~F FP+，那么它对（P，FP+）具有相同的属性。这源自向后鞅收敛定理。修正一个截断函数h:Rd→ Rd；也就是说，一个有界的可测函数，使得h（x）=x在原点附近。吉文普∈ P(Ohm) 其中S是半鞅，我们用（BP，CP，νP）表示S在P下相对于h的半鞅特征。

也就是说，（BP，CP，νP）是三重过程，因此P-a.s.，bps是s的正则分解中的有限变异部分-P0≤s≤·(党卫军- h(Ss）在P下，CPis是P下S的连续局部鞅部分的二次协变，而νPis是uS的P-补偿器，是与S的跳跃相关的整数值和度量（同样，过滤的精确选择对于目前的目的并不重要；参见[23，建议2.2]）接下来，我们将介绍一个在我们的证明中起关键作用的概念。定义2.2。让P∈ P(Ohm) 是S的sigma鞅测度，设（BP，CP，νP）是S在P下的半鞅特征。我们说它在P ifνP下有主要的扩散<< （CP）iiP-a.s.，i=1，d、 符号νP<< （CP）iI表示过程（|x|∧ 1) * νPt:=RtRRd（|x）|∧ 1） νPs（dx，ds）相对于矩阵CP对角线上的Ith分量是绝对连续的。我们注意到FirstCharacteristic then必然满足BP<< 因为西格玛鞅性质意味着BP=R（x- h（x））* νP；参考[18，提案III.6.35，第215页]。为了说明定义的重要性，为了简单起见，考虑一维情况d=1。然后，可以得出，测度P×dCPis足够丰富，可以表示与以下内容相关的S的性质；特别是，如果H和H′是可预测的被积函数，使得H=H′P×dCP-a.e，则HoS=H′oS P-a.S。在以下重要情况下，满足上述定义；参见引理4.2。例2.3。（i） 设S是一个sigma鞅，在P下具有绝对连续的特征（关于Lebesgue测度dt）；i、 例如，特征的形式为（dB，dC，dν）=（b dt，c dt，F dt）。

如果c是一个严格正矩阵P×dt-a.e.，那么S具有支配性差异。（ii）设我们是P下的连续sigma鞅（因此是局部鞅）。然后它的特征是形式（0，C，0），因此萨尔韦具有主要的差异。主要的扩散特性不适用于纯跳跃模型，尤其是离散时间情况。然而，正如引言中提到的，后者包含在[6]的结果中。鉴于这些结果，我们将主要的分歧性质视为一种技术假设，使我们能够像下面所述的证明那样进行辩论，但我们不期望对随后的定理进行一般性反例，即使违反了该性质。然而，[6]表明，其他技术假设可能是必要的，没有主要分歧的证据可能在实质上是不透明的。现在我们可以陈述我们的第一个结果，这是光学分解定理的非支配版本。我们用L（S，P）表示所有Rd值可预测过程的集合，这些过程对于所有P都是S-可积的∈ P.定理2.4。设P是S的一个非空的、饱和的sigma鞅测度集，使得S在所有P下具有支配性的微分∈ IfY是一个P局部上鞅，则存在一个F-可预测过程∈ 我（S，P）就是这样- HoS是所有P的非递增P-a.S∈ P.这里HoS是固定测度P下的通常It积分，这是有效预防。我们说，如果一个属性为所有P持有P-a.s.，那么它就持有P-q.s∈ （d+1）维过程（S，Y）是全P下的半鞅∈ P（在过滤FP+中，但也在F中；参见[23，提案2.2]）。根据[23，命题6.6]，存在一个F-可预测过程C（S，Y），其值在Sd+1+（非负有限对称矩阵集）中，具有P-q.S.连续且不减损的路径，且与P-a.S.重合。

在每一个P下通常具有第二特征h（S，Y）cip∈ P.设Cs为S对应的d×d子矩阵，设Csyb为S和Y的二次协变量对应的d维向量。设置为：=tr cst要作为CS的跟踪，我们有CS<< P-q.s.和CSY<< 因此，对于cSt定义的导数，我们有dCS=cSdA P-q.s.和dCSY=cSYdA P-q.s.：∈Sd+}，~cSt:=lim supn→∞CSt- CS（t）-1/n）∨0At- A（t）-1/n）∨0和cSYt:=~cSYt{~cSYt∈Rd}，~cSYt:=lim supn→∞CSYt- CSY（t）-1/n）∨0At- A（t）-1/n）∨0，其中所有操作都要以组件方式理解（比如0/0:=0）。我们观察到，Cs和Cyarf是可预测的。Let（cS）⊕bethe Moore–cS的Penrose伪逆。我们定义了F-可预测过程h:=cSY（cS）⊕并证明它满足定理的要求。修正P∈ P.回顾P包含与P等价的所有sigma鞅测度，我们可以将经典的可选分解理论[8，定理5.1]的形式应用于P和过滤FP+（满足通常的假设），并且我们得出存在一个FP+-可预测的S-可积过程HP和一个非减量过程kpy=Y+HPoS- KPP-a.s.（2.1）识别（2.1）yieldsYc=HPoScP-a.s.两侧关于P（参见[18]）的连续局部鞅部分。如果需要，在定理的条件下，也可以以路径方式定义积分，尤其是在allP下同时定义积分∈ P、 通过构造[26]。该主张没有使用针对[23]主要结果的过滤的可分离性假设。然后用Scleads todhSc取二次协变量，Yci=HPdhSci P-a.s。然而，这相当于tocSY=HPcSP×dA-a.e.（2.2）。一方面，（2.2）意味着H在P和HoSc=HPoScP-a.s下是Sc可积的。

（2.3）另一方面，定义非减损流程A*拜达*dA=min1≤我≤dd（CS）iidAP-a.s.作为*<< A、 （2.2）Csy=HPcSP×dA的产量*-a、 e.它源于对*这是可逆的P×dA*-a、 因此我们得出h=HPP×dA*-a、 e.为了所有人P∈ P.（2.4）根据主要差异假设*支配着…的特征- 所以（2.4）意味着H是S- 根据Pand Ho（S- Sc）=HPo（S）- Sc）P-a.s.鉴于（2.3），我们认为Hos=HPos P-a.s.这适用于所有P∈ P、 现在这个理论来自（2.1）。备注2.5。如果我们在本节中将“sigma鞅”替换为“局部鞅”，则定理2.4仍然成立。证据是一样的；我们需要将[8，定理5.1]的引用替换为[15，定理1]。3超复制对偶在本节中，我们利用定理2.4在相当一般的环境中提供超边缘对偶和最佳超边缘策略。除了技术细节（当然还有定理2.4的使用），论证路线与[22]中的类似。3.1设置可选分解定理将应用于一个过程Y，该过程是动态超边缘价格的一个版本。更准确地说，这个过程将由定理f的（条件）次线性期望Et（f）构造，而Y的P上鞅性质将从与Et（·）相关的动态规划中推导出来。在本节中，我们将介绍如何实现这一点。允许Ohm = （táD）空间的所有路径≥对于某个正整数d′，ω=0时，在Rd′中为0。我们装备Ohm 使用目的论和相应的Borelσ-F场。